精品解析：2025年内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考九年级中考一模数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考九年级数学第一次模拟考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 根据第七次全国人口普查结果，至2020年11月1日零时，广州11个区中，人口超过300万的区有1个，为白云区，将300万用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 2. 计算：（　　） A. B. C. D. 3. 已知函数是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是（　　） A. 3 B. C. ±3 D. 4. 如图在中，，，，、、分别是、、的中点，则的面积是（ ） A. 12 B. C. D. 5. 如图，菱形在直角坐标系中，点的坐标为，对角线，反比例函数经过点，则（　　） A. 6 B. 12 C. D. 32 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 8. 如图，在正六边形中，以点O为原点建立直角坐标系，边落在x轴上，对角线与交于点F．若点A的坐标为，则点F的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是______． 12. 某学校组织名师生进行长途考察活动，带有行李件，计划租用甲、乙两种型号的汽车辆．经了解，甲型车每辆最多能载人和件行李，乙型车每辆最多能载人和件行李，则学校有 _____种租车方案． 13. 如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为_________，CF的最大值为_________． 14. 五一期间，时代商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利20元，而按原售价的六折出售，将亏损60元，则该商品的原售价为_____． 15. 图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为______，若连接OG，则OG的长为______． 16. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. （1）已知，化简求值 （2）先化简，再求值：，其中， 18. 【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． （1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______． 【模型应用】： （2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长． 【拓展提升】： （3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示） 19. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2））如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 20. 某校为了掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（t）分为四种类别：，，，，将分类结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）计算扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数； （3）根据调查结果可知、自主学习时间的中位数落在______组； （4）若该校九年级有1200名学生，请估计一周自主学习的时间不少于6h的人数． 21. 在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． （1）如图，当四边形是正方形时， ． （2）如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． （3）在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 22. 已知，内接于，点为弦中点，直径经过点，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接，，，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，和交于点，，若的面积为． （A）求证：________________（找到一对面积相等的三角形并证明）． （B）求线段________的长（求出图中某一线段长度）． 23. 在和中，，，，且． （1）如图1，当点在线段上时，连接，若，，求线段的长； （2）如图2，将图1中绕着点逆时针旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，当时，求证：； （3）如图3，点是点关于的对称点，连接，，在（2）的基础上继续逆时针旋转，过作的平行线，交直线于点，连接，，，若，请直接写出线段的最小值，以及当线段长度最小时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考九年级数学第一次模拟考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 根据第七次全国人口普查结果，至2020年11月1日零时，广州11个区中，人口超过300万的区有1个，为白云区，将300万用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：300万=3000000=3.0×106． 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 计算：（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方法则是解题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，幂的乘方底数不变，指数相乘． 3. 已知函数是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是（　　） A. 3 B. C. ±3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义建立关于的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答． 【详解】解：函数是反比例函数， ， 解得，， ， 当时，，图象位于一、三象限； 当时，，图象位于二、四象限； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内． 4. 如图在中，，，，、、分别是、、的中点，则的面积是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的中位线先证明，同理求解，再利用三角形的内角和定理及勾股定理即可得解． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理可得，是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 过点作的延长线于点，则 ∴ ∴ ∴的面积为： 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键． 5. 如图，菱形在直角坐标系中，点的坐标为，对角线，反比例函数经过点，则（　　） A. 6 B. 12 C. D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，根据点的坐标得出的长度，过点作轴于，设，由勾股定理计算得出点的坐标，再由菱形的性质得出点的坐标，代入函数解析式计算即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 过点作轴于，设， 由勾股定理得，， 解得， ∴，， ∴点， ∵菱形对边， ∴点的坐标为， 代入得，， 解得， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意易得AD=2，，BD=1，然后可得，，设BC=x，则CD=x+1，进而根据相似三角形及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示： ∵，， ∴AD=2，，BD=1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设BC=x，则CD=x+1， ∴， 在Rt△BEC中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴点； 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 7. 如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，根据已知条件求得，再证明，求得，则可得，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 过点P作的平行线分别交于点M和点N， ， 四边形和四边形为平行四边形， ， 的面积为2， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：B． 8. 如图，在正六边形中，以点O为原点建立直角坐标系，边落在x轴上，对角线与交于点F．若点A的坐标为，则点F的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何的性质，分别求出点B、C、D的坐标，运用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图像有交点，联立方程解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：正六边形中，每个内角的度数为，如图所示，过点作轴于，连接，点的坐标为， ∴，， 在中，， ∴，， ∴，则， 在中， ∵，， ∴，， ∵是正六边形的对称轴， ∴， ∴， ∴在是直角三角形，且，， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴， 设过点，点的直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， 同理，设过点，点的直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点是、的交点， ∴联立方程组得，， 解得：， ∴点的坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查几何图形与坐标，一次函数图像的交点问题，掌握几何图形的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的性质等知识是解题的关键． 9. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论． 【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∵O是EF的中点， ∴OB=OE=OF ∵∠EGF=90°，O是EF的中点， ∴OG=OE=OF ∴OB=OG=OE=OF ∴B，E，G，在以O为圆心的圆上， ∴∠EBG=∠EFG, ∵∠EGF=90°， EG=FG， ∴∠GEF=∠GFE=45° ∴∠EBG=45° ∴BG平分∠ABC， ∴点G在∠ABC的平分线上， 当CG⊥BG时，CG最小， 此时，如图2， ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°， ∵CG⊥BG ∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90° ∴BG=CG ∵∠EGF=∠BGC=90° ∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF, ∴∠EGB=∠FGC, 在△EGB和△FGC中， ∴△EGB≌△FGC(SAS)， ∴BE=CF ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC 设AB=m ∵BE∶AB=1∶3 ∴CF=BE=m， 在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB =30° ∴AC =2AB= 2m ∴BC= ， ∴AD=m， ∴ 故选∶A． 【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 10. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等．过点E作，交于点P，交于点Q，连接，利用正方形的性质及等腰三角形的性质得出，结合全等三角形的判定和性质以及勾股定理可判断②；利用勾股定理及相似三角形的判定和性质可判断①；由勾股定理及翻折的性质可判断③；连接，交于点H，利用等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理即可判断④． 【详解】解：过点E作，交于点P，交于点Q，连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，F是中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 由于翻折， ∴，故③正确； 如图所示，连接，交于点H， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折叠可得：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， 由折叠可得，故④正确； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵的对称轴为直线， 关于的对称点为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 12. 某学校组织名师生进行长途考察活动，带有行李件，计划租用甲、乙两种型号的汽车辆．经了解，甲型车每辆最多能载人和件行李，乙型车每辆最多能载人和件行李，则学校有 _____种租车方案． 【答案】##四 【解析】 【分析】设租用甲型车辆，则租用乙型车辆，根据甲乙两种型号的车装载的师生数量应大于等于，装载的行李数量应大于等于，可得到关于的一元一次不等式组． 【详解】设租用甲型车辆，则租用乙型车辆． 根据题意，得 解得 ． 因为为正整数，所以或或或． 所以有四种租车方案，分别为：租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆；租用甲型车辆，租用乙型车辆． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组与实际问题，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式组． 13. 如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为_________，CF的最大值为_________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 14. 五一期间，时代商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利20元，而按原售价的六折出售，将亏损60元，则该商品的原售价为_____． 【答案】400元 【解析】 【分析】设原售价为y元，成本价为x元，根据题意，列方程组，求y即可． 【详解】设原售价为y元，成本价为x元， 根据题意，列方程组， 解得， 故答案为：400元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列方程组是解题的关键． 15. 图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为______，若连接OG，则OG的长为______． 【答案】 ①. 16 ②. 【解析】 【分析】如图，如图，过点A作AH⊥EF于点H，连接AB，OG，延长OG交AB于点J，过点D作DK⊥AB于K．证明∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°，推出△ABO是等边三角形，求出OJ，GJ可得结论． 【详解】解：如图，如图，过点A作AH⊥EF于点H，连接AB，OG，延长OG交AB于点J，过点D作DK⊥AB于K． ∵△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO， ∴∠AOE=∠AOB=∠BOF，OF=OF=EF=6， ∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°， ∴∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°， 设OH=x，则AO=2x，AH=x， 在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2， ∴142=（x）2+（x-6）2， 解得x=8或-5（负根舍弃）， ∴OA=OB=16，AC=BD=10， ∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB=OA=16， 根据对称性可知OJ⊥AB， ∴AJ=BJ=8， 在Rt△BDK中，BK=BD=5，DK=5， ∴AK=AB-BK=16-5=11， ∵GJ∥DK， ∴， ∴， ∴GJ=， ∴OG=8-=， 故答案为：16，． 【点睛】本题考查利用平移设计图案，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 16. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF， 根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求． 【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH， ∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称， ∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF， ∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°， ∴∠DFB= ∠CEF， 又∠B=∠C= 60°， ∴△BDF∽△CFE， ∴ ， 即 ， 设CF= x(x > 0)， ∵BF=4CF， ∴BF= 4x， ∵BD=3， ∴， ∵， ∴，， ∵△BDF∽△CFE， ∴， ∴ 解得：x=2， ∴CF=4， ∴BC=5x=10， ∵在Rt△ABL中，∠B=60°， ∴AL=ABsin60°=10×=5， ∴S△ABC=， ∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°， ∴DH=BDsin60°=， ∴S△BDF=， ∵△BDF∽△CFE， ∴， ∵S△BDF=， ∴S△CEF=， 又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴， ∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF， ∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF =， ∴． 故答案为:． 【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. （1）已知，化简求值 （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先判断，再把所给代数式化简，然后把代入计算； （2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴， ∴ ， 当时， 原式； （2） 当， 时， 原式． 18. 【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． （1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______． 【模型应用】： （2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长． 【拓展提升】： （3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示） 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，，再证，可得，则；设，则，，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）如图作辅助线，构造正方形，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用平行线分线段成比例计算的长即可； （3）如图2作辅助线，设，，，则，，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再根据正切函数的定义计算即可． 【详解】解：（1）延长到点G，使，连接， ∵在正方形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 即， 故答案为：，； （2）如图2，延长，至M、N，使四边形是正方形，延长到点H，使，连接，延长交于P，连接， ∵，点F为中点， ∴， ∴， 设，则， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）如图2作辅助线， ∵， ∴设，， ∴， 设，则， 由（2）得：， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用相关判定定理和性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 19. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2））如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）点坐标为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将点和点的坐标代入一次函数解析式得，， 解得， 所以一次函数解析式为． 【小问2详解】 设点的坐标为， 过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ． ，． 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为，． 点在函数图象上， ， 解得，， 因为点坐标为， 所以舍去， 所以点坐标为． 20. 某校为了掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（t）分为四种类别：，，，，将分类结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）计算扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数； （3）根据调查结果可知、自主学习时间的中位数落在______组； （4）若该校九年级有1200名学生，请估计一周自主学习的时间不少于6h的人数． 【答案】（1）60， 补全图形如下： （2） （3）C （4）720人 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、总体、个体、样本、样本容量、中位数、用样本估计总体， （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，再分别求出B、D组人数即可补全图形； （2）用乘以C组人数所占比例即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用总人数乘以样本中C、D组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人）， B组人数为（人）， D组人数为（人）， 【小问2详解】 解：扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：自主学习时间的中位数是第30、31个数据的平均数，而这两个数均落在C组， 所以这组数据的中位数落在C组； 故答案为：C． 【小问4详解】 解：估计一周自主学习的时间不少于的人数为（人）． 21. 在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． （1）如图，当四边形是正方形时， ． （2）如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． （3）在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）作交的延长线于，证出，得到，再根据正四边形的性质得到，从而计算出，即，故，再根据，求出，从而可得出结论． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则即可求解； 方法2：如图，连接，，证明，，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解； （3）作于点，则， 证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：当四边形是正方形时，作交的延长线于． ， ， 又， ， 又，且， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 方法1：如图，在的延长线上取点，使得， 则， 又， ∴ ∴，， 由，得 ∴ ∴ 方法2：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ 【小问3详解】 由（2）知， ， ∵， ∴， 如图所示，连接交于点， ∵，则 ∴ ∴ 如图，作于点，则， ， 得 则 当，时， 当，时， 综上所述，或 22. 已知，内接于，点为弦中点，直径经过点，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接，，，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，和交于点，，若的面积为． （A）求证：________________（找到一对面积相等的三角形并证明）． （B）求线段________的长（求出图中某一线段长度）． 【答案】（1） 证明：是直径，是弦的中点， ， ， ． （2）2 （3）， 如图3，连接，．     ，，， ， ， ， ； 求圆的半径； 解：如图3， ， 设，则， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，由等弧所对的圆周角相等，可得，进而结论得证； （2）由，，可得，则，，，，，由是直径，可知，证明，则，进而可得的值； （3），如图3，连接，．证明，则；求圆的半径；如图3，连接，．设，则，，，证明，，则，由，，可得，解得，，设，则有，求解值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 略 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，平行线的距离，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 在和中，，，，且． （1）如图1，当点在线段上时，连接，若，，求线段的长； （2）如图2，将图1中绕着点逆时针旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，当时，求证：； （3）如图3，点是点关于的对称点，连接，，在（2）的基础上继续逆时针旋转，过作的平行线，交直线于点，连接，，，若，请直接写出线段的最小值，以及当线段长度最小时的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，过点B作交于P． ∵，，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）， 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点C作交的延长线于H．则，先证明是等腰直角三角形，求出，则，由勾股定理可得由勾股定理得； （2）如图，过点B作交于P．由等腰直角三角形的性质得到，证明．进一步证明，得到．进而推出，再证明，即可证明． （3）先求出，则由平行线的性质得到，进一步推出，得到A、B、C、G四点共圆且圆心为的中点，直径为；如图所示，取的中点O，连接交于H，过点于M，过点H作于N，则点G在以点O为圆心，为直径的圆上运动，故当三点共线时，即点G与点H重合时最小，求出，由点是点关于的对称点，得到，，由勾股定理得，则；求出，证明，求出，则，即当最小时，． 【小问1详解】 解：如图1中，过点C作交的延长线于H．则． ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A、B、C、G四点共圆且圆心为的中点，直径为， 如图所示，取的中点O，连接交于H，过点于M，过点H作于N， ∴点G在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∴当三点共线时，即点G与点H重合时最小， ∵， ∴， ∵点是点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当最小时， 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，四点共圆等等，正确推出点G的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $