精品解析：广东佛山市南海区艺术高级中学2026届高三下学期综合测试数学试卷（艺高一模）

2026届高三下学期综合测试数学试卷（艺高一模） 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 5. 记为等差数列的前项和，公差，、、成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题 9. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 10. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ） A. B. C. D. 且 三、填空题 12. 直线与圆相交所得的弦长为______． 13. 已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为________． 14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和为． 16. 在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期综合测试数学试卷（艺高一模） 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】由题意得：， 又因为， 所以． 2. 复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算及求模公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算以及垂直向量的坐标表示，求得参数值，利用向量模长的坐标计算公式，可得答案. 【详解】由，且，则，解得， 即，可得，所以 故选：B. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 【答案】D 【解析】 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 5. 记为等差数列的前项和，公差，、、成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得关于的方程，求出的值，即可求得的值. 【详解】由题意可知，即，整理可得，解得， 故. 故选：D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与计算出与，从而求出. 【详解】因为，， 所以， 故，解得， 所以， 故. 故选：D 7. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由椭圆的定义可得， 所以，， 因为,由余弦定理可得 所以， 整理可得，所以，即. 故选：A. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、多选题 9. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 10. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ） A. B. C. D. 且 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得. 【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 直线与圆相交所得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 13. 已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求棱台的高，再代入体积公式，即可求解. 【详解】由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为， 所以高为，则四棱台的体积. 故答案： 14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 【答案】 【解析】 【分析】分两个是“孪生素数”分别是或或或逐个确定，再结合古典概率模型概率计算公式即可求解. 【详解】小于20的素数共有，8个， 其中“孪生素数”有4对， 若取，则不能取7，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种， 若取，则不能取3，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种， 若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种， 若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种， 总共有， 而从个数中取出4个共有种， 所以取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率为， 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用与的关系，消去求解即可； (2)等差与等比的乘积的数列求和用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 （1）①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 （2） ① ② ①②得： ． 16. 在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可； （2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则，可得， 且，所以； 则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 则， 又因为，则， 所以. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为四边形是菱形，所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）9 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以，取平面的法向量， 所以，解得，故. 【点睛】 18. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1） （2）在区间上为增函数，在区间上为减函数 （3）证明如下： 变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证． 要证：． 令， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，所以，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． 【解析】 【分析】（1）先求切点，再求斜率即可. （2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. （3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【小问1详解】 ，所以切点 由得，， 所以切线方程为：，即： 【小问2详解】 的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值； 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质和离心率解方程组求出即可； （2）当斜率不存在时，分别求出直线和的直线方程，得到；当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，由点斜式求出直线方程可得到两点坐标，再用韦达定理表示出化简即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 所以椭圆方程为， 【小问2详解】 是定值，理由如下： 由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 则， 设，则， 直线的方程为，令，则，所以， 直线的方程为，令，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于讨论斜率存在与不存在的情况，不存在时，直曲联立，由韦达定理结合直线方程表示出，再化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $