专题06 四边形（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 四边形（解析版） 考点1 利用平行四边形的性质求解 一、单选题 1．（2021·天津·中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)， ∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度， ∴A到D也应向右移动4个单位长度， ∵点A的坐标为(0，1)， 则点D的坐标为(4，1)， 故选:C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 二、解答题 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 考点2 与三角形中位线有关的求解 一、填空题 1．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 2．（2022·天津·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 【答案】 【分析】连接，作交的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出为的中位线，进而求出，利用勾股定理求出AF，再证明，得出． 【详解】解：如图，连接，作交AB的延长线于点H． ∴ ∵四边形是边长为2的菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴，即点B为线段EH的中点， 又∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴, ∴，即是直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点3 正方形的性质 一、填空题 1．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 2．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作，   正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 3．（2021·天津·中考真题）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K， ∵正方形边长为4， ∴OK=2，KC=2， ∴KC=CE， ∴CH是△OKE的中位线 ∴， 作GM⊥CD，垂足为点M， ∵G点为EF中点， ∴GM是△FCE的中位线， ∴，， ∴， 在Rt△MHG中，， 故答案为：． 考点4 平行四边形的动点 1．（2022·天津·中考真题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，其中t的取值范围是 (3)3，．（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）先根据折叠的性质得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案； （2）根据题意先表示，再根据，表示QE，然后根据表示即可，再求出取值范围； （3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解． 【详解】（1）在中，由，得． 根据折叠，知， ∴，． ∵， ∴． 如图，过点O′作，垂足为H，则． ∴在中，得． 由，得，则． 由， 得，． ∴点的坐标为． （2）∵点， ∴． 又， ∴． 同（1）知，，． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，得． ∴． 又， ∴. 如图，当点O′与AB重合时，，， 则， ∴， ∴， 解得t=2， ∴t的取值范围是； （3）3，．（答案不唯一，满足即可） 当点Q与点A重合时，，， ∴， 则. ∴t=3时，重合部分的面积是， 从t=3之后重合部分的面积始终是， 当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝， 由于P不能与C重合，故， 所以都符合题意． 一、单选题 1．（2025·天津和平·三模）如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，等角对等边，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，有平行四边形的性质和平行线的性质可得，由作图方法可得平分，则，据此可证明得到，由作图方法可得垂直平分，则，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可得平分， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 过点P作， ∴， ∴到的距离为， 故选：B． 2．（2025·天津西青·二模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点E，若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，轴对称的性质． 由四边形是平行四边形，可得，，再由将沿所在直线折叠得到，继而可证，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，将沿所在直线折叠得到，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故B错误，C正确． ∵，， ∴， ∴， ∴，故A 错误， 由条件无法求出的度数，故D错误． 故选：C． 3．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（   ） A．120 B．130 C．156 D．169 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由作图可得，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，由等角对等边得出，进而求出，过D作于M，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由作图知：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 过D作于M， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：A． 4．（2025·天津河东·一模）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设为直线上一点，根据折叠的性质，矩形的性质，证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，设为直线上一点， ∵在矩形中，点是的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故选项D正确； ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，故选项错误； ∵，故选项A错误； ∵， ∴， ∵为的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：；故选项B错误； 故选D． 【点睛】本题考查矩形与折叠，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，是解题的关键． 5．（2025·天津红桥·三模）如图，在矩形中，，连接，分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，与相交于点，与相交于点，连接，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 根据矩形的性质得，由作图可知垂直平分，得，设，则，最后由勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：在矩形中，， ， 由作图步骤可知，垂直平分， ， 设，则， ， ， 解得， 故选：C． 6．（2025·天津河西·二模）如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由条件得到垂直平分，根据三角函数可求出的长，进而求解． 【详解】解：由题意知，，， ∴垂直平分， 即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 7．（2025·天津河东·二模）如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点A，点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：连接分别交于点E，点F，连接． 则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图—作垂线，勾股定理，根据作图得到垂直平分，进而得到，设，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选B． 二、填空题 8．（2025·天津河西·二模）如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点，连接． （1）的长为 ； （2）线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可得，，进而根据勾股定理即可求解； （2）取的中点，连接，证明，进而证明在上，根据中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：（1）∵平行四边形， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：． （2）取的中点，连接， ∵，， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵是的中点，是的中点 ∴，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴在上， ∴ 故答案为：． 9．（2025·天津河西·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为 ； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求 【分析】本题考查了无刻度作图，勾股定理，作平行四边形，掌握图形性质是解题的关键； （1）根据勾股定理即可求解； （2）取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点，则点即为所求，根据平分了四边形，找到使得的点，即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得， 故答案为：． （2）如图，点和点即为所求； 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求； 理由如下，连接，设交于点， ∵是的中点 ∴弓形的面积相等， 则使得平分四边形， ∵是的中点， ∴平分了四边形， ∵是平行四边形， ∴ ∴，则 ∴，即即为所求， 故答案为：取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点． 10．（2025·天津·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于 ． 【答案】 8 【分析】（Ⅰ）先利用正方形的性质得出，从而可利用证明，再根据全等三角形的性质求出，，然后利用三角形面积求解即可； （Ⅱ）先借助中位线定理与线段的差求得，再利用勾股定理求得，然后利用中位线定理求得． 【详解】（Ⅰ）解：过点作，交延长线于点， 则． 四边形和四边形为正方形， ． ． ， ． ． ． 故答案为：8； （Ⅱ）延长到使，连接，   ， 是的中位线． ． ， ． 在中， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出相关线段． 11．（2025·天津和平·一模）如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为 的长为 ； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】连接，，，并延长交于P，连接，先证明、是等边三角形，由点、分别是边、的中点和等边三角形的性质得出，，，， 由勾股定理，得，，再证明，得到，从而求得，得出，则，由勾股定理，得， 从而得到，然后证明是等边三角形，得出，最后利用三角形中位线性质求出长即可． 【详解】解：连接，，，并延长交于P，连接，如图， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵点，分别是边，的中点， ∴，，，， 由勾股定理，得； ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理，得； ∵G分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点H，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：3；；． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的中位线的性质．正确作出辅助线构造全等三角形、等边三角形和直角三角形是解题的关键． 12．（2025·天津西青·二模）如图，矩形中，的平分线与的延长线相交于点E，与相交于点F，点M为的中点，连接． （Ⅰ）的度数是 ． （Ⅱ）若，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义，得到，平行线的性质，求出，连接，证明，推出为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为： ； （Ⅱ）连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，点M为的中点， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 13．（2025·天津和平·二模）如图，在四边形中，，，，． （1）的长为 ； （2）若点是的中点，点在边上，且，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理计算即可； （2）延长交的延长线于点，作于点，得到四边形是矩形，推出，，得到，证明，得到，，继而得到，利用勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】解：（1）在中，，，， ， 故答案为：； （2）如图，延长交的延长线于点，作于点， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（2025·天津和平·三模）如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接． ①线段的长为 ； ②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了正方形的性质，求正比例函数解析式，两点间距离公式，勾股定理等知识点，建立平面直角坐标系是解题的关键． 建立如图示，平面直角坐标系，连接，则，可求直线解析式，设，由，结合两点间距离公式建立方程求出，即可求解，设，由得到，由两点间距离公式建立方程求出，则，再由中点坐标公式求解得到，最后由两点间距离公式即可求解． 【详解】解：建立如图示，平面直角坐标系，连接， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， 设直线解析式：， 则代入点得到：， 解得：， ∴直线解析式：， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：；． 15．（2025·天津河东·二模）如图，正方形的对角线与交于点O，点E在延长线上，且，连接，过点A作，垂足为F，与延长线交于点G，若，则 （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）线段的长等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形的性质． （Ⅰ）根据正方形的性质得，根据勾股定理求得，即可求得； （Ⅱ）根据垂直的定义和正方形的性质求得，结合三角形的外角求得，利用可证明，有，结合（Ⅰ）可知和，在中根据勾股定理求得即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵正方形的对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； （Ⅱ）∵，正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（Ⅰ）可知，， 在中，， ∴， 故答案为：，． 16．（2025·天津滨海新·一模）如图，正方形的边长为6，点M为边上一点，过点M作交于点N，且，连接． （1）的长为 ； （2）若点F为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据正方形的性质，得到为等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的长即可； （2）过点作，易得为等腰直角三角形，求出和的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：； （2）过点作，则：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 17．（2025·天津河西·一模）如图，正方形边长为6，点在边上，，且，为的中点，则 （I）的度数为 ； （II）的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间距离公式等知识点，正确构造全等三角形的是解题的关键． （1）过点F作交延长线于点K，证明，得到为等腰直角三角形，则； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，即可求解． 【详解】（I）解：如图，过点F作交延长线于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （II）建立如图所示平面直角坐标系： ∴， 由上知， ∵， ∵G为中点， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 18．（2025·天津南开·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②由（1）得出， ∴， ∴， 当时， 如图，重叠部分的面积为， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时， 如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19．（2025·天津滨海新·二模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，等边三角形的顶点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当边分别与，相交于点，、边分别与，交于点，，且与矩形重叠部分为六边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据矩形的性质即可得出点的坐标；作于点，利用等边三角形的性质即可得出点的坐标； （2）①作于点，交轴于点，利用平移的性质和解直角三角形的知识得到，推出，进而表示出，同理得到，通过证明四边形得出，表示出，利用割补法表示出，再结合与矩形重叠部分为六边形即可求出的取值范围；②根据重叠部分图形的变化，分、、和四种情况讨论，分别表示出的表达式，再求出每种情况对应的最值，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 矩形， ，， 点的坐标为； 作于点， ， ， 等边三角形，， ，，， ， 点的坐标为． 故答案为：；． （2）解：①如图，作于点，交轴于点， 由平移的性质得，，， ，， ， ， ，等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 同理可得，， ，，， 四边形是矩形， ， 同理可得，四边形是矩形， ， ， 与矩形重叠部分为六边形， 且， 且， 解得：， 综上所述，； ②当时，与矩形重叠部分为矩形， 由①得，， ， 又， ； 当时，与矩形重叠部分为六边形， 由①得，， 又， ； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 作于点，交于点， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， 直线的解析式为， 直线向右平移个单位得到直线， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， 同理可得，， 轴，，， 到的距离，， ，，， 四边形是矩形， ， ， 又， ； 当时，与矩形重叠部分为三角形， 由得，直线的解析式为， 令得，， ， 同理可得，， ， ， 到的距离， ， 又， ； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、平移的性质、解直角三角形、二次函数的最值问题、割补法求面积，熟练掌握相关知识点，学会利用矩形和等边三角形的性质求面积是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 20．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（）过点作轴于，由三角函数可得，，即得点的坐标，再根据矩形的性质可得点的坐标； （）①过点作，垂足为，可得，进而由四边形为矩形得，又由点，点得，，即得，即可得，即可由可得，再根据得，可求出的范围； ②当时，同理可得，即得当时，，再根据二次函数的性质解答即可求出的范围； 本题考查了二次函数的几何应用，矩形的性质，解直角三角形等腰，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过点作，垂足为， ∵，， ∴， 由平移可知四边形是矩形， 又∵四边形 是平行四边形， 则四边形为矩形，， ∵点，点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，的值最大，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最小，， ∴的范围为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形（原卷版） 考点1 利用平行四边形的性质求解 一、单选题 1．（2021·天津·中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点2 与三角形中位线有关的求解 一、填空题 1．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 2．（2022·天津·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 考点3 正方形的性质 一、填空题 1．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 2．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 3．（2021·天津·中考真题）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为 ． 考点4 平行四边形的动点 1．（2022·天津·中考真题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 一、单选题 1．（2025·天津和平·三模）如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·天津西青·二模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点E，若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（   ） A．120 B．130 C．156 D．169 4．（2025·天津河东·一模）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津红桥·三模）如图，在矩形中，，连接，分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，与相交于点，与相交于点，连接，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 6．（2025·天津河西·二模）如图，矩形，，，以对角线的中点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；再分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，直线交于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 7．（2025·天津河东·二模）如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点A，点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q； 第三步：连接分别交于点E，点F，连接． 则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025·天津河西·二模）如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点，连接． （1）的长为 ； （2）线段的长为 ． 9．（2025·天津河西·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为 ； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ． 10．（2025·天津·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于 ． 11．（2025·天津和平·一模）如图，菱形的边长为，点，分别是边，的中点，连接，则的长为 的长为 ； 点H，G分别是的中点，连接，则的长为 ． 12．（2025·天津西青·二模）如图，矩形中，的平分线与的延长线相交于点E，与相交于点F，点M为的中点，连接． （Ⅰ）的度数是 ． （Ⅱ）若，则的长是 ． 13．（2025·天津和平·二模）如图，在四边形中，，，，． （1）的长为 ； （2）若点是的中点，点在边上，且，连接，则的长为 ． 14．（2025·天津和平·三模）如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接． ①线段的长为 ； ②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为 ． 15．（2025·天津河东·二模）如图，正方形的对角线与交于点O，点E在延长线上，且，连接，过点A作，垂足为F，与延长线交于点G，若，则 （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）线段的长等于 ． 16．（2025·天津滨海新·一模）如图，正方形的边长为6，点M为边上一点，过点M作交于点N，且，连接． （1）的长为 ； （2）若点F为的中点，连接，则的长为 ． 17．（2025·天津河西·一模）如图，正方形边长为6，点在边上，，且，为的中点，则 （I）的度数为 ； （II）的长为 ． 三、解答题 18．（2025·天津南开·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 19．（2025·天津滨海新·二模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，等边三角形的顶点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当边分别与，相交于点，、边分别与，交于点，，且与矩形重叠部分为六边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 20．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$