专题04 函数与正比例函数8大题型 （期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 函数与正比例函数 题型1 函数的概念（常考点） 题型5 从函数的图象获取信息（重点） 题型2 用关系式表示变量间的关系（常考点） 题型6 正比例函数的定义（常考点） 题型3 求函数值（常考点） 题型7 正比例函数的图象（重点） 题型4 函数解析式（难点） 题型8 正比例函数的性质（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数的概念（共3小题） 1．（23-24八年级·上海青浦·期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键． 2．（22-23八年级·上海奉贤·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键． 根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查的是函数的定义，结合函数的概念可知，一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意； C．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意； D．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型二 用关系式表示变量间的关系（共4小题） 4．（24-25八年级·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（   ） A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数 C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系、函数的概念 【分析】本题主要考查函数的基本概念，熟练掌握常量与变量及函数是解题的关键；因此此题可根据题意结合函数的基本概念进行排除选项即可． 【详解】解：由圆面积公式中，可知：是常量，S与成正比例； 故选C． 5．（23-24八年级下·上海·期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ） A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据“汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离”建立函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车的速度是平均每小时80千米， ∴它行驶x小时走过的路程是80x， ∴汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是y＝100﹣80x＝﹣80x+100， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距张庄的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离是解决问题的关键． 6．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知，变量x、y满足，用x的代数式表示y得 _____． 【答案】/// 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据等式的性质进行化简即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查变量之间的关系．解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 7．（23-24八年级下·上海静安·期中）本区某住宅小区物业欲购买杨树、香樟树两种树苗共600棵，已知杨树每棵树苗40元，香樟树每棵树苗50元． (1)设购买香樟树苗为x棵，购买树苗的总费用为y元，求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)某植树队负责种植这些树苗，如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，求现计划平均每天种植树苗的棵数． 【答案】(1) (2)50棵 【知识点】用关系式表示变量间的关系、分式方程的其它实际问题 【分析】（1）根据购买树苗的费用=购买香樟树的费用+购买杨树的费用，列出关系式即可； （2）设现计划平均每天种植树苗a棵，然后 根据如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即y与x之间的函数关系式是：． （2）解：设现计划平均每天种植树苗a棵， 由题意得：， 解得，a＝50或a＝－40（舍去）， 检验：当a＝50时，， 故原分式方程的解是a＝50， 答：现计划平均每天种植50棵． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式和分式方程的实际应用，正确理解题意，列出方程和关系式是解题的关键． 题型三 求函数值（共4小题） 8．（24-25八年级下·上海·期中）已知，那么__________． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查求函数值，把自变量的值代入函数解析式进行计算即可，正确掌握函数值的求法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·上海崇明·期中）如果一次函数，那么_________． 【答案】4 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键． 根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】解：， 故答案为：4． 10．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知一次函数，则_____ ． 【答案】1 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值的求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可求出结果． 把自变量代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：1． 11．（23-24八年级下·上海·期中）函数在y轴上的截距是______． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】当x＝0时代入函数中，y的值即为函数在y轴上的距离． 【详解】解：当x＝0时代入函数时，， ∴函数在y轴上的截距是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数，解题的关键是掌握一次函数的性质． 题型四 函数解析式（共5小题） 12．（24-25八年级下·上海·期中）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查同一个函数的概念，熟练掌握同一个函数的概念是解题的关键．判断两个函数是否为同一个函数的方法：①判断两个函数的的取值范围是否相同；②判断两个函数的对应法则是否相同，由此可求解． 【详解】解：A．中取值为，中取值为全体实数， 本选项两个函数不是同一个函数； B．与中取值为，对应法则也相同， 本选项两个函数是同一个函数； C．中取值为全体实数，中取值为， 本选项两个函数不是同一个函数； D．中取值为，中取值为全体实数， 本选项两个函数不是同一个函数， 故选：B． 13．（24-25八年级下·上海·期中）某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用（元）与人数（人）之间的函数关系式________． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了列函数关系，根据25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元，列出函数关系，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为________． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查列函数解析式，理解题意，根据题中等量关系列函数解析式即可． 【详解】解：由题意，乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 【答案】(1)（） (2)厘米 (3)千克 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数解析式等，理解实际意义，能根据表格得到函数解析式是解题的关键． （1）由表格的数据，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解； （3）当时，代入解析式，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得 （）； （2）解：当时， （厘米）， 答：如果拉力是10千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：当时， ， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是13厘米． 16．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在中，点为边上的点（与，不重合），，且，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若，且，设线段为，三角形的面积为，求关于的函数解析式； (3)如图3，若，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、函数解析式、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，证明，得到，进而得到，即可得证； （2）作，同（1）得到，得到，，勾股定理求出的长，利用面积公式列出函数关系式即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）作，如图： 同（1）法可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：； （3）∵，，且，， ∴， ∵， ∴， 同（1）法可知：， 当为等腰三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴，， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 题型五 从函数的图象获取信息（共6小题） 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是函数的图象，根据图象提供的信息下列结论中错误的是（    ）    A． B．当时， C． D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，分析函数图象，根据函数图象所提供的信息即可解答． 【详解】解：当时，，即， 故A选项正确，不符合题意； 根据函数图象可知，当时，y的最大值为4，y最小值为，则， 故B选项正确，不符合题意； 当时，，即， 故C选项正确，不符合题意； 根据函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图是反映某工程队所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图像．下列说法正确的是（    ） A．该工程队每小时挖河渠米 B．该河渠总长为50米 C．该工程队挖了30米之后加快了挖掘速度 D．开挖到30米时，用了2小时 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图像的理解与运用，从函数图像上获取所需信息成为解题的关键． 先根据函数图像获取信息，然后再根据行程问题进行解答即可． 【详解】解：根据图像： A、应为该工程队平均每小时挖河渠米，故A选项不符合题意； B、不知工程完成与否，不能确定河渠总长度，故B选项不符合题意； C、应为该工程队挖了30米之后放慢了挖掘速度，故B选项不符合题意； D、开挖到30米时，用了2小时，故D选项符合题意． 故选D． 19．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）“龟兔赛跑”是一则著名的寓言故事，请完成下列问题： (1)图①描绘的场景对应图③中的点______，图②描绘的场景对应图③中的点______； (2)你认为图③中的线段与线段是否平行？请说明你的理由； (3)如果龟兔约定按照相同的规则再比赛一次，且兔龟都没睡觉兔子先到达终点，请在图④画出比赛的大致函数图像． 【答案】(1)B，D (2)不平行，理由见详解 (3)图见详解 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图像，解题的关键是理解题意； （1）根据图像及题意可进行求解； （2）根据图像可进行求解； （3）根据题意可直接画出函数图像 【详解】（1）解：图①描绘的场景对应图③中的点B，图②描绘的场景对应图③中的点D； 故答案为B，D； （2）解：线段与线段不平行；理由是因为兔子在发现自己被乌龟赶超了，速度肯定会有所提升，这样就比刚开始比赛时的速度更快，结合速度、时间和路程是成正比例关系的，速度越快，代表着直线的倾斜度也越陡，所以这两条直线是不会平行的； （3）解：由题意可得如下图像：    20．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度（米）与施工时间（时）之间的关系的部分图象，请解答下列问题．    (1)乙队在的时段内的速度是______米/时，当甲队铺了50米时，乙队铺了______米． (2)如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队，乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙队反而比甲队提前1小时完成总铺设任务．求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？ 【答案】(1)5，45 (2)提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为15米，乙队每小时铺设的长度为20米 【知识点】从函数的图象获取信息、分式方程的行程问题 【分析】（1）根据函数图象、速度路程时间，即可求得乙队在的时段内的速度和甲队在的时段内的速度，进而可知米所需的时间，推出乙队铺了多少米即可； （2）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 乙队在的时段内的速度是：（米/时）； 甲队在的时段内的速度是：（米/时）， 当甲队铺了米时，时间（时）， 则乙队铺了（米）， 故答案为：，； （2）解：设提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为米，则乙队每小时铺设的长度为米，根据题意得， ， 解得，， 经检验，，，均为原方程的解，但不合题意，舍去， 提高工作效率后甲队每小时铺设的长度为米，乙队每小时铺设的长度为米． 【点睛】本题考查函数图象的应用，分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 21．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时； (2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定． 【答案】(1) (2)甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米 (3)按图象所表示的走法符合约定 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象所给的信息即可得到答案； （2）可求出乙的速度，进而求出点C的坐标，则可求出甲车在段的速度，进而可求出甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程； （3）由于甲车在段的速度大于乙的速度，那么甲、乙两组在第二次相遇后当时两车之间的距离最大，据此求出此时两车之间的距离即可得到结论． 【详解】（1）解；由函数图象可得，甲组在途中停留的时间为（小时）． （2）解：乙组的速度为（千米/小时）， 当时，乙组所走的路程为（千米）， ∴， ∴甲车在段的速度为（千米/小时）， （千米）． 答：甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米． （3）解：∵甲车在段的速度大于乙的速度， ∴甲、乙两组在第二次相遇后当时两车之间的距离最大， ∴此时甲所走的路程为480千米，乙所走的路程为（千米）， ∴两车之间的最大距离为（千米）， ∵， ∴按图象所表示的走法符合约定． 22．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如下表所示，跑步累积里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如下图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步追程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第一次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A、B、C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累积里程相等，求a的值． 【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分 (2)5分 (3)42.5 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键． （1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分， ∴档速度为米/分， ∴档速度为米/分； （2）解：小丽第一段跑步时间为分， 小丽第二段跑步时间为分， 小丽第三段跑步时间为分， ∴小丽两次休息时间的总和分； （3）解：由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分） ∴， 解得：． 题型六 正比例函数的定义 （共6小题） 23．（24-25八年级下·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数定义的应用，根据各个选项中的说法，利用学过的数学知识得到变量之间的关系式，判断它们的函数关系是否是正比例函数关系即可得到答案．读懂题意，判断变量之间是否满足正比例函数关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、正方形的面积与边长的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B、从甲地到乙地距离固定为，所用的时间和行驶速度的关系是，不是正比例关系，故选项不符合题意； C、圆的面积与它的半径的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D、等边三角形的周长和边长的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； 故选：D． 24．（24-25八年级·上海奉贤·期中）下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数，理解相应函数的意义和相应的关系式是正确判断的前提． 分别得出四个问题中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数的个数即可． 【详解】解：（1）圆的周长C与半径R之间的关系为：是正比例函数； （2）正方形的面积S与边长a的关系为：不是正比例函数； （3）速度一定，路程S与时间t之间的关系为：是正比例函数； （4）长方形的面积一定时，长和宽的关系为：不是正比例关系； ∴是正比例函数的有（1）（3），共2个， 故选：C． 25．（24-25八年级下·上海·期中）如果函数是正比例函数，则__________． 【答案】3 【知识点】正比例函数的定义 【分析】此题主要考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数 的定义条件： 为常数且 ，自变量次数为 1． 由正比例函数的定义：可得 ，且 ，然后解答即可． 【详解】解：由正比例函数的定义可得：，且 ， 解得，； 故答案为：3． 26．（24-25八年级·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（为常数，且）叫正比例函数，列出表达式，化简即可得出答案． 【详解】解：与成正比例，且比例系数是， ， 整理可得：， 与的函数关系式为， 故答案为：． 27．（23-24八年级·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、正比例函数的定义 【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 28．（24-25八年级·上海·期中）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系 【分析】题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数与反比例函数的性质，根据题意，设，根据当时，；当时，，待定系数法求得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：； ∴关于的函数解析式为． 题型七 正比例函数的图象（共6小题） 29．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据的符号，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴它的图象经过第二、四象限． 故选C． 30．（23-24八年级·上海黄浦·期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象 【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【点睛】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线． 31．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数的性质和已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键． 32．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【答案】或 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 33．（23-24八年级下·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【知识点】正比例函数的图象 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则正比例函数的解析式为； （2）如图，过点作轴于点， ， ， 设点的坐标为，则， 的面积是， ，即， 解得或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键． 34．（23-24八年级·上海嘉定·期末）小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系． (1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； (2)当时，与之间的函数关系式是________； (3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 【答案】(1)； (2) (3)； 【知识点】正比例函数的图象、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米； （2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可； （3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程． 【详解】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了 分钟． 故答案为 ，； （2）设函数关系式为，图像过 可得：， 解得：， 所以解析式为：， 故答案为； （3）爸爸休息之后行走的速度是米分钟， 妈妈到达缆车终点的时间：分， 此时爸爸比妈妈迟到分， 妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米， 故答案为；． 【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键． 题型八 正比例函数的性质（共10小题） 35．（24-25八年级·上海黄浦·期中）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的图像．熟练掌握正比例函数的图像是解题的关键． 将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，不在正比例函数的图像上，故A不符合要求； 当时，，在正比例函数的图像上，故B符合要求； 当时，，不在正比例函数的图像上，故C不符合要求； 当时，，不在正比例函数的图像上，故D不符合要求； 故选：B． 36．（24-25八年级·上海·期中）若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质、判断点所在的象限 【分析】此题考查了正比例函数的性质和点所在象限的特征，根据正比例函数的图像在第二、四象限，，则，根据点所在象限的特征即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C 37．（24-25八年级·上海奉贤·期中）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的性质，当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，熟记正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数，y随x的增大而减小即可判断． 【详解】∵直线中， ∴y随x的增大而减小， 又∵和点是直线上的两个点,且， ∴， 故选：A． 38．（23-24八年级·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 通过点坐标求出正比例函数解析式，再计算和比较和的大小即可． 【详解】解：∵ 正比例函数图象经过点， ∴ 设函数为，代入得， ∴， ∴ 函数解析式为， ∵ 点和点在图象上， ∴，， ∵， ∴，即 ． 故选：B． 39．（24-25八年级·上海·期中）正比例函数的图象，则图象经过第_____象限． 【答案】二、四 【知识点】正比例函数的性质 【分析】此题考查了正比例函数的性质，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】解：∵比例函数的图象， ∴， ∴ ∵ ∴正比例图象经过第二、四象限． 故答案为：二、四 40．（24-25八年级·上海浦东新·期中）若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 _______． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据自变量和函数值的变化关系可得，将代入进而得到2，再解方程即可． 【详解】解：函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2， ， 将代入中， 解得： 故答案为：． 41．（23-24八年级·上海·期中）已知正比例函数的图象经过一、三象限，且经过点，则______． 【答案】1 【知识点】正比例函数的性质 【分析】先根据正比例函数的性质求出k的取值范围，再把P点坐标代入求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过一、三象限， ∴． 把代入，得 ， 解得或（舍去）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当时，的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 42．（24-25八年级·上海·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性： （1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求，先求出当时，，再根据解析式可得y随x增大而减小，则当，函数的最小值为． 【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，， ∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∴当，函数的最小值为． 43．（23-24八年级·上海黄浦·期中）已知点在正比例函数图像上，过点作轴，垂足为，若的面积为8，求的值． 【答案】的值为或 【知识点】正比例函数的性质 【分析】根据三角形的面积公式列方程求出，可得或，然后利用待定系数法分情况求出的值即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴或， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了正比例函数与几何综合，待定系数法的应用，注意分情况讨论，避免漏解． 44．（24-25八年级·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的图象 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先画出，的图象，结合，可得的图象位置，从而可得答案； （2）先设设，，，再结合图象与直线的交点位置，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，的图象在图象的上方满足， 结合图象可得：； （2）解：设，，． 如图，当时， ， ． 解得：． 如图，当时， ， ． 解得：． 综上：． $专题04 函数与正比例函数 题型1 函数的概念（常考点） 题型5 从函数的图象获取信息（重点） 题型2 用关系式表示变量间的关系（常考点） 题型6 正比例函数的定义（常考点） 题型3 求函数值（常考点） 题型7 正比例函数的图象（重点） 题型4 函数解析式（难点） 题型8 正比例函数的性质（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数的概念（共3小题） 1．（23-24八年级·上海青浦·期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·上海奉贤·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 3．（24-25八年级·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 题型二 用关系式表示变量间的关系（共4小题） 4．（24-25八年级·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（   ） A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数 C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例 5．（23-24八年级下·上海·期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（    ） A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋100 6．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知，变量x、y满足，用x的代数式表示y得 _____． 7．（23-24八年级下·上海静安·期中）本区某住宅小区物业欲购买杨树、香樟树两种树苗共600棵，已知杨树每棵树苗40元，香樟树每棵树苗50元． (1)设购买香樟树苗为x棵，购买树苗的总费用为y元，求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)某植树队负责种植这些树苗，如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，求现计划平均每天种植树苗的棵数． 题型三 求函数值（共4小题） 8．（24-25八年级下·上海·期中）已知，那么__________． 9．（23-24八年级下·上海崇明·期中）如果一次函数，那么_________． 10．（24-25八年级下·上海长宁·期中）已知一次函数，则_____ ． 11．（23-24八年级下·上海·期中）函数在y轴上的截距是______． 题型四 函数解析式（共5小题） 12．（24-25八年级下·上海·期中）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·上海·期中）某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用（元）与人数（人）之间的函数关系式________． 14．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为________． 15．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）一根弹簧的长度为10厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过10），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的长度（（厘米）） … (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式及函数的定义域 (2)如果拉力是10千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是13厘米？ 16．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在中，点为边上的点（与，不重合），，且，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若，且，设线段为，三角形的面积为，求关于的函数解析式； (3)如图3，若，当是等腰三角形时，求的值． 题型五 从函数的图象获取信息（共6小题） 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是函数的图象，根据图象提供的信息下列结论中错误的是（    ）    A． B．当时， C． D．当时，y随x的增大而增大 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图是反映某工程队所挖河渠长度（米与挖掘时间（时之间关系的部分图像．下列说法正确的是（    ） A．该工程队每小时挖河渠米 B．该河渠总长为50米 C．该工程队挖了30米之后加快了挖掘速度 D．开挖到30米时，用了2小时 19．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）“龟兔赛跑”是一则著名的寓言故事，请完成下列问题： (1)图①描绘的场景对应图③中的点______，图②描绘的场景对应图③中的点______； (2)你认为图③中的线段与线段是否平行？请说明你的理由； (3)如果龟兔约定按照相同的规则再比赛一次，且兔龟都没睡觉兔子先到达终点，请在图④画出比赛的大致函数图像． 20．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度（米）与施工时间（时）之间的关系的部分图象，请解答下列问题．    (1)乙队在的时段内的速度是______米/时，当甲队铺了50米时，乙队铺了______米． (2)如果铺设的彩色道砖的总长度为150米，开挖6小时后，甲队，乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时比甲队多铺5米，结果乙队反而比甲队提前1小时完成总铺设任务．求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少米？ 21．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时； (2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？ (3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定． 22．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如下表所示，跑步累积里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如下图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步追程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第一次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A、B、C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累积里程相等，求a的值． 题型六 正比例函数的定义 （共6小题） 23．（24-25八年级下·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 24．（24-25八年级·上海奉贤·期中）下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（24-25八年级下·上海·期中）如果函数是正比例函数，则__________． 26．（24-25八年级·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 27．（23-24八年级·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 28．（24-25八年级·上海·期中）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 题型七 正比例函数的图象（共6小题） 29．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 30．（23-24八年级·上海黄浦·期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________． 32．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 33．（23-24八年级下·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 34．（23-24八年级·上海嘉定·期末）小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系． (1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； (2)当时，与之间的函数关系式是________； (3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 题型八 正比例函数的性质（共10小题） 35．（24-25八年级·上海黄浦·期中）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（       ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级·上海·期中）若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 37．（24-25八年级·上海奉贤·期中）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D．无法判断 38．（23-24八年级·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 39．（24-25八年级·上海·期中）正比例函数的图象，则图象经过第_____象限． 40．（24-25八年级·上海浦东新·期中）若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 _______． 41．（23-24八年级·上海·期中）已知正比例函数的图象经过一、三象限，且经过点，则______． 42．（24-25八年级·上海·期中）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)若，求函数的最小值． 43．（23-24八年级·上海黄浦·期中）已知点在正比例函数图像上，过点作轴，垂足为，若的面积为8，求的值． 44．（24-25八年级·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． $