精品解析：江苏省南通市海门市2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市海门市七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 了解某品牌某一批次汽车刹车系统的使用寿命 B. 了解海门电视台《每日要闻》栏目的收视率 C. 了解某校七年级一班学生对“海门精神”的知晓率 D. 了解某品牌某一批奶制品中的蛋白质的含量是否达到国家标准 4. 已知一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 方程与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，的平分线EF交CD于点F，，则等于（ ） A. 132° B. 138° C. 156° D. 159° 7. 如果，那么正整数m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知射线OC平分，点P、M、N分别在射线OC、OA、OB上，且，于点E，若，则的度数为（ ） A. 20° B. 35° C. 55° D. 70° 9. 把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（ ） A. 每人分8本，则剩余 5本 B. 每人分8本，则恰好可多分给5个人 C. 每人分5本，则剩余 8本 D. 其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本 10. 已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ） 6 A. 4 B. 6 C. 15 D. 21 二、填空题（本大题共8小题，共30分） 11. 计算：______． 12. 如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到，若△ABC的周长为14cm，则四边形的周长为______cm． 13. 如图，AB=AC，若要判定△ABD≌△ACD，则需要添加的一个条件是：________  14. ，是平面直角坐标系中的两点，线段AB的最小值为______． 15. 已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 16. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，依题意可列方程组为______． 17. 已知关于x和y的方程组的解是，则关于x和y的方程组的解是______． 18. 若关于x的不等式组仅有四个整数解，则a的取值范围是______． 三、计算题（本大题共1小题，共12分） 19. 解方程组及不等式： （1） （2） 四、解答题（本大题共7小题，共78分） 20. 如图，点、在线段上，，，，求证：． 21. 某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）；图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图． 该品牌月销售额统计表（单位：万元） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 该品牌月销售额 180 90 115 95 （1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用______统计图； （2）该品牌5月份的销售额是______万元，手机部5月份的销售额是______万元； （3）对于该品牌手机部6月份的进货，你有什么建议？ 22. 如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 23. 已知一个三角形的三条边的长分别为：，，．（n为正整数） （1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长； （2）求出n的所有整数值． 24. 某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元． （1）求每辆型车和型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？ 25. 已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，． （1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求的度数； （2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求的度数； （3）如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点，，若，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点，点，因为，所以点A与点B互为“对角点”． （1）若点A的坐标是，则在点，，中，点A的“对角点”为点______； （2）若点A的坐标是的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标； （3）若点A的坐标是与点互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年江苏省南通市海门市七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定9的平方根，再根据算术平方根的非负性，找出其中的非负根，进而判断选项． 本题考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的非负平方根是解题的关键． 【详解】解：∵9的平方根为， 又∵算术平方根是非负数， ∴9的算术平方根是3 故选：A． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，若两条较短边的和大于最长边，即可组成三角形，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求； B选项：，满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合要求； C选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求； D选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求． 3. 下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 了解某品牌某一批次汽车刹车系统的使用寿命 B. 了解海门电视台《每日要闻》栏目的收视率 C. 了解某校七年级一班学生对“海门精神”的知晓率 D. 了解某品牌某一批奶制品中的蛋白质的含量是否达到国家标准 【答案】C 【解析】 【详解】解：、调查汽车刹车系统使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，不符合题意； 、调查栏目收视率范围大，工作量大，适合抽样调查，不符合题意； 、调查对象仅为七年级一班全体学生，范围小，工作量小，适合全面调查，符合题意； 、调查奶制品蛋白质含量具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意． 4. 已知一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式结合已知条件列方程，求解得到多边形的边数即可得出答案． 【详解】解：设该多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和恒为，边形的内角和公式为，且题目已知该多边形内角和等于外角和， ∴可得方程 ， 两边同时除以，得 ， 解得 ， 因此这个多边形是四边形． 5. 方程与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把分别代入各项中的方程验证是否为方程的解即可作出判断． 【详解】解：A．把代入方程，左边＝9－16＝﹣7≠16，故不符合题意， B．把代入方程，左边＝1＋1＝2≠0，故不符合题意； C．把代入方程，左边＝4×（3＋4）＝28，右边＝7×4＝28，左边＝右边，故符合题意； D．把代入方程，左边＝9＋8＝17≠15，故不符合题意． 故选：C 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键． 6. 如图，直线，的平分线EF交CD于点F，，则等于（ ） A. 132° B. 138° C. 156° D. 159° 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得∠GEB＝∠1＝48°，∠FEB+∠2＝180°，再利用角平分线性质可得∠FEB＝24°，进而可得答案． 【详解】解：∵∠1＝48°，AB∥CD， ∴∠GEB＝∠1＝48°， ∵∠GEB的平分线EF交CD于点F， ∴∠FEB＝24°， ∵AB∥CD， ∴∠FEB+∠2＝180°， ∴∠2＝156°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补． 7. 如果，那么正整数m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，即可确定出，进而得出，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵m为正整数， ∴m=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，确定出是解答本题的关键． 8. 已知射线OC平分，点P、M、N分别在射线OC、OA、OB上，且，于点E，若，则的度数为（ ） A. 20° B. 35° C. 55° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，第一种情况，当∠PMO为钝角时，过P点作PF⊥OB于F点，证明Rt△PEM≌Rt△PFN，即有∠EPM=∠NPF，再根据∠NPF=∠PNO-∠PFN=110°-90°=20°，即可求解；第二种情况，当∠PMO为锐角时，同理可求解． 【详解】分类讨论， 第一种情况，当∠PMO为钝角时，过P点作PF⊥OB于F点，如图， ∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PF=PE，∠PEM=∠PFN=90°， ∵PM=PN， ∴Rt△PEM≌Rt△PFN， ∴∠EPM=∠NPF， ∵∠PNO=110°， ∴∠NPF=∠PNO-∠PFN=110°-90°=20°， ∴∠EPM=20°； 第二种情况，当∠PMO为锐角时，如图， 同理可求∠EPM=∠NPF=20°， 综上：∠EPM=20°， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 9. 把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（ ） A. 每人分8本，则剩余 5本 B. 每人分8本，则恰好可多分给5个人 C. 每人分5本，则剩余 8本 D. 其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的意义即可求解． 【详解】解：由可知条件为：每人分8本，则恰好可多分给5个人． 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的意义，学生们熟练掌握即可求解． 10. 已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ） 6 A. 4 B. 6 C. 15 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴p＝3m﹣4n+15＝6+15＝21， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型． 二、填空题（本大题共8小题，共30分） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根和算术平方根化简计算即可． 【详解】原式 故答案为：2． 【点睛】本题考查立方根、算术平方根，数据相关概念是解题的关键，需要注意符号． 12. 如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到，若△ABC的周长为14cm，则四边形的周长为______cm． 【答案】18 【解析】 【分析】根据图形平移的性质进行解题即可； 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到， ∴， ∵△ABC的周长为14cm， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为cm． 都答案为：18． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质，掌握图像平移的性质是解题的关键． 13. 如图，AB=AC，若要判定△ABD≌△ACD，则需要添加的一个条件是：________  【答案】∠BAD=∠DAC（或填BD=CD）. 【解析】 【分析】根据题意知，在△ABD与△ACD中，AB=AC，AD=AD，所以由三角形判定定理SAS可以推知，只需添加∠BAD=∠DAC即可．由三角形判定定理SSS可以推知，只需要添加BD=CD即可. 【详解】∵在△ABD与△ACD中，AB=AC，AD=AD， ∴添加∠BAD=∠DAC时，可以根据SAS判定△ABD≌△ACD， 添加BD=CD时，可以根据SSS判定△ABD≌△ACD， 故答案为∠BAD=∠DAC（或填BD=CD）. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14. ，是平面直角坐标系中的两点，线段AB的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】点A在x轴上的动点，点 B到x轴的最短距离即为AB长度的最小值，最短距离即为B的纵坐标，此时点A为从B向x轴作垂线的垂足． 【详解】解：∵A（a，0），， ∴当a＝1时，线段AB长度的值最小， 即线段AB长度的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握上述知识是解题关键． 15. 已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 16. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，依题意可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组．找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意得： ， 故答案为：． 17. 已知关于x和y的方程组的解是，则关于x和y的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】仿照已知方程组的解，确定出所求方程组的解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组变形为， 可得：，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能根据已知方程组的解得出是解此题的关键． 18. 若关于x的不等式组仅有四个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先用a表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于a的不等组，可求得a的取值范围． 【详解】， 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有四个整数解， ∴整数解为1，2，3，4， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用． 三、计算题（本大题共1小题，共12分） 19. 解方程组及不等式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【小问1详解】 解：， ，得， ，得， 解得， 把代入，得， 所以， 所以原方程组的解是． 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 四、解答题（本大题共7小题，共78分） 20. 如图，点、在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，又，则，即，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． 21. 某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）；图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图． 该品牌月销售额统计表（单位：万元） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 该品牌月销售额 180 90 115 95 （1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用______统计图； （2）该品牌5月份的销售额是______万元，手机部5月份的销售额是______万元； （3）对于该品牌手机部6月份的进货，你有什么建议？ 【答案】（1）折线 （2）120，36 （3）多进些B机型的手机，少进些D机型的手机 【解析】 【分析】（1）要表示销售量的变化趋势，选择折线图更加直观明了； （2）根据前五个月该品牌的总销售额前去前四个月的销售额即可得到五月份的销售额，五月份的销售额乘以五月份手机销售额的占比即可求解； （3）根据五月份的销售情况来估算六月份的销售情况进而确定进货情况． 【小问1详解】 采用折线统计图表示销售量的变化趋势比其他统计图更加直观明了，故选择折线统计图，故答案为：折线； 【小问2详解】 五月份销售额：600-(180+90+115+95)=120（万）， 手机部五月份销售额：120×30%=36（万）； 【小问3详解】 五月份的手机机型销售中，B型手机买的最好，销售额占比28%，D型手机买的最差，销售额占比只有5%， 故六月份多进些B型手机，少进一些D型手机． 【点睛】本题考查了折线统计图、扇形统计图的知识，注重数形结合是解答本题的关键． 22. 如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】已知：， 求证： 证明：如图， ∵ 又 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明． 23. 已知一个三角形的三条边的长分别为：，，．（n为正整数） （1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长； （2）求出n的所有整数值． 【答案】（1）9，9，5 （2）2，3，4，5，6，7 【解析】 【分析】（1）分①和②两种情况，分别解方程求出的值，再根据三角形的三边关系定理即可得出答案； （2）先根据三角形的三边关系列出关于的不等式组，结合为正整数即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ①当时，，此时三边长分别为9，9，5 ②当时，，此时，， ∵， ∴这种情况不存在． 综上所述，当这个三角形是等腰三角形时，它的三边长为9，9，5． 【小问2详解】 解：）由题意得，解得． ∵n为整数， ∴n的所有整数值是2，3，4，5，6，7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 24. 某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元． （1）求每辆型车和型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？ 【答案】（1）每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元 （2）共有种购车方案：方案：购买型车辆，型车辆；方案：购买型车辆，型车辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，根据售出辆型车和辆型车，销售额为万元，售出辆型车和辆型车，销售额为万元列出方程组求解即可； （2）设甲公司购买型车辆，则购买型车辆，根据型号车不少于辆，购车费不少于万元，列出不等式组求出m的取值范围，再根据m为整数即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元， 依题意得：， 解得：． 答：每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元． 【小问2详解】 解：设甲公司购买型车辆，则购买型车辆， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 或， 共有种购车方案：方案：购买型车辆，型车辆； 方案：购买型车辆，型车辆． 25. 已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，． （1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求的度数； （2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求的度数； （3）如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）126° （2）117° （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由BD，CE都是△ABC的角平分线，得到，∠ECB＝∠ACB，则∠DBC＋∠ECB＝90°－∠BAC，得到∠BOC＝90°＋∠BAC，由∠BOC－∠A＝54°，进一步求得，进而求得的度数； （2）由BD，CE都是△ABC的高，得到，由四边形内角和360°求得，又，得到，再由∠BOC－∠A＝54°，即可求得∠BOC的度数； （3）由三角形外角的性质得到，由∠BOC－∠A＝54°，又由∠ABD＝2∠ACE，求得，求得∠ABD＝36°，进一步求得∠ODC－∠BEO＝18°． 【小问1详解】 解：∵BD，CE都是△ABC的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵BD，CE都是△ABC的高， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：． 理由如下：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、三角形角平分线的定义、四边形的内角和、三角形的高等知识，熟练掌握角之间的相互转化是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点，，若，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点，点，因为，所以点A与点B互为“对角点”． （1）若点A的坐标是，则在点，，中，点A的“对角点”为点______； （2）若点A的坐标是的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标； （3）若点A的坐标是与点互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围． 【答案】（1）， （2）点B的坐标为或 （3）且，且 【解析】 【分析】（1）根据“对角点”的定义判断即可； （2）分类B点在x轴和y轴两种情况讨论，根据“对角点”的定义即可求解； （3）根据“对角点”的定义有，即，再根据点B在第四象限可得，即可求出n的取值范围，进而可求出m的取值范围． 【小问1详解】 ∵2-4≠0-(-2)， ∴B1点不是A点的“对角点”， ∵-1-4=-7-(-2)=5，0-4=-6-(-2)=-4， ∴B2、B3点是A点的“对角点”， 故答案为：B2、B3； 【小问2详解】 ①当点B在x轴上时，设，由题意得， 解得， ∴； ②当点B在y轴上时，设，；由题意得， 解得， ∴； 综上所述：点B的坐标为或； 【小问3详解】 由题意得， ∴， ∵点B在第四象限， ∴， ∴， 解得， 此时， ∴． 由定义可知：， 即有：，， ∴且，且． 【点睛】本题考查了坐标系与图形的性质以及根据象限判断坐标点参数的取值范围的知识，理解新定义“对角点”是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $