(9)随机事件与概率、事件的相互独立性、频率与概率-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (九)随机事件与概率、事件的相互独立性、频率与概率 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列试验中符合古典概型研究的试验是 A.抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B.在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 C.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 D.抽奖箱里有3个红球和4个白球，这7个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 2.设H,E,F为三个相互独立的事件，H,E,F分别表示它们的对立事件，表示“H,E,F 三个事件恰有一个不发生”的表达式为 A.H+E+F B.HEF+HEF+HEF C.HEF+HEF+HEF D.H+E+F 3.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g~501.5g之间的概率 约为 A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员 三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮 结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952 683123436730257,据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A B吉 5 C. D骨 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 5.已知a<6<0,从4个不等式@c<,②a<h,③2+名>2，@会>号巾任速2个， a 事件“所选2个不等式都不成立”的概率是 A号 c号 D.6 6.如图，某电子元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经 过反复测试，A,BC三种部件不能正落工作的耗率分别为分，子专，各个部件是否正 常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是 A B A芳 7 .函 c腊 岩 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取一 个球.事件M=“第一次取出的球的数字是1”，事件N=“第二次取出的球的数字是 2”,事件S=“两次取出的球的数字之和是8”，事件Q=“两次取出的球的数字之和是 7”,则 A.M与S互斥 B.S与Q互斥 C.N与S相互独立 D.M与Q相互独立 8.在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支 队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠 前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0 分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为弓，每场比赛结果相互独立，则在比赛结 束时 A.四支球队的积分总和可能为15分 B.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为号 C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率 高一同步周测卷九 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.袋中有黑、白围棋棋子各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出的 棋子的颜色，则此随机试验的样本点个数为 10.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算 盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上 珠)代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一 粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示 数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 M=“表示的四位数能被3整除”，N=“表示的四位数能被5整除”，则P(MUN)十 P(MN)= 档 之上珠 梁 下珠 框、 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克 牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张， (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率； (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是 否公平？为什么？ 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题 12.(本小题满分15分) 某机构有职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类） 的调查，其结果如图： 本科 研究生 35岁以下 35 35~50岁 25 b 50岁以上 4 2 (随机销取-人，是35岁以下的概率为号求a,6的值： (2)从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位研究生的概率. 13.(本小题满分20分) 甲，乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为号，甲、乙两人各投篮一 次且都命中的概率为号，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为8，且任意两次投 篮互不影响。 (1)分别计算乙、丙两人投篮一次命中的概率； (2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； (3)若乙想命中的概率不低于0.9999，则乙至少需要投篮多少次？ 参考数据：1g2≈0.3010，lg3≈0.4771. 高一同步周测卷九 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢW 9 ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 古典概型的辨析 易 0.80 2 选择题 5 事件的关系和运算 易 0.75 3 选择题 5 利用频率估算概率 易 0.72 利用随机数模拟 4 选择题 5 中 0.65 概率 古典概型与不等式 5 选择题 5 中 0.55 的综合 电路图中的概率 6 选择题 5 中 0.35 计算 互斥事件、相互独立 选择题 6 中 0.50 事件的辨析 利用相互独立事件 8 选择题 6 的概率公式解决比 分 0.30 赛问题 9 填空题 5 样本点个数的计算 易 0.72 10 填空题 概率的运算 中 0.40 11 解答题 13 游戏的公平性 中 0.60 古典概型的概率 12 解答题 15 中 0.45 计算 相互独立事件与互 13 解答题 20 中 0.35 斥事件概率的综合 ① 考答案及解析 一、选择题 球被抽中的可能性相同，故是古典概型.故选D. 1.D【解析】对于A,因为骰子各个面材质不一样，所 2.C【解析】“恰有一个不发生”是指三个事件中只有 以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概 一个不发生，同时另外两个发生，C符合题意，故 型：对于B,“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可 选C. 能性，故不是古典概型；对于C,因为各环的大小不均 3.C【解析】在所给的数据中，在497.5g~501.5g之 等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古 间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据 典概型：对于D,球的数量有限，且每次试验中，每个 ·39· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 在497.5g~501.5g之间的频率为品=0.25.用频率 S不相互独立，故C结误：对于D,因为PM)一品 估计概率，则所求概率为0.25.故选C. 4.A【解析】依题意，该运动员三次投篮恰有两次命中 言，PQ)=亮=日，P(MQ)=高=P(M0PQ,所 1 的结果有：137,271,436，共3个，所以该运动员三次 以M与Q相互独立，故D正确.故选ABD 投篮恰有两次命中的概率为是-子故选A 8.AC【解析】四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲 丁、乙丙、乙丁、丙丁.对于A,四支球队共6场比赛， 5.B【解析】取a=-4,b=-3,得a2>b2,故①错误； 例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分， 因为a<b<0,所以两边同时乘以a,得a2>ab,故② 乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为 结误：因为a<<0,则2>0，号>0，所以名十合 b 15分，故A正确；对于B,每场比赛中两队胜、平、负 2√会·云=2，当且仅当a=6时取等号，显然等号 的概率都为号，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 无法取得，放③正确：因为a<b<0,所以<1<号 (兮)广×2X号×号-兰，故B带误，对于C若甲胜 乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、 故④错误，故四个命题中有一个是正确的，设事件“所 乙、丙各得4分，丁得3分，出现三支球队积分相同且 选2个不等式都不成立”为事件A,则从4个不等式 和第四支球队积分不同的情况，故C正确；对于D,丙 中选2个的所有可能结果有：①②，①③，①④，②③， 队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， ②④，③④，共6个，其中事件A包含的结果有：① ②，①①，@④，共3个，所以P(4)=号=子故 三队中选一队与丙比赛，丙输，概率为3×号，例如是 丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4 选B. 分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的 6.C【解析】设上半部分正常工作为事件M,下半部分 分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁 正常工作为事件N,该电子元件能正常工作为事件 已有3分，那么它们之间的此赛无论什么情况，乙、丁 s,则P(D=(1-吉)×(1-)=号，P(M)-1 中有一人得分不小于4分，不合题意：若丙与乙、丁的 -P(M=1-号-，P(N=(1-号×)X 比赛全赢（概率是（号）)时，丙得6分，其他3人分 (1-专)9所以P(N)=1-P(N)=1号 数最高为5分，这时甲乙、甲丁两场比赛中甲不能赢， 否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输或一平一 品所以P(S)=1-P(MP(N)=1-号×品 输，①若甲一平一输，概率是2×（号），如平乙，输 岩，即该电子元件能正常工作的概率是岩故选C. 丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是号：②若甲丙场 二、选择题 7,ABD【解析】依题意从中有放回地随机取两次球， 均平，概率是（号），乙丁这场比赛无论结论如何均 则可能结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), 符合题意；③若两场甲都输，概率是（子），乙丁这场 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), 比赛只能平，概率是子综上，概率为3×号×（号） (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6),共36个结果.事件M包含的基 ×[2×()广×号+（传）+（台）×]=品 本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) 故D错误.故选AC. 共6个；事件V包含的基本事件有：(1,2)，(2,2)， 三、填空题 (3,2),(4,2),(5,2),(6,2)共6个：事件S包含的基 9.8【解析】因为是有放回地随机摸3次，所以随机试 本事件有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)共5个； 验的样本空间为2={（白，白，白），（白，白，黑），（白， 事件Q包含的基本事件有：(1,6)，(2,5)，(3,4)， 黑，白)，（白，黑，黑），（黑，白，白），（黑，白，黑），（黑， (4,3),(5,2),(6,1)共6个.对于A,显然事件M与 黑，白)，（黑，黑，黑）共8个 事件S不可能同时发生，所以M与S互斥，故A正 10.2 8 【解析】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字 确；对于B,事件S与事件Q不可能同时发生，所以S 只表示1或5，因为个位、十位、百位、千位分别随机 与Q互斥，放B正确：对于C,因为P)=希=合 拨动一粒珠子至梁上，所以所得的四位数的个数为 P(S)=磊，P(NS)=元≠P(N)·P(S).所以N与 2=16个，能被3整除的四位数，数字1和5各出现 2个，这样的四位数有：1155,1515,1551,5511， ·40· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 515,5151,共6个，所以P(M=8=冬，能被5 13.解：(1)记甲投篮一次命中为事件A,乙投篮一次命 中为事件B,丙投篮一次命中为事件C, 整除的四位数，个位数为5，则这样的四位数为： 1115,1155,1515,1555,5555,5115,5155,5515,共8 依题意，P(A)=号，P(AB)=PA)P(B)= 9 个，所以P(N=亮=合，所以PMUN)十 则P(B)=子 (3分) P(MN)=P(M)+P(N)=号+？-子 P(BC)=P(B)P(C)=18 .1 四、解答题 11.解：(1)分别用2,3,4,4'表示红桃2，红桃3，红桃4， 解得P(C)= 6: 方片4， 所以乙投篮一次命中的概率为号，丙投篮一次命中 则甲、乙抽到牌的所有情况为(2,3)，(2,4)，(2,4)， (3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4),(4,2), 的概率为。 (6分) (4,3),(4,4), (2)记甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中为事 共12种不同的情况。 (4分) (2)事件A={(2,4),(2,4),(3,4),(3,4),(4,4), 件D, (8分) (4′，4)， 则D=ABC+ABC+ABC, (6分) P(D)=P(ABC+ABC+ABC) 故PA)=是 (8分) -P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)， 、6-18 (4,3),(4',2),(4',3),共5种情况， (10分) 所以甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率为 因此甲胜的概率为品乙胜的概率为， 5 (11分) 因为品<品， (3)设乙投篮n(n∈N*)次， 所以此游戏不公平. (13分) 则至少有一次命中的概率为1一[P(B)门”=1 12.解：(1)由已知可得+35-12 (3分) (号)， (13分) 13026 解得a=50, (5分) 由1-（号）广≥0999， 故b=130-(50十35+25+4+2)=14， 则b=14. (7分) 得（号）'≤10o 1 (15分) (2)将50岁以上的6人进行编号，四位本科生为1， 两边取常用对数得n(1g2-lg3)≤-4， 2,3,4,两位研究生为5,6， 从这6人中随机抽取两人，共有15个等可能发生的 因此n≥g3-1g2≈0.4771-0.3010≈22.7144， 基本事件， (18分) 分别为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36， 则nmin=23, 45,46,56, (10分) 所以乙至少要投篮23次， (20分) 其中恰好只有一位研究生的基本事件共有8个，分 别为15,16,25,26,35,36,45,46， (13分) 故所求事件的概率为P-。 (15分) 41·