(8)同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第二册同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (八)同角三角函数的基本关系、 两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.已知角9的终边上一点P的坐标为(1,2)，则sin(P-) A. 10 B.10 10 10 C.- D.0 2.若a为第三象限角，且sina=一 则tam号 A.-3 B.- 1 3 C.2 D.-2 3.已知a,B∈(0，元)，且tana,tanB是方程x2-6x-5=0的两根，则a十B的值为 A. B平 C. D .设a-合gr号m6年c 2tan14° /1-cos58 2 ,则有 A.ab>c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 5.在△ABC中，B=至，BC边上的高等于号BC,则cos(2026元一A)= A.30 10 B.10 10 C.-0 D. 3/10 10 10 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷· 6.如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A,B,C,D,E,F,G,H恰好可以 围成一个正八边形，设∠ACG=a,∠EBH=3,则tan(a一3)= A.-3 B.-22 C.-2√2+1 D.1-√2 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列选项正确的是 A.sin102°cos42°-c0s102cos48°= A"装= C.sin 22.5sin 67.5 D.cos75-sim275°=- 2 8.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：1一cos0为角0的正矢，记作ver sin0;1 一sin0为角0的余矢，记作cover sin0.则下列说法正确的是 A.函数)=cover sin十ver si在[至，57]上单调递增 B.若cover sin1=3,则cover sin2x-ver sin2.x= 7 ver sin x-1 C.若函数f(x)=ver sin2026x- 3 coversin(2026x+晋)，则f(x)的最小值为-2 D.ver sin()-cover sin 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 先享题·高一同步周测卷八 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知 =-2,则2sina十cos& coS(π十a) sin a-cos a 10.已知x1,x2是函数f(x)=cos3x一cos2x,x∈(0，π)的两个零点，则 x1一x2= 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知sima=7sin(g-a0)-片且e,8co,受》】 (1)求B的值； (2)求cos(2a-B)的值. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2cos2wx十√3sin2wx(w>0),其相邻两个对称中心之间的距离 为罗 (1)求函数f(x)的表达式； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)求函数f(x)在x∈[一否，号]时的值域。 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 设函数f(x)=sinx十cosx十sin xcos x. (1)若f(x)=-1. (i)求(sinx-cosx)2的值； (i)若x∈[0，π]，求x的值； (2)已知当x∈R时，sinx+cosx∈[-2，√2].设函数y=2f(x)+ (a-2)(sinx十cosx)的最小值为g(a),求g(a)的表达式及g(a)的最大值 一同步周测卷八 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 三角函数定义与差 1 选择题 易 0.80 角正弦公式的应用 2 选择题 5 利用半角公式求值 易 0.75 利用和角的正切公 3 选择题 5 易 0.72 式求角 选择题 三角变换与比较大 4 5 中 0.55 小的综合 三角形中的三角恒 5 选择题 5 中 0.45 等变换 差角公式的实际 6 选择题 5 中 0.30 应用 7 选择题 6 知角求值 √ 中 0.50 三角变换与三角函 8 选择题 数性质的综合（数学 L L 中 0.40 文化题) 9 填空题 5 弦切互化 中 0.60 和差化积公式与三 10 填空题 5 中 0.35 角函数性质的综合 给值求值、给值求角 11 解答题 13 中 0.60 问题 由三角变换化简三 角函数式，研究正弦 12 解答题 15 中 0.45 型函数的单调性与 值域 同角三角函数关系 13 解答题 20 中 0.30 与函数的综合 ·31· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 的交点为M,因为∠COB=∠AOB=平，所以∠AOC 1.B【解析】由题意，得simg=名-=25 1 5 5 cos B= √5 =受，又OC=0A,所以∠ACG=∠AC0=平，设0A 得则sm(子）=mos吾-cosn是-25 5 =a,则OB=OE=a,所以OM=MB=号a,所以 ×号-×誓-放选B ② ，则os。 tan∠EBH=tan∠EBM= 2+√2 =√2十1， 2.A【解析】a为第三象限角，且sina=一 √2 a 所以tana=1,tanB=2+l,所以tan(a-B)= =一 ，则a si号 cos2 sin受cos号 1ana-tanB=1-E-1=1-2.故选D. 1+tan atan B1+(√2+1) 1-cos a 1-(-) -3 -3.故选A sin a 3.C【解析】依题意tan atan Bi=-5,tana十tanB-=6, .tana十tanB 6 所以an(a+)=巴nan--可=1，因 为a,β∈(0，π)，又tan atan B=-5<0,所以a十B∈ (受，要），所以a十日=平故选C 二、选择题 4.D【解折】因为a=言cos5r-号in5=sm80: 7.AB【解析】对于A,sin102°cos42°-cos102°· cos5°-cos30°sin5°=sin(30°-5°)=sin25°，b= 2sin14° 0s48=m102”-42）=m60-9,故A正确： 2tan14° cos14° 2sin14°cos14° 1+tan14° 1+sin2145 cos14°+sin214 对于B巴S去温=m(2g+37)=m的 c0s214 =5,放B正确：对于C,sin2.5sin67.5=号： sin28°，c= /1-cos58 /1-(1-2sin29°) 2 sin29°，函数y=sinx在(0°，90°)上单调递增，且0° 2n2.5s2.5-sm4=×号-9放C <25°<28°<29°<90°，所以sin29°>sin28°> 错误；对于D,cos275°-sin75°=cos(2×75°)= sin25°，即c>b>a.故选D. c0s150°= 令，故D销误放选AB 5.C【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD,设 8.AD【解析】由已知有ver sin9=1-cosb,cover sin9 AD=h,BD=AD=h.BC=3h,..DC=2h,. =l-sin0,对于A,y=cover sinx+ver sinx AC=5h,∴casC=25snC=9,∴os2026i (1-sinx)+(1-cosx)=2-√2cos(x-买)，当x A)=cosA=-cos(B+C)=-coscosC+sin平 ∈[于，]时，x-于∈[0，]，此时函数y sinC=-x25+x5-D.枚选C. 2 5 2 5 10 2cos(x-交)单调递减，函数y=2-√巨cos(x 6.D【解析】连接AB,BC,CD,DE,EF,FG,GH,HA, 设线段AE与CG的交点为O,线段BH与线段AE 牙)单调递增，A正确：对于B,O心号- ver sin x-1 ·32· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 1-sin x-1 1-cos x-1 =tanx=3,cover sin 2x-ver sin 2x cos(B-a)-1-sin (B-a)53 14 =cos 2x-sin 2x=cos'x-sin'x-2sin xcos x= 所以sinB=sin(B-a十a) cos'r-sin'r-2sin rcos x 1-tan'a-2tan =sin (B-a)cos a+cos (B-a)sin a sin'x+cos'x tanx+1 -弓B错误：对于C,()=ver sin(2026x-号) (5分) +eover sin(2026a+否）=1-cos(2026x-号）十 因为Ae(0,受)，所以B=晋 (7分) 1-sim(2026x+看)=2-o[(2026x+若) （2)由1知，sina=7,c0sa- 71 号]-sin(2026x+君）=2-2sin(2026x+吾)， 故sin2a=2 sin acosa=2X号X4y5-83 7 49 则f(x)的最小值为0，C错误；对于D, 0s2a=1-2sna=1-2x(号）厂-8 (11分) ver sin(受-g）=1-cos(受-p）=1-sing= 所以cos(2a-B)=cos2 acos B-+sin2 asin B cover sin,D正确.故选AD. ×+语×9-品 (13分) 三、填空题 12.解：(1)f(x)=2cos2wx十√5sin2wx cos(-a) 9.1 【解析】 一sin&=tana=一2，则 =1+cos2wx十√3sin2wz cos(π十a) -cos a 2 sin a+1 =1+2sin(2wx+), (3分) 2sin a++cos a_ cos a 2tana十1=1. sin a-cos a sin a1 tan a-1 cos a “相邻两个对称中心之间的距离为受-子， 1 【解析】根据和差化积公式得f(x)=cos3x一 函数f(x)的周期T=红=元， 0os2z=-2an324n3242=-2sn号 解得w=1, (5分) 2 2 f(x)=1+2sin(2x+若）： (6分) sin受，则令-2sn号sin受=0，当sin号=0时，因 (2)由1)知f(x)=1+2sin(2x+) 为xE(0,x.则号∈(0，号）此时无解，当m号 令=2x+晋， =0时，因为x∈(0，)，则号∈(0，受)，则号= .y=sint的单调递增区间为 十2km,号十 或2红，解得x=吾或=5：则|山-=管-告 2 2kπ，k∈Z, (9分) 得 四、解答题 ·-艺+2m≤2x+晋≤受+2kπ，k∈Z 11.解：(1)因为a,8c(0,) -号+km≤x≤晋+x,k∈五 所以gae(-受，受， 故f(x)的单调递增区间是[一晋十k,晋十kx 则cosa>0,cos(B-a)>0, (k∈Z) (12分) 又因为sine=7sm(g-o)-是 1 (3)由函数y=f(x)单调性可知.f()在[一晋， 所以cosa=V-sima=45, 7 吾]上单调递增，函数值从0增大到3， ·33· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 在（否，受]上单调递减，函数值从3减小到2， 令y=+at-1,t∈[-2w2]: “函数fx)在xe[-石，号]时的值域为[0,3]. 当-号≤-2，即当a>22时，函数y=t十at-1 (15分) 在[一√2w2]上单调递增， 13.解：(1)(i)令t=sinx十cosx, 所以g(a)=1-√2a, 则ms号， 由a≥22，则1-√2a≤-3， 所以g(a)≤-3： (15分) 因为f(x)=-1, 所以子+一是=1， 当-E<-号<厄，即当-2p<a<2Vp时，g(a) 解得t=-1, (4分) 所以(sinx-cosx)2=1-2 sin xcos a=2-t=1, 因为-2√/2<a<2√2， (5分) 所以g(a)∈(-3，-1]； (17分) (i)由(1)知 |sinx十cosx=-1 当-号≥E,即当a≤-2厄时，函数y=f十at-1 cos xsin x=0 sinx=0或 [cos x=0 在[-√2W2]上单调递减， 所 sin x=-1' (9分) 1c0sx=-1 所以g(a)=1十V2a, 又x∈[0，π]， 因为a≤-2√2， 所以sinx∈[0,1]， 则/sinx=0 所以1十√2a≤-3， cos =-1' 所以g(a)≤-3， (19分) 1-√2a,a≥2√2 所以x=元， (11分) (2)令t=sinx十cosx,则te[-E,WE], 综上可得，g(a)= 号-1，-2<a<2,且 所以2f(x)+(a-2)(sinx十cosx) 1+2a,a≤-22 =2(3r+t号)+(a-2)t g(a)的最大值为-1. (20分) =t+at-1, (13分) ·34·