基本立体图形及直观图、简单几何体的表面积与体积周末作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

安徽省泾县中学高一下 第5周·周末作业　基本立体图形及直观图、简单几何体的表面积与体积 1.已知△ABC按照斜二测画法画出它的直观图△A'B'C',如图所示,其中A'B'=B'C'=1,A'C'=,则AB的长为 (　　) A.2 B.2 C.3 D.4 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B.棱台的侧面都是等腰梯形 C.底面半径为r,母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形 D.棱柱的侧棱长都相等,但侧棱不一定都垂直于底面 3.若圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为的扇形,则圆锥的表面积为 (　　) A.2π B.3π C.4π D. 4.若正四棱锥的高为,且其各侧面的面积之和是底面积的2倍,则该四棱锥的表面积为 (　　) A.12 B.24 C.32 D.48 5.已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切,则球内接圆柱的侧面积的最大值为 (　　) A.2π B.4π C.6π D.20π 6.如图,以边长为2的菱形ABCD的一边AB所在直线为轴,其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为2π,则该几何体的表面积为 (　　) A.2π B.4π C.8π D.16π 7.如图,某实心零部件的形状是正四棱台,已知AB=8 cm,A1B1=20 cm,棱台的高为8 cm,现需要对该零部件的表面进行防腐处理,若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元,则该零部件的防腐处理费用是 (　　) A.640元 B.512元 C.390元 D.347.5元 8.(多选)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”,与正多面体类似,它们也都是凸多面体,每个面都是正多边形,并且所有棱长也都相等,但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到,如图①,正八面体E⁃ABCD⁃F的棱长为3,取各条棱的三等分点,截去六个角后得到一种阿基米德多面体,如图②所示,则该阿基米德多面体 (　　) A.共有18个顶点 B.共有36条棱 C.表面积为6+8 D.与正八面体E⁃ABCD⁃F的体积之比为8∶9 9.(5分)已知圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)是一个边长为2的正方形,则此圆柱的体积为　　　　.  10.(5分)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,则球心O到平面ABC的距离为　　　　. 11.(10分)如图,在△ABC中,BC=2,∠ABC=30°,l为△ABC的BC边上的高所在的直线,延长BC与l相交于点O,且∠ACO=60°,△ABC绕着l旋转一周得到一个几何体. (1)求该几何体的体积;(7分) (2)求该几何体的表面积.(3分) 12.(10分)如图,甲、乙是边长为4a的正方形铁皮,现将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的表面积都等于原正方形的面积(不计焊接缝的面积). (1)将你的裁剪方法用虚线标示在甲、乙两个正方形中,并作简要说明;(5分) (2)试比较你制作的两个几何体体积的大小,并说明你的理由.(5分) 第5周·周末作业 1.选C　在斜二测画法中,平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度变为原来的一半,由直观图可知,BC=B'C'=1,AC=2A'C'=2.在平面图中,AC⊥BC,所以根据勾股定理得AB==3.故选C. 2.选CD　圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体,当绕斜边旋转时,不是圆锥,故A错误;棱台的侧面都是梯形,但棱台的侧棱不一定都相等,故B错误;圆锥的轴截面是等腰三角形,其腰长为2r,又底面半径为r,故等腰三角形的底边为2r,即该圆锥的轴截面为等边三角形,故C正确;棱柱的侧面都为平行四边形,所以侧棱都相等,棱柱包含直棱柱与斜棱柱,故侧棱不一定都垂直于底面,故D正确. 3.选C　由题意,得圆锥的母线长为3,底面周长即扇形的弧长为×3=2π,∴底面圆的半径为1,∴圆锥的表面积为×2π×3+π×12=4π. 4.选A　如图,PO是正四棱锥的高,所以PO=,PE是侧面的高,由S侧=2S底,可得4×BC·PE=2BC2,所以BC=PE.在Rt△POE中,PO=,OE=BC=PE,所以3+=PE2,所以PE=2,所以S底=BC2=PE2=4,S侧=2S底=2×4=8,所以S表=S底+S侧=4+8=12.故选A. 5.选B　由题意知,球的直径等于正方体的面对角线长,所以球的半径R=.设圆柱的高为h,则底面圆半径r==, 所以S圆柱侧面积=2πrh=2π·h=2π,所以当h2=4时,球内接圆柱的侧面积取得最大值,且最大值为4π. 6.选C　作出示意图如图所示.该几何体下部分为圆锥,上部分为在圆柱内挖去一个与下部分相同的圆锥,设点D到AB的距离为d,由题意可得πd2×2=2π,解得d=1,所以该几何体的表面积为×2π×2×2+2π×2=8π. 7.选B　由题意得侧面的斜高为h==10 cm.所以=×(BC+B1C1)×h=140 cm2.所以该正四棱台的表面积为S=82+202+4×140=1 024 cm2.又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元,所以该零部件的防腐处理费用是1 024×0.5=512元.故选B. 8.选BD　由题图可知该多面体有24个顶点,36条棱,故A错误,B正确;该多面体的棱长为1,且表面由6个正方形和8个正六边形组成,故该多面体的表面积为6×1+8×6××1×1×sin 60°=6+12,故C错误;每个角截去的小正四棱锥与正四棱锥E⁃ABCD的棱长之比为1∶3,则它们的体积之比为1∶27,所以截去的6个角与正八面体E⁃ABCD⁃F的体积之比为6∶(27×2)=1∶9,故该阿基米德多面体与正八面体E⁃ABCD⁃F的体积之比为8∶9,故D正确. 9.解析:因为圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形,故圆柱的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱的体积V=πr2h=2π. 答案:2π 10.解析:如图,设O1是△ABC的外心,由△ABC是面积为的等边三角形,可得AB2=, ∴AB=BC=AC=3,∴AO1=××3=.设球O的半径为R,由球O的表面积为16π,得4πR2=16π,解得R=2, ∴点O到平面ABC的距离为==1. 答案:1 11.解:(1)由∠ACO=60°,∠ABC=30°, 可得∠BAC=30°,则AC=BC=2,OC=1,OA=, 则该几何体是由一个底面半径为3,高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1,高为的圆锥后所得的.所以该几何体的体积为π×32×-π×12×=. (2)由题及(1)可得,AB=2OA=2,则该几何体的表面积为π×3×2+π×1×2+π(32-12)=(10+6)π. 12.解:(1)裁剪方法如图所示.将正方形甲按图甲中虚线剪开,以两个正方形为底面,四个小长方形为侧面,焊接成一个底面边长为2a,高为a的正四棱柱. 将正方形乙按图乙中虚线剪开,以两个长方形焊接成的边长为2a的正方形为底面,三个等腰三角形为侧面,两个直角三角形合拼成一个侧面,焊接成一个底面边长为2a,侧面三角形高为3a的正四棱锥. (2)由正方形甲裁剪焊接的正四棱柱的体积V1=(2a)2·a=4a3. 由正方形乙裁剪焊接的正四棱锥的高h==2a, 其体积V2=·(2a)2·2a=a3. 因为42-=16-=>0,即4>,所以4a3>a3,即V1>V2. 故制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大. 学科网（北京）股份有限公司 $