(1)向量、向量的加法、数乘-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (一)向量、向量的加法、数乘 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.AC-BD+CD= A.BA B.AB c.BC D.0 2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与DE相 等的向量为 A.AB B.OF C.OE D.OD 3.若a,b为非零向量，则a=合6是“a=6的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.在四边形ABCD中，满足AB=DC,且AB+AD=|AB-AD,则四边形ABCD为 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 5.已知在正六边形ABCDEF中，G是线段CD上靠近D的三等分点，则GA= A.S BA-CE B.IBA-CE c.号i-ci D+应 6.设a,b是非零向量，且a+b=1,4a一b=2,则a十2b的最大值为 A &号 c号 D号 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论错误的是 A.若a与b都是单位向量，则a∥b B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a=b,b=c,则a=c D.若a为非零向量，则日与a同向 8.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其 中八卦深遂的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形 如图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是 出 图1 图2 A.BC=GF B.OB-FG=FO c.oi+oi=√2c0 D.GD=2AB 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若向量a,b满足|a=3,b=5,则|a+b的最大值是 ,最小值是 (本题第一空2分，第二空3分) 10.在△ABC中，A=2,Bi=号B元，0是△ABC所在平面内一点，4OA+2O店+ 3OC=0,则OD1= 高一同步周测卷一 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页）】 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，根据下列条件，写出相应 的向量（用图中已标出的线段对应的向量表示）： (1)与向量AD相等的向量； (2)向量DE的相反向量； D (3)与向量EF平行的向量， 12.(本小题满分15分) 设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若OA=4a-2b,OB=6a十2b,OC=2a-6b,求证：A,B,C三点共线； (2)若4a十2仙与2h如十b共线，求实数k的值，并指出4a十2仙与如十b反向共 线时k的取值 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 如图，平行四边形ABCD中，E为AB上一点，AB=3AE,设AB=a,AD=b,F为平 行四边形ABCD内一点，且-a十号b (1)证明：D,F,E三点共线； G (2)延长AF交DB于G. (1)用a,b表示出AG: (i)求出DG:GB. 一同步周测卷一 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ⅢW ① ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的加减法运算 易 0.80 2 选择题 5 确定相等向量 易 0.72 向量与充要性的 3 选择题 5 易 0.70 综合 利用向量判断四边 4 选择题 5 中 0.60 形形状 选择题 平面向量的运算 中 0.55 向量模长不等式的 6 选择题 5 0.30 应用 中 平面向量的相关 选择题 6 易 0.75 概念 与向量运算有关的 选择题 6 中 文化题 0.45 向量的模的最值 填空题 5 易 0.71 问题 10 填空题 求向量的模长 分 0.35 11 解答题 13 找特殊向量 易 0.90 利用向量解决向量 12 解答题 15 中 0.60 共线，三点共线问题 13 解答题 20 向量的数乘运算 中 0.30 香考答案及解析 一、选择题 D,OD与DE方向不同，所以OD与DE不相等.故选B. 1.B【解析】由题意得，AC-BD+CD=AC+Cd+ 3.B DB=AD+DB=AB.故选B. 【解析】若a=b,则g-1,有a=合b:反之，取a 2.B【解析】对于A,虽然AB=DE1,但方向不同， =26,号=2，有a=80,而0=6不成立，所以a= 不满足向量相等的条件，所以AB与DE不相等；对于 B,DE与OF方向相同，且DE=OF,所以DE-OF;对 骨0是Q=6的必要面不充分条件，放速B 于C,O龙与D方向不同，所以O龙与D龙不相等；对于4.C【解析】因为AB=D心，所以AB∥D元，|A1= 1 ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 |DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为 面向量的加法法则可知，O疗+O市为以O方、OF为邻 |AB+AD]=|AB-AD,所以|AC=|DB|,故 边的正方形中以O为始点的一条对角线所对应的向 四边形ABCD是矩形.故选C. 量，所以|Oi+O求|=√2|O|=√21O心，所以0方 5.C【解析】由向量的线性运算及正六边形的性质可 +O亦=√20心，又因为0心=Cd,故0i+O市=2Cò. 知GA=GC+C第+BA=-号Cò+E萨+BA C正确：对于D,连接DG,在正八边形ABCDEF中， -号(+ò)+(C-C)+i=-号+ AB=F2,GD∥FE,不妨设EF=a,又∠EDG=45°， 号i+2-成+耐=号-号位故选C 所以GD=a+2×竖。=1+2)a,所以G市=1十 2)F它=(1十√2)AB,D错误.故选AC 三、填空题 9.82【解析】当a,b共线同向时，取得最大值，此时 |a十b1=a十|b=5十3=8.当a,b共线反向时，取 得最小值，此时，1a十b1=|a-1b11=3-5|=2. 【解析】由4OA+2O范+3O心=0，可得O心 6.C【解折】由题意得a+2b=号a+o)-合(4a }·(4Oi+2O成，因为Bi=号BC,可得Oi b)<号|a+b+号|4a-b=号，当a+b和40 oi=子BC=子(o心-o),所以oò=}0心+ -b方向相反时等号成立，若a,b不共线，则设a十b 号oi=-号·(40i+20)+号成=号o成 一入(4a一b),则{1二“，，无解：故此时a,b共线，设b O=号A忘，又因为1A前=2，所以1O市= =ka,则由|a+b1=1,|4a-b1=2可得 |(k+1)a1=1,1(4-k)a|=2,则14-k|= 专A创-g 2引十1川，两边平方解得及=号或太=-6，当长=号 四、解答题 (5分) 时，a十b和4a一b方向相同，舍去，故k=一6，即得 11.解：(1)与向量AD相等的向量：DB,FE. (2)向量DE的相反向量：ED,FA,CF (9分) |a=号，b=号，此时1a+2b的最大值为号故 (3)与向量EF平行的向量：AD,AB,DB,DA,BA, 选C. BD,FE (13分) 二、选择题 12.解：(1)由OA=4a-2b,OB=6a+2b,OC=2a-6b, 7.AB【解析】对于A,当a与b分别为一个长度为1 AB=OB-OA=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b, 的正方形相邻两边对应的向量时，它们都是单位向 BC=OC-OB=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b 量，显然两向量不平行，A错误；对于B,当b=0时， =-2(2a+4b)=-2AB, (4分) 向量a,c不一定共线，B错误；对于C,相等向量具有 所以AB∥BC,且有公共点B, 传递性，C正确：对于D,日是与a同方向的单位向 所以A,B,C三点共线， (6分) 量，D正确.故选AB. (2)由a十号h与2a+b共线， 8.AC【解析】对于A,由题意知，∠FOG=∠BOC,OF =OB,OG=OC,所以△FOG≌△BOC,所以∠OFG= 则存在实数，使得4a十之b=x(受a十b), ∠OBC,所以GF∥BC,又因为FG=BC,由相等向量 的定义可知，BC=GF,A正确：对于B,OB-FG 即(4-k)a+(分k-x刘b=0, -O市-F花=G求+FO=GO,B错误：对于C,根据平 又a,b是不共线的两个非零向量，因 ·2 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 4-号合=0 =A·(号AB+号A)=号A范+号xA市， 此 2k-A=0 由于D,BG三点共线，则号+号=1， 1λ=-2 k=-41 (11分) 解得入=号， 所以实数k的值是士4. 则AG=A+号A=a+号b, (14分) 当k=一4时，4a十之h与号如+b反向共线。 (i)DG-AG-AD=分A+AD-Aò (15分) 13.解：1)曲题意，A市=寸a+号0=寸A言+号A访 =A店-A0, 号X3A斗号AD=专A+号AD, G成-Di-D元-A范-AD-(号A范-号AD) 由于号十号=1，则D,F,E三点共线。 =号A店-A市， (7分) 所以GB=6DG,即DG:GB=1:6. (2)(ⅰ)设AG=λAF,则AG=λAF ·3·