第八章 实数——平方根与算术平方根培优讲义 2025-2026学年人教版数学七年级下册

本讲义聚焦平方根与算术平方根核心知识点，从定义（平方与开平方互为逆运算）出发，梳理性质（正数两平方根互为相反数，0的平方根是0，负数无平方根），到算术平方根非负性，再到夹逼法估算及实际应用，构建完整知识支架。 资料特色在于融合数形结合（如用正方形对角线认识√2）培养几何直观，通过典型例题与高频真题改编提升运算能力和推理意识，方法归纳与参考答案助力课中教学和课后查漏补缺，强化应用意识。

人教版七年级下册第八章《实数》8.1 平方根 平方根与算术平方根培优讲义 知识精讲 + 典型例题 + 高频真题型改编 + 方法归纳 + 参考答案 一、学习目标 1. 理解平方根、算术平方根、开平方的意义，能准确判断一个数是否有平方根。 1. 会求完全平方数与部分小数的平方根、算术平方根，并会解简单的平方关系式。 1. 会用夹逼法估计 、、 等开方开不尽的数的范围。 1. 能利用平方根解决面积、边长、长度比等实际问题，体会“数形结合”的作用。 二、知识精讲 1. 平方根的定义 如果一个数 的平方等于 ，即 那么这个数 叫作 的平方根。 例如：因为 ，，所以 的平方根是 和 。 求一个数平方根的运算叫作开平方。 平方与开平方互为逆运算。 2. 平方根的大小规律 正数有两个平方根，且它们互为相反数； 的平方根是 ； 负数没有平方根。 因此，根号 只有在 时才有意义。 3. 算术平方根 正数 的正的平方根，叫作 的算术平方根，记作 。 例如：； 规定：。 注意区分： 项目 平方根 算术平方根 个数 正数有两个 正数只有一个 正负性 一正一负 一定非负 记号 4. 数形结合认识 当一个正方形的边长是 时，对角线长设为 ，由勾股关系可得： 所以： 图1：边长为 1 的正方形及其对角线 由此可以直观看出： 不是整数，但它确实表示一个确定的长度。 5. 估算开方开不尽数 例如估计 ： 因为 ，，且 ，所以 进一步比较： 所以 估算时要先找“夹住它的两个相邻平方数”，再逐步缩小范围。 6. 平方根在实际问题中的应用 若一个正方形花圃的面积是 ，设边长为 ，则 由边长的实际意义可知 ，所以 因此花圃边长是 。 三、典型例题 例 1 平方根存在性判断 判断下列各数是否有平方根；如果有，求出平方根： 1. 1. 1. 1. 例 2 求算术平方根 求下列各数的算术平方根： 1. 1. 1. 1. 例 3 解简单平方关系式 求下列各式中 的值： 1. 1. 1. 例 4 估算根号数大小 估计 所在的整数区间和一位小数区间。 例 5 数形结合题 如图 1，正方形 的边长为 。求对角线 的长，并说明这个结果为什么只能取正值。 例 6 实际应用题 一块正方形地砖的面积是 ，求这块地砖的边长。 四、高频真题型改编 1. 下列说法正确的是（ ） A. 负数有两个平方根 B. 没有平方根 C. 正数的两个平方根互为相反数 D. 一个数的平方根一定是正数 1. 求下列各数的平方根：，，。 1. 求下列各数的算术平方根：，，。 1. 已知 ，求 。 1. 已知 ，求 。 1. 比较大小： 与 ； 与 。 1. 估计 和 分别介于哪两个相邻整数之间。 1. 一块长方形草坪的长是宽的 倍，面积为 。求草坪的长和宽。 五、方法归纳与易错提醒 1. 判断平方根有没有意义，先看被开方数符号 被开方数大于 ：有两个平方根； 被开方数等于 ：只有一个平方根 ； 被开方数小于 ：没有平方根。 2. “平方根”和“算术平方根”不是同一个概念 “平方根”常常是两个数； “算术平方根”只取非负值。 3. 实际问题中只取符合情境的值 长度、面积、边长、时间等量通常不能取负值，因此虽然代数上可能得到 ，但实际问题一般只取正值。 4. 估算根号数要善用平方数表 熟记 ，估算会快很多。 参考答案与关键步骤 例 1 1. 是正数，平方根是 。 1. 是正数，平方根是 。 1. 是负数，没有平方根。 1. ，平方根是 。 例 2 1. 1. 1. 1. 例 3 1. 由 ，得 。 1. 由 ，得 ，所以 。 1. 由 ，得 ，所以 。 例 4 因为 ，所以 。 又因为 ，所以 。 例 5 设 ，则 所以 。 因为对角线表示长度，长度不能为负，所以只能取正值。 例 6 设地砖边长为 ，则 因此 答：地砖边长是 。 高频真题型改编参考答案 1. C 1. 平方根分别为 ，，。 1. 算术平方根分别为 ，，。 1. 。 1. ，所以 或 。 1. ，故 ；，故 ，所以 。 1. ，故 ；，故 。 1. 设宽为 ，长为 ，则 ，所以 ，长为 。答：宽 ，长 。 学科网（北京）股份有限公司 $