精品解析：2026年甘肃省武威市凉州区金山九年制、和平九年制学校中考一模数学试卷

2026年中考一模数学试卷 一、择选题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 据统计，2025年我国新能源汽车年产量超过1600万辆，其中1600万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 10 C. D. 9. 如图，一个矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行，已知，，则点到所在直线的距离可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共21分，每小题3分） 11. 分解因式：________． 12. 如图，直线l与相交，过圆心O作，垂足为A，点B为直线l上方上一动点，过点B作，垂足为C．若的半径为6，，则的最大值为_______． 13. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 14. 如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为________． 15. 如图，直径，为圆上一点，于（），．点在弧上，连接交于，若，则__________． 16. 如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 17. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______． 三、解答题（共69分） 18. 如图，正方形的边长为4，点在边上，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）在图中作出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）当点，，三点共线时，求线段的长． 19. 计算和化简求值： （1）先化简：，再从，0，2，3中选择一个合适的代入求出分式的值． （2）． 20. 中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 21. 图1是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了份，每份分别标上，，，．游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止），数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行． （1）若转一次转盘，求从顶点跑到顶点的概率； （2）若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到处的概率． 22. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 24. 如图，是的直径，的弦于点，为上的一点，与相交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 26. 如图，是的直径，延长弦至点D，使，连接，过点C作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若的直径为8，，求的长． 27. 已知二次函数（其中a为常数）， （1）将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值． （2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值． （3）当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考一模数学试卷 一、择选题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形，而不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形，也是中心对称图形； C选项不是轴对称图形，是中心对称图形； D选项不是中心对称图形，是轴对称图形； 故选B． 2. 据统计，2025年我国新能源汽车年产量超过1600万辆，其中1600万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，先将1600万化为普通整数，再按科学记数法改写即可． 【详解】解：1600万． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用完全平方公式、合并同类项、同底数幂相乘、积的乘法求解并一一辨别即可． 【详解】选项A，，故不符合题意； 选项B，不是同类项，不可以合并，故不符合题意； 选项C，，故不符合题意； 选项D，，故符合题意． 4. 如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 5. 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值判断方程是否有实数根，若，则方程有实数根，否则无实数根，整式方程先化简再判断是否成立. 【详解】A选项：方程为， ， ，方程无实数根； B选项：方程为， ， ，方程无实数根； C选项：移项化简方程得，等式不成立，方程无实数根； D选项：方程为， ， ，方程有实数根. 6. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，函数图象与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的左侧，可判断a，b，c的符号，可判断A选项；由抛物线过点，可判断B选项；当时，，可判断C选项；，，可判断D选项． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，函数图象与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； 根据题意得：抛物线过点， ∴，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：当时，， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 7. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据弧与圆心角之间的关系得到的度数，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴． 8. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，过点作于点.利用菱形对角线互相垂直平分求出和的长，再利用相似三角形求出和的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ∵， ， ， 是的中点， ， ，， ，， ， 在中，． 9. 如图，一个矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行，已知，，则点到所在直线的距离可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于，根据平行线和矩形的性质推出，结合在中，求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于， 由题意知，， ∴， 由矩形的性质知，， ∴， ∴在中，， 即点到所在直线的距离可表示为． 10. 二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图像的大致位置． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图像分布在第一、三象限． 二、填空题（共21分，每小题3分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 12. 如图，直线l与相交，过圆心O作，垂足为A，点B为直线l上方上一动点，过点B作，垂足为C．若的半径为6，，则的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过构造辅助线，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质得到相关线段之间的关系和长度，延长到点D，使得，利用等腰直角三角形的性质和线段的等量关系可得当为外接圆直径时，有最大值，从而求得的最大值，进而求出最终结果． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 延长到点D，使得， ∴， ∵， 当为外接圆直径时，有最大值， ∴， ∴， ∴． 13. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：且， 综上，的取值范围是且． 14. 如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】首先由得到，然后证明出，根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴ ∴的面积为18． 15. 如图，直径，为圆上一点，于（），．点在弧上，连接交于，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据勾股定理在中，求得，从而得到，根据得到，因此在中，，，进而得到，求出，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】##52度 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 17. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆锥的侧面积，先由三视图可知该几何体是圆锥，底面直径是，高是，利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，底面直径是，高是， ∴底面半径为， ∴母线长， ∴侧面积， 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. 如图，正方形的边长为4，点在边上，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）在图中作出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）当点，，三点共线时，求线段的长． 【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）2 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，然后在垂线上截取； （2）过点作，交的延长线于点，根据正方形的性质得出，证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19. 计算和化简求值： （1）先化简：，再从，0，2，3中选择一个合适的代入求出分式的值． （2）． 【答案】（1），当时，原式 （2）3 【解析】 【分析】（1）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定m的值，并代入求值即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算立方根和负整数指数幂，接着计算乘方，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴，且， ∴当时，原式； 【小问2详解】 解： ． 20. 中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）涨价5元 【解析】 【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解． （2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：， 解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每盒应涨价元， 根据题意可得：， 展开化简得：， 因式分解得：， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每盒应涨价5元． 21. 图1是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了份，每份分别标上，，，．游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止），数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行． （1）若转一次转盘，求从顶点跑到顶点的概率； （2）若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到处的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率及简单事件的概率，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）根据题意列表求概率即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴从顶点跑到顶点的概率为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 和 由上表可知，所有等可能情况共种，其中和为的有种， ∴两次跑完恰好回到处的概率：． 22. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2）24 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定条件证明即可；（2）先证明四边形是菱形，再根据面积计算式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是沿折叠而得， ，． 在（1）的条件下， ， 四边形是菱形． ， 点O在上， ， ， 在矩形中，，， ，． ． 23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】 （1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 24. 如图，是的直径，的弦于点，为上的一点，与相交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，推出，结合，通过等量代换推出，再根据垂径定理推出，等量代换即可求解； （2）过点作于点，连接，根据垂径定理推出是的中点，根据中位线定理推出，再证明，推出，然后证明，推出，，最后根据勾股定理结合垂径定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合； （1）把点代入即可求出，把代入反比例函数解析式求出点的坐标，再将把和点的坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）设点的坐标为，分类讨论：①当点在第四象限时，；②当点在第二象限时，；分别建立方程即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入得，解得 一次函数的解析式为． 综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ， 当点在第四象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，如图所示： ∵ ∴， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为或． 26. 如图，是的直径，延长弦至点D，使，连接，过点C作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若的直径为8，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的切线， ， ，， 是的中位线， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的定义知，由，得是的中位线，推出，即可证明； （2）先由直径所对的圆周角等于得出，再证垂直平分BD，求出，再证明，推出，求出AC，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ，即， ， ． 27. 已知二次函数（其中a为常数）， （1）将二次函数化为顶点式，并写出它的最小值． （2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当的面积为3时，求a的值． （3）当时，是否存在实数t，使得时二次函数最大值与最小值的差为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）顶点式为，最小值为． （2）或； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案； （2）求出的长度和点的坐标，根据三角形面积公式列出方程并解方程即可； （3）根据的取值范围分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解： 即二次函数化为顶点式， ∵抛物线开口向上， ∴当时，它的最小值为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 解得 ∵点A在点B左侧， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 则或（不合题意，舍去） 解得或； 【小问3详解】 解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当即时，在上，随着的增大而减小， ∴当时，有最大值，当时，有最小值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当时，在上，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴， 解得， 当即时，当时有最小值， 比较与值求最大值， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，即时，时，有最大值， ∵二次函数最大值与最小值的差为8， ∴ 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴存在的值，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $