广东佛山市南海区艺术高级中学2026届高三下学期综合测试数学试卷（艺高一模）

2026届高三下学期综合测试数学试卷（艺高一模） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.已知集合A={x|-1<x<3},B={xx2-5x+4<0},则AUB=（) A.{x|-1<x<4)B。{x1<x<4} C。{x-1<x<3}D.{xl1<x<3} 2.复数：=计，则日=（) A. B.√2 C. D.2 2 3.已知向量ā=(2，-1，万=(x,2),若(2五-b)1五，则a-的值为（) A。4 B。5 C。3v5 D.45 6 （+2x 的展开式中的常数项为() A。60 B。120 C。160 D.240 5。记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d=2,a1、a、4成等比数列，则S=() A.-20 B。-18 C。-10 D.-8 6.已知co(a+)子an p-号则osa-)-《) A君 B专 D号 7。已知F,F,是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPr=120°，P=3PF引，则C的离心率为() 4.3 B.3 c. D.5 4 8 4 8 8。设函数f(x)=x+e,g(x)=x+lhx,若存在x,x2,使得∫(s)=g(x2),则x-x的最小值为() A. B。1 C。2 D。e e 二、多选题 9。在正方体ABCD-ABCD中，O为DB的中点，直线AC交平面CBD于点M,则下列结论正确的是() A.直线BC与直线CD所成角为60° B.AC⊥平面C,BD C。M、O、C三点共线 D.直线4C与平面4BCD所成角的为牙 试卷第1页，共1页 10。已知点A(3,0),B(0,3),点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=4上运动，则() A。直线AB与圆C相离 B。△PAB的面积的最小值为6-2√2 C.|PA|的最大值为6 D。当∠PBA最小时，|PB=√6 11。现进行如下试验：从1,2,3，…，10中任选一个数，记为a1,若a=1,则试验结束：否则再从1,2，，4-1中任选 一个数，记为4，若4，=1，则试验结束：否则再从1,2，，a2-1中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件 A=“试验过程中，数字1被选到”，卫，表示事件A发生的概率(i=1,2,3,,10),则(） A.P=10 1 1.1 .1 B.D.=P C.P(A1 4)=P(4 40) D。P(AA)=p·p,,j∈1,2，，10}且≠) 三、填空题 12。直线1：y=x+1与圆C:x2+y2-4x-2y=0相交所得的弦长为 13。已知正四棱台ABCD-ABCD中，侧棱与底面所成的角为45°，AB,=2AB=2√2，则该四棱台的体积为 14。“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2、3、5.…都是素数： “李生素数”是指相差为2的两个素数，例如(3,5)，(5,7)，(11,13)…都是“李生素数”：关于“孪生素数”有一个著名的 猜想：自然数中存在无穷多对“李生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000 万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”：现在某同学要从小于20的素数中 取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率= 四、解答题 15。已知数列{a}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1 (1)求数列{an}的通项公式： ®已知。-2丛，*数别私，}的前0项和为 a 试卷第2页，共3页 16,在A1BC中，内角4B,C的对边分别为abc,bc0sC+c0sB=2ac0sC,imnC= -sinB. 2 (1)求B: (2)若a=2,求A4BC的面积. 17。在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠DAB=60°，DE⊥平面ABCD,AF∥DE, 且Ag-DE. E (I)证明：平面ACE⊥平面BDE。 2诺平面BBF与平面BD驱夹角的余弦值为√ ,求DE。 10 试卷第3页，共3页 18。已知函数f(x)=x(1-lnx). (1)求函数f()在x=e处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： C3)设a,b为两个不相等的正数，且bna-al血b=a-b,证明：2<上+ <e. a b 9已知椭圆E黑+1a>b>0的离心率为7，短轴长为2风 (1)求椭圆E的方程： (2)设A,B是椭圆E的左、右顶点，F是椭圆E的右焦点。过点F的直线l与椭圆E相交于M,N两点（点M在x轴 的上方)，直线AM,BN分别与y轴交于点P,Q,试判断 O oal 是否为定值？若是定值，求出这个定值：若不是定值， 说明理由， 试卷第4页，共3页 《2026届高三下学期综合测试（艺高一模)》参考答案 题号 1 2 4 6 6 7 8 9 10 答案 A C B D D B ABC ACD 题号 11 答案 BCD 1.AI详解】B={x|x2-5x+4<0}={x1<x<4},又因为A={x|-1<x<3},所以AUB={x|-1<x<4}. 2c【祥1因为：六调品兰所以用百-后子吾兰 3.B【详解】由2a-i=(4-七，-4)，且(2五-b)1a,则(2a-万)a=8-2x+4=0,解得x=6, 即6=(6,2)，可得a-b=(-4-3),所以a-=√16+9=5. 4.D【详解】共有6个因式，从2个因式中选择}，在剩下的4个因式中选择2x, 则日2小的晨开式中的带项为c)j(2y-20 5.D【详解】由题意可知G=44,即(4+4)2=a(4+6),整理可得2a+16=0,解得4=-8， 藏8=+7d=8(-9+56=8 6.C【详解1因为cos(c+P)=cosao-sin asi tm citan上2snP1 cosacos B3’ 所以cos&cosB=3 sinasin B, 1 故3 sin asin--sin asin=2 sin asin-解得sin asin= 6 所以cos@cos,B=3x-1 629 1,12 cos(a-B)=cos a cosB+sin asin B= 2+63 7.A【详解】因为P=3PF,由椭圆的定义可得P+PE=4PF=2a, 所以P号，P经，因为R吹=120，由余弦定理可得 E=PR+PE-2PRIIPR COS ZRPR 所以+好+2号}第理可得-字所议e-后品即四 4 8.B【详解】由题意可得f(x)=g(化)，即x+e=x2+ln,所以x+e=e:+hx2, 又f'(x)=1+e>0，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)=f(nx2)，所以x=lnx2, 且k-xl=|nx-e=hx2-x,令h(c)=lhx-x,xe(0,+∞)， 答案第1页，共8页 则h)-1-,英中x>0,令h-0,则x=1, 当x∈(0,1)时，H(x)>0，则h(x)单调递增，当x∈(1，+o)时，(x)<0,则h(x)单调递减， 所以当x=1时，h(x)有极大值，即最大值，所以h(x)≤h(1)=-1,h(x≥1， 所以5-lmn=lhx2-xlmn=卜1=1. 9。ABC【详解】对于A,连接AC,AD,四边形ABC,D,是正方体ABCD-ABCD的对角面， 则四边形ABCD,为矩形，AD,I1BC,∠ADC是直线BC,与直线CD所成角或其补角， 而AC=AD=CD,因此∠ADC=60°，A正确： 对于B,AA⊥平面ABCD,BDc平面ABCD,则AA⊥BD,又BD⊥AC, AA∩AC=A,AA,ACC平面AAC,则BDL平面AAC,又ACC平面AAC, 于是AC⊥BD,同理AC⊥BC,又BD∩BC=B,因此AC⊥平面CBD,B正确： 对于C,由O∈AC,ACc平面ACCA,得O∈平面ACCA, 由O∈BD,BDC平面CBD,得O∈平面C,BD,则O是平面ACCA和平面CBD的公共点， 同理，点M和C都是平面ACCA和平面C,BD的公共点， 因此三点C,M,O在平面CBD与平面ACCA的交线上，即C,M,O三点共线，C正确： 对于D,连接AD,设AD∩AD=N,连接CN，由选项B,同理得AN⊥平面ABCD, 则ACN为直线4C,与平面ABCD所废的角，在4CN中，4N4D4C, 因此m4水w兴方4GN-芹D错误 10。ACD【详解】对于A中，由点A(3,0),B(0,3),点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=4上运动， 则圆心为C(3,4),半径为2，直线AB的方程为x+y-3=0, 则圆心C到直线AB的距离d=2√2>2，所以直线AB与圆C相离，所以A正确： 对于B中，因为AB=3√2，点P到直线AB的距离的最小值为2√5-2， 则aPAB面积的最小值为×32×(2反-)=6-32，所以B错误： 对于C中，由|PAl=AC+2=√(3-3}+(4-0+2=6，所以C正确： 对于D中，当∠PBA最小时，直线PB与圆C相切，此时|PB=VBCP-4=√6，所以D正确. 答案第2页，共8页 11。BCD【详解】对于A,若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为 10 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为× 109901 所以月=。品行选项A错误： 对于B,若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为 08 4发生后，下-次从1到8中选到8摄率为日， A,发生后，下一次从1到9中选到8，概率为)Po: 1 这几种情况彼此互斥，所以人，=人+弘 =0+8A+gPo,选项B正确： P(A4o) 守于C,根据条件概率公式P44)三P,P(44如)户 P(40)' 若A,发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为日，即P(414)专， 若A。发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即r414)g日g 所以P(A|A)=P(AAo),选项C正确： 对于D,对于A即选中k的情况，设m为选中数当中不小于k的最小整数， 则P=P(m=k)+P(m=k+1)+P(=k+2)++P(m=10) 0+A++g, 11 当≤9时，有d+甘n-生A,ks9, 结合0知A京太=1210， 所以最大数选取是任意的，始终有卫：=’ 1 对于i,j同时选中情况，不妨设i<j,P(A|A)可理解为从1~j-1中按规则取数， 选中：的概率，则有P(44)} 可得44)=X414)P4号RA,选项D正确 答案第3页，共8页 12.2√3【详解】由C:x2+y2-4x-2y=0,即C:(x-2)2+(y-1)2=5,所以圆心为C(2,1),半径为r=√5， 所以C2小到1：=x+1的距离d-2-+-万，综上，直线与圆的相交弦长为2N--25. 1,兰4号【详解1由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧被与定面所成角为5， 所以商为42-1，则四按台的体积y号12+8128片 14.号【详解】小于20的素数共有3,57,1,13,17,19,8个，其中“李生素数“有(35)，(5,7)，(11,13).(17,19)4对， 若取(3,5)，则不能取7，从{2,11,13,17,19}中取2个，同时11,13和17,19不能同时出现，故有C-2=8种， 若取(5,7)，则不能取3，从{2,11,13,17,19}中取2个，同时11,13和17,19不能同时出现，故有C-2=8种， 若取(11,13)，再从{2,3,5,7,17,19}中取2个，同时3,5,5,7，和17,19不能同时出现，故有C-3=12种， 若取(17,19)，再从{2,3,5,7,11,13}中取2个，同时3,5,5,7，和11,13不能同时出现，故有C-3=12种， 总共有8+8+12+12=40， 而从8个数中取出4个共有C=70种， 所以取出的4个素数中恰有两个是“李生素数“的概率为01 707 15。【详解】(1)Sn=2a.-1①， 当n=1时，4=2a1-1,解得4=1，…1分 当n≥2时，Sn1=2a-1-1②， 式子①-②得a.=24。-20-1,故a.=20n-1,3分 因为4=1≠0，所以a,≠0，所以=2， a 所以{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，4分 所以4。=2-1； 5分 g=19+3令+5x+-0m-3 ①.7分 =1令+3x分+5x++Qm-对 ②8分 答案第4页，共8页 @8=身鸣-令e9 9分 11分 =1+2[2 1 12 12分 =3-(2n+3() …13分 T.=6-(2n+3分 16。【详解】(1)因为bcosC+ccosB=2 acosC,由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2 sinAcosC,.2分 且sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,即sinA=2 sinAcosC,.4分 又因为A∈(0，m),则sinA≠0，可得cosC=, 2’5分 且Ce(0刘，所以C-子：6分 则sinc=y6nR sinB=3 2 ，可得inB=V2, f217分 又因为0<8<，所以8-圣m8分 2)因为c=雪B=开 4’ sin-sin(B+C)-sin B cosc+eos Bsinc 4。 911分 sin"sinc,则c=asinc.、2xg 又因为a=c mA石+25(6-回，…l13分 2 4 所以5256-同要3515分 17【详解】(1)因为DE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以DE⊥AC,2分 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,DEOBD=D,4分 又BD,DEC平面BDE,所以AC⊥平面BDE,5分 又ACC平面ACE,所以平面ACE⊥平面BDE6分 (2)设AC与BD交于点O,以O为原点，OA,OB分别为x,y轴，过点O平行DE为z轴，建立空间直角坐标系，7 分 设DE=3h,则A(2√3,0,0），B(0,2,0),D(0,-2,0),E(0,-2,3h，F(2V5,0,h),8分 答案第5页，共8页 所以EF=(25,2,-2h），BE=(0,-4,3h), 设平面BEF的一个法向量为i=（x,y,), 则m·E卫=2.0，令z=4,得y=3h,x3h,所以■ 则 3 a4 11分 取平面BDE的法向量i=(1,0,0), 12分 -h+3hx0+4x0 所以m 73 3 ,解得h=3,故DE=9.15分 网 V5+9r+16x1 1 10 18.【详解】(f(e)=e1-1ne)=0,所以切点为(e,0)l分 由f(=x(1-血)得，f'()=-lhx,2分 k切=f'(e)=-ne=-13分 所以切线方程为：y-0=-1(x-e),即：x+y一e=04分 f(x)的定义域为(0，+0).5分 由f(x)=x(1-lnx)得，f'(x)=-lnx, 当x=1时，f(x)=0:当x∈(0,1)时f(x)>0:当x∈(1，+o)时，f'(x)<0.7分 故f(x)在区间(0，]内为增函数，在区间卫，+0)内为减函数，8分 2由a-ab=a-6海0-之0-3，即=f冷.9分 11 由a≠b,得二≠ a b. 由1)不妨设0话Q+m,则日>0，从而f伯>0，得君ce,…ln分 ①令8(x)=f(2-x)-f(x), 则g'(x)=h(2-)+nx=lh(2x-x)=ln1-(x-1)],11分 当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)在区间(0,1)内为减函数，8(x)>8(1)=0, 答案第6页，共8页