精品解析：山东省青岛第三十九中学2025-2026学年下学期中考一模数学试题

数学中考模拟试题 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出的值，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：， 故的相反数是． 2. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意， B．不是轴对称图形，不符合题意， C．不是轴对称图形，不符合题意， D．不是轴对称图形，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 3. 纳米科技是新兴科技，1纳米米，则5纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：5纳米米， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5. 如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），AC=3， 如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°， 则点A′的坐标为（1，-3）， 再向左平移2个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（-1，-3）， 故选D． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键． 6. 下列运算正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断： A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 故选D． 7. 如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可知，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角相等是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，函数的图像的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图像上，则；⑤ A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像及性质逐一分析即可得解． 【详解】解：∵函数的图像开口向下， ∴， ∵函数的图像的顶点为， ∴，，， ∴，，，故③错误， ∴，，，故①错误，②⑤正确， ∵点和点都在函数的图像上，且，函数对称轴为， ∴点和点关于直线对称， ∴，故④正确， 综上正确的个数有3个， 故选；C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的对称性以及二次函数的最值是解题的关键． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 计算：=________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母有理化及负整数指数幂计算即可． 【详解】原式 故答案为： ． 【点睛】本题考查了分母有理化及二次根式的化简、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 乙 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较方差，方差小的比较稳定，从而得出答案． 【详解】解：甲===12， 乙===12， 甲的方差为=， 乙的方差为=， ∵， 即甲的方差<乙的方差， ∴甲的成绩比较稳定． 故答案为甲． 【点睛】本题考查了方差的定义．一般地，设n个数据，的平均数为，则方差为 ． 12. 已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】由数轴可得，且，则，，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 13. 如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为_____． 【答案】-3． 【解析】 【分析】因为点D在双曲线y=上，求出点D的坐标即可，根据A（-1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可． 【详解】解：过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB，垂足为E、F，A（﹣1，2） ∵△AOB绕点A顺时针旋转90° ∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90° 又∵∠C＝∠ABO＝90°， ∴四边形ACEB是矩形， ∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1， ∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3， ∴D（﹣3，1） ∵点D恰好落在双曲线y＝上， ∴k＝（﹣3）×1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及矩形的性质，合理地转化，将线段的长转化为点的坐标是关键所在． 14. 如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_______． 　　 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，作OH⊥DK于H，连接OK， ∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD． ∴根据折叠对称的性质，A'D=2CD． ∵∠C=90°， ∴∠DA'C=30°． ∴∠ODH=30°． ∴∠DOH=60°． ∴∠DOK=120°． ∴扇形ODK的面积为． ∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm， ∴．∴． ∴△ODK的面积为． ∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，．下列选项说法正确的有_________.（填序号） ①； ②； ③； ④若，则． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；①根据题意可知，则，则；②由证明，得到，从而；③同②证明即可；④若，则，可以证明，则且，则，为等腰直角三角形，过点作垂直于于点，设，则，，，则，，． 【详解】解：①四边形为正方形，， ，，， 为等腰直角三角形，， ，， ，故①正确； ②为等腰直角三角形，为的中点， ，， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ③为等腰直角三角形，为的中点， ，， 在和中， ， ，故③正确； ④， ， 为等腰直角三角形，为的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 过点作垂直于于点，如图所示： 设，则，，， 则，， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 先运用尺规作图过A作，然后再作线段的垂直平分线，垂直平分线与边的交点为点C，最后顺次连接点A、B、C即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 17. 化简与解不等式组 （1）化简：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出结果； （2）分别求出每个不等式的解集，即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 18. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图和列表法求概率，利用树状图和列表法求出所有可能出现的结果，再求出符合条件的个数，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下， 一 二 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一共有12种等可能的结果，其中甲和乙在一起的有2种情况， 因此（选中甲乙）． 19. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 0.0256 请根据以上信息，完成下列问题： （1）九年级（1）班视力中位数落在扇形统计图的______部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图； （3）表中______； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在之间的大约有______人； 【答案】（1）B （2）见解析 （3）4.8 （4）15 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，对数据进行分析即可； （2）根据九年级（2）班数据，可知中的频数，即可补全频数直方图； （3）根据众数的定义，对数据进行分析即可得出结果； （4）由九年级（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在，可知该班50人中视力在的人数． 【小问1详解】 解：将九年级（1）班视力数据排列为： 4.6，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，5.1 ∴中位数为， 即，落在B部分； 【小问2详解】 解：根据九年级（2）班数据，可知中的频数为4， 补全频数直方图如图所示， 【小问3详解】 解：由九年级（2）班视力数据可知，众数为4.8，即； 【小问4详解】 解：由九年级（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在， 故50人中视力在的人数为：（人） 20. 为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】0.7米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于，过点作于，先在中，求出，，即可得到，，再在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：过点作于，过点作于， ，， 由题意，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ，， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 答：凉荫处的长为0.7米． 21. 某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 （1）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （2）如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少． 【答案】（1）甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆 （2）当时，w最小，最小值为22700元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键． （1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆．根据题意列一元一次方程即可求解； （2）先根据表格信息列出w与t之间的函数解析式，根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可． 【小问1详解】 解：设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ∵ ∴ ∵， ∴w随t的减小而减小． ∴当时，w最小，最小值为（元）． 22. 如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P． （1）证明四边形为平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）添加条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可知，只需要令相等即可，由此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：添加条件，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判断，菱形的判定，熟知平行四边形和菱形的判定定理是解题的关键． 23. 跳台滑雪简称：“跳雪”，选手不借助任何外力，从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，，，设所在直线关系式为． 甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离、竖直高度之间的几组对应数据如下： 水平距离 0 10 20 30 40 竖直高度 42 48 50 48 42 （1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式； （2）运动员得分由距离得分＋动作分＋风速得分组成． 距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为，即得到60分，每比远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如米计为60米，米则计为米． 动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分． 风速得分：由逆风或者顺风决定． 甲运动员动作分、风速加分如下表： 距离分 动作分 风速加分 50 请你计算甲运动员本次比赛得分． 【答案】（1） （2）分 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得结论； （2）先确定的解析式，联立一次函数和二次函数的解析式，解方程组可得x的值，代入到总分的式子即可算出． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴对称轴是：直线， ∴顶点坐标为：， 设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：， 将代入得代入得：，则， ∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：． 【小问2详解】 解：∵ ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴的解析式为， 当， 解得：，（舍去）， 则， ∴甲运动员本次比赛得分分． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键在于：会用待定系数法求解析式、能求出与轴的交点． 24. 提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个． 探究三： 在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 问题解决： 在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 拓展延伸： 在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个． 【答案】探究三：9，8，8，24，96；问题解决：244；拓展延伸：48 【解析】 【分析】问题解决：按探究一、二的规律，先确定所有线段，然后确定所有符合等腰直角三角形的边长组合，再逐个确定每一个组合对应的等腰直角三角形个数，进而可确定等腰直角三角形的总个数． 拓展延伸：在2×2×1的长方体中，只需要确定正面、侧面、上面所有的等腰三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：探究三：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取9个数值： 。以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有8条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有8条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有24个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为96个． 问题解决：在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取14个数值： 这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下八种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、；、、4；、、； 4、4、 ． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有32条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有32×2=64个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有30条，其中有12条在4×4正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有18条在4×4正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有12+36=48个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有32条，其中有16条对应着一个等腰直角三角形； 有16条对应着两个等腰直角三角形，共有16×1+16×2=48个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （6）当斜边长为4时，图形中长为4的线段有10条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有2条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+4=12个． （7）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有4条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+8=16个． （8）当斜边长为时，图形中长为的线段有2条，每条对应着两个等腰直角三角形，共有4个． 故在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为： 64+48+36+48+16+12+16+4=244个． 拓展延伸：在2×2×1的长方体中： （1）在正面的2×1的方格上，以格点为顶点的线段长度可取3个数值：1，,2．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下两种情况：1、1、；、、2． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×2=8个； 当斜边长为2时，长为2的线段有2条，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形，共有2个； 故正面共有10个等腰直角三角形． （2）在侧面的2×1的方格上，等腰直角三角形的个数与（1）相同，共10个。 （3）在上面的2×2的方格上，由探究二得知有28个等腰直角三角形． 故在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为48个． 【点睛】本题考查规律探索，并按规律解决问题，懂得按题意研究和总结规律，并按规律解决问题是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，设的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）；（3）或；（4） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式得方程，求解即可； （2）证明△，求得，分和两种情况，结合求解即可； （3）根据列出方程求解即可； （4）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 解得， ∴当时，； （2）取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图① ∵ ∴，， ∴∠，∠ ∴四边形OMBN是矩形 ∴∠ ∴∠，∠ ∴∠ ∴△ ∴ ∵， ∴ ①当时，，（如图①） ∴， ∴， ， ∴ = = ∴； ②当时，如图② 此时，，， ∴ ∴ ∴ = = ∴ 综上所述， （3）∵ ∴ 解得， ∴当或时，； （4）当时，即，作，如图③ ∵∠，∠ ∴△ ∴，则 ∴，则 ∵∠，∠ ∴ ∴，则 ∴ ∵ ∴ 解得， 当时，即，如图④， 同上可得，， ∵ ∴ 解得， 综上所述， 【点睛】本题是四边形综合题，考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，准学会正确寻找相似三角形是解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学中考模拟试题 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 纳米科技是新兴科技，1纳米米，则5纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是【 】 A. B. C. D. 7. 如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，函数的图像的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图像上，则；⑤ A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 计算：=________________． 11. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 乙 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 12. 已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 13. 如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为_____． 14. 如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_______． 　　 15. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，．下列选项说法正确的有_________.（填序号） ①； ②； ③； ④若，则． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 17. 化简与解不等式组 （1）化简：； （2）解不等式组：． 18. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 19. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 0.0256 请根据以上信息，完成下列问题： （1）九年级（1）班视力中位数落在扇形统计图的______部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图； （3）表中______； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在之间的大约有______人； 20. 为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 21. 某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 （1）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （2）如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少． 22. 如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P． （1）证明四边形为平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 23. 跳台滑雪简称：“跳雪”，选手不借助任何外力，从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，，，设所在直线关系式为． 甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离、竖直高度之间的几组对应数据如下： 水平距离 0 10 20 30 40 竖直高度 42 48 50 48 42 （1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式； （2）运动员得分由距离得分＋动作分＋风速得分组成． 距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为，即得到60分，每比远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如米计为60米，米则计为米． 动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分． 风速得分：由逆风或者顺风决定． 甲运动员动作分、风速加分如下表： 距离分 动作分 风速加分 50 请你计算甲运动员本次比赛得分． 24. 提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个． 探究三： 在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 问题解决： 在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 拓展延伸： 在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个． 25. 如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，设的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $