专题09 排列组合与二项式定理（17大题型76题）（期中复习专项训练）高二数学下学期人教A版

专题09 排列组合与二项式定理 题型1 排列数与组合数的计算 题型10 指定项的二项式系数 题型2 全排列问题 题型11 二项式系数和 题型3 相邻问题（重点） 题型12 二项式系数的增减性和最值 题型4 不相邻问题（重点） 题型13 求指定项系数（重点） 题型5 特殊元素（重点） 题型14 奇次项与偶次项的系数和（常考点） 题型6 隔板法 题型15 三项展开式（常考点） 题型7 定序倍缩（重点） 题型16 整除和余数问题 题型8 分组分配问题（重点） 题型17 杨辉三角 题型9 涂色问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 排列数与组合数的计算（共6小题） 1．（24-25高二下·河北承德·期中）（    ） A．92 B．102 C．120 D．148 2．（24-25高二下·山西·月考）已知，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 3．（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 多选题 4．（24-25高二下·广东清远·期中）若，则x的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高二下·安徽·期中）已知为正整数，且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南·期中）已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 全排列问题（共3小题） 7．（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 8．（24-25高二下·江苏泰州·期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 9．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．60 C．48 D．36 题型三 相邻问题（共5小题） 10．（24-25高二下·北京朝阳·期中）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·四川内江·期中）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 12．（24-25高二下·云南·期中）甲、乙、丙、丁等六人站成一排，则甲、乙、丙、丁四人站在一起的排法数为（   ） A．144 B．120 C．240 D．576 13．（24-25高二下·天津·期中）有辆车停放于个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有（    ）种不同的停放方法？ A． B． C． D． 14．（2025·甘肃白银·三模）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 题型四 不相邻问题（共6小题） 15．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 16．（24-25高二下·湖北武汉·期中）参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有（    ）种 A．20 B．12 C．36 D．24 17．（24-25高二下·北京顺义·月考）春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（     ） A．120 B．36 C．24 D．6 18．（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 19．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲、乙不相邻，则不同排法种数是（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 20．（24-25高二下·山东临沂·期中）有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻的不同排法有（    ） A．36种 B．72种 C．108种 D．144种 题型五 特殊元素（共5小题） 21．（24-25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 22．（24-25高二下·江苏淮安·期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 23．（24-25高二下·北京顺义·期中）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 24．（2025·河南·模拟预测）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 25．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 题型六 隔板法（共6小题） 26．（2026高三·全国·专题练习）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 27．（2026·江西上饶·一模）将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 28．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 29．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 30．（24-25高二下·广东江门·期末）把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 31．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 题型七 定序倍缩（共4小题） 32．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 33．（24-25高二下·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 34．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 35．（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 题型八 分组分配问题（共6小题） 36．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ） A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 37．（25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 38．（25-26高二上·江西九江·期末）2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 39．（25-26高三上·河南漯河·期末）将6名学生分别安排到甲､乙､丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（    ） A．392 B．390 C．262 D．260 40．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 41．（25-26高二上·安徽六安·期末）临泉田家炳实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（   ）种 A．60 B．90 C．150 D．240 题型九 涂色问题（共53小题） 42．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 43．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 44．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 45．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 46．（24-25高二下·四川资阳·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对 题型十 指定项的二项式系数（共3小题） 47．（24-25高二下·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二下·贵州遵义·期中）的展开式中，项的二项式系数为（   ） A． B． C． D．84 49．（24-25高二下·山东·期中）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型十一 二项式系数和（共2小题） 50．（24-25高二下·新疆喀什·期中）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．-15 D．-1 51．（24-25高二下·广东汕头·期中）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（   ） A．第三项的二项式系数为15 B．所有项的二项式系数之和为64 C．有理项共有3项 D．常数项为第五项 题型十二 二项式系数的增减性和最值（共3小题） 52．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 53．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 54．（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（    ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9 题型十三 求指定项系数（共4小题） 55．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知的展开式的第4项展的系数为（   ） A．70 B．84 C．140 D．280 56．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）展开式中的常数项为（   ） A．160 B．80 C．40 D．2 57．（24-25高二下·广东深圳·期中）二项式展开式中含项的系数为（    ） A． B．80 C． D．40 58．（24-25高二下·安徽合肥·期中）关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 题型十四 奇次项与偶次项的系数和（共5小题） 多选题 59．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 60．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知则（   ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D． 61．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 62．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．= C．= D．= 63．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）设，则（    ） A． B． C．中最大的是 D． 题型十五 三项展开式（共4小题） 64．（24-25高二下·重庆·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．31 C． D． 65．（24-25高二下·山东烟台·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 66．（24-25高二下·山东·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 67．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 题型十六 整除和余数问题（共5小题） 68．（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 69．（24-25高二下·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 70．（24-25高二下·河北·期中）除以7的余数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 71．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）今天是星期五，天以后是星期（   ） A．一 B．日 C．五 D．六 72．（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，且，若能被整除，则（   ） A． B． C． D． 题型十七 杨辉三角（共4小题） 73．（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 74．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（   ） A．第行第个数是 B．当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C． D． 多选题 75．（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 76．（24-25高二下·山东济南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．第34行中第15个数与第16个数之比为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 $专题09 排列组合与二项式定理 题型1 排列数与组合数的计算 题型10 指定项的二项式系数 题型2 全排列问题 题型11 二项式系数和 题型3 相邻问题（重点） 题型12 二项式系数的增减性和最值 题型4 不相邻问题（重点） 题型13 求指定项系数（重点） 题型5 特殊元素（重点） 题型14 奇次项与偶次项的系数和（常考点） 题型6 隔板法 题型15 三项展开式（常考点） 题型7 定序倍缩（重点） 题型16 整除和余数问题 题型8 分组分配问题（重点） 题型17 杨辉三角 题型9 涂色问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 排列数与组合数的计算（共6小题） 1．（24-25高二下·河北承德·期中）（    ） A．92 B．102 C．120 D．148 【答案】A 【分析】利用排列数和组合数的计算公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．（24-25高二下·山西·月考）已知，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据排列组合公式列方程求参数. 【详解】由题意知，且，解得． 故选：C 3．（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【详解】由，得，解得， 所以 . 故选：B 多选题 4．（24-25高二下·广东清远·期中）若，则x的值可以为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AD 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 经检验，都满足条件. 故选：AD 5．（24-25高二下·安徽·期中）已知为正整数，且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用组合数公式计算判断A；利用排列数公式推理判断BCD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C， ， ，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·河南·期中）已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数的对称性分析判断；对于B：根据即可判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据组合数公式分析判断. 【详解】对于选项A：由，得，故A正确； 对于选项B：由，得，则，故B正确； 对于选项C：例如，则，即，故C错误； 对于选项D：因为， 所以，故D正确； 故选：ABD． 题型二 全排列问题（共3小题） 7．（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【分析】应用排列数求不同排法数即可. 【详解】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 8．（24-25高二下·江苏泰州·期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】将四个数字全排列即可. 【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个. 故选：D 9．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．60 C．48 D．36 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可解题. 【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种， 再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种. 故选：C 题型三 相邻问题（共5小题） 10．（24-25高二下·北京朝阳·期中）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用捆绑法及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种情况， 要使甲和乙相邻，将甲和乙看作一个整体，再与其他两人进行排列， 因此共有种情况， 所以甲和乙相邻的概率是. 故选：B. 11．（24-25高二下·四川内江·期中）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 【答案】D 【分析】根据捆绑法、插空法和特殊位置法计算，依次判断选项可得答案. 【详解】A. 如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项A正确. B. 如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项B正确. C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时有种不同排法，选项C正确. D. 如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时有种不同排法，选项D错误. 故选：D. 12．（24-25高二下·云南·期中）甲、乙、丙、丁等六人站成一排，则甲、乙、丙、丁四人站在一起的排法数为（   ） A．144 B．120 C．240 D．576 【答案】A 【分析】将甲、乙、丙、丁四人进行捆绑，与其它人，合计3人进行全排列，再乘以人内部的全排列即可. 【详解】由捆绑法可得甲、乙、丙、丁站在一起的排法数为：. 故选：A. 13．（24-25高二下·天津·期中）有辆车停放于个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有（    ）种不同的停放方法？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用分步乘法原理，先将甲乙视为整体排列，再与剩余车辆排列可得. 【详解】先将甲乙两辆车相邻，有种排法， 然后将其视为一个整体，与剩下的辆车放进个并排的车位中，有种排法； 最后由分步计数原理可知，共有种排法. 故选：C. 14．（2025·甘肃白银·三模）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题给条件用捆绑法即可，再根据分步乘法计算可得排列种数. 【详解】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 题型四 不相邻问题（共6小题） 15．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 16．（24-25高二下·湖北武汉·期中）参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有（    ）种 A．20 B．12 C．36 D．24 【答案】D 【分析】首先将、捆绑作为一组，与、排列，再将名教师插入中间的个空中，利用排列数公式计算可得. 【详解】首先将、捆绑作为一组，与、排列，则有种排法， 再将名教师插入中间的个空中，则有种排法， 综上可得一共有种排法. 故选：D 17．（24-25高二下·北京顺义·月考）春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（     ） A．120 B．36 C．24 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法， 再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法. 故选：B 18．（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 【答案】D 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法， 最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D 19．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲、乙不相邻，则不同排法种数是（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】D 【分析】利用插空法直接进行计算即可求得结果. 【详解】先将丙、丁、戊、己4人进行全排列，共有种排法， 再将甲、乙两人利用插空法排到5个符合题意的空隙当中，共有种， 因此不同排法种数是种. 故选：D 20．（24-25高二下·山东临沂·期中）有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻的不同排法有（    ） A．36种 B．72种 C．108种 D．144种 【答案】B 【分析】根据不相邻问题，利用插空法即可求解. 【详解】先排女生，共有中方法，接下来把2名男生插入到两两女生之间的位置连同头尾的4个空隙中，共有， 故总的排法有种， 故选：B 题型五 特殊元素（共5小题） 21．（24-25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【分析】应用分类分步计数，结合排列数求不同的排法数. 【详解】当乙在第五道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 当乙在第六道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 所以共有144种不同排法. 故选：D 22．（24-25高二下·江苏淮安·期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 【答案】A 【分析】根据题意，分两步进行分析：先分析甲星期一、星期日不值班，且连续3天值班的情况，再将剩下四个人进行全排列，由分步计数原理可得答案. 【详解】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班， 则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3种情况， 剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况， 则有种不同的安排方法. 故选：A. 23．（24-25高二下·北京顺义·期中）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排列计数问题列式求解. 【详解】先排数学课有2种方法，再排余下3门课程有种方法， 所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）. 故选：C 24．（2025·河南·模拟预测）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 【答案】C 【分析】分两种情况：甲、乙占据前两名和丙在前两名求解，然后再根据分类加法原理可求得结果. 【详解】若甲、乙占据前两名，则所有的情况有种， 若丙在前两名，则从甲、乙中选1人和丙排在前2名，故所有的情况有种， 故共有种． 故选：C 25．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 【答案】A 【分析】根据已知条件，分《哪吒之魔童闹海》排最后一场、《哪吒之魔童闹海》排第二场、《哪吒之魔童闹海》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可. 【详解】分三种情况： 第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》 必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素， 剩下元素有种排法，所以共有种排法； 第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法； 第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法. 综上符合条件的电影安排方法总数为种. 故选：A. 题型六 隔板法（共6小题） 26．（2026高三·全国·专题练习）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【答案】B 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 27．（2026·江西上饶·一模）将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】根据隔板法来解决相同元素分组问题，通过在元素之间插入隔板来将元素分成不同的组. 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 28．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 29．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 30．（24-25高二下·广东江门·期末）把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】C 【分析】根据插板法和组合数计算得出结果 【详解】根据插板法公式，方法数为. 故选：C. 31．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 【答案】D 【分析】根据隔板法，求出不同的分配方法. 【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 题型七 定序倍缩（共4小题） 32．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 33．（24-25高二下·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用倍缩法，排除首位为0的情况即可. 【详解】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C. 34．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【答案】A 【分析】将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列，定序问题用倍缩法可得结果. 【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 故选：A. 35．（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【分析】用倍缩法直接计算求解该定序问题即可. 【详解】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D 题型八 分组分配问题（共6小题） 36．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ） A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 【答案】D 【分析】分1名医生和2名护士一组、1名医生和3名护士一组和2名医生和2名护士一组三种情况讨论即可. 【详解】1名医生和2名护士一组，另一组3名医生和3名护士有种分配方案； 1名医生和3名护士一组，另一组3名医生和2名护士有种分配方案； 2名医生和2名护士一组，另一组2名医生和3名护士有种分配方案． 故满足要求的不同的分配方案有种. 故选：D. 37．（25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 【答案】B 【分析】先将6人分成3组，即分为；或，再把三组分配到3个不同项目. 【详解】先将6人分成3组，即分为；或， 共有种分组方法， 再把三组分配到3个不同项目， 则有种不同的报名方法. 故选：B 38．（25-26高二上·江西九江·期末）2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【分析】将5名志愿者分成三组，有和两种分组方案，再分配计算即可. 【详解】首先，将5名志愿者分成三组，有（种）， 然后，将这三组志愿者分配到三个入口，有（种）， 利用分步乘法原理，得不同的分配方案共有（种）． 故选：C． 39．（25-26高三上·河南漯河·期末）将6名学生分别安排到甲､乙､丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（    ） A．392 B．390 C．262 D．260 【答案】D 【分析】分学生A独自1人去乙地或丙地、学生A与学生B外的1人成一队去乙地或丙地、学生A与学生B外的2人成一队去乙地或丙地、学生A与学生B外的3人成一队去乙地或丙地这四种情况讨论求解即可. 【详解】学生A独自1人去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的1人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的2人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 学生A与学生B外的3人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为； 综上，符合题意的安排方案共有种. 故选：D. 40．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 41．（25-26高二上·安徽六安·期末）临泉田家炳实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（   ）种 A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【分析】先把 5 名党员分成 3 组，再将这 3 组分配到 3 个社区. 【详解】将5人分成3组，每组至少1人，有两种分法， 从5人中选3人作为一组，剩下2人各为一组，有种， 从5人中选2人作为一组，再从剩下3人中选2人，最后1人一组，有种， 所以总的分组方法有种. 将分好的 3 组，全排列分配到 A、B、C 三个社区：种， 所以每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有种. 故选：C. 题型九 涂色问题（共53小题） 42．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 43．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照②③①④分步进行即可，计算出每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 44．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【分析】先涂区域，再分类讨论涂4的种数，根据对称性知3，6的涂法，利用分步乘法计数原理得解. 【详解】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 45．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】对五个区域进行编号，依次分析、、、的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示： 区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为. 故选：A. 46．（24-25高二下·四川资阳·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．600 B．288 C．576 D．以上答案均不对 【答案】A 【分析】根据题意，先排，，的方法，分与相同，与相同和既不同于又不同于，三种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可得，，分别有4，3，2种方法， （1）当与相同时，有1种方法，此时有2种， ①若与相同有有1种方法，同时有3种方法， ②若与不同，此时有2种方法， 共有：种方法； （2）当与相同时，有1种方法，此时讨论的3种方法， 共有种方法； （3）当既不同于又不同于时，有1种方法， 共有种方法， 由分类计数原理，可得共有种方法． 故选：A． 题型十 指定项的二项式系数（共3小题） 47．（24-25高二下·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数. 【详解】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 48．（24-25高二下·贵州遵义·期中）的展开式中，项的二项式系数为（   ） A． B． C． D．84 【答案】D 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】的展开式中，项的二项式的项为：， 所以项的二项式系数为. 故选：D. 49．（24-25高二下·山东·期中）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据二项式系数相等可得，即可得结果. 【详解】因为第2项和第6项的二项式系数相等， 则，所以. 故选：A. 题型十一 二项式系数和（共2小题） 50．（24-25高二下·新疆喀什·期中）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．-15 D．-1 【答案】B 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项即可求出其常数项. 【详解】由题意，，解得， 则二项式的通项为， 由可得，即其展开式的常数项为. 故选：B. 51．（24-25高二下·广东汕头·期中）在二项式展开式中，下列说法不正确的是（   ） A．第三项的二项式系数为15 B．所有项的二项式系数之和为64 C．有理项共有3项 D．常数项为第五项 【答案】C 【分析】结合二项展开式的通项公式可判断ACD的真假，利用二项式系数的性质可判断B的真假. 【详解】设展开式的第项为， 则：. 所以的二项式系数为，故A正确； 由为整数，可得的值可以为，故展开式中有理项为4项，故C错误； 由，所以为常数项，故D正确； 对B：根据二项式系数的性质可得：所有项的二项式系数之和为，故B正确. 故选：C 题型十二 二项式系数的增减性和最值（共3小题） 52．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 53．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 【答案】D 【分析】根据展开式的通项公式以及二项式系数的性质求解判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以， 则所有奇数项的二项式系数和为，故A错误， 令，得所有项的系数和为，故B错误， 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误， 因为展开式通项为， ， 要使展开式中的项为有理项，则为整数， 此时，3，6，9，12，共有5项，故D正确. 故选：D. 54．（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（    ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论二项式系数最大得出项数. 【详解】若的展开式中只有第五项的二项式系数最大可知； 当时，展开式有8项，则第四项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 当时，展开式有10项，则第六项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 故选：D. 题型十三 求指定项系数（共4小题） 55．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知的展开式的第4项展的系数为（   ） A．70 B．84 C．140 D．280 【答案】D 【分析】直接利用通项求出，即可求解． 【详解】由题意可得的展开式的第4项为：． 故选：D． 56．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）展开式中的常数项为（   ） A．160 B．80 C．40 D．2 【答案】A 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】展开式中的常数项为. 故选：A. 57．（24-25高二下·广东深圳·期中）二项式展开式中含项的系数为（    ） A． B．80 C． D．40 【答案】B 【分析】求得展开式通项为，令，得到，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式通项为， 令，可得，则， 即含项的系数为. 故选：B. 58．（24-25高二下·安徽合肥·期中）关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的和项系数，进而得到展开式中的系数，列出方程，求解的值，即可得到答案. 【详解】由二项式展开式中项系数为，展开式的项系数为， 所以展开式中含的项的系数，解得. 故选：D. 题型十四 奇次项与偶次项的系数和（共5小题） 多选题 59．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 60．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知则（   ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D． 【答案】ACD 【分析】对于ACD，由赋值法验算即可；对于B，由二项式定理验算即可. 【详解】选项A：令A正确. 选项B：，的二项式展开式为， 令 则 令 则 B错误. 选项C：令 则令 则 两式相加得 两式相减得 C正确. 选项D：令 两边同乘得D正确. 故选：ACD. 61．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用赋值法计算判断A，C，由通项公式计算判断B，应用导函数结合赋值法判断D. 【详解】对于A，将代入，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将代入，， ，故C不正确； 对于D，对求导，， 将代入得到，故D正确. 故选：ABD. 62．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．= C．= D．= 【答案】BCD 【分析】由特殊值法将x取和1，可判断出选项B和D的正误，再结合二项式定理判断展开式各项系数的正负，可判断A和C的正误. 【详解】令，可得①， 故B正确； 令，可得②， 由①+②可得，所以， 故D正确； 由二项式定理可知，， 故， 故A错误； 的系数均为正数，的系数均为负数， 所以， 故C正确. 故选：BCD. 63．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）设，则（    ） A． B． C．中最大的是 D． 【答案】AB 【分析】利用二项式展开式的通项公式，找到一次项的系数，得出的值判断A选项. 判断B选项： 令，代入，得到的值. 判断C选项： 同样根据二项式展开式通项求，判断正负. 判断D选项： 分别令和，代入展开式，再通过两式相减得到的值. 【详解】设，则，所以， A选项正确； 令，得，B选项正确； 为负数，显然C选项错误； 令，得， 令，得，所以，D选项错误. 故选：AB. 题型十五 三项展开式（共4小题） 64．（24-25高二下·重庆·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．31 C． D． 【答案】C 【分析】变形得，再根据二项展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】由题意变形得， 则根据展开式通项得，代入， 则常数项为. 故选：C. 65．（24-25高二下·山东烟台·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将看成一个整体，再结合的形式，利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】的通项公式为， 当时，， 中，含项的系数为， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 66．（24-25高二下·山东·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用多项式的乘法及组合，即可求解. 【详解】因为可看成个相乘， 由多项式的乘法及组合，得展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为， 故选：B. 67．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可； 【详解】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 题型十六 整除和余数问题（共5小题） 68．（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 【答案】B 【分析】根据二项式定理计算被7除余数后即可求解. 【详解】55 ， 而为7的倍数， 故被7除余数是6，所以天后是星期日. 故选：B. 69．（24-25高二下·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 70．（24-25高二下·河北·期中）除以7的余数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二项式定理展开式研究计算即可. 【详解】， 前面10项都是7的倍数，最后一项不是7的倍数， 除以7的余数为除以7的余数， 又除以7的余数为2， 故除以7的余数为2. 故选：B. 71．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）今天是星期五，天以后是星期（   ） A．一 B．日 C．五 D．六 【答案】D 【分析】利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果. 【详解】因为 故除以7的余数为1，故今天是星期五，天以后是星期六. 故选：D. 72．（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，且，若能被整除，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出的展开式，即可得到能被整除，从而得解. 【详解】因为 ， 因为能被整除，又，即能被整除， 即能被整除， 所以能被整除，又且，所以. 故选：C 题型十七 杨辉三角（共4小题） 73．（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【分析】利用图中所给杨辉三角结合组合数的性质即可判断A，B，D，利用组合数的性质计算即可判断C. 【详解】对于A，由杨辉三角性质得在第行里，有共个数， 所以第10行中正中间即第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角性质得第行第个数为， 则在第行中，第个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误， 对于C，由组合数运算性质得，故C错误. 对于D，由已知得第12行中第8个数为，第9个数为， 则它们的比为，则第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：D 74．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（   ） A．第行第个数是 B．当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C． D． 【答案】D 【分析】利用莱布尼茨三角形的定义可判断A选项；利用二项式系数的最值可判断B选项；利用组合数的性质可判断C选项；利用莱布尼兹三角形的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知第行第个数是，A对； 对于B选项，当是偶数时，中间的一项的二项式系数最大，此时中间的一项取得最小值取得最小值， 当是奇数时，中间的二项式系数相等且取到最大值，则中间的两项相等，且同时取得最小值，B对； 对于C选项，因为，故，C对； 对于D选项，由于每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 则，D错. 故选：D. 多选题 75．（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数和的公式即可求解A，根据组合数的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B,由组合数的性质可得，B正确， 对于C, ,C正确， 对于D, 第29行中从左到右第14个数为,第15个数为，两者不相等，D错误， 故选：ABC 76．（24-25高二下·山东济南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．第34行中第15个数与第16个数之比为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 【答案】ABD 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错即可. 【详解】对于A，图中第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，它们的和等于36， 而第9行的第8个数是，故A正确； 对于B，因图中第2023行是二项式的展开式的二项式系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，因，故B正确； 对于C，图中第34行是的展开式的二项式系数， 所以第15个数与第16个数之比为，故C错误； 对于D，因“杨辉三角”第行是二项式的展开式的二项式系数，则， 于是，，故D正确. 故选：ABD. $