单元培优讲义：认识三角形和四边形（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年四年级下册数学北师大版

单元培优讲义：认识三角形和四边形 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学们，欢迎来到图形世界的奇妙之旅！三角形和四边形就像两个性格迥异的好朋友，三角形稳重结实，四边形灵活多变。在这个单元里，我们将一起探索它们的秘密：三角形为什么有三个角、三条边，四边形又有哪些不同的模样。我们会通过动手画一画、剪一剪、拼一拼，发现它们的特征和规律，比如三角形的稳定性、四边形的易变性。别担心，这些图形就藏在我们的生活中——屋顶、窗户、地砖……只要你细心观察，就能发现数学的趣味。相信你一定能成为图形小侦探，解锁更多几何奥秘！ 知识梳理 一、三角形的认识 1. 三角形的定义 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的基本特征 （1）有三条边、三个角、三个顶点。 （2）三角形具有稳定性（不易变形）。 3. 三角形的分类 （1）按角分： ① 锐角三角形：三个角都是锐角。 ② 直角三角形：有一个角是直角。 ③ 钝角三角形：有一个角是钝角。 （2）按边分： ① 不等边三角形：三条边都不相等。 ② 等腰三角形：有两条边相等（相等的两条边叫腰，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角，两个底角相等）。 ③ 等边三角形（正三角形）：三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是60°）。 4. 三角形的内角和 三角形的内角和是180°。 二、四边形的认识 1. 四边形的定义 由四条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做四边形。 2. 四边形的基本特征 （1）有四条边、四个角、四个顶点。 （2）四边形具有易变性（容易变形）。 3. 常见的四边形 （1）长方形：对边相等，四个角都是直角。 （2）正方形：四条边都相等，四个角都是直角（正方形是特殊的长方形）。 （3）平行四边形：对边平行且相等，对角相等。 （4）梯形：只有一组对边平行（平行的两条边分别叫上底和下底，不平行的两条边叫腰）。 三、图形的拼组 1. 三角形的拼组 （1）两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 （2）两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形或正方形。 2. 四边形的拼组 （1）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 （2）长方形和正方形可以拼组成更大的长方形或正方形。 例题讲解 【典型例题1】 在三角形 ABC 中，∠A=35°，∠B=25°，则么∠C=　 　°按角分类这是　 　三角形｡ 【答案】120；钝角 【解析】【解答】解：∠C=180°-∠A-∠B=180°-25°-35°=120°， 120°是钝角，按角分类，这是钝角三角形。 故答案为：120；钝角。 【分析】三角形内角和-∠A的度数-∠B的度数=∠C的度数。 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【跟踪练习】 一张三角形纸片被撕去了一个角(如图)，这个角是　 　°，这个三角形按角分是　 　三角形。 ​​ 【典型例题2】 笑笑有两根同样长的小棒，长5dm｡如果她想用3根小棒摆成一个三角形，第3根小棒最长是多少分米(取整分米数)？奇思给了她一根小棒，结果摆成的三角形一个底角是35°｡顶角是多少度？ 【答案】解：5+5-1=9(分米) 180°-35°×2 =180°-70° =110° 答：第3根小棒最长是9分米，顶角是110°｡ 【解析】【分析】两边之差＜三角形第三边的取值范围＜两边之和。 等腰三角形顶角的度数=180°-底角的度数×2。 【跟踪练习】 妈妈给小华买了一个等腰三角形的风铃，它的一个底角是40°，它的顶角是多少度？ 【典型例题3】 在方格图中画一个等腰三角形，然后在等腰三角形中画一条线段，把等腰三角形分成一个三角形和一个梯形｡ 【答案】解： 【解析】【分析】由三条线段首尾顺次相连形成的图形是三角形；两条边相等或两个角相等的三角形是等腰三角形；一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 【跟踪练习】 在下面的方格中按要求画一画。(每格表示边长1厘米的正方形) ⑴画一个腰长是3 厘米的等腰直角三角形。 ⑵画一个一组对边是5厘米的平行四边形。 ⑶画一个一组平行边分别是3厘米和5厘米的直角梯形。 培优练习 一、选择题 1．下列图形中一定有平行线的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．梯形 D．圆形 2．一个等腰三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，则它的周长是（    ）cm。 A．17 B．15 C．13 D．13或17 3．四个黑子的位置是A（1，3），B（1，2），C（2，1），D（3，1）把四个黑子依次连接形成封闭图形，则这个图形是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．梯形 4．依次连接方格纸上A、B、C 三个点，再连接①、②、③、④中的某一个点围成四边形。要使围成的四边形是梯形，可以有（    ）种不同的围法。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．将一根20cm长的木条截成三段围成一个三角形，下列截法正确的是（    ）。 A．13cm、6cm、1cm B．10cm、3cm、7cm C．8cm、5cm、7cm D．9cm、10cm、1cm 二、填空题 6．只有一组对边平行的四边形是( )形；两组对边分别平行的四边形是( )四边形。 7．一个等腰三角形的一个底角是45°，这个三角形是( )三角形。 8．红领巾的形状，按角分类，它属于( )三角形；按边分类，它属于( )三角形。 9．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 10．下图长方形沿虚线对折，∠2＝( )° 三、判断题 11．一个顶角是70°的等腰三角形，两个底角都是55°。( ) 12．钝角三角形中没有锐角。( ) 13．用3cm，3cm，3cm的三根小棒，可以拼成一个三角形。( ) 14．有两个角是锐角的三角形，一定是钝角三角形。( ) 15．一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( ) 四、作图题 16．在下面点子图上画一个正方形、一个平行四边形和一个梯形。 五、解答题 17．用长度分别是5.2cm、8cm和8cm的三根铁丝，能不能焊接成一个三角形铁架？如果能，这个铁架是一个什么三角形？ 18． 19．一个正方形，如果把其边长增加2厘米，那么面积就增加24平方厘米。求原来正方形的面积。 20．木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：认识三角形和四边形 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学们，欢迎来到图形世界的奇妙之旅！三角形和四边形就像两个性格迥异的好朋友，三角形稳重结实，四边形灵活多变。在这个单元里，我们将一起探索它们的秘密：三角形为什么有三个角、三条边，四边形又有哪些不同的模样。我们会通过动手画一画、剪一剪、拼一拼，发现它们的特征和规律，比如三角形的稳定性、四边形的易变性。别担心，这些图形就藏在我们的生活中——屋顶、窗户、地砖……只要你细心观察，就能发现数学的趣味。相信你一定能成为图形小侦探，解锁更多几何奥秘！ 知识梳理 一、三角形的认识 1. 三角形的定义 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的基本特征 （1）有三条边、三个角、三个顶点。 （2）三角形具有稳定性（不易变形）。 3. 三角形的分类 （1）按角分： ① 锐角三角形：三个角都是锐角。 ② 直角三角形：有一个角是直角。 ③ 钝角三角形：有一个角是钝角。 （2）按边分： ① 不等边三角形：三条边都不相等。 ② 等腰三角形：有两条边相等（相等的两条边叫腰，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角，两个底角相等）。 ③ 等边三角形（正三角形）：三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是60°）。 4. 三角形的内角和 三角形的内角和是180°。 二、四边形的认识 1. 四边形的定义 由四条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做四边形。 2. 四边形的基本特征 （1）有四条边、四个角、四个顶点。 （2）四边形具有易变性（容易变形）。 3. 常见的四边形 （1）长方形：对边相等，四个角都是直角。 （2）正方形：四条边都相等，四个角都是直角（正方形是特殊的长方形）。 （3）平行四边形：对边平行且相等，对角相等。 （4）梯形：只有一组对边平行（平行的两条边分别叫上底和下底，不平行的两条边叫腰）。 三、图形的拼组 1. 三角形的拼组 （1）两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 （2）两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形或正方形。 2. 四边形的拼组 （1）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 （2）长方形和正方形可以拼组成更大的长方形或正方形。 例题讲解 【典型例题1】 在三角形 ABC 中，∠A=35°，∠B=25°，则么∠C=　 　°按角分类这是　 　三角形｡ 【答案】120；钝角 【解析】【解答】解：∠C=180°-∠A-∠B=180°-25°-35°=120°， 120°是钝角，按角分类，这是钝角三角形。 故答案为：120；钝角。 【分析】三角形内角和-∠A的度数-∠B的度数=∠C的度数。 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【跟踪练习】 一张三角形纸片被撕去了一个角(如图)，这个角是　 　°，这个三角形按角分是　 　三角形。 ​​ 【答案】70；锐角 【解析】【解答】解：180°-30°-80° =150°-80° =70°，三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：70，锐角。 【分析】这个角的度数=三角形的内角和-其余两个内角的度数，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【典型例题2】 笑笑有两根同样长的小棒，长5dm｡如果她想用3根小棒摆成一个三角形，第3根小棒最长是多少分米(取整分米数)？奇思给了她一根小棒，结果摆成的三角形一个底角是35°｡顶角是多少度？ 【答案】解：5+5-1=9(分米) 180°-35°×2 =180°-70° =110° 答：第3根小棒最长是9分米，顶角是110°｡ 【解析】【分析】两边之差＜三角形第三边的取值范围＜两边之和。 等腰三角形顶角的度数=180°-底角的度数×2。 【跟踪练习】 妈妈给小华买了一个等腰三角形的风铃，它的一个底角是40°，它的顶角是多少度？ 【答案】解：180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 答：它的顶角是100度。 【解析】【分析】等腰三角形顶角的度数=180°-底角的度数×2。 【典型例题3】 在方格图中画一个等腰三角形，然后在等腰三角形中画一条线段，把等腰三角形分成一个三角形和一个梯形｡ 【答案】解： 【解析】【分析】由三条线段首尾顺次相连形成的图形是三角形；两条边相等或两个角相等的三角形是等腰三角形；一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 【跟踪练习】 在下面的方格中按要求画一画。(每格表示边长1厘米的正方形) ⑴画一个腰长是3 厘米的等腰直角三角形。 ⑵画一个一组对边是5厘米的平行四边形。 ⑶画一个一组平行边分别是3厘米和5厘米的直角梯形。 【答案】解： 【解析】【分析】两条腰相等，并且有一个角是直角的三角形是等腰直角三角形；两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；只有一组对边平行并且有一个角是直角的梯形是直角梯形。据此画图。 培优练习 一、选择题 1．下列图形中一定有平行线的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．梯形 D．圆形 【答案】C 【分析】根据各图形的特征进行判断。三角形是由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形；四边形是由四条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形；梯形是只有一组对边平行的四边形，圆形是由一条曲线围成的封闭图形。据此选择。 【详解】A．三角形中没有平行线； B．四边形中不一定有平行线； C．梯形中一定有一组平行线。 D．圆形是由一条曲线围成的封闭图形，其边缘为曲线，不存在直线段，更没有平行线。 所以一定有平行线的是梯形。 故答案为：C 2．一个等腰三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，则它的周长是（    ）cm。 A．17 B．15 C．13 D．13或17 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两条腰的长度相等，再根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；由于，所以判断出该三角形的腰长为7cm，底边为3cm，进而根据三角形的周长等于两条腰的长度加上底边的长度，据此解答。 【详解】由于，所以判断出该三角形的腰长为7cm，底边为3cm， （cm） 它的周长是17cm。 故答案为：A 3．四个黑子的位置是A（1，3），B（1，2），C（2，1），D（3，1）把四个黑子依次连接形成封闭图形，则这个图形是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】D 【分析】数对的表示方法：（列数，行数），根据数对找出A、B、C、D各点在方格中的对应位置，依次连接各点，根据画出图形的特征，即可得解。 【详解】根据分析得，如下图： 这是一个梯形。 故答案为：D 4．依次连接方格纸上A、B、C 三个点，再连接①、②、③、④中的某一个点围成四边形。要使围成的四边形是梯形，可以有（    ）种不同的围法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】梯形的上底和下底是平行的，所以围成的图形中有一组平行线，看哪些图形符合进行选择。 【详解】 根据图可知，连①是四边形，连②也是四边形，连③是平行四边形，只有连④才是梯形，所以只有1种； 故答案为：A 5．将一根20cm长的木条截成三段围成一个三角形，下列截法正确的是（    ）。 A．13cm、6cm、1cm B．10cm、3cm、7cm C．8cm、5cm、7cm D．9cm、10cm、1cm 【答案】C 【分析】判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边，将较短的两条线段长度相加，与第三条线段比较即可。。 【详解】A．1＋6＝7＜13，围不成三角形； B．3＋7＝10，围不成三角形； C．5＋7＝12＞8，能围成三角形； D．9＋1＝10，围不成三角形。 故答案为：C 二、填空题 6．只有一组对边平行的四边形是( )形；两组对边分别平行的四边形是( )四边形。 【答案】 梯 平行 【详解】只有一组对边平行的四边形是梯形，平行的两边叫做梯形的底边，其中较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，不平行的两边叫腰。例如：只有上、下两边平行，这个图形是梯形； 两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。例如：上、下两边平行，左、右两边也平行，这个图形是平行四边形； 因此，只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 7．一个等腰三角形的一个底角是45°，这个三角形是( )三角形。 【答案】等腰直角 【分析】先根据等腰三角形两底角相等的性质求出另一个底角的度数，再用三角形内角和定理求出顶角的度数，最后根据角的度数判断三角形的类型 【详解】等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是45°，因此另一个底角的度数与已知底角相同，为45°，三角形的内角和是180°，用内角和减去两个底角的度数即可得到顶角的度数。 有一个角是90°的三角形是直角三角形，而这个三角形原本是等腰三角形，所以它是等腰直角三角形。 一个等腰三角形的一个底角是45°，这个三角形是等腰直角三角形。 8．红领巾的形状，按角分类，它属于( )三角形；按边分类，它属于( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】三角形按角可分为锐角三角形（三个角都是锐角），直角三角形（有一个角是直角），钝角三角形（有一个角是钝角）。红领巾的三个角中，有一个角是钝角，另外两个角是锐角，因此按角分类属于钝角三角形。 三角形按边可分为不等边三角形（三条边都不相等），等腰三角形（至少有两条边相等），等边三角形（三条边都相等）。红领巾有两条边长度相等，底边较长，因此按边分类属于等腰三角形。 【详解】由分析可知，红领巾的形状，按角分类，它属于钝角三角形；按边分类，它属于等腰三角形。 9．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 【答案】 70° 40° 55° 55° 锐角 【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 当70°为底角时： 180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 此时三个角为：70°、70°、40° 当70°为顶角时： （ 180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 此时三个角分别为：70°、55°、55° 一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。 10．下图长方形沿虚线对折，∠2＝( )° 【答案】135 【分析】由图可知：长方形沿虚线对折，∠1与它旁边重合的角相等。长方形内角是90°，内角和是360°，∠1＝长方形一个内角÷2，∠2＝长方形内角和－直角×2－∠1。 【详解】 三、判断题 11．一个顶角是70°的等腰三角形，两个底角都是55°。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形的内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等。已知顶角为70°，则两个底角的和为，每个底角为。因此，该陈述正确。 【详解】在等腰三角形中，两个底角相等。三角形的内角和为180°。顶角为70°，则两个底角的和为。每个底角为。故两个底角都是55°，该说法正确。 故答案为：√ 12．钝角三角形中没有锐角。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形的定义，三角形内角和为180度。钝角三角形有一个钝角（大于90度），则其余两个角的和小于90度，因此这两个角都是锐角（小于90度）。所以钝角三角形中有锐角。 【详解】钝角三角形中有一个钝角，根据三角形内角和定理，内角和为180度，钝角大于90度，因此其余两个角的和小于90度，且每个角都小于90度，所以这两个角都是锐角。故钝角三角形中没有锐角的说法是错误的。 故答案为：× 13．用3cm，3cm，3cm的三根小棒，可以拼成一个三角形。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和必须大于第三边。用3cm、3cm、3cm的三根小棒，需验证每两组边长之和是否大于第三边。 【详解】根据分析可知： 因为3＋3＝6＞3，3＋3＝6＞3，3＋3＝6＞3，任意两边之和均大于第三边，满足三角形的三边关系，因此可以拼成一个三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 14．有两个角是锐角的三角形，一定是钝角三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形的内角和为180°，一个三角形中至少有两个锐角。有两个锐角的三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，不一定是钝角三角形。 【详解】一个三角形中，如果两个角是锐角，则第三个角可能是锐角、直角或钝角。例如： 三个角分别为60°、60°、60°的三角形是锐角三角形； 三个角分别为45°、45°、90°的三角形是直角三角形； 三个角分别为30°、30°、120°的三角形是钝角三角形。 因此，有两个角是锐角的三角形不一定是钝角三角形。原说法错误。 故答案为：√ 15．一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( ) 【答案】× 【详解】已知两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形，且平行四边形是中心对称图形，其对称点是两条对角线的交点，如果过这个交点，任意画一条线段与一组对边相交（交点不在顶点上），则两边分成的图形一定是相同的梯形（如图）。 【点睛】根据分析可知： 一个平行四边形一定能分成2个相同的梯形。原题说法错误。 故答案为：× 四、作图题 16．在下面点子图上画一个正方形、一个平行四边形和一个梯形。 【答案】见详解 【分析】正方形的定义：四条边都相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形； 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形； 还需注意每个图形的顶点需要在格点上。 【详解】如图所示： （答案不唯一） 五、解答题 17．用长度分别是5.2cm、8cm和8cm的三根铁丝，能不能焊接成一个三角形铁架？如果能，这个铁架是一个什么三角形？ 【答案】能，这个铁架是一个等腰三角形。 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；其中有两边相等的三角形是等腰三角形，进行解答即可。 【详解】（厘米）， （厘米）， （厘米）， 答：能焊接成一个三角形铁架，这个铁架是一个等腰三角形。 18． 【答案】68度 【分析】三角形内角和是180度，用180度减去另外两个角的度数，就能求出剪掉的这个角的度数。 【详解】180－44－68 ＝136－68 ＝68（度） 答：被剪掉的这个角是68度。 19．一个正方形，如果把其边长增加2厘米，那么面积就增加24平方厘米。求原来正方形的面积。 【答案】25平方厘米 【分析】将边长增加2厘米，原来的正方形增加2厘米，增加了2个宽是2厘米，长是原来的正方形边长的小长方形和一个边长是2厘米的小正方形； 用2乘2求出小正方形的面积，再用24减去小正方形的面积得到2个小长方形的面积；用2个小长方形的面积除以2求出一个小长方形的面积，然后用小长方形的面积除以宽2厘米，即可求出小长方形的长，即是原来正方形的边长；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出原来正方形的面积。 【详解】（24－2×2）÷2÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 5×5＝25（平方厘米） 答：原来正方形的面积是25平方厘米。 【点睛】本题考查的是长方形和正方形的面积公式，此题解答关键是求出原来正方形的边长，可以通过画图进行分析得出一个小长方形的长即为原正方形的边长，再根据正方形的面积公式解答即可。长方形面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。 20．木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 【答案】19分米 【分析】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算两种情况下，需要木条的总长度并比较得出最小值。 等腰三角形两条腰长度相等，情况一：若腰长为5分米，则另一条腰长也为5分米，底边长为9分米。根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算木条的总长度。三条边长度分别为5分米，5分米，9分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度； 情况二：若腰长为9分米，则另一条腰长也为9分米，底边长为5分米。同样根据三角形三边关系判断能否构成三角形，三条边长度分别为9分米，9分米，5分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度，据此解答。 【详解】情况一：木条的总长度为： （分米） 情况二：木条的总长度为： （分米） 答：王叔叔至少需要19分米的木条。 【点睛】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算木条的总长度，是解题的关键。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $