单元培优讲义：认识方程（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年四年级下册数学北师大版

单元培优讲义：认识方程 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学们，欢迎来到方程的奇妙世界！方程就像一个神秘的“天平”，左边和右边的重量相等，而其中藏着一个我们想知道的“未知数”——它就是我们要找的“小秘密”。 学习方程，我们要学会用字母（比如x、y）来表示这个未知数，再根据生活中的数量关系列出等式，最后通过“天平平衡”的道理求出未知数。别担心，我们会从简单的例子出发，一步步探索方程的意义、解法，还有它在生活中的应用。记住，细心观察、认真思考，你一定能成为方程小侦探，解开更多数学谜题！ 知识梳理 一、方程的意义 1. 等式与方程 （1）等式：表示相等关系的式子叫做等式，例如： 、 。 （2）方程：含有未知数的等式叫做方程。例如： 、 都是方程，而 不是方程（没有未知数）。 2. 方程的条件 （1）必须是等式（有等号“=”）。 （2）必须含有未知数（通常用字母x、y等表示）。 二、等式的性质 1. 等式的基本性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 例如：如果 ，那么 ，即 。 （2）等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 例如：如果 ，那么 ，即 ；如果 ，那么 ，即 。 三、解方程 1. 解方程的意义 求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。 2. 解方程的方法 利用等式的性质，把未知数单独放在等号的一边，已知数放在另一边，从而求出未知数的值。 例如：解方程 ，根据等式性质，两边同时减5，得 ，即 。 3. 检验 把求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等，如果相等，说明解正确。 四、用方程解决问题 1. 步骤 （1）审题：理解题意，找出未知数和等量关系（即哪两个量相等）。 （2）设未知数：用字母（如x）表示未知数。 （3）列方程：根据等量关系列出方程。 （4）解方程：求出未知数的值。 （5）检验作答：检查解是否合理，写出答案。 2. 常见等量关系 （1）加法关系：如“一部分 + 另一部分 = 总数”。 （2）减法关系：如“总数 - 一部分 = 另一部分”。 （3）倍数关系：如“1倍数 × 倍数 = 几倍数”。 例题讲解 【典型例题1】 判断下面哪些是方程，哪些不是方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）（3）是方程；（2）（4）不是方程。 【解析】 （1） ：是等式，且含有未知数x，所以是方程。 （2） ：是等式，但没有未知数，所以不是方程。 （3） ：是等式，且含有未知数y，所以是方程。 （4） ：含有未知数，但不是等式（没有等号），所以不是方程。 【分析】 这道题考查方程的定义，要明确方程必须同时满足“是等式”和“含有未知数”两个条件。 【跟踪练习】 判断： 是方程。（ ） 【答案】 √ 【解析】 是等式，且含有未知数x，符合方程的定义，所以这个说法是正确的。 【分析】 只要同时满足等式和含未知数两个条件，就是方程。 【典型例题2】 解方程： 【答案】 【解析】 （1）根据等式的性质，等式两边同时加7，得： 。 （2）化简得： 。 （3）检验：把 代入原方程，左边= ，右边=15，左边=右边，所以 是正确的。 【分析】 解方程时要利用等式的性质，使未知数单独在等号一边，注意计算准确，最后要检验。 【跟踪练习】 解方程： 【答案】 【解析】 （1）等式两边同时减9： 。 （2）化简得： 。 （3）检验：左边= ，右边=20，左边=右边，正确。 【分析】 加法方程的解法是两边同时减已知数，注意检验步骤不能少。 【典型例题3】 小明有一些糖果，吃了5颗后还剩12颗，小明原来有多少颗糖果？（用方程解） 【答案】 小明原来有17颗糖果。 【解析】 （1）设未知数：设小明原来有x颗糖果。 （2）找等量关系：原来的糖果数 - 吃了的糖果数 = 剩下的糖果数。 （3）列方程： 。 （4）解方程：两边同时加5，得 ，即 。 （5）检验作答：把 代入， ，符合题意，所以小明原来有17颗糖果。 【分析】 用方程解决问题要先设未知数，再根据题意找等量关系列方程，最后解方程并检验。 【跟踪练习】 一本书的价格是x元，买3本这样的书一共花了45元，求这本书的价格。 【答案】 这本书的价格是15元。 【解析】 （1）设未知数：设一本书的价格是x元。 （2）等量关系：单价×数量=总价，即 。 （3）解方程：两边同时除以3，得 ，即 。 （4）检验： ，符合题意，所以这本书15元。 【分析】 这道题考查倍数关系的等量关系，列方程后利用等式性质求解，注意计算准确。 培优练习 一、选择题 1．表示一个不为0的数，表示的意义是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一个数的平方表示2个相同的数相乘，表示一个不为0的数，表示的意义是。 2．已知a＝b（a、b均不为0），根据等式的性质，下列式子正确的是（    ）。 A．a＋3＝b－3 B．a－2＝b C．a÷7＝b×7 D．a×10＝10b 【答案】D 【分析】解答本题，要熟练掌握等式的两个性质，并认真看清各选项，注意细节。 等式的性质1：等式的两边同时加或减同一个数，等式仍然成立； 等式的性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立；据此解答。 【详解】A．根据等式的性质1，把等式两边同时加3，可得a＋3＝b＋3，或者把等式两边同时减3，可得a－3＝b－3，所以A不成立； B．根据等式的性质1，把等式两边同时减去2，可得a－2＝b－2，所以B不成立； C．根据等式的性质2，把等式两边同时除以7，可得a÷7＝b÷7，或者把等式两边同时乘7，可得a×7＝b×7，所以C不成立； D．根据等式的性质2，把等式两边同时乘10，可得a×10＝b×10＝10b，数字和字母相乘时，乘号可以省略，其他符号不可以，所以D成立。 【点睛】本题考查等式的基本性质，理解等式的基本性质并把原等式正确变形是解答此题的关键。 3．下列式子中是方程的是（    ）。 A．43＋5＝6×8 B．0.33x－15 C．4x＋7＜40 D．5m＝17 【答案】D 【分析】含有未知数的等式叫做方程。 【详解】A．43＋5＝6×8，不含未知数，是等式，不是方程。 B．0.33x－15，含有未知数，不是等式，不是方程。 C．4x＋7＜40，含有未知数，不是等式，不是方程。 D．5m＝17，含有未知数，是等式，是方程。 是方程的是5m＝17。 4．五（1）班有男生24人，女生比男生少a人。该班有女生（    ）人。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目，女生人数＝男生人数－a，据此列式即可。 【详解】女生有：（24－a）人 五（1）班有男生24人，女生比男生少a人。该班有女生（24－a）人。 故答案为：C 5．下面4个场景中，所求问题的结果能用“6a”表示的场景有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】逐一分析四个场景，将所求问题用含字母的式子表示，再判断是否等于。 【详解】场景①：香蕉单价比苹果贵元，列式为元，不能用表示。 场景②：平行四边形面积＝底×高，列式为，可以用表示。 场景③：线段图表示加上5段等长线段，共6段，列式为，可以用表示。 场景④：总费用＝单价×总数量，列式为元，可以用表示。 综上，场景②、③、④能用“”表示。 故答案为：C 二、填空题 6．一个皮球的价钱是12元，买a个皮球应付( )元；如果一个皮球的价钱是a元，买b个皮球应付( )元。 【答案】 【分析】依据总价＝单价×数量，用皮球的单价12元乘a即可；用皮球的单价a元乘b即可。 【详解】一个皮球的价钱是12元，买a个皮球应付元；如果一个皮球的价钱是a元，买b个皮球应付元。 7．小冬家养了a只黑兔，养的白兔比黑兔只数的4倍还多2只，小冬家养了( )只白兔。当a＝3，b＝1.5时，2a－3b＝( )。 【答案】 4a＋2 1.5 【分析】根据“求一个数的几倍用乘法计算”，先求出黑兔只数的4倍，再加上多出的2只，据此用字母表示出白兔的只数；接着把已知的数值代入到对应的代数式中，按照先算乘法、后算减法的运算顺序依次计算，最终求出式子的结果。 【详解】白兔：a×4＋2＝（4a＋2）只 当a＝3，b＝1.5时 2a－3b ＝2×3－3×1.5 ＝6－4.5 ＝1.5 小冬家养了a只黑兔，养的白兔比黑兔只数的4倍还多2只，小冬家养了（4a＋2）只白兔。当a＝3，b＝1.5时，2a－3b＝1.5。 8．如果5x＋1＝21，那么7x－8＝( )。 【答案】20 【分析】先利用等式性质解5x＋1＝21求出x，再把x代入7x−8计算。 【详解】5x＋1＝21 解：5x＋1－1＝21－1 5x＝20 5x÷5＝20÷5 x＝4 当x＝4时， 7x－8 ＝7×4－8 ＝28－8 ＝20 9．教室图书角有漫画书n本，故事书的本数比漫画书的3倍少6本，漫画书和故事书一共有( )本。 【答案】4n－6 【分析】先算出故事书的本数是（3n－6）本，再加上漫画书的本数即可。 【详解】3n－6＋n＝4n－6 10．中欧班列有力地保障了中国与欧洲进出口货物贸易通道畅通，为推动“一带一路”高质量发展作出了积极贡献。一列中欧班列运输的货物中，水果有150吨，比日用品的3倍还多36吨，这列中欧班列中有日用品( )吨。 【答案】38 【分析】设日用品的重量为x吨，根据“水果重量比日用品的3倍多36吨”这一等量关系，列出方程3x＋36＝150，解方程即可解答。 【详解】解：设日用品的重量为x吨。 3x＋36＝150 3x＋36－36＝150－36 3x＝114 3x÷3＝114÷3 x＝38 这列中欧班列中有日用品38吨。 三、判断题 11．2×（x＋y）表示（x＋y）的2倍。( ) 【答案】√ 【分析】本题考查用字母表示数及乘法运算的意义。在数学中，一个表达式乘2表示该表达式的2倍。题干中“2×(x＋y)”表示将(x＋y)乘2，即(x＋y)的2倍，符合乘法定义，因此描述正确。 【详解】根据乘法运算的定义，一个数乘2表示这个数的2倍。因此，2×(x＋y)表示(x＋y)的2倍。故判断为正确。 12．4x＋5和6x＞12都含有x，所以都属于方程。( ) 【答案】× 【分析】根据方程的定义，方程是含有未知数的等式。题目中的“4x＋5”不是等式；“6x＞12”是一个不等式，也不是等式。虽然两者都含有未知数x，但均不满足方程的定义（必须是等式）。 【详解】4x＋5不是等式，6x＞12是不等式，因此它们都不属于方程，原说法错误。 故答案为：× 13．式子45＋20x中含有未知数，所以它是方程。( ) 【答案】× 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【详解】式子中含有未知数，但不是一个等式，所以它不是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 14．x＝5是方程3×（12＋x）＝48的解。( ) 【答案】× 【分析】要判断一个数是否是方程的解，需要将这个数代入方程中，计算等式左边的值是否等于右边的值。如果相等，则是解；否则不是。因此，将代入方程，计算左边的值，并与右边48比较。 【详解】将代入方程： 左边 右边 ，所以，不是方程的解。 故答案为：× 15．小刚有26本书，小智有x本书，小刚给小智5本书后，两人的书就同样多，列方程为x＋5＝26。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，小刚有26本书，给小智5本书后，小刚的书数变为26－5＝21本，小智的书数变为x＋5本；此时两人书数相等，因此正确的方程应为x＋5＝（26－5），据此判断。 【详解】由分析可得：小刚有26本书，小智有x本书，小刚给小智5本书后，两人的书就同样多，列方程为x＋5＝（26－5），原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 16．解下列方程。                    【答案】；； 【分析】根据等式的性质，方程两边同时减去3.8，再同时除以3求解； 根据等式的性质，方程两边同时除以6，再同时加上2，最后同时除以5求解； 先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以5求解。 【详解】 解： 解： 解： 17．看图列方程。 方程：________ 【答案】 【分析】根据图可知，2个篮球的价格共为2x元，一根跳绳的价格为5元，用2个篮球的价格加一根跳绳的价格等于总的价钱135元，列出方程即可。 【详解】由分析可知： 方程：。 五、解答题 18．阳阳和明明同时从自己家出发去学校，相向而行。阳阳的速度是m米/分，明明的速度是n米/分，8分钟后他们两人同时到达学校。 (1)用含有字母的式子表示阳阳家到明明家的距离。 (2)当m＝54，n＝60时，用（1）中的式子计算出阳阳家到明明家的距离。 【答案】(1)（8m＋8n）米 (2)912米 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，用阳阳的速度×8，求出阳阳8分钟走的路程；用明明的速度×8，求出明明的路程，再把阳阳走的路程＋明明走的路程，即可用字母表示出阳阳家到明明家的距离。 （2）当m＝54，n＝60时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【详解】（1）m×8＋n×8＝（8m＋8n）米 答：用含有字母的式子表示阳阳家到明明家的距离是（8m＋8n）米。 （2）当m＝54，n＝60时： 8×54＋8×60 ＝432＋480 ＝912（米） 答：阳阳家到明明家的距离是912米。 19．“歼－20”战斗机每小时行1500千米，比“复兴号”高速列车的速度的4倍还多200千米。“复兴号”高速列车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】325千米 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，设“复兴号”高速列车每小时行驶x千米，根据“复兴号”高速列车速度×4＋200＝“歼－20”战斗机速度，列出方程解答即可。 【详解】解：设“复兴号”高速列车每小时行驶x千米。 4x＋200＝1500 4x＋200－200＝1500－200 4x＝1300 4x÷4＝1300÷4 x＝325 答：“复兴号”高速列车每小时行驶325千米。 20．文文参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打完230个字，又打了15分钟才打完，平均每分钟打a个字。（共5分） (1)文文一共打了( )个字。（用含字母的式子表示） (2)当a＝42时，文文的这篇作文一共有多少个字？ 【答案】(1)15a＋230 (2)860个 【分析】（1）用每分钟打字的个数×打字的时间，再加上打完字的个数，即可解答。 （2）当a＝42时，代入求出的含有字母的式子，即可解答 【详解】（1）a×15＋230＝（15a＋230）个 （2）当a＝42时： 15×42＋230 ＝630＋230 ＝860（个） 答：文文的这篇作文一共有860个字。 21．师徒两人一起做一批零件，一共880个，师傅每小时可以完成50个零件，徒弟每小时可以完成30个零件，这批零件师徒两人几小时可以完成？（用方程解答） 【答案】11小时 【分析】设这批零件两人x小时可以完成，根据工作时间×工作效率＝工作总量，分别求出师徒的工作总量，相加为880个，由此列方程解答。 【详解】解：设这批零件两人x小时可以完成 （50＋30）×x＝880 80x＝880 80x÷80＝880÷80 x＝11 答：这批零件师徒两人11小时可以完成。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：认识方程 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学们，欢迎来到方程的奇妙世界！方程就像一个神秘的“天平”，左边和右边的重量相等，而其中藏着一个我们想知道的“未知数”——它就是我们要找的“小秘密”。 学习方程，我们要学会用字母（比如x、y）来表示这个未知数，再根据生活中的数量关系列出等式，最后通过“天平平衡”的道理求出未知数。别担心，我们会从简单的例子出发，一步步探索方程的意义、解法，还有它在生活中的应用。记住，细心观察、认真思考，你一定能成为方程小侦探，解开更多数学谜题！ 知识梳理 一、方程的意义 1. 等式与方程 （1）等式：表示相等关系的式子叫做等式，例如： 、 。 （2）方程：含有未知数的等式叫做方程。例如： 、 都是方程，而 不是方程（没有未知数）。 2. 方程的条件 （1）必须是等式（有等号“=”）。 （2）必须含有未知数（通常用字母x、y等表示）。 二、等式的性质 1. 等式的基本性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 例如：如果 ，那么 ，即 。 （2）等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 例如：如果 ，那么 ，即 ；如果 ，那么 ，即 。 三、解方程 1. 解方程的意义 求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。 2. 解方程的方法 利用等式的性质，把未知数单独放在等号的一边，已知数放在另一边，从而求出未知数的值。 例如：解方程 ，根据等式性质，两边同时减5，得 ，即 。 3. 检验 把求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等，如果相等，说明解正确。 四、用方程解决问题 1. 步骤 （1）审题：理解题意，找出未知数和等量关系（即哪两个量相等）。 （2）设未知数：用字母（如x）表示未知数。 （3）列方程：根据等量关系列出方程。 （4）解方程：求出未知数的值。 （5）检验作答：检查解是否合理，写出答案。 2. 常见等量关系 （1）加法关系：如“一部分 + 另一部分 = 总数”。 （2）减法关系：如“总数 - 一部分 = 另一部分”。 （3）倍数关系：如“1倍数 × 倍数 = 几倍数”。 例题讲解 【典型例题1】 判断下面哪些是方程，哪些不是方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）（3）是方程；（2）（4）不是方程。 【解析】 （1） ：是等式，且含有未知数x，所以是方程。 （2） ：是等式，但没有未知数，所以不是方程。 （3） ：是等式，且含有未知数y，所以是方程。 （4） ：含有未知数，但不是等式（没有等号），所以不是方程。 【分析】 这道题考查方程的定义，要明确方程必须同时满足“是等式”和“含有未知数”两个条件。 【跟踪练习】 判断： 是方程。（ ） 【典型例题2】 解方程： 【答案】 【解析】 （1）根据等式的性质，等式两边同时加7，得： 。 （2）化简得： 。 （3）检验：把 代入原方程，左边= ，右边=15，左边=右边，所以 是正确的。 【分析】 解方程时要利用等式的性质，使未知数单独在等号一边，注意计算准确，最后要检验。 【跟踪练习】 解方程： 【典型例题3】 小明有一些糖果，吃了5颗后还剩12颗，小明原来有多少颗糖果？（用方程解） 【答案】 小明原来有17颗糖果。 【解析】 （1）设未知数：设小明原来有x颗糖果。 （2）找等量关系：原来的糖果数 - 吃了的糖果数 = 剩下的糖果数。 （3）列方程： 。 （4）解方程：两边同时加5，得 ，即 。 （5）检验作答：把 代入， ，符合题意，所以小明原来有17颗糖果。 【分析】 用方程解决问题要先设未知数，再根据题意找等量关系列方程，最后解方程并检验。 【跟踪练习】 一本书的价格是x元，买3本这样的书一共花了45元，求这本书的价格。 培优练习 一、选择题 1．表示一个不为0的数，表示的意义是（    ）。 A． B． C． D． 2．已知a＝b（a、b均不为0），根据等式的性质，下列式子正确的是（    ）。 A．a＋3＝b－3 B．a－2＝b C．a÷7＝b×7 D．a×10＝10b 3．下列式子中是方程的是（    ）。 A．43＋5＝6×8 B．0.33x－15 C．4x＋7＜40 D．5m＝17 4．五（1）班有男生24人，女生比男生少a人。该班有女生（    ）人。 A． B． C． D． 5．下面4个场景中，所求问题的结果能用“6a”表示的场景有（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 6．一个皮球的价钱是12元，买a个皮球应付( )元；如果一个皮球的价钱是a元，买b个皮球应付( )元。 7．小冬家养了a只黑兔，养的白兔比黑兔只数的4倍还多2只，小冬家养了( )只白兔。当a＝3，b＝1.5时，2a－3b＝( )。 8．如果5x＋1＝21，那么7x－8＝( )。 9．教室图书角有漫画书n本，故事书的本数比漫画书的3倍少6本，漫画书和故事书一共有( )本。 10．中欧班列有力地保障了中国与欧洲进出口货物贸易通道畅通，为推动“一带一路”高质量发展作出了积极贡献。一列中欧班列运输的货物中，水果有150吨，比日用品的3倍还多36吨，这列中欧班列中有日用品( )吨。 三、判断题 11．2×（x＋y）表示（x＋y）的2倍。( ) 12．4x＋5和6x＞12都含有x，所以都属于方程。( ) 13．式子45＋20x中含有未知数，所以它是方程。( ) 14．x＝5是方程3×（12＋x）＝48的解。( ) 15．小刚有26本书，小智有x本书，小刚给小智5本书后，两人的书就同样多，列方程为x＋5＝26。( ) 四、计算题 16．解下列方程。                   17．看图列方程。 方程：________ 五、解答题 18．阳阳和明明同时从自己家出发去学校，相向而行。阳阳的速度是m米/分，明明的速度是n米/分，8分钟后他们两人同时到达学校。 (1)用含有字母的式子表示阳阳家到明明家的距离。 (2)当m＝54，n＝60时，用（1）中的式子计算出阳阳家到明明家的距离。 19．“歼－20”战斗机每小时行1500千米，比“复兴号”高速列车的速度的4倍还多200千米。“复兴号”高速列车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 20．文文参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打完230个字，又打了15分钟才打完，平均每分钟打a个字。（共5分） (1)文文一共打了( )个字。（用含字母的式子表示） (2)当a＝42时，文文的这篇作文一共有多少个字？ 21．师徒两人一起做一批零件，一共880个，师傅每小时可以完成50个零件，徒弟每小时可以完成30个零件，这批零件师徒两人几小时可以完成？（用方程解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $