湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研(二) 数学试卷

2026届高三学情调研（二） 数学 (时量：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知复数：z=1+ (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 4-i A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={1,2,3,B={xx<a,若A∩B=A,则实数a的取值范围是 A.(-00,1) B.(-o0,1] C.(3,+o0) D.[3,+oo) 3.函数y=2与y=(分的图象 A.关于y轴对称 B.关于直线x=1对称 C.关于直线x=-1对称 D.关于直线x=2对称 4.已知数列{a,满足a=l,a1+a,=n+1)sim+r(m≥2，n∈N,S,是数列 2 {a}的前n项和，则S= A.-7 B.-6 C.6 D.7 5已知0<B<a<sina-B)=tan a tan=2,则cos(a+B) 2 B. c.-1 5 5 .0为腺点，已知椭圆C名+Q>6>0的左、有焦点分别为卫 过F2的直线与C交于A,B两点，若AF,=4F,B,且OE=|OA,则C的离心率为 A B今 C② DV②6 5 5 2 10 7为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽 样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24：抽取 高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中 学生每天睡眠时间的方差为 B16 c18 D.4 “25 25 8函数/)=sim(2x+受)在区间：-牙，小.1eR上的最大值与最小值之差的取值 12 范围是 A B.[l,V2] C.IY 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在正方体ABCD-AB1CD1中，M为AA1的中点，O为 D C BD1的中点，则下列说法正确的是 A.OM/平面ABCD B.OM/平面BCCB1 C.OM⊥平面BBDD D.OML平面BCCB1 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线1交C于A,B 两点(B在不同的息交y轴于点n.且0=BhF-多a个-过A作 C的准线的垂线AE,垂足为E,设点H(-4,0),则下列说法正确的有 A.AE-BF=3 B.抛物线C的方程为y2=4x C.直线1的方程为√2x±y-2√2=0D.直线AE与直线AF关于直线AH对称 1.若数列{a满足2”a,3+a,=2,6。=2+10 一，则下列说法正确的是 A.任意neN',am>0 B.任意n∈N*,am<am+l C任意ae号a,号 D.任意n∈N,2+b,< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a,b,c均为单位向量，且a+b=c,则a和6的夹角大小为 l3.已知点P在曲线y=six上，o为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值 范围是 14.现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最 小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.(本小题满分13分) 某学校为高一学生免费提供数学和物理学科竞赛培训，以提升学生的学科竞赛素 养与解题能力.每名学生可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训已 知参加过数学竞赛培训的有60%，参加过物理竞赛培训的有75%.假设每个学生对 培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响， (1)任选1名高一学生，求该学生参加过培训的概率； (2)任选3名高一学生，记飞为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望， 16.(本小题满分15分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,且CD=2AB=2BC,E是CD的中点.将△ADE 沿AE折起到△ADE的位置 D' (I)若M为棱BD'上动点，N是AE的中点，证明BC⊥MN (2)若平面ADE⊥平面ABCE,求二面角A-BD'-C的余弦值. 17.(本小题满分15分) 如图，在平面四边形ABCD中，BC=CD=2AB,AD=3AB. (1)证明：3cosA-4c0sC=1. (2)当AB=2时，求四边形ABCD面积的最大值， 18.(本小题满分17分) 已知双由线c,器若-0>06>0)的条新近线方程为，。一5 ,实轴长为 2 4,F为其左焦点. (1)求C的方程； (2)设过点P(4,0),且斜率为k的直线1与C交于A,B两点. (①)若点A,B分别在C的左、右两支上，求k的取值范围； (i)若x轴上存在一点M,使得点M是△FAB的外心，求点M的坐标 19.(本小题满分17分) 己知函数f=hx（c>0,其中a∈R. x2+a (1)当a≤-1时，讨论函数f(x)的单调性. (2)若e2[(x-1)2(x+1)+lnx]<e2xnx,求x的取值范围， (3)当a=3e4时，若x,x,为函数g(x)=f(x)-m(m∈R)的两个零点，试证明： (G+e6,+em+x)<1+e 4e2 e(+2) 参考答案 1kA【你行应数：吉《得牛书吕+高则复数：在复平面内对应的点 35 的坐标为(77)，位于第一象限.故选A 2.C【解析】由集合B={xx<a},A=(1,2,3},A∩B-A,可得a>3,所以实数a的取值 范围是(3，十∞).故选C. 3.B【解析】画出两个函数图象可得两个函数图象关于直线x=1对称，故选B. 4.B【解析】由数列a,满足a1=1a,1十a.=(m十1D·sinD严(m≥2，m∈N, 2 可得a2十a3=-3,a4十a5=5,a6十a,=-7,a8十ag=9,a1o十an=-1l, 所以Sm=1-3+5-7+9-11=-6. 故选B. 5.C【解析】由题意，得0<a-B受又sna-)=号 所以cos(a-》=-sim(a-9-3,即oacos+sin asin 3 5 又因为tan atan B= 8}=2,所以eas6os月 2 5,sin asin=， 则coso+g=o-inin-号-号- 故选C 6.A【解析】由题意，过F2的直线与椭圆C交于A,B两点， AF2=4F2B,且|OF1I=OA|,如图， 设|F2B|=m,则|AF2|=4m,AF1=2a-4m,|F1B|=2a -m,又|OF1I=|OA=|OF21,所以F1A⊥AF2. 在Rt△ABF1中，|BF,I2=|AB|2+|AF,I2,可得(2a-m)2 =(5m)2+(2a一4m)2,解得3a=10m, 同理，在Rt△AF1F2中，4c2=(4m)2+(2a-4m)2,可得c 是所以台- 5.故选A 7.B【解析】因为抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24， 抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64， 所以该地区中学生每天睡聚时间的总体均值为2×9十0×8=8,6。 根据分层随机抽样的性质，可得该地区中学生每天睡眠时间的总体方差为 1200×0.24+(8.6-9)21+008 2000 6×[061+86-8r]=号×a24+0.16+号×a,64 +0.36)=6 故选B &.D【解析】设函数fx)=sin(2x十受)在区间1一]，∈R上的最大值与最小值之差为 g(t), 当函数图象的对称轴不在区间-牙]，∈R上时，函数f)在[-]，4∈R上单调。 不妨设函数fx)在[1-小1∈R上单调递增， 则g)=f)-fu-平)=sin(21+8)-sim[21-平)+]=sin(21+是)+cos(21+ 是)=2sin(2+3)≤2. 当函数图象的对称轴在区间1一云]，1∈R上时，不妨设在对称轴上时取得最大值1，则函 数fx)的最小值为fu-牙)或f), 显然当对称轴经过区间1一小，1∈R中点时，g)有最小值， 不妨设2× 2 +是-十2x,k∈z.则1=百十x,e∈么， f0=n2香+k叶-sn+2k-g. 所以天0的最小值为1-号。 综上，函数fx)=sin(2x+受)在区间1-开]t∈R上的最大值与最小值之差的取值范 围是L1-受2]，放选n 9.AC【解析】如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则 A(2,0,0),C(0,2,0),M(2,0,1),O(1,1,1),OM=(1,-1,0), D 由于DD1⊥平面ABCD,DC⊥平面BCC1B1,AC⊥平面 BB DD, 0 则平面ABCD,平面BCCB1,平面BB1D1D的法向量可分别取a D =(0,0,1),b=(0,1,0),c=AC=(-2,2,0), 对于A,由于OM·a=0,且OM中平面ABCD,故OM∥平面 ABCD,A正确： 对于B,OM·b=一1≠0，故B错误： 对于C,c=-2OM,即OM/e,故OM⊥平面BB1D1D,C正确； 对于D,OM与b不共线，故D错误.故选AC 10.ACD【解析】如图，不妨取点A在第一象限内， 由抛物线的定义可知，AE1=1AF1-》,又BF1-,所以 IAE1-BF|=|AF|-BF|=3,A正确； 设AE与y轴交于点M,过B作y轴的垂线BN,垂足为N, 由抛物线的定义可得，AM-9之，BN-3之， BNI BD 1 因为Rt△BDNRt△ADM,所以AM=AD=4' 3-p 1 即。二云，解得力三1。 2 所以抛物线C的方程为y2=2x,B错误； 若点A在第一象限内，设点A的横坐标为xA,点B的横坐标为xB, 将xA=4,xB=1分别代入y2=2x,得A(4,22),B(1,-√2)， 所以直线l的斜率k=2,则直线1的方程为y十√2=√2(x一1)，即2x一y一2√2=0， 同理可得，若点A在第四象限内，直线1的方程为√2x十y一2√2=0，C正确； 若点A在第一象限内，易知E(一号22).F(分0)，所以k=-22, 由A4,22),H(-4,0),得M=2 4 所以kE·kA湘=-22X号=一1，所以EF LAH 又|AE引=|AF|,所以∠HAF=∠HAE,则直线AE与直线AF关于直线AH对称， 同理，若点A在第四象限内也成立，D正确。 故选ACD】 11.ABD【解析】由2"a十an=2",得am(2"a+1)=2">0,又2"a+1>0,所以an>0,故A 正确； 由2"a十an=2",得2m+1a十an=2"十2"a, 又因为2+1a+1十an+1=2+1, 两式相减得2+1(a+1一a)十(am+1一an)=(am+1一an)[2+1(a+1十am+1an十a)十1]= 2"(1-a), 又am>0,n∈N', 当an+1<am时，则a>1,即am>1,显然与2"a十am=2"矛盾； 当a+1=an时，则a=1,即an=1,显然与2”a8十an=2”矛盾； 所以an+1>an>0且an<1,即{an}递增，故B正确； 由1一a2,根据B的结论知，随n的增大，2无限趋近于0.则a,无限接近于1， 又2(a-1)+a1=0, 令f(x)=2(x3-1)十x,x∈(0,1)，且f(x)递增， 4、2 厕f0=a即a≥a>。 综上，青<a,<1,故C错误： 1 1 由6。(g十1a。根据C的结论有6，户2中 、2” 又a.(2a2+1)=2”,所以a,-2"a+12”+1 2% 所以(2+1)a =26,<1,即6，<安 综上2+1 1 ,<女故D正确， 故选ABD. 12.120°【解析】由a,b,c均为单位向量，且a十b=c, 可得(a+b)2=c2,即1+1+2×1×1×cos(a,b)=1, 解得cosa,b)=-号，又a,b>E[0, 故a和b的夹角大小为120°. 13.[0,牙]U[3x）【解析1=csx所以ana=osx 因为-l≤cosx≤1，所以-1≤tana≤1. 因为0心a<,所以0心a≤行或≤a<元，故a的取值范围是[0，]U[,x。 14.8+4√6【解析】设正四面体ABCD的棱长为a,M是正△BCD的 中心，BM的延长线交CD于N,连接AM,则AM⊥平面BCD,BN ⊥CD,所以BN-,BM-号BN- 31 B 因此正四面体的高AM=√AB-BM=,a-(尽)y=6a 3 3 令正四面体ABCD内切球的半径为r, 由Vm=号·4Sam·r=号·Sm·AM,得AM=. 1 10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体ABCD中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为1，(1十2)，(1十2+3)， 当α取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的6个球还都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于底层正三角状顶点的小球球心连线与位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的 球心连线构成正四面体E-FGH, 则正四面体EFGH的棱长为2十4十2=8， 其病为EP-8X-85。 当以点E为球心的最上方小球是以A为顶点的某个正四面体的 内切球时，AE+2=4×2,即AE=6, 因此正四面体ABCD的高为AM=AE+EP+PM=8+8 3 所以正四面体棱长a的最小值为(8+3)义分=8+46 √6 15.【解析】任选1名高一学生，记“该人参加过数学培训”为事件A,“该人参加过物理培训”为 事件B. 由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.75.…1分 (1)任选1名学生，该学生没有参加过培训的概率是P,=P(AB)=P(A)·P(B)=0.4× 0.25=0.1,… …3分 根据事件的对立事件得到该学生参加过培训的概率是P2=1一P1=1一0.1=0.9.… …5分 (2)因为每个人的选择是相互独立的， 所以3人中参加过培训的人数服从二项分布B(3,0.9),…7分 P(E=k)=CX0.9×0.13-,k=0,1,2,3, 8分 即：的分布列是 0 1 2 3 12分 P 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望是E()=3×0.9=2.7. 0gggg0gge年9g0年年geg年年sgg年.e.年ggg0 …13分 16.【解析】1)证明：连接DN,BN,MN,BE,如图所示. 因为AB/CD,且CD=2AB=2BC, 所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形. 因为DA=DE,N为AE的中点，所以DN⊥AE,·1分 因为AB=EB,N为AE的中点，所以BN⊥AE,…2分 又DN∩BN=N,DN,BNC平面DNB,所以AE⊥平面DNB,… …3分 又因为AEBC,所以BC⊥平面DNB,… …5分 因为MNC平面DNB,所以BC⊥MN.6分 (2)因为平面AD'E⊥平面ABCE,平面AD'E∩平面ABCE=AE,DN⊥AE, 所以DN⊥平面ABCE, 以N为坐标原点，NA,NB,VD分别为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， …7分 设AB=2,则A(1,0,0),B(0,√5,0)，D(0,0,√3)，C(-2,3,0), …8分 所以AB=(-1,3,0),AD=(-1,0,3),BD=(0,-√3， 42 D 5),BC=(-2,0,0).…9分 设平面ABD'的法向量为m=(x1y1,之1)， J 则有 AB·m=-x1+3y1=0, AD·m=-x1十3x1=0, 取x1=3,所以m=(W3,1,1).… …11分 设平面BD'C的法向量为n=(x2y2,之2)， 则有 BD·n=-3y2十3x2=0, BC.n=-2x2=0, 取y2=1,所以n=(0,1,1).… …13分 设二面角A-BD'C的平面角为0， 则1投6是g伊 2/10 又因为日为钝角，所以cos0=一 5 故二面角A-BD'-C的余弦值为-0 5 …15分 17.【解析】(1)证明：如图，连接BD 在△ABD中，由余弦定理可得BD=AB2十AD-2AB·ADcos A, D …2分 在△BCD中，由余弦定理可得BD=BC2十CD一2BC·CDcos C, …4分 则有AB2十AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2-2BC·CDeos C, B 因为BC=CD=2AB,AD=3AB, 所以10AB2-6AB2c0sA=8AB2-8AB2c0sC,…6分 因为AB≠0，所以3C0sA一4c0sC=1.…7分 (2)如图，因为AB=2, 所以闪边形ABCD的面积S=SAm+Sm=号AB,ADsin A+号BC·CDsin C= 6sinA十8sinC, …9分 将S=6sinA+8sinC两边平方，可得S2=36sin2A+96 sin Asin C+64sinC, =9sinA+24sin Asin C+16sinC......... 由(1)可知3cosA-4cosC=1,平方可得9cos2A-24 cos Acos C+16cos2C=1,② 联立①②，解得S2=96-96cos(A+C)≤192， …14分 则S≤8√3，当且仅当A十C=π时，等号成立， 故四边形ABCD面积的最大值为8√. …15分 2a=4, a=2, 18.【解析】(1)由题意可得 b5 a 2 解得b=5, …3分 a2+b2=c2, c=3, 则C份方程为了-苦 1, …4分 (2)(i)由题意可得直线l的方程为y=k(x一4)， y=k(x-4), 联立x2y2,消去y可得(5-4k2)x2+32k2x-64k2-20=0. …6分 =1 45 设A(x1y1),B(x2y2）, 由点A,B分别在C的左、右两支上， △=(32k2)2+4×(5-4k2)(64k2+20)>0, 可得1x2 -64k2-20<0, 5-4k2 解得一5<< 21 × 2,