浙江台州市2026届高三第二次教学质量评估数学试题

台州市2026届高三第二次教学质量评估试题 数学 2026.04 本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔 将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知{an}为等比数列，43=2，a,=32，则45= A.8 B.12 C.16 D.17 2.已知a为第二象限角，且tana=-√5，则cosa= A. B.-1 c⑤ 2 2 D._ 2 3.设一个随机事件的样本空间为2，事件A,B三？，则下列结论中不一定成立的是 A.0≤P(A)≤1 B.P(A)+P(4)=1 C.若A∈B,则P(A)≤P(B) D.若AUB=2,则P()+P(B)=1 4已知实数a,b>1,若1og,b=2,1og22=3,则1og,a= A. 4 C. 2 D.1 5.已知一个圆锥的底面半径为V3，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是 A.体积为3π B.表面积为2√5元 C.两条母线的夹角的最大值为号 D.过顶点的截面面积的最大值为2 6.已知点A(I,1),BL,-),点P是抛物线C:y2=x上的动点（异于A,B两点），记 直线AP的斜率为飞，直线BP的斜率为k2,则下列结论正确的是 A.飞-k为定值B.作+飞为定值C.上-为定值D.1+为定值 k k2 k k2 7.设复数z1,z2是关于x的方程x2+mx+1=0(m∈R)的两个根，名1，z2在复平面内所 对应的点分别为Z1,Z2,0为坐标原点，若0Z,·0Z,=0,则下列结论正确的是 A.31z2=0 B.z2+z=0C.l≠z2 D.Z1+z2为纯虚数 8.已知数列{an}共有5项，各项均为正整数，且对n∈{1,2,3,4，满足a1-4n=1,若 k(k∈N)为数列{an}中的项，记满足题意的数列{an}的个数为A,则A2-A= A.12 B.14 c.16 D.18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=3si 2x-引+1，则 A.f(x)的最小正周期为2元 ( C.f(x)的值域为[-2,4 D.(后，0是f)图象的-个对称中心 10.设(x2+3x+2°=a+ax+azx2+agx2+awx+agx+a6x,a4(k∈{01,2，，6})为 常数，则 A.a=8 B.a4=33 C.a2+a4+a6=108 D.a1+a3+a5=108 11.已知正四面体A-BCD的棱长为4，顶点B,C,D在平面a的同侧，点A∈a,顶 点B,C到平面a的距离分别为1,2，直线BC与平面a交于点E,则 A.直线AC与平面a所成角为 B,平面ABC与平面a所成角为7 C.AC⊥AE D.点D到平面a的距离为1+2√2 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量ā=(1,2)，b=(x,y-1),x,y∈R,若a∥b,则x2+y2的最小值为▲. 13.已知双曲线C: 之=1@>0，b>0的左、右焦点分别为乃，，点P在双曲 上，O为坐标原点，P=2PF=4V2,OP=V17,则双曲线C的离心率为▲ 14.已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如 下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回：若取出的 是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色 的球没有差异).依此规则操作2次，记袋中的白球个数为X,则X的数学期望为▲， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 √3 asin B+bcosA=2b. (1)求角A的大小： a)若a=2,bc=号泉△8C的周长。 16.(15分)如图，在四棱台ABCD-A,B,CD中，上、下底面均为正方形，AA⊥底面ABCD, AB=2,AB=1,AA=2,点E为棱CC的中点. (1)求证：AC∥平面BDE: (2)求平面ABC与平面BDE夹角的正弦值. (第16题) 17.（15分)2016-2024年我国的国内生产总值(GDP)的数据（摘自《中国统计年鉴一2025》） 如下： 年份(x)2016201720182019 20202021 2022 20232024 GDP万亿元(y)74.6483.2091.9398.65101.36114.92120.47129.43134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为（名，），(32，y2),，(（3,),有关计 2-9x7 算结果如下：x=2020,少=105.5， =7.552 24- (1)证明： 立(x-0-列-2y-x可： (2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的 误差.（注：从《中国统计年鉴一2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.） 2x-0-列 附：一元线性回归方程少=x+à，其中6= 24-可 317分)已知圆C:意针6=1a>b>0的离心率为片，右焦点为心，0， P(2,-1),点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点P作椭圆C的两条切线L,2,过点T作椭圆C的切线！，I与，42的交点分别为M,N, (i)求切线，2的方程： ()问∠FN是否为定值？若是定值，求出该定值：若不是定值，说明理由， 19.(17分)已知a∈R,函数f(x)=nx+x2-ax. (1)当a=3时，求函数f(x)的极小值： (2)证明：当a≤2W2-1时，对任意x，x2∈(0，+o),都有f()-f(x22k-x2: (3)若存在x,x2∈(0，+o),:-2之2，使得f()=f(x2)成立，求实数a的取值 范围。 一、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分) 1 2 3 4 5 6 7 8 A ⊙ D C D c B C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 BC ABD ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 13. 14. 23 2 9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)解：(1)已知V3 asin B+bcosA=2b,由正弦定理得， √3 sin Asin B+sin Bcos A=2sinB,化简得√3sinA+cosA=2,…4分 即(4+)1，因为Ae0,所以4-号 …门分 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,得4=(b+c)2-3bc, …11分 解得b+c=25,所以a+b+c=2+25, 故△ABC的周长为2+25.… …13分 16.(15分)(1)证明：连接AC交BD于M点，由ABCD是正方形得M为AC的中点，因 为E为CC的中点，所以ME为△ACC的中位线，于是ME∥AC, …4分 又因为MEC平面BDE,AC平面BDE,所以AC∥平面BDE. …6分 (2)由已知，AA⊥平面ABCD,AB⊥AD,以A为原点，AB，AD,LA所在直线 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则4ao,B0ao.c2,2o.D02,0.cl2(层 设平面ABC的法向量为元=(：，，)，则{ 元·B=0, 元·AC=0, 即2x=0 x+4+2z1= 。取元=(0,2，-1)， (第16题) 设平面BDE的法向量为乃=(x2,y2,22)，则 元·BD=0, 五·B2=0, [-2x2+2y2=0, 即1. …12分 2 2为+22=0， 取2=(（1,1，-1)， 记平面ABC与平面BDE的夹角的大小为日，则cos日=·L=一3 - |%川z15×55 故si血0=V-cos2日=y0 …15分 17.(15分)1)证明：因为之(-0y-列-26y-订-yx+宝列 -2-2可-2+x7, …2分 又因为2打=气++x万=x可，2F=0+%+%加=9好7. 所以2y-立-之+x可=-听了-听了+妖5=2y-9贩可. 故2(4-0-列-2-9zy.… …5分 24-0,-列 (2)设一元线性回归方程为)=x+à，则6=回 =7.552, 2-2 将（亿，习）代入回归方程得105.5=7.552×2020+a,解得a=-15149.54, 所以一元线性回归方程为)=7.552x-15149.54, …12分 当x=2025时，求得少=143.26，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元， 而实际2025年的GDP为140.19万亿元，故误差值为143.26-140.19=3.07（万亿元).…15分 18.(17分)解：(1)由题意得9- ,c=1,解得a=V2,b=1, a 2 所以椭圆C的标准方程为号+少=1。 …3分 (2)(i)由题意，设过点P的直线方程为y=k(x-2)-1,联立方程组 x2+2y2=2, y=k(x-2)-1, 消去y并整理得(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0, 由△=16k2(2k+1)2-4(1+2k2)(8k2+8k)=0,即k2+2k=0,解得k=0,k2=-2. 所以切线方程分别为：y=-1,2:y=-2x+3. …8分 设r%,w）.则1：芝+%y=1,由2)知：y=-1,4:y=-2x+3, w2小号0} …12分 因m22头小m-0 发+=1，…15分 所mm=2-'-45_3。-4=2+4-45=0,即∠MN=90, x(x。-4yo)-4y0x(x-4%) 故∠MN为定值，且定值为90°. …17分 19.(17分)(1)由a=3,得f=上+2x-3=区-12x-卫(x>0. 令f'()=0,解得x=7,本2=1， 当0.>0：当xe经时，re0,吉xe0o时，>0， 因此，f(x)的极小值为f(1)=-2. …4分 (2)证明：当a≤22-1时，f(=1+2x-a≥2W2-a>0x>0), 所以f()为增函数，即对任意的x,x2∈R，不妨设x≤x2,则f(:)≤f(x2), 又因为()-x=1+2x-a-1222-a-1≥0，所以y=f)-x为增函数， 得f(x)-x≤f(x2)-2,即f(x)-f()之为-为，故f)-f(2)≥-x.9分 (3)解：由题意不妨设x=x2+t,t之2， 因为f()=f(x),所以有ln(x2+)+(x2+)2-a(x2+t)=lnx2+x22-ax2, 整理得1n当+“+2，-a+2=0,a-h+“+2x,+1, X2 t x2 令g=n+}2x+4e0,o.≥2. 0当xe四)时.80因-2a之2- x2+x3 >0, 此时g0-hn++2x+1≥80-h0+42+1>4. ®当xe0,)时，令g)=2-女=0，解得飞=+2-1】 x2+tx 因t8约在0)上甲要装流在上港：帝8因a=名空 gw60a小a+小n2e6+awm2. 因为平-4+420，得32+6220+纱，即P+2≥0+切 所以gW含-5+26F42≥25+间，+0. 记h()= (反+5t+D,22, t 6 则0=65+65+同_26-3h(迈+ 6 64 12 因为5+矿<矿-2<图<e,所以u(+同< -35同，✉-是0 即H>26 12 因此，当t=2时，gx)m=2h(0m=V6+ln(V5+5): 又6+5+同js6+4, 综上，g)=V6+h(5+5),即a的取值范围是[6+h(五+)+o）…17分 注：求n[+(P+2+]+P+2≥2)最小值的第二种解法 令m=6m(五+同)，因为h(2+5)<3,V6<子，所以m<4, 下：[+小P+2+小22≥2. f小-r*n小-n[e会2 =h(F+2+-h2=2hF+2+h2, 只需证： 只需证：2(P+2+小-n2-m2≥0e≥2）， 2+2 40=2na+小h2-2≥刘.则A0=0, 2 2m 2。—=202+2)-2m>0e≥2)， 因为0=+2F+2)小NP+2+2小+2 所0=k网=0，则时[14小F-7+小27a包立 at0a-h[l+n小+小-a2t+2. ◆2-，则k小6树对于贤+，-2>0， 所以2+年22若+6，当且收当=2时，g-6+n+可