专题08 数列、三角函数、概率与导数交汇问题（3大题型25题）（期中复习专项训练）高二数学下学期人教A版

专题08 数列、三角函数、概率与导数交汇问题 题型1 数列与导数交汇（重点） 题型3 概率与导数交汇（重点） 题型2 三角函数与导数交汇（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数列与导数交汇（跨章节）（共3小题） 1．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高二下·河南洛阳·月考）设数列满足. (1)求的通项公式. (2)（i）求的前项和； （ii）证明：. 3．（24-25高二下·山东·月考）已知函数的图象在点处的切线l在x轴上的截距为． (1)当时，求l的方程； (2)求的最小值； (3)求数列的前n项和． 4．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性： (2)当时，，数列满足，且，比较，，的大小． 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)设函数； （i）讨论函数的单调性； （ii）若函数无极值，求实数的取值范围； (2)记数列的前项和为，证明：. 6．（24-25高二上·山西·期末）已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. (1)求的值； (2)证明：对； (3)已知数列的前项和，证明：. 7．（24-25高二下·江西抚州·期末）已知数列满足，且.函数. (1)求； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：. 8．（2025·湖南·模拟预测）已知数列是各项均为正整数的递增数列，，且. (1)求和； (2)证明：； (3)设，证明：. 题型二 三角函数与导数交汇（跨章节）（共3小题） 9．（2025·浙江·一模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 10．（2026·重庆万州·模拟预测）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并说明理由； (2)当时，证明：，； (3)当为正整数时，证明：. 11．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的奇偶性； (2)当为偶数时，方程有解，求的最小值； (3)若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，证明：； (3)证明：. 13．（24-25高二下·河北保定·月考）已知函数，． (1)求函数在上的最大值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：． 14．（24-25高二下·海南海口·期末）记，，． (1)求，并证明：； (2)若，使得成立，求取值范围； (3)求函数的单调增区间． 15．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，其中． (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数： (3)若对任意，求的取值范围． 16．（24-25高二下·广西桂林·月考）已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 17．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)求证：函数在上有最大值； (3)在（2）的结论下，若，求的取值范围． 题型三 概率与导数交汇（跨章节）（共3小题） 18．（23-24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 19．（24-25高二下·云南昆明·期中）为降低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元／件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：，）. 20．（24-25高二下·山东·期中）2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. (1)求的值； (2)取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 21．（24-25高二下·北京西城·期末）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. (1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； (2)丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 22．（24-25高二下·上海浦东新·期中）图图在玩一种击鼓游戏，其规则如下：每盘游戏都需击鼓两次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓两次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得60分，没有出现音乐则获得分，设每次击鼓出现音乐的概率为，且每次击鼓是否出现音乐相互独立. (1)设，每盘游戏所得的分数为，求的分布列； (2)图图多次试玩后发现，玩的局数越多总得分越少，据此估算的取值范围并说明理由； (3)将“在9盘游戏中恰有7次获得60分”记为事件，当事件发生的概率最大时，求的值. 23．（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 24．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 25．（24-25高二下·浙江宁波·期中）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率. (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. （i）若，求； （ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） $专题08 数列、三角函数、概率与导数交汇问题 题型1 数列与导数交汇（重点） 题型3 概率与导数交汇（重点） 题型2 三角函数与导数交汇（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数列与导数交汇（跨章节）（共3小题） 1．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法1，根据给定条件，利用累乘法求出；法2，根据给定的递推公式，利用构造法求出； （2）由（1）的结论，利用前项和与第项的关系求出； （3）由（2）求出，再变形给定不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值，结合数列特性求解. 【详解】（1）法1：由，得，而，当时， ， 而满足上式，所以. 法2：由，得，则， 因此数列是常数列，则，即， 所以. （2）由（1）得，当时，， 则，而满足上式， 所以的通项公式. （3）由（2）得，依题意，对任意的都成立， 设函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，因此当时，，则， 所以的取值范围是. 2．（24-25高二下·河南洛阳·月考）设数列满足. (1)求的通项公式. (2)（i）求的前项和； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）应用计算求解通项公式； （2）（i）应用错位相减计算求和；（ii）构造函数应用导函数正负得出函数的单调性进而得出不等式再结合不等式性质计算求解. 【详解】（1）当时，，得. 当时，由， 得， 两式相减，得， 得， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. （2）（i）由题意得， 则， 所以 所以. （ii）证明：由（i）可得， 则， 要证，即证. 设函数，， 则， 所以在上单调递增，则， 即当时，， 令，则，即， 故. 3．（24-25高二下·山东·月考）已知函数的图象在点处的切线l在x轴上的截距为． (1)当时，求l的方程； (2)求的最小值； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，由导数的定义即可求得在点处的切线方程； （2）先写出直线l的方程，令，得其在x轴上的截距，即的表达式，构造出对应函数， 利用导数求出对应函数的最小值，并判断n能否取到； （3）由（2）可得数列的通项公式，再由错位相减法即可算得其前n项和． 【详解】（1）当时，，则，所以，                              因为，所以l的方程为； （2）因为，所以， 则l的方程为，               令，得，所以，          设，则，               因为为增函数，且，              所以当时，，当时，， 则，此时为正整数，能取到，                故的最小值为； （3）由（2）知，           则， 则，              所以，          即，              故． 4．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性： (2)当时，，数列满足，且，比较，，的大小． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分和，，四种情况，得到函数单调性； （2）利用导数说明函数的单调性，即可得解，故，令，求导得到函数单调性，得到，从而确定，即可得解. 【详解】（1）因为的定义域为， 又. 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或，令，解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令，解得或，令，解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，，，， 令， ， 所以在上单调递减，且， 因为， 又，所以， 所以，则. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)设函数； （i）讨论函数的单调性； （ii）若函数无极值，求实数的取值范围； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)（i）当时，函数在内单调递减； 当时，函数在内单调递减，在和内单调递增； 当时，函数在内单调递增. （ii）. (2)证明见详解. 【分析】（1）（i）由题意得，，定义域为，则，根据对的取值进行分类讨论，可得的正负情况，进而可得函数的单调性； （ii）函数无极值，等价于导函数不存在变号区间，根据（i）的讨论结果，即可判断； （2）根据题意得，，则要证，需先证明，令，则，代入化简得，构造函数，通过求导判断函数的单调性，可得恒成立，原不等式得证. 【详解】（1）（i）由题意得，，定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以单调递减； ②当时，，此时，令， 解得，， 当或时，恒成立，所以单调递增； 当时，恒成立，所以单调递减； ③当时，，此时，此时至多一个实数根，即恒成立，所以单调递增； ④当时，易得当时，恒成立，所以单调递减； 综上所述，当时，函数在内单调递减； 当时，函数在内单调递减，在和内单调递增； 当时，函数在内单调递增. （ii）因为函数无极值，等价于在上无变号零点， 由（i）可得，当时，恒成立，当时，恒成立， 综上所述，当函数无极值时，的取值范围是. （2）根据题意得，， 要证，需先证明， 令，则， 代入化简得，即， 令，则， 令，则， 令，则， 因为，所以恒成立，则函数单调递减， 又，所以在上恒成立， 即恒成立，所以单调递减， 又，所以在上恒成立， 即恒成立，所以单调递减， 又，所以在上恒成立， 即恒成立，即恒成立， 即恒成立，又， 所以， 所以， 原式得证. 6．（24-25高二上·山西·期末）已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. (1)求的值； (2)证明：对； (3)已知数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）运用即可求解，再进行检验即可； （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式； （3）先根据和的关系求出，再结合前面的结论进行放缩得到，进而结合等比数列求和证明不等式即可. 【详解】（1）由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. （2）令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． （3）证明：当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 7．（24-25高二下·江西抚州·期末）已知数列满足，且.函数. (1)求； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由等差中项判断数列为等差数列，再由等差数列前项和公式求得公差，从而求得； （2）求导判断的单调性，当时，，再由结合得； （3）由，令，得，由裂项相消法得到. 【详解】（1）因为，所以数列是等差数列， 又因为，所以，解得， 所以. （2）的定义域为， ，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，不符合题意， 当时，令得，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又因为，要使得恒成立，则. （3）由（1）知， 由（2）知，当时，，即， 令，所以，即， ，不等式成立. 8．（2025·湖南·模拟预测）已知数列是各项均为正整数的递增数列，，且. (1)求和； (2)证明：； (3)设，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）令，通过代入得为等比数列，则； （3）首先解得，再构造函数，利用导数得其单调性，再令，最后累加计算即可. 【详解】（1）记，由，得． 由，得，由，得． 由，得． 由，得． 在3与6之间有2个整数，在6与9之间有2个整数， 由及递增，得， 故． （2）令，则， 从而． 又，所以． 所以，即为等比数列， 所以，从而． 又，所以. 故． （3）由（2）得， 再由，解得． 令，则， 所以在上为增函数，从而，即． 令，得，所以． 所以 故. 题型二 三角函数与导数交汇（跨章节）（共3小题） 9．（2025·浙江·一模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)两个零点 (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 10．（2026·重庆万州·模拟预测）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并说明理由； (2)当时，证明：，； (3)当为正整数时，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断单调性； （2）将不等式转化为，利用，结合（1）中的单调性，得，从而证得不等式； （3）将拆成，用和角公式展开，结合三角不等式与放缩，得到，再通过递推累加进行证明. 【详解】（1），令，则， 当时，，所以在上单调递减， 有，即，所以在上单调递减； （2）当，及，时，不等式显然成立， 故不妨设，，原不等式改写为， 因为，故， 下证，只需证， 因为，由（1）知，， 所以成立，从而成立，综上，原不等式成立； （3）证明：对任意正整数和实数， 由，，有 从而有 ，证毕. 11．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的奇偶性； (2)当为偶数时，方程有解，求的最小值； (3)若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)偶函数 (2)24 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义即可求解， （2）根据函数的周期性以及对称性，将问题转化为的值域，求导，根据函数的单调性即可求解， （3）对分奇偶，结合是偶数时， 恒有，将问题转化为恒成立，分离参数即可求解，当是奇数时，根据，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 故为偶函数， （2）当n为偶数时， 由于， 则的周期为，且关于对称， 所以只需要讨论在上的值域， 由于，， 故恒成立，所以在单调递减， ， 所以， 其中时，， 时，， 故的最小值为24， （3）当是偶数时，由（2）知， 故恒有，当时恒为1， 要使存在，使得关于的不等式恒成立， 所以只需要恒成立， 由于， 当时，恒成立，只需要， 当时，恒成立，只需要， 因此是偶数时，， 当是奇数时，设，则恒成立， 而，从而， 令，， 取 反之当时， 令，等式左边， 所以等式左边的最小值为 ，综上可得 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 12．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，证明：； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知等式得出，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）可求得，，利用裂项求和法求出，然后利用裂项求和法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立； （3）利用分析法可知，要证所证不等式成立，即证，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合函数的单调性即可证得结论成立. 【详解】（1）已知，即及，， 化简得，又 所以数列是首项为公差为的等差数列. （2）由（1）可知， 所以，. 又，所以，， . 所以 于是， ， 因为，所以，即. （3）定义，原不等式即 下面证明，即， 即证（*）， 设，则， 于是在区间上是增函数. 因为，有，不等式（*）成立. 故原不等式成立. 13．（24-25高二下·河北保定·月考）已知函数，． (1)求函数在上的最大值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）应用三角恒等变换结合基本不等式可求最大值； （2）问题转化为方程在有两个根，利用导数研究函数的单调性及最值即可确定参数范围； （3）构造、，利用导数确定两函数在上的符号，即可证明结论. 【详解】（1）由题意得，， 由，得，故， 所以，此时， 当且仅当，即时取等号，所以在上的最大值为. （2）由题设有两个零点，即方程在有两个根. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 因为时，，时，，且时， 所以，当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程在有两个根. 综上，实数的取值范围为. （3）令，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以，即恒成立. 令，则， 所以在上单调递增，故，即恒成立， 综上，，即. 14．（24-25高二下·海南海口·期末）记，，． (1)求，并证明：； (2)若，使得成立，求取值范围； (3)求函数的单调增区间． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【分析】（1）代值计算可得，分别计算，然后两式相加即可； （2）分离参数，，构建关于的函数，求导判断即可； （3）求导可得，换元，代入，然后根据的值作出判断即可. 【详解】（1）由题意，， ， 证明：要证， 只需证， 由于    ①，     ②， ①＋②得， 即， 得证； （2）存在，使得成立， 即的最大值， 由题知，， 令，，， 即，解得（舍去），， ，，单调递增， ，，单调递减， 的最大值为，即； （3），， 令，，，， ，，， 当时，， 当，， 当，， 又最多只有三个解且， 由三次函数图象，，，， 的单调增区间是，. 15．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，其中． (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数： (3)若对任意，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)2个； (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）将代入得，对函数二次求导可得在上单调递增，根据零点存在性定理可得存在，使得，再由结合零点存在性定理求解； （3）当时，，当时，考虑临界情况，二者相切时，建立等式求解计算求解. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以． 即， 即， 所以， 所以恒成立，即， 因为，得． （2）当时，， 又恒成立，故在上单调递增， 又，故存在，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，又时，， 故在上有2个零点． （3）原命题等价于， 当时，， 当时，则的图象需在的图象上方， ，， 考虑临界情况，两者刚好相切时，设切点为，则有 ， 所以， 又，所以，故． 16．（24-25高二下·广西桂林·月考）已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过构造函数，并求导分析单调性，证得任意时，，再结合不等式的性质运算即可得证； （2）先用数学归纳法证明，再利用不等式性质证明数列为递增数列，利用变形后的不等式结合累乘法可证明. 【详解】（1）由题意可得.构造函数，x， 则，在上单调递增. 所以，即任意时，. ，，且， 且，故. 所以，. （2）下面用数学归纳法证明. ①当时，成立；当时，成立； ②假设当时，，， 则当时，， 且，所以， 综合①②可知，对任意，成立. ，， 由，则，即， ，数列为递增数列， ，即. 当时，，即， 当时，， 所以，对，得证. 17．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)求证：函数在上有最大值； (3)在（2）的结论下，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）直接求导后得到其单调性，则得到其最大值； （2）证明其为周期函数，则可得到其有最大值； （3）分和进行分类讨论即可. 【详解】（1），， 故在上单调递增. 最大值为. （2）由于， 所以是以为周期的函数. 故 又因为在上连续，所以必然存在最大值. 故存在. （3） 由（2）可知是以为周期的函数. 又，所以是奇函数. 故只需考虑在的单调性. 设, . 故在上单调递减. ，，， ，， 令，得. 令，得. 令，得. ①当时， ,. 则在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. ， 同理可得 故设，. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， ，，， ，. 故，， 故 先证，即证 而，得证. 故 由于，故， ，故， 故 即 ②当时， ，. 则在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. 同理可得， 即 由①可知在上单调递增 ， 故 综上所述的取值范围为 题型三 概率与导数交汇（跨章节）（共3小题） 18．（23-24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （3）依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件， 则； （2）依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为 所以的期望为. （3）依题意，， 则， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以. 19．（24-25高二下·云南昆明·期中）为降低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元／件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：，）. 【答案】(1) (2)①0.81；②增加3件最好 【分析】（1）分析可知结合二项分布的期望公式运算求解； （2）①根据相互独立事件的乘法公式计算即可；②先求出一件减排器的平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）由题意可知：每件产品是二等品的概率均为，则， 所以的数学期望. （2）①设2件减排器的利润为Y万元， ， 所以2件减排器的利润不少于1万元的概率为0.81； ②一件减排器的平均利润为（万元）， 则增加件产品，利润增加为万元，成本也相应提高万元， 所以净利润为， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，因为x只能取正整数，所以或，此时可能为最大值， ， ， 所以要增加产量，增加3件最好. 20．（24-25高二下·山东·期中）2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. (1)求的值； (2)取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见详解； 【分析】（1）根据题意可得甲通过前两个环节的概率为，构建，利用导数分析最值即可； （2）（ⅰ）根据独立事件概率乘法公式运算求解；（ⅱ）先求甲、乙、丙分析进入决赛的概率，进而求X的分布列与数学期望. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 甲通过前两个环节的概率为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可知当时，取到最大值，即当时，取到最大值， 所以. （2）（ⅰ）由（1）可知：甲通过前两个环节的概率分别为和， 甲、乙、丙仅通过第一个环节的概率分别为 ， 恰有两人仅通过第一个环节的概率为 ； （ⅱ）设甲、乙、丙进入决赛分别为事件， 则，可得， 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3， 则； ； ； ； 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望为. 21．（24-25高二下·北京西城·期末）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. (1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； (2)丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 【答案】(1)甲恰好投中1次的概率大. (2)，最大值为. 【分析】（1）分别求出甲乙各命中1次的概率，即可求解. （2）求出丙恰好投中1次的概率为，再令，然后利用导数求出最值，即可求解. 【详解】（1）甲恰好投中1次的概率为， 乙恰好投中1次的概率为， 所以甲恰好投中1次的概率大. （2）丙恰好投中1次的概率为. 令. 求导得：. 由，解得，故在上单调递增： 由，解得，故在上单调递减， 所以. 所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为. 22．（24-25高二下·上海浦东新·期中）图图在玩一种击鼓游戏，其规则如下：每盘游戏都需击鼓两次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓两次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得60分，没有出现音乐则获得分，设每次击鼓出现音乐的概率为，且每次击鼓是否出现音乐相互独立. (1)设，每盘游戏所得的分数为，求的分布列； (2)图图多次试玩后发现，玩的局数越多总得分越少，据此估算的取值范围并说明理由； (3)将“在9盘游戏中恰有7次获得60分”记为事件，当事件发生的概率最大时，求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式和分类加法计数原理求出对应概率，再求出分布列即可； （2）先利用独立事件的概率公式和分类加法计数原理求出对应概率，再求出数学期望，结合题意建立不等式求解的取值范围即可； （3）先利用二项分布的概率公式表示，再利用导数判断其单调性，进而得到其取最大值时的值即可. 【详解】（1）由题意得每盘游戏击鼓两次，每次出现音乐的概率为， 而每盘游戏所得的分数为，则的取值有10，，60， 若两次击鼓都不出现音乐，且每次不出现音乐的概率为，两次相互独立， 由独立事件概率公式得， 若两次都出现音乐，则， 若第一次出现音乐，第二次不出现音乐，概率为， 若第一次不出现音乐，第二次出现音乐，概率为， 由分类加法计数原理得， 则分布列如下表， （2）由题意得每次击鼓出现音乐的概率为， 若两次击鼓都不出现音乐，则， 若两次都出现音乐，则， 若第一次出现音乐，第二次不出现音乐，概率为， 若第一次不出现音乐，第二次出现音乐，概率为， 由分类加法计数原理得， 则， 因为玩的局数越多总得分越少，所以，解得， 因为，所以； （3）设获得60分的盘数为，且由上问得， 则，而我们把“在9盘游戏中恰有7次获得60分”记为事件， 结合二项分布概率公式得， 令， 则， 因为，所以，我们研究的正负即可， 令，则构造，我们研究的正负即可， 令，，此时满足，， 令，，此时满足，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 则取得最大值时，， 即当事件发生的概率最大时，的值为. 23．（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【答案】(1)的分布列见解析，， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果. 【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． 24．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【详解】（1）“机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； （2）依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； （3）“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 即. 25．（24-25高二下·浙江宁波·期中）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动. (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率. (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为. （i）若，求； （ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）的最大值为，此时. 【分析】（1）应用独立乘法公式求共抽了3次的概率，再由独立乘法公式、互斥事件的加法求最后一次抽到的概率，最后求条件概率即可； （2）（i）首先对灯谜的位置排序，再求最适合灯谜的位置对应情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率；（ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则，应用全概率公式有，讨论、，进而得到，最后应用导数求最值，即可得. 【详解】（1）设表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到，第三次抽到}， 由题意，第一、二次抽到的概率依次为、，第三次抽到的概率为， 所以， 而最后一次抽到的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}， 除了最后一次，其它抽到，故对应概率依次为、、、， 所以该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为. （2）（i）这条灯谜的位置从第个到第个排序，有种情况， 要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况： ①最适合灯谜是第个，其它的随意在哪个位置，有种情况； ②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第个或第个，其它的随意在哪个位置，有种情况， 综上，所求概率为； （ii）记事件表示最适合灯谜被摘到，事件表示最适合灯谜排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最适合灯谜在前条中，不会被摘到，此时； 当时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合那条在前个之中时，此时， 所以， 令，则，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当时，取得最大值，从而的最大值为，此时的值为 $