专题03 三角形的有关概念与三角形的内角和8大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03 三角形的有关概念与三角形的内角和 题型1 构成三角形的条件（常考点） 题型5 与平行线有关的三角形内角和问题（重点） 题型2 确定第三边的取值范围（常考点） 题型6 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型3 三角形三边关系的应用（常考点） 题型7 三角形内角和定理的应用 （难点） 题型4 三角形的高与中线的应用（重点） 题型8 三角形的外角的定义及性质 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 构成三角形的条件（共4小题） 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 题型二 确定第三边的取值范围（共4小题） 5．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）若的两边长分别为2和9，则第三边的长可能是（   ） A．14 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； ∴第三边的长可能是9； 故选C． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，再解不等式即可．解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 题型三 三角形三边关系的应用（共4小题） 9．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，进而得到三角形的周长的范围，判断即可． 【详解】解：∵三角形的两边长为2和5， ∴第三边x的长度范围是，即， ∴这个三角形的周长a范围是，即，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 10．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解的应用 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 11．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 12．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 题型四 三角形的高与中线的应用（共7小题） 13．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为________cm． 【答案】6 【知识点】点到直线的距离、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算、点到直线的距离．作于，先求出，再结合点到直线的距离的意义即可得解． 【详解】解：如图，作于，    的面积等于，， ，即， ， ， 点到直线的距离为， 故答案为：6． 14．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段_______．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据即可求出的值． 【详解】解：在中，，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟知直角三角形的面积公式是解答此题的关键． 15．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答： （1）作边AB上的高CD； （2）过点D作直线BC的垂线，垂足为点E； （3）点B到直线CD的距离是线段____________________的长度（不要求写画法，需写出结论） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BD． 【知识点】画三角形的高、点到直线的距离 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到直线的距离即可得出点B到直线CD的距离是线段BD的长度． 【详解】解：（1）如图，线段CD即为所求； （2）如图，线段DE即为所求； （3）点B到直线CD的距离是线段BD的长度． 故答案为：BD． 【点睛】本题考查作图-基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义． 17．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【答案】(1)见解析 (2)MB (3)见解析 (4)CH 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）根据三角形的高的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （3）如图，线段即为所求； （4）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：．    【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型． 18．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积、点到直线的距离 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积、画垂线、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点E，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题（共4小题） 20．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 21．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么__________． 【答案】/28度 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与平行线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 综上：边恰好与边平行，t的值为或 故答案为：10.5或28.5 23．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）已知．      (1)如图（1）如果平分，平分，请说明的理由； (2)如图（2）如果，试探索与仍然相等吗？为什么？ (3)如图（3）如果，请直接写出，与之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答； （3）根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ， 设、相交于，则，    ； （2）解：，理由如下：    连接，由（1）可知， 若， 则：， ， ； （3）解：，理由如下： 过点G作，过点H作，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题（共6小题） 24．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 25．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．角平分线的定义求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是______． 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再求出的度数即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 【答案】垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理； 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线定义等知识，根据垂线的定义得出，根据三角形外角的性质并结合已知求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，（垂线的定义） ，（三角形外角的性质）， ， 是的角平分线， ， （三角形内角和定理）， ． 故答案为：垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理；． 29．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 题型七 三角形内角和定理的应用 （共10小题） 30．（24-25七年级下·上海·期中）满足下列条件的中，不可能是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理逐项分析即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，， ∴，，，故是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴，，故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，，故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 31．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 先由三角形内角和定理得到，由平行得到，而，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 32．（24-25七年级下·上海崇明·期中）在中，，，则的度数为________． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形三个内角的和是．根据已知条件和三角形的三个内角的和是求出答案即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 34．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在中，为边上的高，，，则___________ 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是，分类讨论思想是解题的关键．分两种情况画出相应的图形，再根据三角形的高以及内角和定理可求出的度数，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵为边上的高， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图2，∵为边上的高， ∴， 又∵ ∴， ∴； 故答案为：或． 35．（24-25七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当为的时；当为时；当角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可． 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 36．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 【答案】62、70、110、118 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，三角形内角和定理，熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．根据旋转后的一边与原三角形的一边进行分类讨论，并画出图形，再结合平行线的性质求解． 【详解】解：令绕点A逆时针旋转后的对应三角形为（其中点B对应点为M，点C对应点为N）， 当时， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， 在中，∵，， ∴， 由旋转可知：， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为， 综上所述，旋转角或或或． 故答案为：或或或． 37．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，． (1)点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______． (2)求证平分． 【答案】(1)； (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、点到直线的距离、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形内角和定理，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过直线外一点作直线的垂线，该点与垂足的连线段的长度叫做该点到该直线，据此可得答案；根据三角形中线平分三角形面积可得，再证明得到，据此可得答案； （2）根据三角形内角和定理可得，，再导角证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴点B到直线的距离是线段的长度； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积的比值是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分． 38．（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线．熟练掌握三角形内角和定理，平行线性质，“平面镜反射光线规律”，是解题的关键． （1）利用平面镜反射光线的规律知，，根据平行线性质得，得，由三角形的内角和可知，； （2）根据平行线性质得，根据光反射性质得，得，由三角形的内角和得，； （3）根据，，，得 ，即得． 【详解】（1）解：由题知，， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题知，， ， 又， ， 即， ∴， 故的度数为； （3）解：如图， 由题知，，， 又， ， ． 故答案为：． 39．（24-25七年级下·上海闵行·期中）在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 【答案】(1)①；②10秒或15秒 (2)6或9或42或45 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①先由平角的意义求出，再对由三角形内角和定理即可求解； ②分两种情况讨论：当和，作出图形，根据旋转的性质以及平行线的性质进行角度和差计算求出旋转角即可； （2）设旋转时间为秒，由题意得，，，然后分四种情况讨论，当当时，得到；当时，得到；当时，得到；当时，得到，分别建立起关于时间的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， ∴（秒）； 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴（秒）， 综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行； （2）解：设旋转时间为秒，由题意得，，， 当时， 则， ∵， ∴ 解得：； 当时， ∴， ∵ ∴， 解得：； 当时， 则， ∵， ∴， 解得：； 当时， 则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差计算，以及一元一次方程的应用，难度较大，注意分类讨论思想的应用， 题型八 三角形的外角的定义及性质（共10小题） 40．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的高的概念，三角形内角和定理，外角性质分别判断即可． 【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意； B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意； C、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的内角和与三角形形状无关，因为始终为180度，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 41．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 42．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 43．（24-25七年级下·上海宝山·期中）根据图中的数据，可得的度数为_________________． 【答案】/50度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 44．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．那么________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了本题主要考查了三角形内角定理、三角形外角的性质，首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 45．（24-25七年级下·上海·期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，分两种情况讨论，由平行线的性质可求解． 【详解】解：由已知可得，，， 分以下两种情况讨论： 当与相交于点E时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与相交于点F时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 46．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 【答案】/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 47．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 【答案】， 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形中，一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，据此先求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：∵． ∴， ∵， ∴． 48．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据推理过程结合图形解答即可； （2）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，推出，由（1）知，即可证明． 【详解】（1）证明：（已知）， 又（平角的定义）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 49．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80. $专题03 三角形的有关概念与三角形的内角和 题型1 构成三角形的条件（常考点） 题型5 与平行线有关的三角形内角和问题（重点） 题型2 确定第三边的取值范围（常考点） 题型6 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型3 三角形三边关系的应用（常考点） 题型7 三角形内角和定理的应用 （难点） 题型4 三角形的高与中线的应用（重点） 题型8 三角形的外角的定义及性质 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 构成三角形的条件（共4小题） 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 2．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 4．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 确定第三边的取值范围（共4小题） 5．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）若的两边长分别为2和9，则第三边的长可能是（   ） A．14 B．11 C．9 D．7 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是________． 7．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 8．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 题型三 三角形三边关系的应用（共4小题） 9．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 10．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 11．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简：______． 12．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 题型四 三角形的高与中线的应用（共7小题） 13．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为________cm． 14．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段_______．    15．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 16．（23-24七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答： （1）作边AB上的高CD； （2）过点D作直线BC的垂线，垂足为点E； （3）点B到直线CD的距离是线段____________________的长度（不要求写画法，需写出结论） 17．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 18．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 19．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题（共4小题） 20．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么__________． 22．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 23．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）已知．      (1)如图（1）如果平分，平分，请说明的理由； (2)如图（2）如果，试探索与仍然相等吗？为什么？ (3)如图（3）如果，请直接写出，与之间的关系． 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题（共6小题） 24．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 26．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 27．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，垂足为点，平分，交于点，，，则的度数是______． 28．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 29．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 题型七 三角形内角和定理的应用 （共10小题） 30．（24-25七年级下·上海·期中）满足下列条件的中，不可能是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 31．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·上海崇明·期中）在中，，，则的度数为________． 33．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则________． 34．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在中，为边上的高，，，则___________ 35．（24-25七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 36．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 37．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，． (1)点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______． (2)求证平分． 38．（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 39．（24-25七年级下·上海闵行·期中）在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 题型八 三角形的外角的定义及性质（共10小题） 40．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 41．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 43．（24-25七年级下·上海宝山·期中）根据图中的数据，可得的度数为_________________． 44．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．那么________． 45．（24-25七年级下·上海·期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 46．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 47．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点O．如果，求和的度数． 48．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 49．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． $