精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年度下学期九年级数学第一次模拟考试

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学第一次模拟考试 考试时间：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长．请将数106679用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A 2. 在一个不透明的袋子中装有7个除颜色外，形状、大小完全相同的球，其中有4个红球、2个蓝球，1个白球，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算，根据所求概率所求情况数与总情况数之比解答即可． 【详解】解：在一个不透明的袋子中装有7个除颜色外，形状、大小完全相同的球，其中有4个红球、2个蓝球，1个白球， 从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是， 故选：C． 3. 游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，设，则，然后通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为． 故选：C． 4. 如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键，根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， 解得：． 故选：C． 5. 有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（ ） A. 顶角是的等腰三角形 B. 顶角是的等腰三角形 C. 有一个锐角是的直角三角形 D. 有一个锐角是的直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得：拼成的正多边形的边数为奇数，分别求出每个选项中各个三角形的内角，进而得到组成的正多边形的内角，再根据正多边形的内角和公式判断出正多边形的边数，即可求解． 【详解】解：这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形， 拼成的正多边形的边数必为奇数， A、对于顶角是的等腰三角形，要拼成正多边形，意味着正多边形的内角必须是该等腰三角形内角的正整数倍，由于正多边形的内角和公式为，那么每个内角为，若用该等腰三角形拼成正多边形，需满足是的正整数倍或其底角的正整数倍，该等腰三角形底角为，因为和都不能满足要求，所以无法构成正多边形，A选项错误，不符合题意； B、顶角是的等腰三角形是等边三角形，其每个内角都是，正六边形的每个内角为， ， 等边三角形可以拼成正六边形。但正六边形是中心对称图形，不满足题目中“正多边形不是中心对称图形”，B选项错误，不符合题意； C、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，可能拼成的正多边形的内角需为、或的组合，但无法匹配奇数边的正多边形内角，故该选项不符合题意； D、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，正五边形的内角为，可由两个角组成，正五边形边数为奇数，且不是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理、垂径定理以及三角形中位线定理来求解的长度． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，， ∵是直径， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的判定及性质、垂径定理以及三角形中位线定理，熟练掌握这些定理并能灵活运用是解题的关键． 7. 如图，菱形，，，对角线，交于点O，点E为射线上的一个动点，现将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，则当以A，O，为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．根据菱形的性质，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据旋转的性质并结合角的和差可求出，则以A，O，为顶点的三角形与相似，必有或，然后分或两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴ ∵以A，O，为顶点的三角形与相似， ∴或， 当时，如图， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的长度为或， 故选：B． 8. 如图，正六边形，P点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于，设正六边形边长为，在正六边形中求得则，易得，，，设，则，分别求得计算即可． 【详解】解：连接，交于， 设正六边形边长为， 在正六边形中求得， 则，， ，易得四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形面积的有关计算，角所对的直角边等于斜边的一般以及勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握正多边形的性质． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角、求弧长等知识，确定点的运动路径是解题关键．首先证明，结合全等三角形的性质可证明；连接，交于点，结合可知点的运动路径在以为直径的圆上，且为圆心角为的圆弧，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，即， 连接，交于点，如下图， ∵点在运动中保持， ∴点的运动路径在以为直径的圆上， 又∵当点运动到点时，点到达点， ∴此时点与点重合，即点的运动路径为圆心角为的圆弧， ∴点的运动路径长为． 10. 如图，图①是生活中常见的人字梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．图②是其工作时的示意图，拉杆，，当米时，两梯杆跨度、之间的距离为_____米 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．证明，则，再将数据代入计算即可．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴两梯杆跨度、之间的距离为米． 11. 如图，为直径，点C是上的一点，连接，以C为圆心，长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将分别沿向内翻折．若，则图中阴影部分图形的面积和为________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，根据题意分析得出阴影部分图形的面积和为是解题的关键．依题意，，则是等腰直角三角形， 然后根据图中阴影部分图形的面积和为，即可求解． 【详解】解：∵，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上， ∴， ∵为直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：． 12. 如图，为反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为是轴上一点（点在点右侧），以为邻边作矩形，连接与交于点，若点在反比例函数图象上，且，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，坐标系中两点中点计算公式，熟练掌握以上知识点是关键． 设，则，，由矩形的性质可得为的中点，则，根据矩形面积计算公式可得，由在反比例函数图象上，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：设， 由条件可知， ∵四边形形是矩形，与交于点， ∴为的中点， ， ， ， ， 由条件可知， ， ， ． 故选：D． 三、解答题（共64分） 13. 为了切实加强和改进未成年人思想道德建设，加强中华民族传统美德教育．某校在七年级学生中开展“孝文化”活动．设置了四个爱心项目：A：为父母洗脚，B：主持父母生日会，C：为父母做感恩餐，D：与父母深度谈心，并要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解七年级参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据信息，解答下列问题： （1）抽样调查的学生人数为 ，并补全图中的条形统计图； （2）扇形统计图中，求项目A所占圆心角的度数； （3）七年级参加活动的学生共800人，请估计该校七年级参加A项的学生有多少人． 【答案】（1）100，补全条形统计如图： （2） （3）估计七年级参加A项目学生有160人 【解析】 【分析】（1）根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得B的人数，进而可以将条形统计图补充完整； （2）根据A部分所占的百分比即可得到A部分所占的圆心角； （3）用800乘以参加D项的学生的人数所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：抽样调查的学生人数为（人） B组人数为（人） 补全条形统计略； 【小问2详解】 解：项目A所占圆心角； 【小问3详解】 解： 估计七年级参加A项目学生有160人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 14. 某校为了助力宣传“百千万工程”弘扬五华美食文化，特举办五华特色美食知识竞赛．为此该校收集了五个当地美食图片（除正面图案外其余完全相同），依次记为A：酿豆腐，B：五华鱼生，C：白切鸡，D：擂茶，E：横陂小炒，然后背面朝上，参赛的同学从中随机抽取一张来介绍该美食文化． A：酿豆腐 B：五华鱼生C：白切鸡D：擂茶 （1）小麦抽到“A：酿豆腐”的概率为 ； （2）若小英从中随机抽取一张卡片记录下名称后，将卡片放回洗匀，小涛再随机从中抽取一张卡片记录下名称，请用列表或画树状图的方法求出他们抽取的美食相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们抽取的景点相同的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张来介绍该景点，可能的结果有：A、B、C、D，E，则恰好选到A的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 小涛 小英 A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中他们抽取的美食相同的结果有5种， ∴他们抽取的美食相同的概率为． 15. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于原点对称的； （2）画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称，以及求弧长等知识 （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可，运用弧长公式可求出点旋转到点所经过的路径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，即为所作， 由勾股定理得，， 所以，点旋转到点所经过的路径长． 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次程组．熟练掌握二次根式的混合运算法则和解二元一次程组的方法与步骤是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值，先化简零指数幂和利用二次根式的性质化简，先计算乘法，再计算减法即可； （2）根据代入消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①可得③ 将③代入②，可得，解得， 把代入③，可得， ∴原方程组的解为． 17. 如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示结果用实线表示． （1）在图1中，先画出的高，再取中点E； （2）在图2中，点F为与网格线的交点，先将绕点B顺时针方向旋转得到线段，点H与点F为对应点，再在上取一点P使最小． 【答案】（1） 即点E即为所求． （2） 即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变化，涉及平行四边形的性质与判定，平移的性质，最短路径等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）借助垂直构造高、平移以及平行四边形的性质构造中点即可求解； （2）利用平移作平行四边形，借助平行四边形的性质作出H关于对称点，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，取格点G，连接交于点D，即为的高；利用平移作平行四边形，连接，交于点E，则，即点E即为所求． 【小问2详解】 如图所示，取格点G，连接，与网格线交于点H，取格点S，连接，则，沿平移至过点H，作直线，则，连接，取格点T，作平行四边形，与网格线交于点M，作平行四边形，沿直线平移至过点M交于点，连接，则与H关于对称，连接交于点P，连接，则即为所求． 18. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 【答案】（1）， （2）（）；（）四边形周长的最大值 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质． （1）把代入计算即可； （2）（）把代入解析式，再结合计算的取值范围即可；（）先根据垂线求出，的坐标，再根据四边形为平行四边形可得，得到与的关系，最后表示出四边形周长求最大值即可． 【小问1详解】 ）把代入可得 ， 解得； 【小问2详解】 （）由（1）可得抛物线解析式为，，， ∴对称轴为直线， ∵为抛物线上两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵两点均在该抛物线对称轴的左侧， ∴， 解得， ∴， ∴； （）∵， ∴直线解析式为， ∵过两点作轴的垂线与线段分别交于两点， ∴，， ∴， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形周长为 ∵， ∴， ∴当时最大，最大值， 即四边形周长最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学第一次模拟考试 考试时间：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长．请将数106679用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的袋子中装有7个除颜色外，形状、大小完全相同的球，其中有4个红球、2个蓝球，1个白球，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（ ） A. B. C. D. 5. 有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（ ） A. 顶角是的等腰三角形 B. 顶角是的等腰三角形 C. 有一个锐角是的直角三角形 D. 有一个锐角是的直角三角形 6. 如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 无法确定 7. 如图，菱形，，，对角线，交于点O，点E为射线上的一个动点，现将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，则当以A，O，为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，正六边形，P点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为______________． 10. 如图，图①是生活中常见的人字梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．图②是其工作时的示意图，拉杆，，当米时，两梯杆跨度、之间的距离为_____米 11. 如图，为直径，点C是上的一点，连接，以C为圆心，长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将分别沿向内翻折．若，则图中阴影部分图形的面积和为________．（结果保留π） 12. 如图，为反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为是轴上一点（点在点右侧），以为邻边作矩形，连接与交于点，若点在反比例函数图象上，且，则的值为_____． 三、解答题（共64分） 13. 为了切实加强和改进未成年人思想道德建设，加强中华民族传统美德教育．某校在七年级学生中开展“孝文化”活动．设置了四个爱心项目：A：为父母洗脚，B：主持父母生日会，C：为父母做感恩餐，D：与父母深度谈心，并要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解七年级参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据信息，解答下列问题： （1）抽样调查的学生人数为 ，并补全图中的条形统计图； （2）扇形统计图中，求项目A所占圆心角的度数； （3）七年级参加活动的学生共800人，请估计该校七年级参加A项的学生有多少人． 14. 某校为了助力宣传“百千万工程”弘扬五华美食文化，特举办五华特色美食知识竞赛．为此该校收集了五个当地美食图片（除正面图案外其余完全相同），依次记为A：酿豆腐，B：五华鱼生，C：白切鸡，D：擂茶，E：横陂小炒，然后背面朝上，参赛的同学从中随机抽取一张来介绍该美食文化． A：酿豆腐 B：五华鱼生C：白切鸡D：擂茶 （1）小麦抽到“A：酿豆腐”的概率为 ； （2）若小英从中随机抽取一张卡片记录下名称后，将卡片放回洗匀，小涛再随机从中抽取一张卡片记录下名称，请用列表或画树状图的方法求出他们抽取的美食相同的概率． 15. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于原点对称的； （2）画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长． 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示结果用实线表示． （1）在图1中，先画出的高，再取中点E； （2）在图2中，点F为与网格线的交点，先将绕点B顺时针方向旋转得到线段，点H与点F为对应点，再在上取一点P使最小． 18. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $