专题02 等差（比）数列的性质及数列的前n项和（期中真题汇编）高二数学下学期人教A版

专题02 等差（比）数列的性质及数列的前n项和 4大高频考点概览 考点01等（比）差数列判断或证明 考点02 等差数列的性质及基本运算 考点03 等比数列的性质及基本运算 考点04 等差数列与等比数列交汇问题 考点05 数列的前n项和问题 ( 地 城 考点 01 等（比）差数列判断或证明 ) 1．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）正实数，，不全相等（    ） A．若，，是等差数列，则，，也是等差数列 B．若，，是等比数列，则，，也是等比数列 C．若，，是等差数列，则，，也是等差数列 D．若，，是等比数列，则，，也是等比数列 2．（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．常数列是等差数列 B．若，则是等差数列 C．若是等差数列，则数列为等差数列 D．若是等差数列，，则 3．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）对于数列，以下选项正确的有（    ） A．若均是等差数列，则也是等差数列 B．若均是等比数列，则也是等比数列 C．若均是等差数列，则也是等差数列 D．若均是等比数列，则也是等比数列 5．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列为递增数列 D．中存在不同的三项构成等差数列 6．（多选）（24-25高二下·河南·期中）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 7．（多选）（25-26高二上·北京西城·期中）已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是公差为2的等差数列 D． 8．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，下列说法错误的是（   ） A．若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列 B．若、为等比数列，则为等比数列 C．若为等差数列，，，，则当时，最大 D．若为等差数列且公差，，是与的等比中项，则 9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知数列前项和为． (1)试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； (2)求数列的通项公式． 11．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 12．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的前项和为，且． (1)判断是否等比数列并证明； (2)设，求数列的前项和． ( 地 城 考点 02 等差数列的性质及基本运算 ) 1．（25-26高三上·云南·期中）在等差数列中， ，则的公差为（ ） A．-3 B． C．3 D． 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．11 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 6．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二上·江苏淮安·期中）若等差数列满足，则（   ） A． B． C．为单调递减数列 D．当时，的前项和最大 8．（多选）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（    ） A．为递减数列 B．当时，取得最大值 C．没有最大项 D．当时，取得最大值 10．（多选）（24-25高二下·江西鹰潭·期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则的公差为1 B．若为等差数列，则的首项为1 C． D． 11．（多选）（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知是各项均不为0的数列的前n项和，，，则（    ） A．是等差数列 B． C． D．数列的前10项和为220 12．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则______. 13． （25-26高二上·重庆·期中）已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的 等差数列，则通项公式 _____ 14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知集合，，则集合中所有元素的和为__________. 15．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 16．（25-26高二上·江苏·期中）等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式. (2)若数列满足.求数列的通项公式. ( 地 城 考点 0 3 等 比 数列的性质及基本运算 ) 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 2．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知等比数列的前n项和为成等差数列，，则n的最小值是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 4．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 5．（24-25高三上·云南昆明·期中）若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大项为 D． 11．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为______. 13．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则_____． 14．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________ 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比______． 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 17．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. ( 地 城 考点 0 4 等差数列与等比数列交汇问题 ) 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（   ） A． B．1或 C．1 D．1或 2．（24-25高二下·北京房山·期中）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（24-25高二下·广东·期中）已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（   ） A．1 B． C．或1 D．或1 5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（   ） A． B． C． D．8 6．（多选）（24-25高二下·云南昭通·期中）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D． 7．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等差数列 8．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的有（    ） A．在等差数列中，，，则前9项和 B．在等差数列中，，，则 C．数列为等比数列，，，则 D．数列的前n项和为 9．（多选）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，，下列说法正确的是（   ） A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 10．（多选）（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（   ） A． B．和的等比中项为 C．当时， D． 11．（多选）（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前2025项和为 D．的前10项和为 12．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为______． 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 14．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)若，记的前项和为，证明：． ( 地 城 考点 0 5 数列的前 n 项和问题 )1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列中且满足，则的前30项和（    ） A．225 B．30 C．255 D．285 4．（25-26高二上·北京·期中）已知数列满足：，对于任意的，有，，则（    ） A．5050 B．50 C． D． 5．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是数列的前n项和，，则（    ） A．2575 B．3435 C．4345 D．5135 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若均为等差数列，，则 C．若，，，则 D．若，，则 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 9．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若数列的通项公式为，则其前项和_________． 10．（24-25高二下·四川广元·期中）已知数列满足的前项和为，若，则_____． 11．（25-26高二上·云南红河·期中）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 12．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 13．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 14．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 15．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 16．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，，设． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若数列的前项和为，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差（比）数列的性质及数列的前n项和 4大高频考点概览 考点01等（比）差数列判断或证明 考点02 等差数列的性质及基本运算 考点03 等比数列的性质及基本运算 考点04 等差数列与等比数列交汇问题 考点05 数列的前n项和问题 ( 地 城 考点01 等（比）差数列判断或证明 ) 1．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）正实数，，不全相等（    ） A．若，，是等差数列，则，，也是等差数列 B．若，，是等比数列，则，，也是等比数列 C．若，，是等差数列，则，，也是等差数列 D．若，，是等比数列，则，，也是等比数列 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断AC；利用等比中项法可判断BD. 【详解】对于A，取，则，，所以，，不成等差数列，故A错误；对于B，若，，是等比数列，则，所以，所以，，是等比数列，故B正确；对于C，取，则，又，故，，不是等差数列，故C错误；对于D，若，，是等比数列，则，又，所以，，是等比数列，故D正确.故选：BD. 2．（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．常数列是等差数列 B．若，则是等差数列 C．若是等差数列，则数列为等差数列 D．若是等差数列，，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通项公式，以及性质，即可判断选项. 【详解】A.常数列是等差数列，公差为0，故A正确；B.，，，，所以不是等差数列，故B错误；C.若是等差数列，则，，则（常数），所以数列为等差数列，故C正确；D. 若是等差数列，，则，故D正确.故选：ACD 3．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即．因为，所以是等比数列，所以A选项正确；因为，所以是等比数列，所以C选项正确；当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误；不妨设等比数列为，当时，不存在，所以不是等差数列，所以D选项错误.故选：AC 4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）对于数列，以下选项正确的有（    ） A．若均是等差数列，则也是等差数列 B．若均是等比数列，则也是等比数列 C．若均是等差数列，则也是等差数列 D．若均是等比数列，则也是等比数列 【答案】AD 【分析】利用等差、等比数列的定义判断各项的正误即可. 【详解】若的公差分别为，为定值，即为等差数列，不一定为定值，即不是等差数列，A对，C错，若的公比分别为，，，不一定为定值，即不是等比数列，为定值，即为等比数列，B错，D对.故选：AD 5．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列为递增数列 D．中存在不同的三项构成等差数列 【答案】AC 【分析】利用和关系求通项公式，再结合各项描述、等比等差数列的定义及作商法判断单调性，即可得. 【详解】当时，，当时，，时不满足，所以，数列不是等比数列，A对，B错；对于C，因为，当时，，所以，数列 为递增数列，C对； 对于D，取，且，假设存在能构成等差数列，则， 则有，即，所以，因为，所以，与矛盾；假设存在能构成等差数列，则，即， 则，即，显然当时无解，所以中任意三项都不能构成等差数列，D错；故选：AC 6．（多选）（24-25高二下·河南·期中）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 【答案】AD 【分析】对于AD直接求出，然后根据定义判定等差数列、等比数列即可，对于BC，算出前三项即可判断BC错误. 【详解】对于A，当时，若，则， 事实上，，注意到，即是常数数列， 所以，数列是等差数列，故A正确； 对于B，当时，若，所以数列不是等差数列，故B错误； 对于C，当时，若，所以不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，有，因为，所以，即，因为，所以是等比数列，故D正确；故选：AD． 7．（多选）（25-26高二上·北京西城·期中）已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是公差为2的等差数列 D． 【答案】C 【分析】先根据条件求解出数列的首项和公比判断A，然后根据等比数列通项公式和前n项和公式计算判断D，结合等比等差数列的定义判断判断BC. 【详解】对于A，因为无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，则，解得，A正确；对于B，当时，，， 因为，，所以是首项为，公比为的等比数列；B正确 对于C，当时，，，因为，所以是公差为1的等差数列.C错误.对于D，当时，.D正确.故选：C. 8．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，下列说法错误的是（   ） A．若点在函数（，为常数）的图象上，则为等差数列 B．若、为等比数列，则为等比数列 C．若为等差数列，，，，则当时，最大 D．若为等差数列且公差，，是与的等比中项，则 【答案】BC 【分析】根据等差数列的定义判断A，举反例判断B，根据等差数列求和公式及下标和性质判断C，由等差数列求和公式及等比中项的性质得到方程组，求出，即可判断D. 【详解】对于A：因为点在函数（，为常数）的图象上，则，所以，所以数列为等差数列，故A正确； 对于B：设为常数列，为常数列，满足、为等比数列， 但是为，则不是等比数列，故B错误； 对于C：因为为等差数列，，所以，又，则，又因为，所以，，故当时，取得最大值；故C错误； 对于D：由，得，由是与的等比中项，所以，得，得，因为，所以，所以，解得，故D正确.故选：BC 9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ，因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为，，是一个常数，所以是等比数列，故C正确.对于D，因为，，是一个常数，所以是等比数列，故D正确.故选：CD. 10．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知数列前项和为． (1)试写出数列的前3项，并判断数列是否等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)2；3；5，数列不是等差数列． (2) 【分析】（1）利用求出数列前3项，根据等差数列定义判断是否满足即可. （2）令，求出，利用求出，并验证是否满足即可. 【详解】（1）由得，，， ， ，因为，所以数列不是等差数列． （2）当时，；当时，； 验证时，，不满足上式，所以． 11．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列，又∵，∴数列的首项为， ∴，∴. 12．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的前项和为，且． (1)判断是否等比数列并证明； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)是，证明见解析；(2) 【分析】（1）根据数列前项和与项之间的关系，求出数列的递推关系，即可利用定义证明为等比数列. （2）使用错位相减法求和即可. 【详解】（1）证明：因为所以当时，，解得； 当时，，所以，即， 所以，又．所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，．所以， 则，①，，② ①-②有．所以 ( 地 城 考点02 等差数列的性质及基本运算 ) 1．（25-26高三上·云南·期中）在等差数列中， ，则的公差为（ ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，所以. 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为，则，解得，所以第30天织布（尺）．故选：D． 3．（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】B 【分析】由已知递推关系得数列是等差数列，然后求出公差，再由通项公式可得． 【详解】因为，所以，所以数列是等差数列．因为，，所以，故，所以．故选：B 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】由等差数列前项和公式得：，因为，所以，即，因为，所以，又因为，可得，即，由，可知数列前6项为负，第7项开始为正，因此当取得最小值时，. 故选：C. 5．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,，所以可设（），，所以时，，又满足上式，所以（），时，， 又满足上式，所以,，则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63，又，则，解得；，解得，所以，15，即满足的正整数n有2个.故选：B. 6．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点.当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确.故选：C. 7．（多选）（25-26高二上·江苏淮安·期中）若等差数列满足，则（   ） A． B． C．为单调递减数列 D．当时，的前项和最大 【答案】ACD 【分析】对于AB：根据题意结合等差数列的性质可得，；对于C：可得，即可得判断单调性；对于D：根据数列的符号分析的最值即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，即，故A正确；又因为，即，故B错误；则，可知为单调递减数列，故C正确；可知当时，；当时，；所以当时，的前项和最大，故D正确；故选：ACD. 8．（多选）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 【答案】AC 【分析】根据题意结合等差数列性质可得.对于A：分析可得，即可判断；对于B：分析可知，即可判断；对于C：整理可得，，即可判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则，即.对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：若，可知数列为递增数列，则，所以，故B错误； 对于选项C：因为，，若，即，则，即，故C正确；对于选项D：例如，则，因为的图象开口向上，对称轴为，结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误；故选：AC. 9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（    ） A．为递减数列 B．当时，取得最大值 C．没有最大项 D．当时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式，可得到，并确定，可判断A，再利用求和公式并代入，得到二次函数可判断B，利用的通项公式可讨论正负取值，并结合函数单调性，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为，则由，可得， 再由，所以有，即为递减数列，故A正确；因为，由于开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当时，取得最大值，故B正确； 由 ，当时，， 当时，，当时，， 当时，，因为，所以当时，取得最大值，故D正确；令，则构造所以函数在上单调递增，即当时，数列单调递增，此时是最大值， 而，即，结合当或时，，所以是数列的最大项，故C错误；故选：ABD. 10．（多选）（24-25高二下·江西鹰潭·期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则的公差为1 B．若为等差数列，则的首项为1 C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D． 【详解】因为，所以，两式相减得． 若数列为等差数列，则的公差．又，所以，解得，所以A正确，B错误；， 所以，所以C错误．因为，所以恒成立，即成立，所以D正确，故选：AD． 11．（多选）（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知是各项均不为0的数列的前n项和，，，则（    ） A．是等差数列 B． C． D．数列的前10项和为220 【答案】AD 【分析】根据等差数列的定义、通项公式，前项和公式逐项求解计算即可. 【详解】因为，等式两边同时除以，得.根据等差数列的定义可知是等差数列，所以A正确；那么有，所以，B错误；，当时，，所以C错误； 因为.所以数列的前10项和为，D正确.故选：AD. 12．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则______. 【答案】28 【分析】根据等差数列前项和公式和下标和性质求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，，，故. 13． （25-26高二上·重庆·期中）已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的 等差数列，则通项公式 _____ 【答案】 【分析】首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知集合，，则集合中所有元素的和为__________. 【答案】 【分析】先分别求出集合和集合的元素，再找出它们的交集，最后根据等差数列求和即可. 【详解】对于集合，是正奇数，又，，最大为，此时，,对于集合，又，，最大为，此时，,设，则，可得，即，必须是的倍数，设，则，又，即，解得，最大为，,这是一个首项为，公差为，项数为的等差数列，则集合中所有元素的和为. 15．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)，.(2)，. 【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，，满足条件等式； 若，则，此时，， 不满足条件等式，舍去；综上，. （2）由上可知， 所以当时，此时， 当时，此时 ， 综上，. 16．（25-26高二上·江苏·期中）等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式. (2)若数列满足.求数列的通项公式. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由等差数列下标的性质，等差中项和等差数列的求和公式列方程组可得，，再由基本量法可求； （2）由题设得即可分析计算求解. 【详解】（1）由题意可得，解得，，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，，所以，当时也符合，故. ( 地 城 考点0 3 等 比 数列的性质及基本运算 ) 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】由题意可知将四个数按照绝对值从小到大排列就可得到数列的各项，从而可求出公比 【详解】因为数列是公比为q的等比数列，，且数列的连续四项构成集合，则数列的连续四项为递增数列，为3，9，27，81，可知数列的连续四项为，所以公比. 2．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知等比数列的前n项和为成等差数列，，则n的最小值是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质可得关于公比q的方程，解得，再根据等比数列前n项和公式计算，结合n的范围即可求得其最小值． 【详解】设等比数列的公比为q，由题意，，则得，即， 整理可得，解得，所以，即，又因为，所以，即n的最小值是11．故选：B． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】求得等比数列的前项，进而求得，从而求得正确答案. 【详解】等比数列的前n项和为，则， ，所以，则，即， 所以.故选：B 4．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以.故选：C. 5．（24-25高三上·云南昆明·期中）若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可. 【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立；必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立，故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件， 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义，结合累加法、利用等比数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】由，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则得， 因此有，于是有. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出． 【详解】是等比数列，设公比为，，是方程的两根，，同号，且，，解得，又，故C正确．故选：C． 8．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据前项和的定义可得，再结合等比数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为，，则，可得，解得， 所以数列公比的值为2.故选：A. 9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故.故选：C 10．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大项为 D． 【答案】AC 【分析】根据题意得，，，进而再根据等比数列的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以，因为， 所以，即或，当时，由于，故，即；当时，由于，故，又因为，此时等比数列恒成立，与矛盾，所以，，，故A选项正确；对于B，由得，即得，故B选项错误；对于C，由于，，， 所以，，所以数列中的最大项为，故C选项正确； 对于D，，故D选项错误. 故选：AC 11．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知图形结合等比数列的知识逐项计算即得. 【详解】因为，A选项正确；依题意，，所以是首项为1，公比为3的等比数列，所以，，C选项正确；，B选项错误； ，D选项正确；故选：ACD. 12．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为______. 【答案】/0.5 【分析】根据数列的前n项和的概念，拆分前8项和为“奇数项和”与“偶数项和”，再结合等比数列的定义即可求解. 【详解】等比数列的前8项和，即；因为，，代入上式得：，所以. 又因为，，，，因此，，即，. 13．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则_____． 【答案】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，所以，则. 14．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为_________ 【答案】19 【分析】若，，根据等差、等比数列求和公式可得，结合，可得符合题意，再检验是否满足不等式即可. 【详解】因为，可知为偶数，为奇数，设，，则，， 则， 因为，即，可得， 当时，则，，不合题意； 当时，则，符合题意，若，则，，； 若，则，；当时，则， 可得， 若，则，，对于，即，整理可得，因为在内单调递增，则，不合题意； 若，则，可得，满足；综上所述，使得成立的n的最小值为19. 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比______． 【答案】或 【分析】根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 【答案】 【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】次操作后，小圆的半径依次为，大圆的半径依次为，所以小圆半径是首项为，公比为等比数列，大圆半径是首项为，公比为等比数列，4次操作后图中最小的圆的半径为；次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为，所以大圆与小圆面积和为，则所有圆的面积总和为. 17．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1）可得，再分、两种情况，分别求出. 【详解】（1）因为，当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即，则，即， 又，故，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，所以． （2）由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，即， 又，即，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以， 所以. ( 地 城 考点0 4 等差数列与等比数列交汇问题 ) 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（   ） A． B．1或 C．1 D．1或 【答案】C 【分析】利用等比数列的基本量，结合等差中项的性质列方程，即可得解. 【详解】因为成等差数列，故,即,两边消去,得,得. 2．（24-25高二下·北京房山·期中）等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由等比中项的定义得到，再根据等差数列的通项公式将首项，公差代入计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，整理可得，因为，，所以解得.故选：A 3．（24-25高二下·广东·期中）已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，成等比数列求解出首项和公差的关系式，然后根据等差数列的通项公式化简，由此即可求解出结果. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，化简可得，所以，所以，故选：D. 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（   ） A．1 B． C．或1 D．或1 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以， 又，所以，解得，所以.故选：A. 5．（25-26高二上·江苏淮安·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，进而解得，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，所以，由成等比数列，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，故选：A. 6．（多选）（24-25高二下·云南昭通·期中）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D． 【答案】BD 【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可作出判断. 【详解】设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或，所以这个数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，，故选：BD． 7．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等差数列 【答案】AC 【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】对于A：由，由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确；对于B：由上可知：，所以本选项不正确；对于C：，所以本选项正确； 对于D：因为常数 ，所以数列不是等差数列，因此本选项不正确，故选：AC 8．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的有（    ） A．在等差数列中，，，则前9项和 B．在等差数列中，，，则 C．数列为等比数列，，，则 D．数列的前n项和为 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为为等差数列，所以为等差数列， 所以.故B错误； 对C：因为数列为等比数列，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，所以，所以数列的前n项和为.故D正确.故选：ACD 9．（多选）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，，下列说法正确的是（   ） A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 【答案】BCD 【分析】由等比数列、等差数列的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，可知，故错误；对于B：，正确；对于C：，又等比数列偶数项同号，所以8，正确；对于D：，所以，正确；故选：BCD 10．（多选）（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（   ） A． B．和的等比中项为 C．当时， D． 【答案】ACD 【分析】由等比中项的性质可得A正确；由题意可得B错误；由等比数列的性质可得C正确；由等比中项结合基本不等式可得D正确. 【详解】对于A，由题意可得，故A正确；对于B，和的等比中项为，根据题意无法得知其值，故B错误；对于C，当时，由等比数列的性质可得，故C正确；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD 11．（多选）（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前2025项和为 D．的前10项和为 【答案】ACD 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】由题意设等差数列的公差为，则，因为，，成等比数列，所以，所以，解得：，所以，对于A，，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误；对于C，因为， 所以的前2025项和为，故C正确；对于D，因为，所以的前10项和为，故D正确.故选：ACD 12．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为______． 【答案】2 【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题. 【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数， 所以，解得:或(舍). 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或．则，故． （2） 因为，所以，则. 14．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)若，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据等差数列与前n项和的性质及等比中项，计算通项公式基本量即可； （2）利用裂项相消法求和，结合数列的单调性证明即可. 【详解】（1）设的公差为，则，所以，又为，的等比中项，则，解之得，故； （2）由上可知， 所以 ，易知， 令，显然定义域上单调递减，， 所以，故. ( 地 城 考点0 5 数列的前n项和问题 ) 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，，令，则，即， 且，可得，可知数列的一个周期为3， 所以.故选：A. 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，即可表示出，再由计算即可得. 【详解】因为，所以，当或时，不符合题意， 所以，所以， 所以， 则，所以，故.故选：D. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列中且满足，则的前30项和（    ） A．225 B．30 C．255 D．285 【答案】C 【分析】根据递推式得为奇数时，为偶数时，再应用分组求和、等差数列前n项和公式求和. 【详解】当为奇数时，，，此时，当为偶数时，，，此时， 所以.故选：C 4．（25-26高二上·北京·期中）已知数列满足：，对于任意的，有，，则（    ） A．5050 B．50 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设可推出，再根据求出其通项，最后分组求和即可. 【详解】，即，则，且，则为首项为0的常数列，则，则，又因为，且，可知数列的项的符号正负交替，则当为奇数时，，当为偶数时，，则.故选：D. 5．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 【详解】当n＝1时，，∴＝2．当时，，①，，② ∴①－②得，即.∴数列是首项为2，公比为3的等比数列， ∴．∴.所以 ．故选：C 6．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是数列的前n项和，，则（    ） A．2575 B．3435 C．4345 D．5135 【答案】B 【分析】根据已知，应用分组求和、等比数列前n项和公式求. 【详解】由题知 .故选：B 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若均为等差数列，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】由递推关系可知，根据数列周期性可求得A错误；利用等差数列性质可知，由此可求得B正确；利用倒数法和构造法可证得数列为等比数列，利用等比数列通项与求和公式可求得，知C正确；采用裂项相消法可求得，知D正确. 【详解】对于A，，，数列是以为周期的周期数列，，A错误；对于B，均为等差数列，，B正确；对于C，，，即，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，C正确； 对于D，，， ，D正确.故选：BCD. 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题. 【详解】由题可得，可构造为，又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列.，得.对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误； 对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确； 对于C：，其前项和.故C正确； 对于D：设. 又注意到，. 因此 因此的前项和.故D正确.故选：BCD. 9．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若数列的通项公式为，则其前项和_________． 【答案】 【分析】利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为，则 ，所以. 10．（24-25高二下·四川广元·期中）已知数列满足的前项和为，若，则_____． 【答案】2 【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解. 【详解】由，可知：当为偶数时，，当为奇数时，，所以， 即 ，化简可得，由此解得. 11．（25-26高二上·云南红河·期中）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得， 解得，所以； （2）由（1）知，所以， 所以 所以所以． 12．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【详解】（1）由，两边同时除以：得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3），， 两式相减，得， ，故. 13．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)数列的通项公式为，的通项公式为.(2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式列出关于首项和公比的方程组，求解方程组得到首项和公比的值，进而得到的通项公式，利用与的关系求出的通项公式； （2）先求出的表达式，然后利用错位相减法求出数列的前项和. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的通项公式，已知，可得，解得或，又因为，所以，代入，所以，故，又已知数列的前项和，当时，，当时，，当时，符合上式，∴． 因此数列的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）知，,所以令 所以，①，两边同乘以得： ，②，由①②，将两式错位相减得： 解得，因此数列的前项和. 14．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或．则，故． （2）因为，所以，则. 15．（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出，进而求出通项公式； （2）由（1）求出通项，利用裂项相消法求得，得证. 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为，可得， 解得，故. （2）由（1）可得， 故.因为，所以，得证. 16．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，由计算，再求出，即可得解； （2）首先求出，即可得到，再由错位相减法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 故，解得，所以. （2）由（1）知，，所以， 所以①， ②， ①②得， 所以. 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，，设． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由， ，得，因为，所以数列是等比数列； （2）由，由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，因为， 所以，， ，得，； （3）， . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $