专题06 尺规作图7大核心题型（题型专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 尺规作图7大核心题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 作一条线段等于已知线段 题型02 作一个角等于已知角 题型03 作已知角的平分线 题型04 作线段的垂直平分线 题型05 过一点作已知直线的垂线 题型06 角平分线与垂直平分线的综合 题型07 格点（网格）中的尺规作图 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 作一条线段等于已知线段 典例引领 【典例01】（2024·天津红桥·二模）如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 天津中考基础作图，是所有复杂作图的第一步，考查作图规范、痕迹保留与步骤表述，常出现在选择题、填空题及简单作图题中。 方法技能 1. 先作一条射线，确定起点； 2. 用圆规量取已知线段的长度； 3. 保持圆规张口不变，在射线上截取等长线段，标记端点； 4. 保留作图痕迹，写出结论。 变式演练 【变式01】小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【变式02】如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式03】如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【变式04】（2024·天津南开·二模）如图1，在中，，，．如图2，按照如下尺规作图的步骤进行操作：       ①以点C为圆心，以2为半径画弧，交边于点D，连接； ②以点B为圆心，以2为半径画，交延长线于点E，交边于点F； ③以E为圆心，以长为半径画弧，交于点G； ④连接，，连接交于点H． 则下列结论中正确的是（    ） A．平分 B． C．四边形为菱形 D．四边形为菱形 题型02 作一个角等于已知角 典例引领 【典例01】（2024·天津西青·二模）如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 利用 SSS 全等原理作图，是天津中考常考基础作图，常与三角形、平行线、证明题结合，考查作图依据与操作准确性。 方法技能 1. 作一条射线作为新角的一边； 2. 以已知角顶点为圆心画弧，交两边于两点； 3. 以新角顶点为圆心，相同半径画弧； 4. 以交点为圆心，截取等长弦确定另一边； 5. 连线成角，保留痕迹。 变式演练 【变式01】如图，在中，P是边的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交、于点D、E；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线，交线段于点Q．则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式02】（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·天津南开·一模）如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型03 作已知角的平分线 典例引领 【典例01】（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 方法透视 考向解读 天津中考最高频尺规作图，常结合角平分线性质、距离相等、几何证明考查，是必须熟练掌握的核心题型。 方法技能 1. 以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边； 2. 分别以两交点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，交于内部一点； 3. 连接顶点与交点，即为角平分线； 4. 保留弧迹。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 【变式02】（2025·天津西青·二模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交，于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式03】（2025·天津滨海新区·二模）如图，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，再分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部交于点，画射线，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．4.8 C．6 D．8 【变式04】（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 题型04作线段的垂直平分线 典例引领 【典例01】（2024·天津南开·三模）如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【典例02】（2024·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线，与边于点E，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 方法透视 考向解读 中考必考作图，用于找中点、作垂线、确定对称轴、找三角形外心，考查垂直平分线的性质与作图逻辑。 方法技能 1. 分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧； 2. 两弧在线段上下各交于一点； 3. 连接两个交点，即为垂直平分线； 4. 必须保证两弧相交，半径足够大。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 【变式02】（2025·天津河东·二模）如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点A，点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：连接分别交，于点E，点F，连接． 则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·天津河西·二模）如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式04】（2024·天津河西·二模）如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型05 过一点作已知直线的垂线 典例引领 【典例01】（2025·天津河北·二模）如图，在中，，以点C为圆心，大于点C到边的距离为半径画弧交边于D点，E点，分别以点D，点E为圆心，大于长为半径画弧交于点G，点F．作直线交于点H，则点C和点H两点间的距离为（   ） A．2 B． C．3 D．5 方法透视 考向解读 垂直平分线的延伸应用，分点在直线上和点在直线外两类，是作图题、证明题、计算题的常用工具。 方法技能 点在直线上：以点为圆心截等长线段，再作垂直平分线；点在直线外：以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点的垂直平分线；保留所有作图痕迹。 变式演练 【变式01】（2024·天津河北·一模）如图，在中，，任取一点O，使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，所在直线交于点D．若的长为3，则的长为（  ） A．3 B． C．6 D． 【变式02】（2024·天津红桥·三模）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 【变式03】．（2024·天津·一模）如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型06 角平分线与垂直平分线的综合 【典例01】（2024·天津南开·一模）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 天津中考高频综合作图，将角平分线与垂直平分线结合考查，常用于确定等距点、三角形内心与外心、角与线段双重条件轨迹问题，侧重性质综合运用与作图逻辑。 方法技能 1. 先判断条件：等距到角两边→作角平分线；等距到线段两端→作垂直平分线；2. 按规范分别作出角平分线、垂直平分线；3. 两线交点即为满足双重条件的点；4. 保留全部作图痕迹，明确结论。 变式演练 【变式01】（2025·天津模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式02】（2025·天津模拟）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于点M，作射线交于点K．以K为圆心，为半径画弧交射线于点H，分别以C，H为圆心，大于长为半径画弧交于点N，L，作直线交于点G．若，，则（    ）    A．2 B． C． D．3 【变式03】（2025·天津和平·三模）如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式04】（2025·天津南开·二模）如图，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与，分别相交于两点； ②分别以点为圆心；以大于的长为半径画弧，两弧相交于点： ③作射线与相交于点； ④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ⑤作直线．在直线上任意取点，连接． 则周长的最小值为（　　） A．14 B．10 C．8 D．6 题型07 格点（网格）中的尺规作图 典例引领 【典例01】（2025·天津南开·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点． （1）半圆的半径长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______ 【典例02】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 方法透视 考向解读 天津中考特色难点，仅限无刻度直尺作图，考查几何直观、对称、平行、垂直、中点、全等性质的综合运用。 方法技能 1. 利用格线直接确定平行与垂直； 2. 利用矩形对角线找中点、中心对称点； 3. 利用正方形对角线作角平分线； 4. 只用直尺连线，不测量长度，依据几何性质作图。 变式演练 【变式01】（2025·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，以点为圆心作圆，经过点，且与网格线交于点． （I）的半径等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得为的切线，且．请简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______________________ 【变式02】（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于___________； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）___________． 【变式03】（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，有点，，三个点，以为直径作圆，点恰为圆上一点． （I）的度数为________； （II）在这个圆上另有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【变式04】（2025·天津东丽·模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 【变式05】（2025·天津滨海新区·一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，O为格点，经过格点A． （1）半径的长为________； （2）在如图所示网格中，B，C为上两点，P为一格点，请利用无刻度直尺，确定点P，B，C的位置，使四边形为菱形，且满足，并简要说明点P，B，C的位置是如何确定的（不要求证明）________． 题●型●训●练 1．（2024·天津河北·二模）如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 4．（2024·天津武清·三模）如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 5．（2025·天津北辰·一模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·一模）已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（   ） A．120 B．130 C．156 D．169 8．（2024·天津和平·三模）如图，外有一点P，连接，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作圆与相交于A，B两点，连接与相切于点C，与分别相交于点E，F．若则的周长为（　　）    A． B．4 C． D．2 9．（2025·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，格点在圆的外部，格点在圆上． （I）圆中劣弧的长度为_____； （II）由切线长定理可知从点可作圆的两条切线，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出两个切点，并简要说明是如何找到的（不要求证明）_____． 10．（2025·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 尺规作图7大核心题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 作一条线段等于已知线段 题型02 作一个角等于已知角 题型03 作已知角的平分线 题型04 作线段的垂直平分线 题型05 过一点作已知直线的垂线 题型06 角平分线与垂直平分线的综合 题型07 格点（网格）中的尺规作图 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 作一条线段等于已知线段 典例引领 【典例01】（2024·天津红桥·二模）如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形中两个锐角互余，根据作图可得四边形是菱形，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴． 故选：C． 方法透视 考向解读 天津中考基础作图，是所有复杂作图的第一步，考查作图规范、痕迹保留与步骤表述，常出现在选择题、填空题及简单作图题中。 方法技能 1. 先作一条射线，确定起点； 2. 用圆规量取已知线段的长度； 3. 保持圆规张口不变，在射线上截取等长线段，标记端点； 4. 保留作图痕迹，写出结论。 变式演练 【变式01】小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式02】如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【变式03】如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，根据作图证明四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴, 故选项A 、B、 D正确； 无法证明，即不一定成立． 故选：C． 【变式04】（2024·天津南开·二模）如图1，在中，，，．如图2，按照如下尺规作图的步骤进行操作：       ①以点C为圆心，以2为半径画弧，交边于点D，连接； ②以点B为圆心，以2为半径画，交延长线于点E，交边于点F； ③以E为圆心，以长为半径画弧，交于点G； ④连接，，连接交于点H． 则下列结论中正确的是（    ） A．平分 B． C．四边形为菱形 D．四边形为菱形 【答案】D 【分析】本题是基本作图与四边形综合题，解题关键是清楚作图的过程和结果． 由作法可知，，根据即可判定选项A不正确，判定四边形为平行四边形，四边形为菱形，由勾股定理和解三角形求出、即可判定选项BC错误，D正确． 【详解】解：∵，，． ∴， 由作法可知，． ∴， ∴，，故A选项结论错误； ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形为菱形，故选项D正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， 故，故B结论错误， ∵， ∴，故不是菱形，故C选项结论错误． 故选D． 题型02 作一个角等于已知角 典例引领 【典例01】（2024·天津西青·二模）如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查基本作图、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质，属于中考常考题型．根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知， ∴． 故选：D． 方法透视 考向解读 利用 SSS 全等原理作图，是天津中考常考基础作图，常与三角形、平行线、证明题结合，考查作图依据与操作准确性。 方法技能 1. 作一条射线作为新角的一边； 2. 以已知角顶点为圆心画弧，交两边于两点； 3. 以新角顶点为圆心，相同半径画弧； 4. 以交点为圆心，截取等长弦确定另一边； 5. 连线成角，保留痕迹。 变式演练 【变式01】如图，在中，P是边的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交、于点D、E；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线，交线段于点Q．则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由中点定义可得，由作图过程可得，可得，从而证明． 【详解】解：∵中，P是边的中点， ∴． 由作图过程可得，， ∵， ∴， ， 故选：D． 【变式02】（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式03】（2025·天津南开·一模）如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线等分线段定、三角形中位线定理等知识点，说明是解题的关键． 由作图过程可得，可判定A正确；再根据平行线的判定定理可得，由平行线的性质可判定B选项；根据平行线等分线段定理可判断C选项；先说明是的中位线可得，而和不一定相等，据此可判定D选项． 【详解】解：由作图可知，故选项A正确， ∴， ∴，故选项B正确， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴，即，故选项C正确； ∵，， ∴是的中位线， ∴ ∵和不一定相等， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 题型03 作已知角的平分线 典例引领 【典例01】（2025·天津·模拟预测）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故选：C． 【典例02】（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 方法透视 考向解读 天津中考最高频尺规作图，常结合角平分线性质、距离相等、几何证明考查，是必须熟练掌握的核心题型。 方法技能 1. 以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边； 2. 分别以两交点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，交于内部一点； 3. 连接顶点与交点，即为角平分线； 4. 保留弧迹。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到点D到的距离为的长，即点D到的距离为8，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由作法得：平分， ∴点D到和的距离相等，即点D到的距离为的长， ∴点D到的距离为8， ∴的面积． 故选：C． 【变式02】（2025·天津西青·二模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交，于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，则线段的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，如图，过点D作于点H．利用勾股定理的逆定理证明，再证明，利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式03】（2025·天津滨海新区·二模）如图，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，再分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部交于点，画射线，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．4.8 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意，得出，且平分，进而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可得，为的角平分线，且， ∵，平分， ∴，且平分， 设与交于点， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式04】（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点作交的延长线于点，首先证明是等边三角形，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 由作图可知，平分， ． ∵四边形是平行四边形， ． ． 是等边三角形． ． ， ． ． ，． ． ． ， ． ． 故选：A． 题型04作线段的垂直平分线 典例引领 【典例01】（2024·天津南开·三模）如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据是的垂直平分线，从而可得，进而可得，再求得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，从而知道，结合以上信息，可以判断选项A，B，C，最后利用，可知，而，从而判断选项D． 【详解】解：，， ， 由题意得：，是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项B正确； ， ， ， 即， 又， ， 故选项A正确； ，， ， ， ， 故选项C正确； ，， ， ， ， 故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【典例02】（2024·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线，与边于点E，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到是线段的垂直平分线．设交于，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得． 【详解】解：设交于，连接，如图：    由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中， ， 故选：A． 方法透视 考向解读 中考必考作图，用于找中点、作垂线、确定对称轴、找三角形外心，考查垂直平分线的性质与作图逻辑。 方法技能 1. 分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧； 2. 两弧在线段上下各交于一点； 3. 连接两个交点，即为垂直平分线； 4. 必须保证两弧相交，半径足够大。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由作图过程可得、垂直平分，进而得到、、，即；由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 故选：B． 【变式02】（2025·天津河东·二模）如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点A，点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：连接分别交，于点E，点F，连接． 则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得由矩形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 四边形为矩形， ，． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为． 故选：B． 【变式03】（2025·天津河西·二模）如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由条件得到垂直平分，根据三角函数可求出的长，进而求解． 【详解】解：由题意知，，， ∴垂直平分， 即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 【变式04】（2024·天津河西·二模）如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设交于点O，根据题意得到平分，再根据平行线的性质，易证四边形是菱形，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：设交于点O， 由作图依据可得：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的作法及菱形的判定定理是解题的关键． 题型05 过一点作已知直线的垂线 典例引领 【典例01】（2025·天津河北·二模）如图，在中，，以点C为圆心，大于点C到边的距离为半径画弧交边于D点，E点，分别以点D，点E为圆心，大于长为半径画弧交于点G，点F．作直线交于点H，则点C和点H两点间的距离为（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，勾股定理，等积法求线段的长，根据作图得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知， ∴，即：， ∴，即：点C和点H两点间的距离为； 故选B． 方法透视 考向解读 垂直平分线的延伸应用，分点在直线上和点在直线外两类，是作图题、证明题、计算题的常用工具。 方法技能 点在直线上：以点为圆心截等长线段，再作垂直平分线；点在直线外：以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点的垂直平分线；保留所有作图痕迹。 变式演练 【变式01】（2024·天津河北·一模）如图，在中，，任取一点O，使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，所在直线交于点D．若的长为3，则的长为（  ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，正切等知识．熟练掌握作垂直平分线，正切是解题的关键． 由作图可知，是的垂直平分线，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【变式02】（2024·天津红桥·三模）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，的周长，即：， ∴， 故选：C． 【变式03】．（2024·天津·一模）如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线等知识点，根据作法得到是线段的垂直平分线是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线的性质解答即可． 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，则 ∴是的中位线， ∴． 故选B． 题型06 角平分线与垂直平分线的综合 【典例01】（2024·天津南开·一模）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选；B． 方法透视 考向解读 天津中考高频综合作图，将角平分线与垂直平分线结合考查，常用于确定等距点、三角形内心与外心、角与线段双重条件轨迹问题，侧重性质综合运用与作图逻辑。 方法技能 1. 先判断条件：等距到角两边→作角平分线；等距到线段两端→作垂直平分线；2. 按规范分别作出角平分线、垂直平分线；3. 两线交点即为满足双重条件的点；4. 保留全部作图痕迹，明确结论。 变式演练 【变式01】（2025·天津模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，， ，， ， ，， ， ． 故选：A． 【变式02】（2025·天津模拟）在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于点M，作射线交于点K．以K为圆心，为半径画弧交射线于点H，分别以C，H为圆心，大于长为半径画弧交于点N，L，作直线交于点G．若，，则（    ）    A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意得为的角平分线，垂直平分，可得，，求解，，由等面积法可得：，求解，再利用角平分线的性质可得答案． 【详解】解；根据题意得为的角平分线，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，， 如图，过作于，而，    由等面积法可得： ， ∴， ∴． 故选B 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，线段的垂直平分线的作图，勾股定理的应用，三角形面积的计算，角平分线的性质，理解两种基本作图的含义是解本题的关键． 【变式03】（2025·天津和平·三模）如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，等角对等边，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，有平行四边形的性质和平行线的性质可得，由作图方法可得平分，则，据此可证明得到，由作图方法可得垂直平分，则，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可得平分， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 过点P作， ∴， ∴到的距离为， 故选：B． 【变式04】（2025·天津南开·二模）如图，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与，分别相交于两点； ②分别以点为圆心；以大于的长为半径画弧，两弧相交于点： ③作射线与相交于点； ④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ⑤作直线．在直线上任意取点，连接． 则周长的最小值为（　　） A．14 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，利用三角形面积公式得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据周长，得到当点A，P，G共线时，有最小值，即周长最小，，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，由作图方法得平分，垂直平分， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， ∴当点A，P，G共线时，有最小值，即周长最小， 此时， ∴周长的最小值为， 故选：A． 题型07 格点（网格）中的尺规作图 典例引领 【典例01】（2025·天津南开·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点． （1）半圆的半径长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【分析】本题主要考查了格点作图，圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据是的直径，且即可得到答案； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【详解】解：（1）∵是的直径，且， ∴半圆的半径长为， 故答案为：； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 如图所示，连接， 可证明，则可证明，则有； 取格点W、S，可证明，则，则； 可证明，且点R为的中点，则， 则． 【典例02】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直接求解； （Ⅱ）先取圆与网格线的交点和，再连接与网格线相交于点，然后延长与圆交于点，最后取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 【详解】（Ⅰ）解：， 故答案为：； （Ⅱ）取圆与网格线的交点和，连接与网格线相交于点；延长与圆交于点，连接并延长与圆相交于点；取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 理由：， 是圆的直径． 是圆的直径． ， 点是圆心． 是圆的直径， ． ， 又， ， ， ， ， ． ． ， ∵是直径， ∴， 又， ， ， 在与中， ， ． ． 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，解题关键是在于确定圆心，利用直径所对的圆周角是直角，得到圆周角是直角． 方法透视 考向解读 天津中考特色难点，仅限无刻度直尺作图，考查几何直观、对称、平行、垂直、中点、全等性质的综合运用。 方法技能 1. 利用格线直接确定平行与垂直； 2. 利用矩形对角线找中点、中心对称点； 3. 利用正方形对角线作角平分线； 4. 只用直尺连线，不测量长度，依据几何性质作图。 变式演练 【变式01】（2025·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，以点为圆心作圆，经过点，且与网格线交于点． （I）的半径等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得为的切线，且．请简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______________________ 【答案】 根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求 【分析】题目主要考查利用网格作切线及平行线，熟练掌握全等三角形的性质及圆的性质是解题关键． （I）连接，利用网格及勾股定理即可求解； （II）根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求． 【详解】解：（I）连接，如图所示： ∴， 故答案为：； （II）如图所示：点得位置即为所求； 根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求， 故答案为：根据网格，找出即可确定点，连接交于点L，连接并延长交为点P即为所求． 【变式02】（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于___________； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）___________． 【答案】 见解析 【分析】本题考查考查了复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质画图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 【详解】（1）； （2）如图，取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 证明：如图，取格点，连接，设圆的圆心为，连接， ， 根据图形可得， ， ， ， ， 由作图可得且，点分别为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的垂直平分线， ， 所对的圆心角是， ， 为等边三角形； 由作图可得， ， ， , ， ， ， ， 即， 为圆的切线． 【变式03】（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，有点，，三个点，以为直径作圆，点恰为圆上一点． （I）的度数为________； （II）在这个圆上另有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 见解析 【分析】（I）根据直径所对的圆周角为直角，即可获得答案； （II）延长交正方形网格于点T，连接交圆于点D，连接交于点E，则，因此点E为两条高的交点，连接并延长交圆于点，，则，由垂径定理得是的垂直平分线，连接交于点K，连接并延长交圆即为点C，则，那么，则，由垂径定理得，所以． 【详解】解：（I）∵为直径作圆，点恰为圆上一点， ∴； （II）如图：点即为所作： 延长交正方形网格于点T，连接交圆于点D，连接交于点E，连接并延长交圆于点，，连接交于点K，连接并延长交圆即为点C． 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，难度大，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式04】（2025·天津东丽·模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 【答案】(1)作图见解析 (2)① ②作图见解析，理由见解析 【分析】对于（1），先取的中点，连接，延长交于点D，根据垂径定理可得点D是的中点； 对于（2），①先证明是等腰直角三角形，即可得出答案； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：①∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. 故答案为：45； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示. 理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形， ∴. ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B旋转得到. 【点睛】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握. 【变式05】（2025·天津滨海新区·一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，O为格点，经过格点A． （1）半径的长为________； （2）在如图所示网格中，B，C为上两点，P为一格点，请利用无刻度直尺，确定点P，B，C的位置，使四边形为菱形，且满足，并简要说明点P，B，C的位置是如何确定的（不要求证明）________． 【答案】 取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）如图：取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足． 【详解】解：（1）：如图：； （2）如图，取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足． 由作图可知：为的中点，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、 菱形的判定、圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 题●型●训●练 1．（2024·天津河北·二模）如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，三角形外角的性质， 利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由基本作图得到平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024·天津·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式．根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，即可求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据作图可得：，为的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2024·天津武清·三模）如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据作图痕迹得到平分，根据等腰三角形的三线合一性质得到，，再利用勾股定理求得，再根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹得到平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查基本作图作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到平分且垂直平分是解答的关键． 5．（2025·天津北辰·一模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的垂直平分线，则根据等边三角形的性质只能得到． 【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故A正确，对于B、C、D条件不足，不能证明成立，不符合题意， 故选：A． 6．（2025·天津·一模）已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， ∴选项符合题意， 故选：． 7．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（   ） A．120 B．130 C．156 D．169 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由作图可得，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，由等角对等边得出，进而求出，过D作于M，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由作图知：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 过D作于M， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：A． 8．（2024·天津和平·三模）如图，外有一点P，连接，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作圆与相交于A，B两点，连接与相切于点C，与分别相交于点E，F．若则的周长为（　　）    A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，切线的判定与性质，垂直平分线的定义，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．现根据垂直平分线得出是的直径，再证明是的切线，结合与相切于点C，且都是半径，得出，再根据周长列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵直线与相交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作圆与相交于A，B两点， ∴是的直径， ∴， ∵都是的半径， ∴是的切线， ∴， ∵与相切于点C，且都是半径， ∴， ∴则的周长， 故选：B． 9．（2025·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，格点在圆的外部，格点在圆上． （I）圆中劣弧的长度为_____； （II）由切线长定理可知从点可作圆的两条切线，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出两个切点，并简要说明是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 见解析，连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作 【分析】（I）先求出半径及圆心角，再根据弧长公式求解； （II）连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，由题意可得，则，可得，得出，同理可得，则点即为所作，． 【详解】解：（I）连接相交于点， 由题意得：，， ， ， 的长， 故答案为：； （II）解：连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作， 故答案为：连接相交于点，过点作线段分别交圆于点，交线段于点，连接，则点即为所作， 【点睛】本题考查了作图的应用与设计，相似三角形的判定与性质，切线的判定、弧长公式及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定、弧长公式及勾股定理是解题的关键． 10．（2025·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 图见解析，取圆与网格线的交点，连接相交于点；取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点；连接并延长，与圆分别相交于点；连接相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （I）根据网格，运用勾股定理即可求解； （II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（I）； （II）如图， 取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心； 取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点， ∴点是弦的中点， ∴； 连接相交于点，如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则点即为所求． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $