专题8.3完全平方公式与平方差公式（高效培优讲义，2知识&6题型8类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

本讲义聚焦完全平方公式与平方差公式，从公式推导、结构特征区分入手，通过基础计算、变式应用、几何验证构建学习支架，衔接整式乘法与后续因式分解，形成完整知识脉络。 资料特色在于融合几何直观与代数推理，通过面积法验证公式培养数学眼光，设计符号、系数变式题型提升运算能力与推理意识，创新题型如“小西数”问题增强应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题8.3完全平方公式与平方差公式 教学目标 1.掌握完全平方公式与平方差公式的推导过程，理解公式中字母a、b的广泛含义（可表示数、单项式、多项式）。 2.精准区分两个公式的结构特征：完全平方公式的 “和差平方” 结构与平方差公式的 “同反相乘” 结构，能快速判断整式乘法运算是否可套用公式。 3.能熟练、正确地运用两个公式进行简单整式乘法运算，同时能处理含系数、符号变化的变式运算，以及简单的逆向应用（如因式分解初步）。 4.了解公式的几何验证方法，能用面积法直观解释公式的合理性，建立 “数式运算” 与 “几何图形” 的关联认知。 教学重难点 教学重点 1. 1.两个公式的推导过程与结构特征 2. 2.直接套用公式进行标准形式计算 3. 3.几何意义理解（数形结合） 教学难点 1. 1.公式灵活应用：变式、符号、系数、多项式整体代换 2. 2.准确区分两个公式，不混淆结构与符号 3. 3.理解a、b 的广泛含义（整体思想） 4. 4.复杂算式先判断、再选择公式、正确计算 知识点01 完全平方公式 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍 . 用字母表示：( a+b)²=a²+2ab+b²，( a－b) ²=a²－2ab+b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1) a2+b2=(a+b) 2 -2ab=( a- b) 2+2ab； (2) (a+b) 2=( a -b) 2 +4ab； (3) (a - b) 2=(a+b) 2 -4ab； (4) (a+b) 2+( a -b) 2=2(a2+b2)； (5) (a+b) 2 -(a-b) 2=4ab； (6) ab= ［(a+b) 2 -(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 -(a - b) 2］； (7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ . 【即学即练】运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 知识点02 平方差公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 . 用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2. 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式  应用举例 (1)位置变化  ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a²－b² (2)符号变化  (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) ²－a²=b²－a² (3)系数变化  (3a+2b)(3a－2b)=(3a) ²－ (2b) ² =9a²－4b² (4)指数变化  ( a³ +b²)( a³－b²)=( a³) ²－ (b²) ² =a－ (5)增项变化  ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) ²－c² (6)连用公式  ( a+b)( a－b）( a²+b²)=(a²－b²)( a²+b²)=－ 【即学即练】计算． (1)； (2)； (3) ； (4)． 题型01 直接运用乘法公式计算 【例1-1】直接运用完全平方公式计算 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例1-2】直接运用平方差公式计算 计算： (1)； (2)． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算： 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）化简：． 【变式1-4】（23-24七年级下·安徽六安·期末）计算： (1) (2) 题型02 利用乘方公式进行简便运算 【例2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）简便运算： (1) (2) 【变式2-2】（2024七年级下·安徽·专题练习）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）用乘法公式简便计算： (1) (2) 题型03 运用乘方公式进行化简、求值 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中， 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）先化简，再求值：，其中． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型04 利用乘方公式变形求值 【例4】（23-24七年级下·安徽·单元测试）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知， (1)求的值 (2)求的值 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽六安·月考）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【变式4-3】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）利用乘法公式，解答下列问题： (1)填空：若多项式是一个完全平方式，则______； (2)已知，，且，求的值； (3)已知，求的值． 【变式4-4】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 题型05 乘法公式与几何图形 【例5-1】完全平方公式与几何图形 （23-24七年级下·安徽宿州·月考）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数式中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 【理解应用】 （1）观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式： ； 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，求的值； ②已知且，，求与的值． 【例5-2】平方差公式与几何图形 （24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽六安·月考）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（边长分别为的正方形、边长为和的长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法分别表示正方形的面积（用含的代数式表示）①______，②______；由此可以验证一个重要的公式是______； (2)若图中满足，，求的值； (3)若，求的值． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【变式5-4】（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 题型06 创新题型 【例6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“小西数”如（，，即8，16均为“小西数”）． （1）将“小西数”96表示为两个连续奇数的平方差为______； （2）在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和为______． 【例6-2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________； ②若可配方成（、为常数），则___________． 探究问题： （2）①已知，则___________； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________ 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）已知实数a、b、c满足，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若且，则 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形，的面积之和为（   ） A．34 B．26 C．19 D．17 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）若．则m的值为（   ） A．6 B．9 C． D．3 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和16．若将三个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．55 B．52 C．44 D．40 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1为学校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则的值等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．16 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称24为“完美数”．下面4个数中为“完美数”的是（   ） A．200 B．202 C．210 D．230 二、填空题 10．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则a，b之间的关系式是________． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）若，，则______． 12．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则k的值为_______． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图①，将甲、乙并列放置后得到图②，已知点H为的中点，连接，又知甲、乙两个正方形边长之和为12，图①的阴影部分面积为16，则图②的阴影部分面积为____________． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为10，则图中阴影部分的面积是___________． 15．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是______（写出一个值即可）． 16．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 （1）___________； （2）___________； 17．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将一张长方形广告牌切割成九块，切痕用图中“井”字形虚线表示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的全等小长方形，且， （1）用含的代数式表示切痕总长为___________． （2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则的值为___________． 三、解答题 18．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 19．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，求代数式的值． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 21．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）（1）填空： __________； __________； __________； （2）猜想： __________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 22．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若满足，求的值； (2)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3完全平方公式与平方差公式 教学目标 1.掌握完全平方公式与平方差公式的推导过程，理解公式中字母a、b的广泛含义（可表示数、单项式、多项式）。 2.精准区分两个公式的结构特征：完全平方公式的 “和差平方” 结构与平方差公式的 “同反相乘” 结构，能快速判断整式乘法运算是否可套用公式。 3.能熟练、正确地运用两个公式进行简单整式乘法运算，同时能处理含系数、符号变化的变式运算，以及简单的逆向应用（如因式分解初步）。 4.了解公式的几何验证方法，能用面积法直观解释公式的合理性，建立 “数式运算” 与 “几何图形” 的关联认知。 教学重难点 教学重点 1. 1.两个公式的推导过程与结构特征 2. 2.直接套用公式进行标准形式计算 3. 3.几何意义理解（数形结合） 教学难点 1. 1.公式灵活应用：变式、符号、系数、多项式整体代换 2. 2.准确区分两个公式，不混淆结构与符号 3. 3.理解a、b 的广泛含义（整体思想） 4. 4.复杂算式先判断、再选择公式、正确计算 知识点01 完全平方公式 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍 . 用字母表示：( a+b)²=a²+2ab+b²，( a－b) ²=a²－2ab+b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1) a2+b2=(a+b) 2 -2ab=( a- b) 2+2ab； (2) (a+b) 2=( a -b) 2 +4ab； (3) (a - b) 2=(a+b) 2 -4ab； (4) (a+b) 2+( a -b) 2=2(a2+b2)； (5) (a+b) 2 -(a-b) 2=4ab； (6) ab= ［(a+b) 2 -(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 -(a - b) 2］； (7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ . 【即学即练】运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 知识点02 平方差公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 . 用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2. 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式  应用举例 (1)位置变化  ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a²－b² (2)符号变化  (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) ²－a²=b²－a² (3)系数变化  (3a+2b)(3a－2b)=(3a) ²－ (2b) ² =9a²－4b² (4)指数变化  ( a³ +b²)( a³－b²)=( a³) ²－ (b²) ² =a－ (5)增项变化  ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) ²－c² (6)连用公式  ( a+b)( a－b）( a²+b²)=(a²－b²)( a²+b²)=－ 【即学即练】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型01 直接运用乘法公式计算 【例1-1】直接运用完全平方公式计算 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【例1-2】直接运用平方差公式计算 计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1-4】（23-24七年级下·安徽六安·期末）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： 题型02 利用乘方公式进行简便运算 【例2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）简便运算： (1) (2) 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 【变式2-2】（2024七年级下·安徽·专题练习）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． 【详解】（1）解：平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）原式 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型03 运用乘方公式进行化简、求值 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 【详解】解： 当中，时，原式 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中， 【详解】解： ， 将，代入， 原式 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ， 将代入得：原式． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 【详解】原式 ； 把，代入， 原式 题型04 利用乘方公式变形求值 【例4】（23-24七年级下·安徽·单元测试）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【详解】解：（1）将的两边同时平方， 得． 所以． 所以； （2）将的两边同时平方，得． 因为， 所以． 所以． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知， (1)求的值 (2)求的值 【详解】（1）解：， 把代入上式得： ； （2） 把代入上式得： ， ． 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽六安·月考）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ，，要使它们的和为0， 则且． ，， 解得：，． （2）解：， 算术平方根为2． 【变式4-3】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）利用乘法公式，解答下列问题： (1)填空：若多项式是一个完全平方式，则______； (2)已知，，且，求的值； (3)已知，求的值． 【详解】（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，且， ∴ ∴ ∴． （3）设， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式4-4】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若满足，求的值． 解：设，， 则，． 类比探究： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)若满足，求的值． 【详解】（1）解：设，，则，， ； （2）解：， ，即， 设，则， ， ； （3） 解：设，，则，， ， ， ． 题型05 乘法公式与几何图形 【例5-1】完全平方公式与几何图形 （23-24七年级下·安徽宿州·月考）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数式中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 【理解应用】 （1）观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式： ； 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，求的值； ②已知且，，求与的值． 【详解】解：（1）根据图形可知，； （2）①由题意，得 ． ②由题意，得， ， 把，代入上式，得； ， ， 又， ， ，． 【例5-2】平方差公式与几何图形 （24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积， ， 故选：B； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽六安·月考）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（边长分别为的正方形、边长为和的长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法分别表示正方形的面积（用含的代数式表示）①______，②______；由此可以验证一个重要的公式是______； (2)若图中满足，，求的值； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：根据正方形面积公式得：正方形的面积， 根据正方形面等于两个小正方形与两个相等的长方形面积和可得：正方形的面积， 根据两种方式计算出的面积相等得：， 故答案为：，，． （2）解∶ ∵，， ∴， ∴，（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解∶用两种方法表示出图的总面积为和 ， 关于，的等式， 故答案为：， ，； （2）根据题意，得：，， ； （3）根据题意，得图中阴影部分的面积为 ， 当，时， 图中阴影部分的面积为 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 【变式5-4】（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【答案】(1)①②③ (2)1 (3)见解析， (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解： ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． （4）解： ． 题型06 创新题型 【例6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“小西数”如（，，即8，16均为“小西数”）． （1）将“小西数”96表示为两个连续奇数的平方差为______； （2）在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和为______． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）设连续的两个奇数为，（n为正整数）， ∴ ， ∴任意的“小西数”一定是8的倍数 ∵， ∴在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和， 故答案为：． 【例6-2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，即：， ∴； （2） ， ∵，， ∴ ∴当，时，多项式有最小值4； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________； ②若可配方成（、为常数），则___________． 探究问题： （2）①已知，则___________； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________ 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； ② ∵S为“完美数”， 又，是完全平方式， ∴也是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：13； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【详解】（1）解：根据示例可发现：； （2）解：猜想：a，b，c之间的关系为， 验证：， ，，， ， ； （3）解：①这个单项式为乘积2倍时，设单项式为， ， ， 这个单项式为或， ②这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为， ， 这个单项式为， 综上所述，单项式为或或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】C 【详解】解：设，则 代入原方程得：， 整理得：， 所求表达式为：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）已知实数a、b、c满足，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若且，则 【答案】D 【详解】解：选项A：代入，，得，与结论矛盾，故A错误． 选项B：若，则．因，故，结论不成立，故B错误． 选项C：已知，，由，得．代入得，即或，结论不一定成立，故C错误． 选项D：由，得，即．代入得．结合，得，结论成立，故D正确． 故选：D． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形，的面积之和为（   ） A．34 B．26 C．19 D．17 【答案】A 【详解】解：设正方形的边长为，的边长为， 由图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，可得①，②， 将②化简，得③， 由①得， 将③代入可得． 即正方形，的面积之和为． 故选：A． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）若．则m的值为（   ） A．6 B．9 C． D．3 【答案】D 【详解】解：， ∴且， 解得． 故选：D． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和16．若将三个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．55 B．52 C．44 D．40 【答案】C 【详解】解：正方形，的边长各为，， ∴图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， ∴， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：C． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1为学校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则的值等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．16 【答案】A 【详解】解：根据题意，得，， ， ∵，， ， 或（舍去）， ． 故选：A． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称24为“完美数”．下面4个数中为“完美数”的是（   ） A．200 B．202 C．210 D．230 【答案】A 【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”， ∴可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数）， ∴这个“完美数”为 ∴这个“完美数”为8的倍数． 观察各选项可知只有200是8的倍数， ∴这4个数中200是“完美数”． 故选：A． 二、填空题 10．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则a，b之间的关系式是________． 【答案】 【详解】解：由已知等式，得，， 由此可得：，， 则， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）若，，则______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则k的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图①，将甲、乙并列放置后得到图②，已知点H为的中点，连接，又知甲、乙两个正方形边长之和为12，图①的阴影部分面积为16，则图②的阴影部分面积为____________． 【答案】 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b， 根据题意可得：， ， ， ， 是的中点， ， ，， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为10，则图中阴影部分的面积是___________． 【详解】解：如图所示： 设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则，，， ， 则图中阴影部分的面积是， 大正方形与小正方形的面积之差为10， ， 则， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是______（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴， ∴■处所对应的数是或， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 （1）___________； （2）___________； 【答案】 3 7 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 17．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将一张长方形广告牌切割成九块，切痕用图中“井”字形虚线表示，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长、宽分别是，的全等小长方形，且， （1）用含的代数式表示切痕总长为___________． （2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则的值为___________． 【答案】 或 【详解】解：（1）由图可知，切痕总长L为长方形大铁皮周长， 即 故答案为：； （2）∵每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 19．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：， 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 21．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）（1）填空： __________； __________； __________； （2）猜想： __________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：；；； （2）猜想∶ (其中为正整数，且)； 故答案为：； （3）利用（2）猜想的结论计算： ， =， = 22．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若满足，求的值； (2)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 【详解】（1）解：设，则：， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）解：设，则，， ∴，，， 设，， 则，， ∴， 正方形的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $