(1)平面向量的概念、平面向量的运算、平面向量基本定理及坐标表示-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (一)平面向量的概念、 平面向量的运算、平面向量基本定理及坐标表示 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.AC-BD+CD= A.BA B.AB C.BC D.0 2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与DE相 等的向量为 A.AB B.OF C.OE D.OD 3.已知向量a与b的夹角为3纤，a=2,a1(a十b),则b- A.1 B.2 C.2 D.√5 4.已知角a∈(0，元)，向量a=(1,V3),b=(sina,cosa),若a∥b,则tan号 A.√5 B.2 C.2-√3 D.2+√3 5.已知函数y=tan(至x-罗)的部分图象如图所示，则(Oi+o)·A它的值为 A.-4 B.4 C.-8 D.8 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形 ABCD的边长为4，圆O的半径为4√2，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动 点P在圆O上，且AP=入AB+4AD,则入十4的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论错误的是 A.若a与b都是单位向量，则a∥b B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a=b,b=c,则a=c D.(b·c)a-(a·c)b与c垂直 &设点M在△1C的边C上，且清花-（高十高-文=应，侧下 列结论正确的是 A.△ABC是等腰三角形 B.若Mi.M店=M·MC,向量A店，BC的夹角为 C.直线AM是角A的角平分线 暗+A 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知向量a=(1,1),向量b在向量a方向上的投影向量的模长为2a,且向量b在x 轴上的坐标为，则向量b的坐标可以为 .(写出一个即可) 高一同步周测卷一 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页） 10.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=1,O为AB的中点.当点P沿着BC,CD与DA 边运动时，AB·OP的最小值为 D C B 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若OA=4a-2b,OB=6a+2b,OC=2a-6b,求证：A,B,C三点共线； (2)若4a+2励与2a十b共线，求实数友的值，并指出4a+2b与2a十b反向共 线时k的取值 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 已知向量a=(3,2),b=(x,-1). (1者向量a与6的夹角的余弦值为爱，求x的值， (2)当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时，求a-b; (3)当c=(一8，一1)，a与b十c的夹角为钝角时，求x的取值范围. 13.(本小题满分20分) 如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1,e2是分别与x轴、y轴 正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+e2(x,y∈R),则把有序数对(x,y)叫做 向量OP在坐标系xOy中的坐标.试在该斜坐标系下探究以下问题： (1)设OM=(0,4),ON=(6,0),求OM·ON的值； (2)若OP=(4,8),求OP的大小； (3)已知a=(sin0,2),b=(cos0,1)(至≤≤罗)求a-b的最大值. y 净P 高一同步周测卷一 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢW ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的加减法运算 易 0.80 2 选择题 5 相等向量 易 0.72 几何法求向量的 选择题 5 易 0.70 模长 坐标法解决向量平 选择题 5 中 0.55 行问题 正切函数与向量的 5 选择题 5 中 0.45 综合 平面向量基本定理 6 选择题 5 中 0.30 的应用 平面向量的相关 选择题 6 易 0.75 概念 向量线性运算、数量 8 选择题 中 0.45 积的综合 9 填空题 5 投影向量 易 0.71 10 填空题 求数量积的最值 中 0.35 向量共线，三点共线 11 解答题 13 中 0.60 问题 利用坐标法解决向 12 解答题 15 中 0.45 量模长及夹角问题 13 解答题 20 向量的新定义题 中 0.40 叁考答案及解析 一、选择题 D,Od与D元方向不同，所以O市与D龙不相等.故选B. 1.B【解析】由题意得，AC-BD+CD=AC+C方+ 3.C DB=AD+DB=AB.故选B. 【解析】因为向量a与b的夹角为票，a-厄，a 2.B【解析】对于A,虽然A=DE,但方向不同， ⊥(a+b),则a·(a+b)=a+1 abl cos买 不满足向量相等的条件，所以AB与DE不相等；对于 B,D龙与O求方向相同，且DE=OF,所以DE=O求；对 =2+Eb·(-)=2-1b1=0,解得b=2 于C,O龙与DE方向不同，所以O龙与DE不相等：对于 故选C. 1 ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 4,C【解析】若a∥b,则有cosa-√5sina=0,即tana A龙=A下，可知四边形ADFE为菱形，如下图所示： =号，因为。∈(0，x),所以。=吾则1m号 tan8=ian(号-平) an-一tam -=3-1 1十aman .1+3 =2一√3.故选C. 5.D【解析】函数y=an(于x-受)，当y=1时，有 所以AF即为角A的角平分线；又易知AM= 于x-受=平+红(k∈Z),解得x=3+4k(k∈Z), 2高十斋)-以京A三点夷线时 当y=-1时，有牙x-艺=-平+x(∈Z),解得 以直线AM是角A的角平分线，可知C正确；没有条 件能说明△ABC是等腰三角形，即A错误；若MA· x=1十4k(k∈Z),当k=0时，结合图象可得 Mi=MA.MC,可得MA.Mi-MA.M心-MA, A(1,-1),B(3,1),则OA=(1,-1),OB= (MB-MC)=MA·CB=0,即MA⊥CB,又直线AM (3,1),AB=(2,2),所以(OA+Oi)·AB= 是角A的角平分线可知|AC=|AB,即△ABC是 (4,0)·(2,2)=8.故选D. 6.C【解析】如图： 等腰三角形，又|BC=√2|AB|,所以△ABC是等 腰直角三角形，所以向量A成，B心的夹角为3云，可得B 错误；易知 AB -.Ac 分别表示AB,AC方向的单 AB 位向量，即 AC 选择{OA,O}为基底，由A市=入A官+uAD→O市 =0,即D正确. OA=1(Oi-OA)+u(Oi-OA),因为Oi=-Oi, 故选CD, 所以OP=(入-)Oi+(1-入-)0A.因为1OA1= 三、填空题 1OB|=2√2，OA·OB=0,所以|OP12= 9.(,4一m)或(m,一4-)（答案不唯一，写出任意 一个即可)【解析】设b=(,n),则根据条件有 [(-4)Oi+(1-入-4)OA]→32=8(a-4)2十 8(1-入-u)2,整理得2（入2+2）-2（入十4）-3=0. 22=21a=a:b=mtn,即lm+m=4.从 a√2 又A2十2≥2λ以→2（入2+）≥入2十2λ以十2= 而只要b=(m,n)满足m十n=4或m+n=-4 (入十)2（当且仅当入=时取“=”）.所以（入十a)2 即可. 2(λ十)-3≤0→（入十u-3)(入+十1）≤0→-1≤ 10.一2【解析】以A为原点建立平面直角坐标系， X+≤3（当入==号时取“=”）.故选C y 二、选择题 7.AB【解析】对于A,当a与b分别为一个长度为1 的正方形相邻两边对应的向量时，它们都是单位向 量，显然两向量不平行，A错误；对于B,当b=0时， 向量a,c不一定共线，B错误；对于C,相等向量具有 传递性，C正确：对于D,[(b·c)a-(a·c)b]·c= A B x (b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,故(b·c)a 则A(0,0),O1,0),B(2,0),当点P在BC上时，设 (a·c)b与c垂直，D正确.故选AB. 点P(2,c),则AB·OP=(2,0)·(1,c)=2:当点P 8.CD【解析】根据题章设店=A市，A _=AE 在AD上时，设点P(0,b),则AB·OP=(2,0)· ABI AC (-1,b)=-2;当点P在CD上时，设点P(a,1)(0 因此AD,A即为A言，AC方向的单位向量，令AD+ <a<2),则AB.O2=(2,0)·(a-1,1)=2a-2, ·2· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 因为0<a<2,所以-2<2a-2<2,即AB.OP∈ 故当a与6十c的夹角为钝角时，则x<登且x≠5， (-2,2),综上可知，AB·OP的最小值为-2. 四、解答题 即x的取值范围为(-∞，5)U(6,婴） (15分) 11.解：(1)由OA=4a-2b,Oi=6a+2b,OC=2a-6b, 13.解：(1)依题意e·e2=|e1|1e2|cos60 得Ai=Oi-Oi=6a+2b-(4a-2b)=2a十4b, BC=QC-OB=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b =1X1x合=合 =-2(2a+4b)=-2AB, (4分) 又OM=(0,4),0=(6,0), 所以AB∥BC,且有公共点B, 所以OM=4e2,ON-6e, 所以A,B,C三点共线， (6分) 所以oi.0N=24e·e=24×号=12. (5分) (②)由4a+2h与2如十b共线. (2)因为OP=(4,8), 则存在实数入，使得4a十2仙-以（宁如十b), 所以Op=4e1十8e2, 所以OP|2=(4e+8e2) 即(4-2h)a+(号k-x刘b=0, =16e12+64e1·e十64e9 又a,b是不共线的两个非零向量，因 -80+64×7-112, -=0 所以|OP|=47. (10分) 此 告-=0 (3)由题意可知a-b=(sin,+2e)-(cos1十e2) =(sin0-cosθ)e1+e2, (12分) 解程二子或人—子。 由(1)可得，a-b (11分) =(sin 0-cos 0)+(sin 0-cos 0)+1, 所以实数k的值是士4， 令t=sin0-cos0, 当=一4时，4a十2仙与2a十b反向共线。 则1a-61=+中-√（厂+， (13分) (14分) 12.解：(1)根据题意得ab 3x-2 W26 ab√3X√/2+Π 26 又因为t=sin0-cos9=2sin(0-于)： 7 解得x=1或x=7 (5分) 且开≤K5, (2)2a-b=(6-x,5),a十2b=(3十2x,0), 由(a+2b)⊥(2a-b)可得(a+2b)·(2a-b)= 所以09吾≤受，0<sim(g-开)<号， (6-x)(3十2x)=0, 所以0≤t≤1， 由于x>0,故x=6, 又因为函数y=t十t十1在[0,1]上单调递增， 此时a=(3,2),b=(6,-1), 即t=1时，函数y=十t十1取到最大值3，(17分) 故a-b=(-3,3), 则|a-b|=√32+3=32. (10分) 即如(0-子)-竖则有0=号， (3)c=(-8,-1),b十c=(x-8,-2), 所以当0=受时，a-b的最大值为3，(20分) 由a∥(b+c),可得3X(-2)-2×(x-8)=0, 解得x=5, 由a(叶0=3（一8）-4长0，可得r<婴。 ·3