(8)同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (八)同角三角函数的基本关系、两角和与差的 三角函数公式、二倍角的三角函数公式 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=cos2x+sin2x的最小值是 A.√2 B.-√2 C.2 D.-2 2.已知tana=2,则sin2a十sin2a A.1 B. c D.S 3.已知sin asin-号osa-B)=号则cos(a十8)= A.-司 B号 c D.- 23 25 4.已知a=十tan18 i-tan18,b=2cos233°-1，c= /1+cos56 ,则 A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 5.在△ABC中，若sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB,则△ABC的形状一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知0<<a<受，点P(1,45)为a终边上一点，且sin asin(5-)十cosa· 3√3 A.1 B晋 C. D. 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.计算下列各式，结果为3的有 A.4√3sin15°cos159 B.c0s215°-c0s275° C 中照阁 8.已知a∈(0，r),且sina十cosa=5,则 A<a B.sin 2a=- 24 25 C.tan a=- 3 4 D.cos a-sin a=- 5 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若cosl=号经<0<3x,则sim号 c0s2 .(本题第一空 2分，第二空3分) 10.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是 很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适.“黄金九宫格”是黄 金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4 个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A,B,C,D表示黄金分割点.若照片长、宽 比例为4：3，设∠CAB=a,则十cos2-tana= sin 2a D a ⊙ 高一同步周测卷八 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 尼知sma=号osg-)侣且a∈o》9E(侵x小 √/5 (1)求cos2a,sin2a; (2)求α+β. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin2xcos9-cos2 rsin,其中|<乏，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知条件，使f(x)存在，并完成下列两个问题. (1)求o的值： (2)若m>0,函数f(x)在区间[0，m]上的最小值为一号，求实数m的取值范围。 条件①：对任意的x∈R,都有f(x)≤f)成立： 条件@：（任）=： 条件③：f)-f-否)=2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 如图，有一块半径为1，圆心角为的扇形木块OMN,现要分割出一块矩形ABCD, 其中点A,B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN. (1)若点A,B分别为弧MN的两个三等分点，求矩形ABCD的面积S; (2)设∠AOM=0(0<<T),当0为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为 多少？ D 一同步周测卷八 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（八） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 辅助角公式的应用 易 0.80 2 选择题 利用弦切互化求值 易 0.75 和差角的余弦公式 3 选择题 5 易 0.72 的应用 三角变换与比较大 4 选择题 5 中 0.55 小的综合 利用三角恒等变换 5 选择题 5 中 0.45 判断三角形形状 三角恒等变换知式 6 选择题 5 中 0.30 求角 选择题 三角恒等变换的 6 中 0.50 考查 利用sina士cosa, 8 选择题 sin acos a间的关系 / 」 L 难 0.28 求值 9 填空题 利用半角公式求值 易 0.71 由倍角的正、余弦公 10 填空题 5 式求值（数学文化 中 0.35 题) 给值求值、给值求角 11 解答题 13 的 0.60 问题 由三角变换化简三 12 解答题 15 角函数式，由三角函 中 0.45 数的最值求参 利用三角变换解决 13 解答题 20 平面几何中的最值 / L L 」 」 难 0.25 问题 ·31· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 以△ABC为直角三角形.故选B. 1.B【解析】由题知，f(x)=cos2x十sin2x=√2sin2x 6.D【解析】由题意知|OP|=7(O为坐标原点)， +牙)，故f(x)的最小值为一巨.故选B "sin a= 45,cos=，sin in(-）+ 2.B【解析】由tana=2,得sin2a十sina= c0sa(受+p）=3 si月-co asin9= 2as6+s-2na十m-22-号 sin a+cos a tan'a1 22+1 35 14 sina-80-9,0<g<号0K。a月 故选B. <受，∴os(e-0=sma可-是sng 3.B【解析】因为sin asin B= cos(a-B)=cos acos B 1 sin[a-(a-B)]=sin acos(a-B)-cos asin(a-B)= 十insin月=计号=号，解得cosa0s9= 9×是7×9=90<受=吾故 7 号，因此，os(a十g)=-= 2 选D, 二、选择题 .A【解折】由题知，a=芒☐1=aK45十18) 7.AD【解析】对于A选项，有4√5sin15°cos15°= 2√3sin30°=√3，故A选项正确：对于B选项，有 tan63°，b=2cos233°-1=cos66°=sin24°，c +cos56=√eos28=cos28°=sin62,所以 c0s15°-c0s275°=c0s215°-sin215°=c0930°= 2 2 故B选项错误；对于C选项，有1一1am30 tan30° tan63°>tan60°=√3，sin24°<sin30°= 11 2,2 3 sin62°<1，所以a>c>b.故选A. 3 3 ,故C选项错误；对于D选项，有 2 5.B【解析】由已知得sin Ccos A十sin Ccos B=sin(B 1(T +C)十sin(A+C),所以sin Ccos A+sin Ccos B= 1+tan15° tan45°+tan15° 1-tan 15 1-tan 15Xtan 455=tan(45+15)= sin Bcos C+cos Bsin C+sin Acos C+cos Asin C, tan60°=√/3，故D选项正确.故选AD. 以sin Bcos C+sin Acos C=0,所以(sinB+ 1 sinA)cosC=0,因为A,B∈(0，π)，所以sinB十sinA 8.ABD【解析】由sina十cosa=方，得(sina十cosa) >0,所以osC=0,因为C∈(0，x),所以C=受，所 =sin'a+cos'a+2sin acos a=1+2sin acos a= 5,即 ·32· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· sin 2a=- 芸<0，放B正确：义e6(0,x),所以sina 四、解答题 >0,则cosa<0,故a为第二象限角，则cosa一sina 1.解：(1)由题意知，cos2a=1一2sima=是，(3分) <0 (cos a-sin a)=1-2sin acos a1+55 2449 因为ae(0,受)， 则cosa-sina=一 方，故D正确：由sina十cosa= 所以2a∈(0，π)， 所以sin2a>0, cosa-i如a=-子，解得sina= 1 5,cos a= 所以sn2a=个-cos2a=手 (6分) 号，则1ma=一合，故C错误：由上述得a∈ (2)由ae(0,受)e(受元) (经小汉如平-号<号=如结合y=细 可得9a(0,)十8c(受，受) 在（受，x)上单调递减，得受<a<平，放A正确.故 所以如(g-)=V广w(g0-语，9分) 选ABD. sin(a+B)=sin[2a+(B-a)]=sin 2acos(B-a)+ 三、填空题 9.-15 /10 5 5 【解析】因为受<9<3x, (11分) 1os91=，所以c0s0<0,0s9=一，因为平< 因为a+c(受，受) 号<经，所以sin号<0,0s号<0，sim号 所以a十B平 (13分) 1-cos0=3,所以sin 2 2 ，所以cos 5 12.解：(1)由f(x)=sin2 xcos o-cos2xsin9= 1+cos 0 10 sin(2x-), 5 若选条件①： 10.12 【解析】设照片长为4，宽为3，则由题意得BC 可知当x=吾时f(号)=sim(-)=1. 0.618 0.618 =3X+0.618,AB=4×1+0.618,所以 则5-9=吾+2kx,k∈Z, 2cos'a tan BC-3,所以：2-tana-2 sin gcos sin 2a 即g=晋-2kx,k∈Z, 一tana一 因为<受，所以9=否， ·33· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 故选条件①时了(x)存在，此时=吾 (7分) 又m>0, 若选条件②： 所以0Km<经， f(年)=sim(受-g)=osg=-名 所以m的取值范围为(0，] (15分) 解得g=号+2x或g=智+2，k∈乙。 13.解：(1)作OH⊥AB,垂足为H,交CD于E,连 接OB, 因为<受，所以与条件矛盾，故不选②.(7分) 若选条件③： f(g)-f(-晋)=sin(g-e)-sin(-晋-e) =sm[x-(答+p)]+sim(号+g) =sin(ξ+p）+sin(号十p）=2, 由于点A,B分别为弧MN的两个三等分点，四边形 ABCD为矩形，即A,B关于直线OH对称， 所以sin(5+g)=1, 则∠A0B=晋∠A0H=意， 则号十g=受+2km,k∈Z, 则AB=2sin是0H=cos登 (3分) 即9=否+2kx,k∈乙， 而∠M0N=受， 因为<受，可得9=晋。 故△OED为等腰直角三角形， 故条件③能使(x)存在，此时9=晋 (7分) 则OE=DE=AB=sn是， (2)由1)知，f(x)=sin(2x-晋 故EH=OH-OE=cos是-sin, (6分) 当x∈[0，m时，2z-晋∈[-吾，2m-号]， 则S=AB·EH=2sin吾cos竞-2sim是=sin晋 又f)的最小值为-名， -1+a吾 (8分) 所以可得2m一若≤x+否， (12分) (2)因为∠AOM=9(0<9<平)， 解得m< 则∠A0H=于-0(0<K于)， ·34· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 故AB=2AH=2sin(平-0），0H=cos(于-0）， =2sin(29+平）-1， (16分) OE=DE=号AB=sin(开-）， 因为0<0<子，所以子<20+无<平 故EH=OH-OE=cos(T-0)-sin(平-0） 故当20+平=受，即0=时W2sin(20+平)取最 =cos平cos0叶sin平sin9-sin于cos0叶cos牙sin0 大值√2， =√2sin9, (13分) 即当9=受时，矩形AD的面积S最大，S=E-1 则S=AB·EH (20分) =2sin(年-0）·V2sin0 =sin 20++cos 20-1 ·35·