(10)基本立体图形、直观图-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（北师大版）

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 棱锥的结构特征 易 0.80 选择题 5 多面体的结构特征 易 0.72 3 选择题 5 旋转体的结构特征 易 0.70 4 选择题 5 圆柱中的计算 中 0.55 5 选择题 5 圆台中的计算 中 0.45 棱锥与球的相接 6 选择题 5 中 0.30 关系 7 与直观图有关的 选择题 6 易 0.75 概念 与正方体有关的操 8 选择题 6 中 0.35 作题 9 填空题 5 斜二测画法的应用 易 0.71 10 填空题 5 正方体的截面问题 中 0.55 斜二测画法画直 11 解答题 13 中 0.60 观图 正棱台、正棱锥的相 12 解答题 15 中 0.45 关计算 13 解答题 20 圆锥与函数的综合 0.30 春考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】如图可得三棱柱ABC-ABC1中，截去 B 三棱锥C一ABC后，剩余的部分是四棱锥，故选B. ·39· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 2.C【解析】如图所示，上、下底面平行，各个面都是平6.B【解析】如图，将三棱锥S一ABC补成三棱柱 行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误：正棱锥的 ABC-ABC,点S与A:重合，正三棱柱ABC一 侧面都是全等的等腰三角形，则正棱锥的斜高相等， AB1C的外接球也为三棱锥S一ABC的外接球，令 故B错误；棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四 外接球的球心为O,半径为R,记△ABC和△AB,C 边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正 外接圆的圆心分别为O和O2,其半径为r,由正弦定 确；根据棱台的特征可知，棱台是棱锥截得的，侧棱的 理得r 2sim60=1,而0为00，的中点，则00， 延长线要交于同一点，有两个面平行且相似，其他各 个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于 √3，R=√/1+(5)=2.故选B. 同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误.故 1 C ( 029 选C. 二、选择题 3.D【解析】对于A,在圆柱的上、下底面的圆周上各 7.AD【解析】斜二测画法中，平行于x轴的线段长度 取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当 不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，长度 这两点的连线平行于轴时才是母线，A错误；对于B, 不相等，A正确；空间的一个角的直规图可能成为一 以直角三角形的斜边为旋转轴，所得的几何体不是圆 条线段或一条直线，B错误：菱形的四条边相等，但相 锥，B错误；对于C,该截面必须平行于底面时，所得 等的线段在直观图中不一定相等，因此菱形的直观图 儿何体才是圆台，C错误；易知D正确.故选D 是菱形不正确，C错误；斜二测画法是一种平行投影， 4.D【解析】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆 水平放置的平行四边形两组对边在水平面上的直观 柱的底面直径为年，故圆柱的轴截面的面积为2×是 图上仍然保持平行，D正确.故选AD. 8.ABC【解析】根据所给空间几何体的形状，可得空 一受若2为底面周长，则圆往的高为4，此时圆往的 间几何体通过旋转变换放置方式可通过A,B,C,以 底面直径为2，故圆柱的轴截面的面积为4×名 任何方式均不能通过D.故选ABC 三、填空题 是放选D 9.3【解析】由已知可知原梯形OABC是直角梯形，且 5.D【解析】设小扇形的半径为xcm,则大扇形的半 OC=2,BC=1,OA=2,∠COA=90°，所以梯形 径为(x十16)cm,设圆台的上、下底面半径分别为 0ABC的面积为S=号(BC+OA)XOC-2×1+ 1,,则2m=号，2n=号(2十16)，所以 2)×2=3. 9 2π(n-1)-2红×16，所以2-=1，所以圆台的 10.8x【解析】取AB的中点N,连接MN,易得 3 3 MN∥DC,则M,N,D,C四点共面，截面即为四边 高为√16-(9)-32，m.故选D 3 形MVCD,可知四边形MNCD是一个等腰梯形， ·40· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 延长DM,CN交于点F,由几何关系可得MN为 (2)在图2中，作BE⊥A'C',E为垂足， △FCD的中位线，则DC=√2x,CN= DB-6 em./WD'E-45, VP+(分)-，MN=Dc- 之x,设梯形 i.B'E-6x3 cm. 的商为h,则A=VCN-(D,C)-Y x,所以 1 ·Saac=ZXA'C'XBE (Ex+竖 ×-号 ×12×3厄=182(cm), = 2 4 即直观图的面积为18√2cm2. (13分) 12.解：(1)如图，设上、下底面的中心分别为O,O,连 接OO,OA1,OA,过O作OE⊥A1B1,垂足为 E,过O作OE⊥AB,垂足为E,连接EE, 在正三棱台ABC-AB,C中，高OO1=3,底面边 长为A1B1=2,AB=4, 故0A=号AB=台.0A=AA=号后， 四、解答题 11.解：(1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所 则侧棱长AA-√3：+（学-子5）= 在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图1， (4分) y 又0E=25,0E-4, 则斜商E=√3+（会-号）=子 (7分) D 图1 ②画出对应的x',y轴，使∠x'D'y'=45°，在x'轴上 B 取点A',C,使DA'=DA,D'C'=DC, 在y轴上取点B',使D'B'=2DB, ③连接A'B',CB',则△A'B'C'即为△ABC的直观 (2)(i)因为四边形ABCD是正方形，且面积为4， 图，如图2. (6分) 所以该正方形的边长为2， 1 则OB=DB=号√AD+AB-E, B 在Ri△SOB中，SO=√SB-OB=√9-2=√7. C D E (12分) 图2 (ⅱ)因为侧面是全等的等腰三角形，且M为棱BC ·41· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 的中点， 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM, 所以SM⊥CB, 可得AM=√x2+16(0≤x≤4)， 在Rt△SMB中，SM=√SB-MB 所以f(x)=AM=x2+16(0≤x≤4). (10分) =W9-I=22. (15分) (2)绳子最短时，在展开图中过S作SR⊥AM,垂足 13.解：(1)将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图 为R, 所示， 则S的长度为顶点S到绳子的最短距离， 在△SAM巾，Sw=2SA·SM=AM:SR, M 所以SR=SA,SM=4z R AM V+后(0≤x≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为√ 4x (0≤x≤4). (16分) 则该图为扇形，且弧AA'的长度L就是底面圆O的 (3)因为f(x)=x2+16在[0,4]上是单调递增 周长， 函数， 所以L=2πr=2元 所以f(x)的最大值为f(4)=32. (20分) 所以∠ASM=-华-受 (5分) ·42·高一同步周测卷/数学必修第二册 (十)基本立体图形、直观图 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.在三棱柱ABC一A1B,C1中，截去三棱锥C1一ABC后，剩余的部分是 A.五棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 2.下列命题中，正确的有 A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.正棱锥的斜高可能不相等 C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 3.下列关于空间几何体，说法正确的是 A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线一定是圆柱的母线 B.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋 转体叫做圆锥 C.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的几何体叫做圆台 D.圆锥的轴截面是等腰三角形 4.已知一个圆柱的侧面展开图是长为4、宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为 A.32 B c. D.2 5.中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把 折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为号x,上板长为16cm若把该扇面围成 一个圆台，则圆台的高为 扇面 A.282 3 cm B.10√2cm C.10/3cm D.322 3 cm 上板 小骨犬骨 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.已知三棱锥S一ABC的底面是边长为√3的正三角形，SA⊥平面ABC,且SA=2√3， 则该三棱锥的外接球的半径为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列说法正确的是 A.相等的线段在直观图中可能不相等 B.一个角的直观图仍是一个角 C.菱形的直观图仍是菱形 D.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形 8.某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力. 一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm 的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为 A B D 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图是一梯形OABC的直观图，若其直观图为梯形OA'B'C', 且OA'=2OC'=2B'C'=2,则梯形OABC的面积为 C 高一同步周测卷十 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页）】 10.已知正方体ABCD一A1B,C1D1的棱长为x,点M是棱AA,的中点，过C,D1,M三 点作正方体的截面，则该截面的面积为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示，在△ABC中，AC=12cm,AC边上的高BD=12cm. (1)画出水平放置的△ABC的直观图； (2)求直观图的面积. D 12.(本小题满分15分) (1)已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和 斜高； (2)如图，已知正四棱锥S一ABCD的底面是面积为4的正方形ABCD,侧面是全等 的等腰三角形，一条侧棱长为3，M为棱BC的中点，O为底面正方形ABCD的 中心. (ⅰ)求四棱锥的高SO; (i)求四棱锥S一ABCD的侧面三角形底边上的高SM. D2 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 如图所示，已知在圆锥中，底面半径r=1,母线长1=4，M为母线SA上的一个点， 且SM=x,从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： (1)绳子最短长度的平方f(x); (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值. 高一同步周测卷十 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)