(5)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (五)基本立体图形、 立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列命题中，正确的有 A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.正棱锥的斜高可能不相等 C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 2.下列关于空间几何体，说法正确的是 A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线一定是圆柱的母线 B.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋 转体叫做圆锥 C.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的几何体叫做圆台 D.圆锥的轴截面是等腰三角形 3.已知圆台的上、下底面的面积分别为4π，36π，侧面积为64π，则该圆台的高为 A.23 B.3√3 C.4√3 D.5√3 4.底面边长为2√2，且侧棱长为2√5的正四棱锥的侧面积为 A.20 B.16 C.24 D.6 5.美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱， 大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm,汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线 段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则 汤勺长度最短为 A.10√26cm 5 cry 25 cm B.10√/30cm 30 cm A C.10√/33cm B D.10√/37cm 甲 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运 动一周，再回到出发点的最短距离为4√2，则此圆锥的体积为 A.5π 3 B.43π C.83r 3 3 D.lojz 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列说法正确的是 A.相等的线段在直观图中可能不相等 B.一个角的直观图仍是一个角 C.菱形的直观图仍是菱形 D.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形 8.“阿基米德多面体”又称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多 面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截 去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一 种半正多面体已知AB=8要，则下列说法正确的是 A.设该半正多面体的顶点数为V,棱数为E,面数为F,那么V +F-E=4 民该半正多面体的体积为号 C.∠ABC=120° D.该半正多面体外接球的表面积为18π 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图是一梯形OABC的直观图，若其直观图为梯形OA'BC',且OA'=2OC'=2B'C =2,则梯形OABC的面积为 A'x 高一同步周测卷五 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页） 10.已知正六棱锥的高为，3，它的外接球的表面积是元若在此正六棱锥内放一个正 方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值 为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，PB十PE的 最小值为√21. (1)求该正四面体的棱长； (2)当PB+十PE取最小值时，求三棱锥A一PBE与三棱锥A一BCD的体积之比. 12.(本小题满分15分) 如图，正四棱台ABCD一A1B1C1D1是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和 80cm,O1,O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm. (1)求正四棱台ABCD一A1B,C1D1的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积. D 01t 0 B 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 材料1：《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下第4题： 如图1，圆锥PO的底面直径和高均为α，过PO的中点O作平行于底面的截面，以 该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.我们称圆柱为圆锥的 内接圆柱， 根据材料1完成下列问题. 如图2，底面直径和高均为6cm的圆锥有一个底面半径为R,高为H的内接圆柱. P 图1 图2 (1)求R与H的关系式： (2)求圆柱侧面积的最大值； (3)求圆柱体积的最大值 附：若a,b,c>0,则a+b十≥ahc,当且仅当a=b=c时等号成立. 3 高一同步周测卷五 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ①②③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 多面体的结构特征 易 0.80 2 选择题 5 旋转体的结构特征 易 0.72 3 选择题 5 圆台的侧面积 易 0.70 4 选择题 正棱锥的侧面积 中 0.55 与圆柱有关的最值 5 选择题 5 中 0.45 问题 圆锥的最值与体积 6 选择题 5 中 0.30 综合 与直观图有关的 7 选择题 6 易 0.75 概念 与几何体有关的新 选择题 6 中 定义题 0.35 9 填空题 5 斜二测画法的应用 易 0.71 10 填空题 5 棱的外接球问题 中 0.55 11 解答题 13 棱锥的体积问题 0.60 正棱台的表面积，圆 12 解答题 15 中 0.45 台的体积 圆锥、圆柱的面积公 13 解答题 20 式及体积公式的综 中 0.30 合应用 叁考答案及解析 一、选择题 确；根据棱台的特征可知，棱台是棱锥截得的，侧棱的 1.C【解析】如图所示，上、下底面平行，各个面都是平 延长线要交于同一点，有两个面平行且相似，其他各 行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误；正棱锥的 个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于 侧面都是全等的等腰三角形，则正棱锥的斜高相等， 同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误.故 故B错误；棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四 选C. 边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正 ·19· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 2.D【解析】对于A,在圆柱的上、下底面的圆周上各 取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当 6.A【解析】设圆锥的顶点为O,记点P是底面圆周上 这两点的连线平行于轴时才是母线，A错误；对于B, 的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示： 以直角三角形的斜边为旋转轴，所得的儿何体不是圆 0 锥，B错误；对于C,该截面必须平行于底面时，所得 几何体才是圆台，C错误：易知D正确.故选D. 3.C【解析】作出圆台的轴截面，如图： 又因为质点运动最短距离为4√2，故PP=4√2，又 6 因为OP=OP'=4,所以OP+OP?=PP'?,所以 由题意得圆台的上、下底面的半径分别为2,6，设圆 台的母线长为l,高为h,则该圆台的侧面积S侧=π× ∠P0P=受，设圆锥的底面半径为，高为，则2r (2+6)×l=64π，解得l=8,所以h=√/-(6-2) =受×4，解得r=1,所以h=V企-了-√5，所以 =4√5.故选C. 圆锥的体积V=1 h=号xX1X丽= 3 4.C【解析】由正四棱锥底面边长为2√2，则棱锥的斜 故选A. 高为PH=√/(25)-（√2）=3√2，则侧面积为S 二、选择题 =号×32×22X4=24.故选C 7.AD【解析】斜二测画法中，平行于x轴的线段长度 不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，长度 不相等，A正确：空间的一个角的直观图可能成为一 条线段或一条直线，B错误；菱形的四条边相等，但相 等的线段在直观图中不一定相等，因此菱形的直观图 是菱形不正确，C错误；斜二测画法是一种平行投影， D 水平放置的平行四边形两组对边在水平面上的直观 .-δ ----H 图上仍然保持平行，D正确.故选AD. 5.C【解析】将A投影至底面为A',A'B是底面大圆 8.BCD【解析】对于A,该半正多面体的顶点数V= 的一条弦且A'B与小圆相切（切点为M)时最长，所 12,棱数E=4×6=24,面数F=14,那么V+F-E= 12十14-24=2，A错误： 以A'B=2BM=2√/25-5=20√6，所以AB= AB+AAF=/(20√6)2+302=10√/33.故 选C. ·20· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· ×S×厅=号×x,5=号，设正六棱锥的内切 2 球的半径为，则V=号×(S十S)X,=号× (+3正)r=多.·r= 3 √15+5 压-一E.设正方体的棱长为a,则a≤2r,∴a≤ 对于B,因为AB=3,所以AD=BD=号，该半正 →.：正方体的棱长的最大值为5一 2 2 四、解答题 多面体是由棱长为3的正方体沿各棱中点截去8个 11.解：(1)将侧面ABC与ACD展成平面图形，如图所示， 三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为V=33一8 ×子×分×（受）'=智，B正确：对于C,由平行关 系和棱长可得六边形ABCDEF为正六边形，故 ∠ABC=120°，C正确；对于D,由几何性质可得，正 四棱柱ABHG一PODE的外接球即为该几何体的外 接球，其中AB=BH=3Y,AP=3,故正四棱柱AB 的 2 设正四面体的棱长为a,则PB十PE的最小值 HG-PODE的外接球半径为r= 为BE, (2)+(2）+3 由正四面体的性质可知∠BAE= 3 2 3亚，该半正多面体外 由余弦定理可得 接球的表面积为4红（ē） =18π，D正确.故 2元 BE=√AB+AE-2AB·AEcos 选BCD. √a++- 7a=√/2I， (4分) 三、填空题 9.3【解析】由已知可知原梯形OABC是直角梯形，且 解得a=2√3， OC=2,BC=1,OA=2,∠COA=90°，所以梯形 即正四面体的棱长为2√. (6分) 0ABC的面积为S=号(BC+OA)×OC=2×(1+ (2)由(1)中的平面展开图可得，此时△APE ∽△CPB, 2)×2=3. 10.5【解析】设外接球的半径为R.则S=4R 则器品-器-aP=}AC-2,10分) 3 由点B到平面PAE的距离等于点B到平面ACD -9,R=2设正六棱维的底面边长为，则 3 的距离， (5-R)2十x2=R,∴x=1,即正六棱锥的底面边 三棱锥A一PBE与三棱锥A一BCD体积之比即为 长为1，侧棱长为2..正六棱锥的底面积S=6× S△PE一 AP·AE·sin∠PAE 1 (13分) ×上=色5，测面面积s=6×专X1X S△AD AC·AD·sin∠PAE 1 6 12.解：(1)如图，正四棱台ABCD-A1BCD1的每个 √2-（合）-3压∴正六能锥的体积V=号 侧面皆为全等的等腰梯形， ·21· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 分别取BC,BC的中点为M,N,连接OM, OA,则OC∥OA, ON,MN; 品0贺。 3 过点M作MH⊥ON于H, 整理可得2R十H=6. (6分) O=MH=60 cm,O M=20 cm,ON=40 cm, HN=20 cm, 故MN=√MH+HN =√/60+20=20√10(cm), (5分) 所以正四棱台ABCD一A1BCD的表面积为40 +80+4×号×(40+80)×20V0 =(8000+4800√/10)(cm). (8分) (2)由(1)知，6=2R+H≥2√2RH, 当且仅当R=是，H=3时等号成立， M 即RH<号， D-- ·圆柱的侧面积S=2RH≤2πX号 因此，当R=号，H=3时，圆柱的侧面积取最大值 (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 9πcm2, (12分) 则圆台OO的上，下底面圆与正四棱台的上、下底 (3)由(1)知，2R+H=6, 面正方形相切，高为正四棱台的高， 圆柱的体积V=πRH=πR·R·H 则圆台的上底面半径为20cm,下底面半径为 ≤πX (R+R+卫)=x×(g)广=8x, 3 40cm,高为60cm, 当且仅当R=H=2时等号成立， 则圆台0.0的体积为V=号x(20+402+20×40) 因此，当R=H=2时，圆柱的体积取得最大值 ×60=56000m(cm3). (15分) 8πcm3. (20分) 13.解：(1)记PA与圆柱的上底面交于点C,连接OC, ·22·