专题05 导数与函数的零点、方程的根及图象交点（含隐零点设而不求）（5大题型31题）（期中复习专项训练）高二数学下学期人教A版

专题05 导数与函数的零点、方程的根及图象交点 （含隐零点设而不求） 题型1 讨论零点个数（重点） 题型4 方程的根（常考点） 题型2 由零点个数求参数范围（重点） 题型5 图象交点（常考点） 题型3 隐零点设而不求（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 讨论零点个数（共8小题） 1．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数判断函数单调性； （3）根据（2）的单调区间，对a进行分类讨论，结合单调性和极值，即可得零点个数. 【详解】（1）若，则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以. （2）因为， 若，则，可知在上单调递减； 若，令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. （3）若，可知在上单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知有且仅有1个零点； 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 当趋近于，时，趋近于 则， 可知在内单调递增，且， 当时，则，即，可知无零点； 当时，则，可知有且仅有1个零点； 当时，则，可知有且仅有2个零点； 综上所述：当时，无零点； 当或时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点. 2．（2025·湖南郴州·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). (3)答案见解析 【分析】 （1）对求导，即可判断函数的增减性；（2）先对求导，令，再对求导，即可得到在上单调递增，从而求解； （3）令，得. 再换元令，则，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以在上单调递减，所以当时，. （3）令，得，即， 所以. 令，则，即①， 当时，由，得在上恒成立， 所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数. 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， ，当时，，且当时，. 因为，所以. 当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2； 当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为 ，即时，方程①无解，的零点个数为0. 综上，当时，的零点个数为2； 当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0. 3．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）当时，对求导，求出，再由导数的几何意义即可得出答案； （2）对求导，分，和求出的单调性，结合最值的定义即可得出答案； （3）分，，和，讨论的单调性和值域，即可得出答案. 【详解】（1）当时，，，所以切点， ，， 所以函数在点处的切线方程为. （2），，     当时，在区间上恒成立，函数单调递增， 函数的最小值为， 当时，在区间上恒成立，函数单调递减， 函数的最小值为， 当时，列表如下： 单调递减 单调递增 函数的最小值为. 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为. （3）由（2）知，当时，， ①当时，令可得或，令可得， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增， 又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，， 在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点. ③当时，令解得， 即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点. 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上:当时，函数无零点，   当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2. 4．（24-25高二下·吉林长春·期中）设函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明只有一个零点. 【答案】(1)极大值为，没有极小值； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用导数求函数的极值即可； （2）应用导数及分类讨论求的区间单调性； （3）应用分类讨论，应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理确定各情况下函数零点的个数，即可证； 【详解】（1）当时，，则， 时，，时，. 在上为增函数，在上为减函数，， 当时，的极大值为，没有极小值. （2）， . ①当时，时时， 故时，在上为增函数，在上为减函数； ②当时，，则在上为增函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ④当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数. （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为，且. 令，则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点. ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且. 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点. 综上所述，当时，只有一个零点. 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)讨论在上的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）对求导后因式分解，根据的正负讨论导数正负，确定函数单调区间. （2）根据前面单调性结论，分和讨论.时函数在递减，不满足条件；时再分和，前者满足条件，后者不满足，最终得出范围是. （3）本题是根据的不同取值范围，分析函数单调，得到最值，进而得到零点个数. 【详解】（1）的定义域为R， ①当时，，在R上单调递减. ②当时，令，解得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：若，在R上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增 （2）由（1）可知，①当时，在上单调递减，所以，不满足在上恒成立. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 1）若，即，在上单调递增，那么，满足在上恒成立. （3）若，即，，则在上单调递减，在上单调递增..不满足在上恒成立. 综上，的取值范围是 （3）①当，在R上单调递减，当；当，所以有一个零点. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 令所以在上单调递增，又 所以当时，，函数有一个零点. 当时，，函数无零点. 当时，， 当；当函数有两个零点. 综上：当，有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点； 当时，函数无零点 6．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调性； (2)若，试讨论函数在上的零点个数. 【答案】(1)在上单调递减，在，上单调递增 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）求导后分和两种情况讨论，当时，构造函数，再求导分析单调性可得. 【详解】（1）当时 ，，则，， 令得或，得， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增. （2）， 令得或 因为，所以， 所以当 ，即时，在上单调递减， 若函数有零点，则，解得：， 若函数无零点，则，即 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由于，， 令， 令，则， 所以在上递减，，即， 所以在上递增， ，即， 所以在上没有零点， 综上，当时，在上有唯一零点， 当时，在上没有零点． 7．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数. (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，由题意可知，解得a，b，并验证即可； （2）求导，即可得到时，函数的单调区间，可求出函数的极值，通过讨论极值即可判断零点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时，由，得到或， 当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. （2），令，则或， 若，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取到极大值，即，所以， 当时，函数取到极小值， 即， 又当时，，当时，， 所以当，即时，有1个零点； 当，即时，有2个零点； 当，即时，有3个零点. 8．（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，，使得； (3)当时，求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 【分析】（1）利用导数几何意义可求在点处的切线方程； （2）求导分析函数单调性，发现函数在单调递增，由即可证明； （3）根据（2）函数的单调性确定函数的最小值，再整理分析函数的最小值的正负即可确定函数零点个数. 【详解】（1）当，，则， ， 即曲线在点处的切线方程为. （2）证明：当时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 即当时，，使得， （3）由（2）知， 令，则， 即，， 所以，， 令，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，又， 所以的解为，的解为， 即当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 题型二 由零点个数求参数范围（共7小题） 9．（24-25高二下·甘肃天水·月考）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，令导数大于0即可得到增区间； （2）问题转化为直线与的图象有三个交点，因此画出的图象，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，当时，； 故单调增区间为； （2）由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 的大致图象如图所示， 方程有三个零点等价于直线与的图象有三个交点， 由图可知时满足题意.    10．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，即可根据求解， （2）根据单调性即可求解极值， （3）根据函数的单调性，以及极值即可求解. 【详解】（1）， 由于在处取极值，故，解得， 当时，， 当和时，当，， 故满足在处取极值，因此 （2）由（1）知：在单调递减，在和单调递增， 故 （3）由于当时，,，时，， 时，，当时，， 结合（1）（2）可知：有3个实数根时， 故， 因此恰有3个零点时，则. 11．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可. （2）根据函数的零点的定义，结合导数的性质，利用构造函数法进行求解即可. 【详解】（1）， 由题意可知：； （2）令， 设， 当或时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极大值是，极小值是， 且当时，，时，， 因为若函数在R上有三个不同零点， 故所求为. 12．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数． (1)设，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先求出函数解析式，然后通过求导可以求出切线斜率，进而能够求出切线方程. （2）首先求出函数的导函数，然后分三种情况讨论的不同范围下（）函数的单调区间. （3）基于（2）中分情况讨论的函数的单调性，依然要分三种情况（）讨论使得有唯一零点的的取值范围. 【详解】（1）因为，所以函数. 对函数求导得：. 因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线斜率为-1， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为，所以. 令，则. 当时，或时，;时，. 此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 当时，或时，;时，. 此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 当时，，此时函数在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，函数在上单调递增. （3）当时，，令， 解得，此时，有唯一零点，符合题意. 当时，由（2）知，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 此时函数的极大值为，极小值为. 因为当时，；当时，. 因为有唯一零点，所以极大值，解得， 此时的取值范围为. 当时，由（2）知，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 此时函数的极小值为，极大值为. 因为当时，；当时，. 因为有唯一零点，所以极大值，解得， 此时的取值范围为. 综上，实数的取值范围为. 13．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出导函数，得出切线斜率再点斜式得出直线即可； （2）根据导函数分，讨论函数单调性结合极值点求出参数. 【详解】（1）若，，， 则；， 故所求的切线方程为，即． （2）由题意函数的定义域为， ， ①当时，恒成立，在上单调递增， 函数在定义域内最多一个零点，不符合题意； ②当时，令，则； 令，则；令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 若，则，此时最多一个零点，不符合题意； 若，则， 又时，；时，， 由零点存在性定理和函数的单调性可知，在上存在唯一的零点， 在上也存在唯一的零点，符合题意， 综上． 14．（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数． (1)当时，求在点处切线方程； (2)若在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据,进行求导,求出,进而求出切线方程; （2）根据在具有两个零点，转化为的图象与有两个交点，利用导函数分析函数的单调性和最值，即可求解的范围. 【详解】（1）由，则， 故，， 则切线方程，即. （2）由在具有两个零点， 则具有两个零点， 设， 则，令则， 所以，，在单调递增， ，，在单调递减， 所以，又，， 因为的图象与有两个点，所以. 15．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程； （2）由恒成立可得在上恒成立，令，对求导，求出，即可得出答案. （3）利用导数分析函数的单调性、极值，并求出、，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则，， 所以，函数的图象在处的切线方程， 即； （2）若恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 即实数的取值范围为. （3），则. ，当时，. 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值. 又，， ，则， 在上的最小值是. 又在上有两个零点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 题型三 隐零点设而不求（共3小题） 16．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合，进行分类讨论，由此得出结论； （2）利用放缩法，根据得，设，求导后，设，根据的单调性，得，使得有最小值，计算即可证明. 【详解】（1），因为， 所以：当时，，则在上单调递增； 当时，由得 若，即，当时，，则， 所以在上单调递减； 若，即，当，，单调递增； ，，单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在单调递增；在单调递减； （2）当时，， 要证，即证， 又，且即证， 设， ， 再设， ，且， ，使，即使， 当，，当，，且， 则，即， ， ，即. 17．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】(1)①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间； ②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得； （2）（法一）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解； （法二）设，求得，设，得到，进而求得的单调性，求得，令，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. （2）解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 18．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)讨论的单调性； (3)当时，设， 证明：在上存在唯一的极小值点，且．(参考数据：) 【答案】(1)增区间为，减区间为，极小值为，无极大值； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调区间和极值； （2）对函数求导得，讨论参数研究导函数的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值． （2）函数的定义域为R，对a进行讨论，分两种情况： 当时，恒成立，在R上单调递增； 当时，由，解得，由，解得， 在上单调递减，在上单调递增． 综上：当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）当时，，， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 又，且m， 所以存在唯一的，使得，即①, 当时，，  即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以是在上唯一的极小值点，则， 由①可知． 题型四 方程的根（共6小题） 19．（24-25高二下·广西南宁·月考）已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数在的最大值和最小值； (3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为最小值为 (3) 【分析】(1)由函数在点处的切线方程为可得，再进行求导，令解方程可得. （2）令导函数求解分析导函数的符号，可知函数的单调区间，再比较极值和区间端点函数值的大小可得最值. （3）方程恰有两个不等实根，转化为图像和有两个交点，根据的单调性和变化情况，可求得. 【详解】（1）,因为在点处的切线方程为 所以有所以解得 （2）由(1)可得当或     单调递增 单调递减 单调递增 所以在和上单调递增，上单调递减，又因为计算可得， 所以在的最大值为，最小值为 （3）由（2）可知，的极大值为，极小值为 当所以当时，.所以当且仅当时，方程恰有两个不等实根. 20．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验； （2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得. 【详解】（1）由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 故. （2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是． 21．（24-25高二下·山东聊城·月考）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值 (3) 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可. 【详解】（1），则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. （2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. （3）令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 22．（24-25高二下·广东广州·期中）函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求出方程的解个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程； （2）作出函数图像，由函数图像与直线交点个数确定方程解的个数． 【详解】（1）易知定义域为， 因为，所以，所以，所以， 所以切线方程为：． （2）方程解的个数等价于于的交点个数． 由得，由得. 所以在上递减，在上递增， 所以，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 又，且时，，作出与的图象， 由图可知当时，方程的解为0个 当或时，方程的解为1个 当时，方程的解为2个. 23．（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数 (1)若曲线在点处的切线斜率为求的值； (2)若有个实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义可得，解之即可； （2）利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出当方程有个实数解时实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由导数的几何意义可得，整理可得，解得. （2）由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由图可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 此时，方程有个实数解. 故实数的取值范围是. 24．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)过点作曲线的切线，求此切线的方程； (2)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设过点与曲线相切的切线的切点为，根据导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，可得出切点坐标，进而可得出所求切线的方程； （2）求得，利用导数分析该函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题，设过点与曲线相切的切线的切点为， 则切线斜率或， 所以切点为或， 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为； 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为，即. 综上，所求切线方程为或； （2）令，， 由得或；由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 在处取得极大值，在处取得极小值. 又有三个不同的实根，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 题型五 图象交点（共7小题） 25．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）由题意得，通过求导分析的单调性，进而求得函数的最大值； （3）联立得，结合（2）知问题等价于“函数的零点个数”.分、和三种情况，分别据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，从而判断出函数的零点的个数. 【详解】（1）若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． （2）， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 26．（24-25高三上·湖南·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且存在，满足，证明：； (3)设函数，若，且与的图象有两个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）求导可得，分，，，四种情况讨论，可得函数的单调性； （2）对合（1）可得的单调性，由已知可得，令，求导可得在上单调递增，从而可得，由的单调性可得结论； （3）据题意可得方程有两个实根，令，可得有两个实根，求解即可. 【详解】（1）由题意得， 若，则在上单调递减，在上单调递增． 若，令，得或， 若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，则在上单调递增； 若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，因为， 所以． 令， 则， 当时，，当时，， 所以恒成立，在上单调递增． 因为，所以，即，所以． 又在上单调递增，且， 所以，即． （3）由题意可得方程有两个实根． 设，当时，，则在上单调递增， 令，则，所以关于的方程，即有两个实根， 令，则， 当，，所以在上单调递增， 当，，，在上单调递减， 所以，且时，． 所以，所以， 即的取值范围是． 27．（24-25高二下·广东·期末）已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1)讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2)求函数的图象与函数的图象的交点个数. 【答案】(1)单调性见解析，证明见解析 (2)2 【分析】(1)利用导数思想，结合分段讨论，能得到函数的单调区间，并利用，可得，结合赋值可比较大小； (2)利用交点问题转化为方程解的个数问题，再构造函数转化为函数零点个数问题，从而利用求导来判断单调性，结合特殊点的取值正负，可确定零点所在的区间及个数. 【详解】（1）令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递减； ③当时，，所以对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递增； ④当时，令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增,在上单调递减； 因此， 取得，，即； 取得，，即; 故. （2）法一：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则. 令，则. 因此在上单调递增，由于为增函数，， 故， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故在，分别存在唯一零点 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 法二：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则， 令，则，， 故在上单调递增，且，， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在递减，在递增， 而，，， 故在，分别存在唯一零点， 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 28．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求； (2)若，求证：当时，； (3)若的图象与轴有3个不同的交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用切线斜率等于函数在该点的导数值，求解参数； （2）证明函数在时单调递增，利用和单调性得出结论； （3）分析导数确定极值点的个数，利用特殊值法确定函数符号变化，结合零点存在定理证明零点存在性. 【详解】（1）已知函数，求导可得. 由题可知，曲线在点处的切线方程为， 即当时，切线斜率，解得. （2）由（1）可知，.令，其对称轴为. 因为，所以，则当时，单调递增，且. 因此当时，，即在上单调递增，且. （3）函数的定义域为. 对求导可得，令. ①当时，，，，在上单调递增， 则的图象与轴至多有一个交点，不符合题意，舍去； ②当时，或，此时有两个不同的实数根，，. 当时，因为，所以，不满足定义域，故舍去. 当时，由韦达定理可得，，，不妨设. 当或时，则有，，在和上单调递增； 当时，则有，，在上单调递减. 由，，得， ， 取，则，令， 求导得，令，则， 函数在上单调递减，，，函数在上单调递减， ，因此存在唯一实数，使得， 即在上与轴有一个交点； 取，则， 因此存在唯一实数，使得，即在上与轴有一个交点. 则当时，的图象与轴有3个不同的交点，，， 综上，的取值范围是. 29．（24-25高二下·广东广州·月考）已知函数. (1)若函数不单调，求实数的取值范围； (2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数不单调转化为在上存在变号零点，进而转化为在区间上存在变号零点，结合二次函数区间根问题分析可得； （2）利用导数分析函数的单调性，再结合可得. 【详解】（1）由题意，. ， 设，， 当即时，，， 当时，，当时， ， 故函数不单调，满足题意； 当，即时，函数开口向下，因 ， 故，使得当时，，当时，， 故函数不单调，满足题意； 当时，，无解， 此时，，函数单调递增，不满足题意； 当时，的开口向上，对称轴为， ， 故在上有两个不同的零点，， 此时当或时，，当时，， 故函数不单调，满足题意； 综上可知函数不单调时，实数的取值范围为. （2）设，由题意可知有唯一零点， ，， 设， 当，即时，， 单调递增，结合可知满足题意， 当时，，， 单调递增，满足题意； 当时，，， 设此时的两个根分别为， 则在区间上单调递增，在上单调递减， ，故， 又当时，，当时，， 故的零点不唯一， 综上可知实数的取值范围. 30．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数的几何意义得出，将切点坐标代入函数解析式以及切线方程，即可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值； （2）求得，令，可知函数在上有异号零点，利用导数分析函数在上的单调性，计算得出，只需，由此可得出实数的取值范围，再结合函数极值点的定义验证即可； （3）令，则原方程可化为，结合函数单调性可知方程恰有个不同的实根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1），，，则. ，，，. （2）由题可知的定义域为，. 令，其中，则函数在上有异号零点， 则对任意的恒成立，故函数在上单调递减， 因为，故只需即可， 即，由零点存在定理可知，存在，使得，即， 当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点， 故当在其定义域上不具有单调性，的取值范围是. （3）若与的图象恰有两个不同的交点，则关于的方程恰有个不同的实根. ， 关于的方程即方程恰有个不同的实根. 设，方程恰有个不同的实根. 对任意的恒成立，是增函数， 方程，即恰有个不同的实根. 设，则的图象与直线恰有个交点，， 令，可得， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 又，当时，，当趋向于时，趋向于，如下图所示： 当时，的图象与直线恰有2个交点， 即实数的取值范围为. 31．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知函数， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)设函数，讨论的单调性； (3)设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明： 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数单调性，求得函数的最小值，解不等式即可得出结论； （2）对函数求导，对参数进行分类讨论，利用导函数符号即可得出其单调性； （3）根据交点坐标满足的关系式，构造函数，再利用导数和基本不等式证明即可得出结论. 【详解】（1）易知 令，得，所以在上单调递增； 令，得，所以在上单调递减． 所以的最小值为 由恒成立知，， 故. （2）由题知，定义域为， 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 所以在，上单调递增； 令，得，所以在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； （3）显然， 因为函数的图象与的图象有两个不同的交点． 所以关于的方程，即有两个不同的根． 由题知，， 得， 得， 由÷得， 不妨设，记 令，则， 所以在上单调递增，所以 则，即， 所以 因为，（利用基本不等式时，，故等号取不到）， 所以，即 令，则在上单调递增． 又， 所以， 即，所以； 两边同时取对数可得，得证． 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于利用两图象交点个数得出等量关系，再构造函数并利用导数得出单调性，结合基本不等式即可证明得出结论. $专题05 导数与函数的零点、方程的根及图象交点 （含隐零点设而不求） 题型1 讨论零点个数（重点） 题型4 方程的根（常考点） 题型2 由零点个数求参数范围（重点） 题型5 图象交点（常考点） 题型3 隐零点设而不求（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 讨论零点个数（共8小题） 1．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 2．（2025·湖南郴州·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 3．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明） 4．（24-25高二下·吉林长春·期中）设函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明只有一个零点. 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)讨论在上的零点个数. 6．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调性； (2)若，试讨论函数在上的零点个数. 7．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数. (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数. 8．（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，，使得； (3)当时，求函数的零点个数. 题型二 由零点个数求参数范围（共7小题） 9．（24-25高二下·甘肃天水·月考）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 10．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求的极值； (3)若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 11．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围． 12．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数． (1)设，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有唯一零点，求实数的取值范围． 13．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 14．（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数． (1)当时，求在点处切线方程； (2)若在上有两个零点，求的取值范围． 15．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 题型三 隐零点设而不求（共3小题） 16．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 17．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 18．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)讨论的单调性； (3)当时，设， 证明：在上存在唯一的极小值点，且．(参考数据：) 题型四 方程的根（共6小题） 19．（24-25高二下·广西南宁·月考）已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数在的最大值和最小值； (3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围． 20．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 21．（24-25高二下·山东聊城·月考）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 22．（24-25高二下·广东广州·期中）函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求出方程的解个数． 23．（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数 (1)若曲线在点处的切线斜率为求的值； (2)若有个实数解，求的取值范围. 24．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)过点作曲线的切线，求此切线的方程； (2)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 题型五 图象交点（共7小题） 25．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 26．（24-25高三上·湖南·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且存在，满足，证明：； (3)设函数，若，且与的图象有两个交点，求实数的取值范围． 27．（24-25高二下·广东·期末）已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1)讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2)求函数的图象与函数的图象的交点个数. 28．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求； (2)若，求证：当时，； (3)若的图象与轴有3个不同的交点，求的取值范围． 29．（24-25高二下·广东广州·月考）已知函数. (1)若函数不单调，求实数的取值范围； (2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 30．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 31．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知函数， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)设函数，讨论的单调性； (3)设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明： $