精品解析：江苏连云港市灌南县第二中学2026届高三下学期三月模拟测试二数学试题

2026届高三下学期三月模拟测试二 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，按照交集的定义即可求出 【详解】，， 所以集合， 故选：B 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义与共轭复数的概念、除法运算求解即可 【详解】由题，，故， 故选：B 3. 设两个等比数列，的前项和分别为，.若，则（ ） A. 18 B. 162 C. 54 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式及求和公式求解计算即可. 【详解】设，的公比分别为，， 若，，则，， 则，即， 所以，可得，得. 所以，，满足. 所以，. 所以. 同理可得，时也可以得到. 当，时，，，则，故舍去. 当，时，，显然不符合题意，综上所述，. 故选：C. 4. 若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是， 则，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 5. 对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 5.2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由数据得出样本中心点，再代入回归直线方程计算即可. 【详解】易知，代入得. 故选：A 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 7. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，则，， 设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知： ，解得 所以，，， 在中，显然有，所以， 设，由余弦定理可知：， 即解得 因此椭圆的焦距为， 所以椭圆的离心率为：. 故选：C. 8. 已知函数是上的奇函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切的和角公式化简得，结合题意得分母为偶函数，则，继而即可求解. 【详解】 ， 是上的奇函数， 又为奇函数，则分母上的函数需为偶函数， ，. 故选：. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若展开式中常数项为28，则实数m的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，利用的幂指数为0求出值. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，解得，则，于是，解得， 所以实数m的值为或. 故选：AB 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱上一点，且，则（ ） A. 平面 B. 正方体的外接球的表面积为 C. 四面体的体积的最大值为 D. 当与平面所成角的正切值为2时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用成比例线段性质结合线面平行的判定定理判断A，利用正方体的性质求出外接球半径，结合球的表面积公式判断B，将所求体积用一元函数表示，再利用基本不等式求解最值判断C，利用线面角的几何求法结合勾股定理判断D即可. 【详解】对于A，在棱长为2的正方体中，，， 因为，所以，如图，连接， 由成比例线段性质得，而，故， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确， 对于B，由正方体性质得正方体外接球的直径， 则外接球的表面积为，故B错误， 对于C，设，则， 且四面体的体积为，故， ， 当且仅当时取等，此时解得，故C正确， 对于D，由正方体性质得平面， 故为直线与平面所成的角， 则，故， 因为，所以，则， 因为正方体的棱长为2，所以，， 故，在直角三角形中， 由勾股定理得，故D错误. 故选：AC 11. 已知等比数列的前n项和Sn满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 恒成立 D. 数列的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据与的关系，结合等比数列定义计算可判断A，将代入检验可判断B；根据，计算可判断C，根据裂项相消法计算可判断D. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 因为是等比数列，所以也满足上式， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为不满足，故B错误； 对于C，当时，， 所以，故C正确 对于D，由A可知，， 因为， 所以， 因为，所以，故D正确； 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为______．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为，且，，所以， 向量在向量上的投影向量为. 故答案为:. 14. 已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇偶性求得，，再结合指数函数和对数函数的大单调性，利用复合函数单调性法则分析函数的单调性，结合奇偶性分类讨论解不等式即可． 【详解】为奇函数，定义域需关于原点对称， ，即， 的解集关于原点对称，即， 为奇函数， ， ，则，解得， ，定义域， 当时，，则， 当时，，则， 又在和单调递增， 在和单调递减， 在和单调递减， 即， 即， 或或 解得或或， 故不等式的解集为． 故答案为：． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， ①若，求的值； ②若，，求c的取值范围． 【答案】（1）； （2）①2；②. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数，再根据图象变换及对称性求出，进而求出单调增区间作答. （2）利用（1）中函数求出A，再利用余弦定理计算比值；确定角C的范围，利用正弦定理求出c的范围作答. 【小问1详解】 依题意，， ，而函数的图象关于原点对称， 则有，即，而，则，因此， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，即 在中，，即，则，解得， ①，由余弦定理得： ，因此， 所以. ②在中，，则有，得， 又，因此，由正弦定理， 得， 显然，即，从而， 所以c的取值范围是. 16. 在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面； （2）若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 【答案】（1）证明：因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 17. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【答案】（1）的分布列为 （2）的分布列为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容. （2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望； （3）利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为． 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 【小问2详解】由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为， ． ， ， 所以的分布列为 所以． 【小问3详解】 记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 【点睛】本题考查概率与分布列问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学建模素养的考查，考查学生的运算求解能力． 18. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、． 【答案】（1） （2） 方法一：在抛物线上，则，， 过，且斜率为的直线的方程为， 可得， 解得或，所以，可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，； 方法二：因为点、、在抛物线上， 所以，两式相减得：． 所以：可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）方法一：设，则，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； 方法二：由点、、在抛物线上，利用点差法可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； 【小问1详解】 将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 因此，抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若有两个极值点，，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：由题意得，的定义域为，且， 因为有两个极值点，， 所以方程在上有两个不同实数根，， 所以，． 设， 所以要使方程有两个正实数根，则， 解得． 所以 ， 设，， 则，所以在上单调递增， 所以， 故得证． 【解析】 【分析】（1）先求导，得到切线方程的斜率，再根据直线点斜式方程表示出切线方程； （2）由，不等式恒成立，等价于不等式在上恒成立，构造函数，利用导数判断函数单调性，分类讨论，即可得到结果； （3）对函数求导，有两个极值点，，转化为方程在上有两个不同实数根，，结合韦达定理，表示出，再构造函数，利用导数判断函数单调性，求出函数最值，即可得证. 【小问1详解】 当时，， 则，则，又， 所以曲线在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得，，不等式恒成立， 等价于不等式在上恒成立． 设，，则． 设，，则， 若，则，此时在上单调递减，故， 所以在上单调递减，故，不符合题意； 若，则当时，， 此时在上单调递减，故， 所以在上单调递减，故，不符合题意； 若，则当时，，此时在上单调递增，故， 所以在上单调递增，故，符合题意． 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期三月模拟测试二 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设两个等比数列，的前项和分别为，.若，则（ ） A. 18 B. 162 C. 54 D. 81 4. 若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 5.2 D. 6 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的奇函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若展开式中常数项为28，则实数m的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱上一点，且，则（ ） A. 平面 B. 正方体的外接球的表面积为 C. 四面体的体积的最大值为 D. 当与平面所成角的正切值为2时， 11. 已知等比数列的前n项和Sn满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 恒成立 D. 数列的前项和 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则______． 13. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为______．（用表示） 14. 已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， ①若，求的值； ②若，，求c的取值范围． 16. 在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面； （2）若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 17. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 18. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若有两个极值点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $