(3)平面向量的应用：余弦定理、正弦定理-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（人教A版）

高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（三） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 正弦定理的应用（已 1 选择题 易 0.80 知两角及一边) 余弦定理的应用（已 选择题 易 知三边) 0.72 余弦定理与平面向 3 选择题 5 中 0.65 量的综合 利用正、余弦定理判 4 选择题 5 中 0.55 断三角形的形状 正、余弦定理与三角 选择题 5 形外接圆的半径的 中 0.45 综合（数学文化） 解三角形与三角函 6 选择题 中 0.35 数的综合 7 三角形中的两解 选择题 6 中 0.50 问题 与三角形有关的方 8 选择题 6 中 0.35 案设计问题 正弦定理与三角形 9 填空题 5 易 0.71 面积公式的综合 解三角形的实际应 10 填空题 5 中 0.40 用一距离问题 利用正、余弦定理解 11 解答题 13 三角形，利用基本不 中 0.60 等式求最值 利用正、余弦定理解 12 解答题 15 中 0.45 多个三角形 解三角形的实际应 13 解答题 20 中 0.35 用 角度问题 ·11· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 为钝角，所以sin∠EDF=√-cos'∠EDF= /10 1A【解析】由cosA=号，得sinA-是由正孩定理 设△DEF的外接圆半径为R,由正弦定理得2R EF 13 sin Asin B,得a=sinA sin∠EDF sin B =6.故选A 丽，所以R=云故选D 3 √10 2 2.A【解析】不妨设△ABC的三边满足a<b<c,因为 6.B【解析】设∠ACD=8,则∠BCD=号-，且0< △ABC的三边之比为3：5：7，故可设a=3x,则b= 5x,c=7x,由△ABC中最大边所对的角最大，可得 晋在△ACD中，当品且D=1,则AD· △ABC的最大内角为∠C,由余弦定理可得cosC= sinA=sinA,在△BCD中，由BD =CD 2士C=92r--合，又∠C∈ si加(3-9)simB,则 2ab 2X3x×5x BD·sinB=sin(g-）,由BD=3AD=平，即 (0,x),所以∠C-号，故最大角为三故选A 3.D （sinA+3sinB)=sin0叶sin(受-0），又由正弦定 C 【解析】由余弦定理可得cosB= AB十AC-装-是所以·d 理知c=2Rsin∠ACB=√5R(R为△ABC的外接圆半 2AB·BC 2×7×5 =a1n1·eo(x-B)=-7X5× 径)，所以5R(snA+3sinB)=sin9+ 2c0s日 =-19. 故选D. 号cos0=sim(叶于)，则 4.B【解折】因为o会=6生，所以十0A 2c 2 后(2RnA+6RmB)=sm(+晋)，即e十动= 告，整理得60sA=名又由正弦定理品 b sin A sin B 后品（叶号）汉周为号<9叶子<等收当叶 3 后C得osA出是所以snC0sA=如B 受用香.a十的…后-8华故 6 sin(A十C)=sin Acos C+cos Asin C,则sin Acos C= 二、选择题 0,又A∈(0，π)，所以sinA≠0，则cosC=0,又C∈ 7.ABD【解析】易知A,B,C∈(0°，180°)，A+B+C= (0,),所以C=受，则△ABC为直角三角形.故选B, 10,对于A由正孩定理可知5nA=号snB=号 5,D【解析】因为AB的中点为D(1,2),AC的中点 为E(0,1),BC的中点为F(3,3),所以△ABC的九 ∈（竖，）由正弦函数的图象与性质可得5<A 点圆是△DEF的外接圆，DE=√2，DF=√5，EF= <60°或120°A<135°，又a>b→A>B,则A有两个 i,os∠EDF=2+513=-3,则∠ED5 2X2X5√10 解，即A正确：对于B,同上sinB=名nA=号∈ a ·12· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· (分，号)，则30<B<45或135<B<150,又a<6 BCsin B 4大③ 2 AC =1,又A∈(0°，180°)，所以A= 25 →A<B,则B有两个解，即B正确：对于C,同上得 sin cC-sin B-sin 50<sin 50,C<B 90故C=30c0sC=号sC=号，所以S=号AC →C<50°，故C只有一解，即C错误：对于D,如下图 ·BC·sinC=号×25×4X号=25， 所示，AD1C,则易知AD=25sin2g<空<13< 10.100√15【解析】由题意，∠DCB=30°，∠CDB= 60°，所以∠CBD=90°，所以在Rt△CBD中，BD= 25,即此时有两解，即D正确.故选ABD. 号CD=30,BC=9cD=305,又∠DCA=75. 2 ∠CDA=45°，所以∠CAD=60°，在△ACD中，由正弦 25 定理得-0，所以AC-增×9- CD /3 2 23 2 B D B' 8.ACD【解析】对于A,由题意得CD=100m, 2006,在△ABC中，∠ACB=∠ACD-∠BCD=75 ∠BCD,∠BDC,故由正弦定理求得CB,从而再解 -30°=45°，由余弦定理得AB=AC+BC-2AC· Rt△ABC求得AB=BCtan∠ACB,故A正确；对于 BC·cos∠ACB=(200√6)+(300√/5)2-2×200√6 B,由题意得CD=100m,∠ACB,∠BCD,∠ACD四 ×30v5× =150000,所以AB=100V15. 个条件，在△BCD中，已知CD=100m,∠BCD,三 四、解答题 角形形状不确定，即无法确定其他边和角，而 11.解：(1)因为(a+b)2=c2+3ab, ∠ACB,∠ACD分别在△ABC,△ACD中，也无法确 所以a2+b2-c2=ab, (3分) 定其他的边和角，因此无法通过解三角形求得AB, 故B错误；对于C,由题意得CD=100m,∠ACD, 由余弦定理得cosC=Q十B-c=ab=1 2ab 2ab2, ∠ADC,在△ACD中，由正弦定理求得AC,从而再 (4分) 解Rt△ABC求得AB=ACsin∠ACB,故C正确；对 因为C∈(0，π)，所以C= 3 (6分) 于D,可设AB=h,利用∠ACB=和∠ADB,分别 6 (2)由(1)可知a2+b2-c2=a2十b2-3=ab, 表示出BC,BD,然后在△BCD中，结合∠BCD和 所以(a+b)2-3=a2+b2+2ab-3=3ab≤ CD,利用余弦定理列出关于h的方程，即可求得h,D 3(a十b),当且仅当a=b=B时取等号， (9分) 4 正确.故选ACD. 所以a十b≤23，所以a十b十c≤3√5， 三、填空题 即△ABC周长的最大值为3√3， (13分) ,2√5【解析】在△ABC中，B=60°，AC=2V3, 12.解：(1)因为2sinA十sinB=C sin 2B b BC=,由正孩定理得品%所以血A= 则由正弦定理可得2sinA十sinB_sinC sin 2B sin B' (2分) ·13· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 由倍角公式可得2sinA十sinB=sinC 可知AP+CM=AC,则CM⊥AB, (13分) 2sin Bcos B sin B' 可知AC=BC,AM=MB=√3， 2sin A=2cos Bsin C-sin B, 所以AB=2AM=2√5. 又因为A+B十C=π， (15分) sin A=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 若选择③：CM为△ABC的高线， 所以2 sin Bcos C+2 cos Bsin C=2 cos Bsin C- 则∠CMA=∠BMC=受， sin B, 则AMP=AC-CMP=3, 即(2cosC+1)sinB=0. (5分) 即AM=5,则∠BAC=若， (12分) 且B∈(0，π)，则sinB≠0， 可得cosC=一之， 1 (6分) 则∠ABC=音， 可知AC=BC,AM=MB=√5， 又因为C∈(0，π)，所以C= 3 (7分) 所以AB=2AM=2√3. (15分) 又A=若，所以B=元-A-C=否=A, 13.解：(1)连接BD, 所以△ABC是等腰三角形， (8分) :D点位于A哨所北偏东30°方向20 n mile处， (2)若选择①：CM为△ABC的中线， .∠BAD=90°+30°=120°，AD=20, (2分) 设AM=BM=x(x>0), AB=20, 由余弦定理可得cos∠CMA= x2+1-4 .BD=√AD+AB-2AD·ABcos120=20√3， 2x (3分) cos∠CMB=+1-BC (11分) :AB=AD,∠ABD=∠ADB=30°， (4分) 因为∠CMA+∠CMB=π， :E点位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处， 可得cos∠CMA十cos∠CMB=0, (12分) .∠DBE=90°-30°+30°=90°， (5分) 即+1-4++1-BC=0 ∴.DE=√BD+BE=405, (6分) 2x 2x 整理得BC=2x2-2>0,可知x>1, ÷0=40,5=105 n mile/h, (7分) 4 又因为cos∠ACB=2+BC-4x 1 2, .走私船的速度大小为l0√3 n mile/h. (8分) 2×2XBC 解得x2=3,即x=1, 所以AB=2x=2V3. (15分) 若选择②：CM为△ABC的角平分线， 则∠ACM=∠BCM=号， 在△ACM中，由余弦定理得A=22+1-2×2X (2)连接CE, 1X号=3，即AM=5, 设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t, ·14· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· BE=60,BC=30,∠CBE=60°， 即900t=2700+300t-2×30√3×10√5· ∴.CE=√BE+BC-2BE·BCcos60=30√5， tcos120°， :BE=BC+CE,.∠BCE=90°，∠BEC=30°， 化简得2-3t-9=0, :在R△BED中，am∠BED-C-, BE=3 解得1=一子（舍去）或1=3， (16分) ∴.∠BED=30°，∴.∠CEF=120°， 此时CE=EF=30√5， :走私船速度为10√3 n mile/.h,缉私船速度为 ∠ECF=30°， (18分) 30 n mile/h, ∴.缉私船沿北偏西30方向行驶，3小时后即早上8 ∴.EF=10V3t,CF=30t, (12分) 点15分可截获走私船. (20分) 在△CEF中，根据余弦定理得CF=CE十EF 2CE·EFcos120°， ·15·高一同步周测卷/数学必修第二册 (三)平面向量的应用：余弦定理、正弦定理 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,且c0sA=号，B=号b=55,则 a= A.6 B.√6 C.8 D.2√2 2.已知△ABC的三边之比为3：5：7，则最大角为 A等 R妥 c.晋 n没 3.已知在△ABC中，AB=7,BC=5,AC=6,则AB·BC的值为 A.19 B.-14 C.-18 D.-19 4.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若cos合S,则△ABC的形状为 22c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 5.数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂 足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作 欧拉圆.已知在△ABC中，A(一2,0)，B(4,4),C(2,2),则△ABC的九点圆的半径为 A.10 3 B.30 3 C.0 2 D.30 2 6.已知△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,D是AB上的四等分点（靠近点 A),且CD=1,∠ACB=苓，则a+3b的最大值为 A.82 B.83 C.2√3 D.4√3 3 3 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列选项中，三角形有两解的是 A.a=14,b=7√3，B=459 B.a=15,b=20,A=309 C.b=47,c=38,B=50° D.b=25,c=13,C=239 8.石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如图1示.现某中学数 学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图2所示，A为电视 塔的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在世纪公园上(B在同一水平面内)选取C,D 两点，测得CD的长为10m小组成员利用测角仪已测得∠ACB=晋，则根据下列各组中 的测量数据，能确定计算出电视塔高度AB的是 A.∠BCD,∠BDC B.∠BCD,∠ACD C.∠ACD,∠ADC D.∠BCD,∠ADB D 图1 图2 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知在△ABC中，B=60°，AC=2√3，BC=4,则cosC= ,△ABC的面积 S- .(本题第一空2分，第二空3分) 10.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合 的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和 无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间 的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平 方向飞行600米到点D,此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A,B,C,D 在同一铅垂面内)，则A,B两点之间的距离为 米 图1 图2 高一同步周测卷三 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页）》 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=√3，且(a+b)2=c2+3ab. (1)求C; (2)求△ABC周长的最大值. 12.(本小题满分15分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,且2sinA+sinB-S sin 2B6 (1)若A=否，求证：△ABC是等腰三角形； (2)在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并进行解答. 若点M在边AB上，CM=1,且满足 ,求边长AB, ①CM为△ABC的一条中线；②CM为△ABC的一条角平分线；③CM为△ABC的 一条高线， 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20nmle处的D点出现 可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进 行标记并上报周围哨所.早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发 现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私 船，立刻命令位于B哨所正西方向30nile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉 私船速度大小为30 n mile/h.(假设所有船只均保持匀速直线航行) (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出截获走私船的具体时间. B 高一同步周测卷三 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）