20.2勾股定理的逆定理及其应用同步训练2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 一、单选题 1．如果将直角三角形的三条边长同时扩大到原来的6倍，那么得到的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 2．已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 4．下列三角形，一定是直角三角形的是（   ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边的长分别为32、42、42 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边的长分别为6、8、10 5．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 6．如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 7．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 二、填空题 8．已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 9．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 10．把一根长为24厘米的木棒，从一端起顺次截下6厘米和10厘米的两段，用得到的三根木棒依次首尾顺次相接，摆成的三角形形状是______． 11．如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成三角形中，_____度． 12．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：_______（填“能”或“不能”）． 三、解答题 13．如图，在中，，，边上的中线，求的长．   14．如图，在中，为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，已知．求证：为直角三角形． 15．如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意．反走私艇和走私艇的距离是13海里，、两艇的距离是5海里；反走私艇测得距离艇12海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 16．校园里一块四边形场地（如图所示）．经测量得知，，，，．求四边形场地内角的度数． 17．八年级“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；②某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得绳子端点到地面 的距离为1米(即米)，到旗杆的距离为9米(如图)， 于点．根据以上信息，求旗杆的高度． 18．如果一个三角形的所有顶点都在网格的格点上，那么这个三角形叫做格点三角形．在图1中，即为格点三角形．请在下列给定网格中按要求解答下面问题： (1)已知三边长分别为、、5，在图2方格图（每个小方格边长为1）中画出格点； (2)试判断的形状并说明理由，然后求其面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则， ∵三条边长同时扩大6倍为， ∴，， ∴， ∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大6倍，那么得到的三角形是直角三角形． 2．C 【分析】根据非负数的性质可知的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解：由题意得：， 解得， 满足， ∴该三角形是直角三角形． 3．B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 4．D 【分析】本题考查直角三角形的判定，可根据勾股定理的逆定理逐一判断各选项，得到正确结果． 【详解】解：对选项A，∵不符合勾股定理的逆定理的条件，不能判定三角形是直角三角形， ∴A不符合题意． 对选项B，三角形三边长为32, 42, 42，最长边为42， ∵，，可得， ∴此三角形不是直角三角形，B不符合题意． 对选项C，∵仅知道一边等于另一边的一半，第三边长度不确定，无法判定三角形形状，∴C不符合题意． 对选项D，三角形三边长为6, 8, 10，最长边为10， ∵，满足勾股定理的逆定理， ∴此三角形是直角三角形，D符合题意． 5．C 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 6．A 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 7．A 【分析】在网格中利用勾股定理分别求出，，，即可得出，即可判断的形状． 【详解】由网格可得，，， ∵， ∴是直角三角形． 8．直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 9．7.5 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：. 该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和. 三角形菜地的面积为． 10．直角三角形 【分析】根据题意可得这三根木棒的长分别为6厘米，10厘米，厘米，根据，结合勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：由题意得，这三根木棒的长分别为6厘米，10厘米，厘米， ∵， ∴这三根木棒组成的三角形是直角三角形． 11． 【分析】根据面积得出，根据勾股定理的逆定理得出围成的三角形为直角三角形，根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如图， ，，， ，即， ， ． 12．不能 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，根据网格结构利用勾股定理求出三条线段长度的平方是解题的关键． 【详解】解：由图可知，每个小正方形的边长为 ， 根据勾股定理，得 ， ， ， ∴， 即 ， 且， ， ∴以这三条线段为边不能组成一个直角三角形， 故答案为：不能． 13． 【分析】由勾股定理逆定理得，由垂直平分线定义得垂直平分，即可求解． 【详解】解： 是的中线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ． 14．见解析 【分析】根据勾股定理及其逆定理进行证明即可. 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即：是直角三角形. 15．若走私艇的速度不变，最早会在上午10点41分进入我国领海 【分析】可证明得到，利用等面积法可求出的长，则可利用勾股定理求出的长，根据垂线段最短可得点C到的最短距离为的长，再根据时间等于路程除以速度求出走私艇最早进入我国领海需要的时间即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 由题意得于点E， ∴， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 由垂线段最短可知，点C到的最短距离为的长，即走私艇进入我国领海的最短路程为海里， 分， 上午9时50分再过51分钟是上午10点41分， 答：若走私艇的速度不变，最早会在上午10点41分进入我国领海． 16．． 【分析】证明是等边三角形，再证明是直角三角形，即可求得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 17．13米 【分析】设米，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设米，根据题意得： 在中，， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为13米． 18．(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析； 【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：是直角三角形； 理由如下：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $