第28期 8.1 平方根 8.2 立方根 8.3 实数及其简单运算-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期(2026年1月) 第25期2版 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 基础训练1.C;2.C;3.B;4.30°；5.105. 图1 6.由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=140° (2)因为∠1：∠2：∠3=1：2：3， 因为OE平分∠AOD, 所以设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x°. 所以∠A0E=LD0E=分LA0D=70 因为∠2+∠3=180°， 所以2x+3x=180. 所以∠B0E=180°-∠AOE=110°. 解得x=36. 因为OF平分∠BOE. 所以∠1=36°，∠2=72°，∠3=108 所以∠E0F=7∠B0E=5 第25期3版 所以∠D0F=∠D0E-∠EOF=15° 7.1.2两条直线垂直 题号1 234567 8 基础训练1.A;2.B;3.C;4.3;5.26 答案CDBC 6.(1)图略.(2)图略.(3)MF.(4)0M. 二、9.垂线段最短；10.40°；11.70°； 7.因为OF⊥CD, 12.∠ACD,∠CDB;13.149;14.82或202. 所以∠FOD=90° 三、15.(1)图略. 因为∠E0F=54°， (2)AB. 所以∠D0E=∠FOD-∠EOF=36°. (3)图略，CE. 因为OE平分∠BOD, 16.因为OM⊥AB, 所以∠B0E=∠D0E=36°. 所以∠BOM=90°. 因为OG⊥OE, 所以∠EOG=90° 因为∠1=子∠B0C,∠B0C=∠B0N+∠A, 所以∠B0G=∠E0G-∠B0E=54° 所以∠1=号LB0M=300 所以∠A0G=180°-∠B0G=126° 7.1.3两条直线被第三条直线所截 所以∠B0C=120°. 基础训练1.B;2.D;3.A;4.70°，70°，110° 所以∠B0D=180°-∠B0C=60° 5.∠1与∠DAB是由直线DE和BC被直线AB所截形成的 17.(1)∠1的同旁内角是∠MOE,∠AOE,∠ADE;∠2的 内错角. 内错角是∠MOE,∠AOE. ∠2与∠1是由直线AB和AC被直线BC所截形成的同旁 (2)因为∠B0M=145°， 内角；∠2与∠CAD是由直线DE和BC被直线AC所截形成的 所以∠A0M=180°-∠B0M=35°. 同旁内角；∠2与∠CAB是由直线BC和AB被直线AC所截形 由对顶角相等，得∠AOE=∠BOF=65° 成的同旁内角。 所以∠M0E=∠AOE-∠AOM=30. 能力提高6.(1)如图1所示. 答：水下部分向上弯折了30°. 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 18.(1)因为OE⊥CD, 因为OE平分∠BOC, 所以∠D0E=∠COE=90°，即∠B0D+∠BOE=90, 所以∠B0E=∠c0E=分∠B0C=90P-7∠A0C 因为∠BOD=∠B0E+10°， 所以∠B0E=40°. 因为OC⊥0D, 因为OE平分∠BOF, 所以∠D0C=90°. 所以∠EOF=∠BOE=40°. 所以LD0E=∠D0C-LC0E=2∠A0C 所以∠COF=∠C0E-∠EOF=50°. (3)2∠M0N+∠D0E的值是定值，为270°. (2)因为OE平分∠B0F, 因为OM平分∠AOC, 所以∠EOF=∠BOE. 因为OE⊥CD, 所以∠c0M=宁∠40C 所以∠BOD+∠BOE=∠EOF+∠COF=90°. 由(2)，得∠D0E= ∠40C 1 所以∠BOD=∠COF 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC. 所以∠COM=∠DOE. 所以∠AOC=∠COF. 因为OW平分∠B0E, 所以OC是∠AOF的平分线. 所以∠BON=∠EON=∠BOE 附加题1(1)180- 因为∠B0E=∠C0E=90°-2LA0C, (2)由对顶角相等，得∠B0C=∠AOD=76° 因为OE平分∠B0C, 所以∠E0N=2(902-2∠A0C)=45-4∠A0C 所以∠c0E=∠B0C=38 所以∠MON=∠C0M+∠COE+∠E0N=2∠A0C+ 如图2.因为OF⊥CD, 所以∠C0F=90°， 90°-2∠A0C+450-子∠40C=1350-4∠A0C 所以∠EOF=∠COE+∠C0F=128° 因为LD0E=7∠40C, 所以∠M0N=135°-子∠D0E,即∠M0N+7∠D0E= 135° 所以2∠MOW+∠DOE=270°. 图2 图3 如图3.因为OF⊥CD, 第26期2版 所以∠C0F=90°. 7.2平行线 所以∠EOF=∠COF-∠COE=52. 7.2.1平行线的概念 综上所述，∠E0F的度数为128°或52°. 基础训练1.D;2.C；3.D;4.①②⑤： 2.(1)因为∠A0C=116°， 5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 所以∠B0C=180°-∠A0C=64°. 互相平行. 因为OE平分∠BOC, 6.图略. 所以∠C0E=号∠B0C=32 7.2.2平行线的判定 基础训练1.A;2.D; 因为OC⊥CD, 所以∠D0C=90°. 3.答案不惟一，DF平分∠ADE;4.3. 所以∠D0E=∠D0C-∠C0E=58° 5.因为∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，所 以∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°.所以AD∥BE,BE∥ (2)LD0E=之∠A0C理由如下： CF.所以AD∥CF 因为∠A0C+∠B0C=180°， 6.因为∠1=∠2，∠ABC=∠ACB,所以∠ABC-∠1= 所以∠BOC=180°-∠AOC ∠ACB-∠2，即∠EBD=∠BCE因为∠EBD=∠D,所以 -2 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 ∠BCF=∠D.所以FC∥ED, =∠C=30°.所以∠DAC=∠DAE-∠CAE=60° 7.2.3平行线的性质 (2)①如图4，当三角形ADE在线段AC的左侧时，过点A 基础训练1.A;2.D;3.D;4.B;5.78°；6.25° 作AP∥BC.因为BC∥DE,所以AP∥BC∥DE.所以∠BAP 7.(1)GD∥CA.理由如下： =∠B=60°，∠DAP=∠D=45°.所以∠BAD=∠BAP- 因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD=180°.因为∠1+∠2 ∠DAP=15°.因为∠BAC=90°，所以∠DAC=∠BAC+ =180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥CA. ∠BAD=105 (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 40° 第26期3版 题号12345678 图4 图5E 二、9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 ②如图5，当三角形ADE在线段AC的右侧时，过点A作AQ 线也互相平行；10.45；11.③⑤；12.15°； ∥BC.因为BC∥DE,所以AQ∥BC∥DE.所以∠CAQ=∠C 13.112.5;14.46° =30°，∠DAQ=∠D=45°.所以∠DAC=∠CAQ+∠DAQ= 三、I5.图略（提示：先过点B作线段AC的平行线，再过点A 75. 作AD⊥BD,垂足为，点D,此时AD的长最短，点D即为所求) 综上所述，∠DAC的度数为105°或75°. 16.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 第27期2版 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF 7.3定义、命题、定理 17.延长AB到点C,图略.因为AB∥MW,∠2=100°，所以 基础训练1.B;2.C; ∠CBD=180°-∠2=80°.因为∠DBE=130°，所以∠CBE 3.如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等； =∠DBE-∠CBD=50°.因为AB∥PQ,所以∠1=∠CBE= 4.答案不惟一，如-2. 50. 5.∠C;∠A;两直线平行，同位角相等；已知；两直线平行， 18.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以CD∥FE.所以 同位角相等；∠4；两直线平行，内错角相等；180°；等量代换 ∠ACD+∠EHC=180°.因为∠ACD+∠F=180°，所以 6.答案不惟一.以①②作为题设，③作为结论为例. ∠EHC=∠F.所以AC∥FG. 已知∠1=∠2，∠B=∠C.求证：AB∥CD. (2)因为∠BCD:∠ACD=2:3,所以设∠BCD=2x,∠ACD 证明：由对顶角相等，得∠1=∠3.因为∠1=∠2，所以 =3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x ∠2=∠3.所以CE∥BF.所以∠AEC=∠B.又因为∠B= 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°，所以 ∠C,所以∠AEC=∠C.所以AB∥CD. 3x+15x=180°.解得x=10°.所以∠BCD=20°. 7.4平移 附加题1.(1)因为AB∥CD,PG∥CD,所以AB∥PG. 7.4.1平移现象及平移的性质 所以∠EPG=∠PFH,∠GPH=∠PHF.因为∠PFH= 基础训练1.A;2.C;3.B;4.105°；5.42. ∠PHF,所以∠EPG=∠GPH.所以PG平分∠EPH. 6.(1)因为AB边沿着AC方向平移到ED,所以AC∥BD. (2)设∠EPW=x°.因为PW平分∠EPM,所以∠EPM= 所以∠EBD=∠AEB=7O°.所以∠EBC=∠EBD-∠CBD= 10°. 2∠EPN=2x°.因为PM⊥PH,所以∠MPH=90°.所以∠EPH =∠EPM+∠MPH=(2x+90)°.因为PG平分∠EPH,所以 (2)由平移的性质，得AB=ED,AE=BD.所以三角形 EOC与三角形BOD周长的和为：CE+OC+OE+OB+OD+BD 1 ∠EPG=2∠EPH=(x+45)°所以∠NPG=∠EPG- CE +AE+OC+0B+OD+OE AC BC+ED AC+BC ∠EPN=45° +AB=18. 2.(1)设AD交BC于点M,图略.因为BC⊥AD,所以 7.4.2平移作图 ∠BMA=90°.因为∠DAE=90°，所以BC∥AE.所以∠CAE 基础训练1.C;2.A；3.2;4.3和5. 一3 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平以∠AOF=180°-∠BOD=150°.因为OE平分∠AOF,所以 移的距离是线段AD的长度. ∠E0F=7∠A0F=75所以LB0E=∠B0D+∠BE0F- (2)图略 105°.因为OE∥DM,所以∠ANM=∠BOE=105°. 第27期3,4版 答：扶手AB与靠背DM的夹角∠AWM的度数是105°. 五22.(I)∠AEF=∠BED. 题号12345678910 (2)①由平移的性质，得EF∥BD,DE∥CF.所以∠BED 答案CBDABCCAD B =∠BAC,∠BEF=∠B.因为∠BAC=∠B,所以∠BED= 二、11.垂线段最短；12.52°，10；13.答案不惟一，如 ∠BEF.所以EB平分∠DEF. ∠EAD=∠B;14.135°；15.6或43.5. ②LBAF=∠B+∠D.理由如下： 三、16.图略. 因为BD∥EF,所以∠BEF=∠B,∠DEF+∠D=∠BEF 17.(1)∠1与∠4是同位角，∠1与∠2是内错角，∠1与 +∠BED+∠D=180°.因为DE∥CF,所以∠BED+∠EAC ∠5是同旁内角. =180°.所以∠EAC=∠BEF+∠D=∠B+∠D.由对顶角相 (2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1与∠5互补. 等，得∠BAF=∠EAC.所以∠BAF=∠B+∠D. 理由如下： 23.(1)两直线平行，同旁内角互补；EF;CD;∠C;360° 因为∠1=∠4，所以0A∥CD.所以∠1=∠2，∠1+∠5 (2)过点C沿BA方向作CM∥AB,过点D沿BA方向作DN =180° ∥AB,图略.所以AB∥CM∥DN∥EE所以∠B+∠BCM= 18.(1)因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为CD⊥ 180°，∠MCD+∠CDW=180°，∠NDE+∠E=180°.所以∠B AB,GF⊥AB,所以CD∥GF所以∠BGF=∠BCD.所以 +∠BCM+∠MCD+∠CDN+∠NDE+∠E=540°，即∠B+ ∠CDE=∠BGF. ∠BCD+∠CDE+∠E=540°. (2)所得的命题是真命题.理由如下： (3)∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°.理由如下： 因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为∠CDE= 由(1)，得在A,C两点的同一侧有1个折点，所以∠A+ ∠BGF,所以∠BCD=∠BGF.所以CD∥GF.因为CD⊥AB, ∠AEC+∠C=180°×(1+1)=360°， 所以GF⊥AB. 由(2)，得在B,E两点的同一侧有2个折点，所以∠B+ 四、I9.过点C沿AB方向作CF∥AB,图略.因为∠B:∠D ∠C+∠D+∠E=180°×(2+1)=540°. =4:3,所以设∠B=4x,∠D=3x因为CF∥AB,所以∠BCF 因为在B,F两点的同一侧有3个折点，所以∠B+∠C+ =∠B=4x.因为AB∥DE,所以DE∥CF所以∠DCF=∠D ∠D+∠E+∠F=180°×(3+1)=720°. =3x.所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=x=20°.所以∠B= (4)180°×(n+1). 80°.所以∠B0E=180°-∠B=100°. 第28期2版 20.(1)因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.因为∠B0D= 40°，所以∠B0C=∠C0D-∠B0D=50°.所以∠A0C=180° 8.1平方根 -∠B0C=130°.因为OE平分∠AOC,所以∠AOE= 基础训练1.A;2.C；3.B; 7∠40C=650 4.<;5.7.223；6.7 (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角.理由如下： 7.(1)0:(29；(3)-0l;4)±8 若∠AOE=∠B0D,则∠B0D+∠B0C+∠COE=180. 81)=是或号：(2=号或x=- 2 因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE.所以∠BOD= ∠C0E.因为OC⊥OD,所以∠B0C+∠B0D=90°.所以 能力提高9.B;10.4或64. ∠BOC+∠COE=90°.所以∠BOC+∠BOD+∠BOC+ 8.2立方根 ∠COE=180°.与∠B0D+∠B0C+∠COE=180°相矛盾.所 基础训练1.A;2.D;3.15.627;4.-3. 以∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. 5.(1)7:(2)-06:(3)100:(4)-g 21.(1)由对顶角相等，得∠BWM=∠AWD.因为∠AOE =∠BNM,所以∠AOE=∠AND.所以OE∥DM. 6x=4:(2)x=-子 (2)由题意，得AB∥CD.所以∠B0D=∠ODC=30°.所 7.瓶内溶液的体积V=r2h≈3×32×16=432(cm3). 一4 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 所以这个正方体容器的棱长为：432÷2=6(cm). 18)把d=0代人f=品得r=品 00 8.3实数及其简单运算 所以1=√隔-√罗1.5(. /103 基础训练1.C;2.B;3.10-3;4.1,2,3,4. 5.(1)3: 答：这场雷雨大约能持续1.05h (2)“整数”席：-4,2025，-√16，…； “分数”：子03…； (2)20min=号h 把1=分代人=品得兮>=品 “无理数”席：π，√⑧，0.303003…（相邻两个3之间0的个 数逐次加1)，…. 所以d=/100≈4.64(km). 6.实数在数轴上表示略.-π<-1.5<2<4. 答：这场雷雨区域的直径大约是4.64km 7.(1)22:(2)37-7;(3)√5 附加题1.(1)答案不惟一，如729+一729=9+ (-9)=0. 第28期3版 (2)a+b=0. 题号12345678 (3)因为/3-2x与x+5的值互为相反数， 答案CA DBABCD 所以3-2x+x+5=0. 解得x=8. 二9.2,2-5；10.>；11.12；12.±2； 2.(1)因为正方形ABCD的面积是10， 13.0;14.-2或-12. 所以正方形ABCD的边长是√IO. 三、15.正实数集合：受，9，-（-2)，4010010001（相邻 因为3<√10<4， 两个1之间0的个数逐次加1)，1.23，…}； 所以x=3,y=10-3. 负分数集合：-34，-037，…： 所以(y-√10)=（√0-3-10)3=-27. (2)①1+√10. 无理数集合：受，401001001（相尔两个1之间0的 ②因为正方形ABCD的边长是√I0,第一次翻滚后点P表 个数逐次加1)，…}： 示的数是1+√0；第二次翻滚后点C对应的数是1+2√0： 非正整数集合：{0，-42，…. 第三次翻滚后点D对应的数是1+3√0；….因为经过第 16()-7；(2)±0.13：(3)m-35(4号 2026次翻滚后与数轴上的点Q重合，所以点Q表示的数是1+ 2026√/10. 17.(1)-25;(2)4;(3)3-35. 54 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 名师点晴 第27期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话 7.3定义、命题、定理 0351-5271248 实数与数轴“手牵手” 基础训练1.B;2.C: 20252026学年 3.如果两个数互为相反数，那么它们的绝 七年级数学人教(GDY) ◎江西乔涵柏 对值相等； 第二学期编辑计划 实数与数轴上的点是一一对应的.借助于 分析：点A是数轴上原点右边的点，故点A表 4.答案不惟一，如-2. 数轴，同学们可以把抽象的实数直观地表示出示的数是正数.要确定这个数的值，关键在于确定 5.∠C;∠A;两直线平行，同位角相等；已 第25期 7.1相交线 来，从而达到“以形启数”“以数助形”的目的，线段OA的长 知两直线平行，同位角相等；∠4：两直线平行， 第26期 下面举例说明. 解：因为点C是AB的中点，所以AC=BC.所 内错角相等；180°；等量代换. 7.2平行线 一、依数定点 以OA=OC-AC=OC-BC.因为数轴上表示3， 6.答案不惟一.以①②作为题设，③作为 第27期 结论为例. 例1如图1，数轴上表示实数5的点可能√0的对应点分别为C,B,所以0C=3,0B= 7.3定义、命题、定 是 已知∠1=∠2，∠B=∠C.求证：AB∥CD. (）√10.所以BC=0B-0C=√10-3.所以0A= 理；7.4平移；第七章 证明：由对顶角相等，得∠1=∠3.因为 PQ R S -2-1012345→ 3-(√10-3)=6-√10.所以点A表示的数是 复习与小结 ∠1=∠2，所以∠2=∠3.所以CE∥BF所以 第28期 图1 6-√10.故填6-√10 ∠AEC=∠B.又因为∠B=∠C,所以∠AEC 8.1平方根；8.2立方 A.点PB.点QC.点RD.点S 三、点数结合 =∠C.所以AB∥CD. 根；8.3实数及其简 分析：要判断表示实数5的点可能是哪 例3实数a,b在数轴上的对应点的位置 7.4平移 单运算 个，首先应估计√5在哪两个整数之间，然后结合 ，如图3所示，下列式子成立的是 7.4.1平移现象及平移的性质 第29期 基础训练1.A;2.C;3.B: 数轴找，点即可. 第八章复习与小结 图3 4.105°；5.42. 第30期 解：因为4<5<9，所以2<√5<3.在数 A.a>b B.I al<Ibl 6.(1)∠EBC的度数是10° 9.1用坐标描述平面 轴上，只有点Q表示的数在2和3之间.所以数 (2)三角形E0C与三角形BOD周长的和为18. 内点的位置：9.2坐 轴上最适合表示实数√5的点是点Q.故选B. C.a+b>0 D.8<0 7.4.2平移作图 标方法的简单应用 二、依点定数 分析：根据数轴确定a,b的取值范围后，对 基础训练1.C;2.A;3.2;4.3和5. 第31期 例2如图2，点0是原点，数轴上表示3，各个选项一一进行判断即可. 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到 第九章复习与小结 10的对应点分别为C,B,且点C是AB的中 解：由实数a,b在数轴上的位置，得-2<a 点D的方向，平移的距离是线段AD的长度 第32期 点，则点A表示的数是 <-1,0<b<1,所以a<b,1a>1b1,a+ (2)图略. 期中复习 ACB b<0,故选项A,B,C错误；因为a<0,b>0,所 第27期3,4版参考答案 第33期 0 3I0 一、题号12345678910 10.1二元一次方程 图2 以 <0,故选项D正确.故选D. 答案C B D A B CC A D B 组的概念；10.2消 元一解二元一次 品味方法· 二、11.垂线段最短；12.52°，10； 方程组 此较大小方法不少 13.答案不惟一，如∠EAD=∠B; 第34期 14.135°：15.6或43.5. 10.3实际问题与二 三、16.图略。 元一次方程组；*10.4 ○天津杨明宇 17.(1)∠1与∠4是同位角，∠1与∠2是 三元一次方程组的 一、分类法 所以绝对值最大的数是b.故选B 内错角，∠1与∠5是同旁内角. 解法 例1在实数-√2，-1,0,1中，最小的是 三、平方法 (2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等， 第35期 () 例3比较大小：√33 6(填∠1与∠5互补理由略. 第十章复习与小结 18.(1)证明略. A.-2B.-1 第36期 C.0 D.1 “>”“<”或“=”) (2)所得的命题是真命题.理由略 11.1不等式；11.2 解析：把四个实数分类：-2，-1是负实 解析：通过比较√33与6的平方来比较大 四、19.∠B0E的度数是100° 元一次不等式（概念 数：0是整数；1是正实数.根据“正实数大于0,0 小 20.(1)∠A0E的度数是65° 及解法) 大于负实数，正实数大于负实数”可得较小的实 因为33<36，所以33<6.故填<. (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. 第37期 数是-2和-1.再根据“两个负实数，绝对值大 四、作差法 理由略. 11.2一元一次不等 的反而小”可得-√2<-1.所以最小的实数是 例4比较大小：3，③ (填 21.(1)证明略 式（应用）；11.3一元 2 4 -√2.故选A. “>”“<”或“=”) (2)扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度 次不等式组 二、数轴法 数是105°. 第38期 例2实数a,b,c在数轴上的对应点的位 解析：光将3,5与作差，通分得到 五、22.(1)∠AEF=∠BED 第十一章复习与小 置如图所示.若a与c互为相反数，则a,b,c中绝 结 (2)①证明略. 5-23 对值最大的数是 4 ,再利用平方法比较分子的大小即可得 ②∠BAF=∠B+∠D.理由略 第39期 12.1统计调查；12.2 a b 出答案 23.(1)两直线平行，同旁内角互补：EF: 用统计图描述数据 A.a B.6 3-3_1-6-23_1-6-23-11 CD;∠C:360°. 第40期 C.e D.无法确定 2 4 4 4 4 (2)∠B+∠C+∠D+ 第十二章复习与小 解析：观察a,b,c在数轴上对应的点的位 5-23 ∠E的度数是540° 置，根据“在数轴上表示的实数，右边的总比左 4 (3)∠B+∠C+∠D+ 第41~48期 边的大”，再结合相反数的性质进行比较即可. 因为25>12，所以5>23，即5-2√3> 升级突破（合刊） 根据a,b,c在数轴上对应的点的位置及a,c ∠E+∠F=720°.理由略. 互为相反数，将c<a<6,且1.60所以3≥>子故填> (4)180°×(n+1). 数理报 2026年1月27日·星期二 初中数学 第28期总第1172期 人教 七年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-155 知识梳理 学习方根三对比 a 本周主讲 8.1平方根 ■■■ 学习目标：了解平方根、开平方的概念， ○湖南伍君怡 明确算数平方根与平方根的联系与区别. 算术平方根、平方根和立方根是初中数学的平方根记作±2；一个非负数α的算术平方根 认知重点：会求一个非负数的平方根和 重要知识，因为它们的概念相近，表示形式相似，所记作瓜，如2的算术平方根记作2.。 算术平方根 以初学者很容易混淆.为了帮助同学们正确理解和 温馨提示：±√a是a与-√a(a>0)的合 8.2立方根 区分，现解读如下： 学习目标：了解立方根的概念，会求 一、概念对比 写，√a≠-a,所以我们要分清±a,√a, 个数的立方根，且会使用计算器求立方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的-√a(a>0)这三种形式的区别. 认知重点：能够区分立方根与平方根的 平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫作a的 2.一个数a的立方根记作a,如2的立方根记 不同，领会类比思想 算术平方根. 作2 8.3实数及其简单运算 2.平方根：一般地，如果一个数的平方等于 学习目标：掌握实数与 a,那么这个数叫作a的平方根或二次方根. 温馨提示：对于符号“√a”,n表示根指数，a 数轴上的，点一一对应，体会 3.立方根：一般地，如果一个数的立方等于表示被开方数，在符号“±√a”中，根指数几=2， 数形结合思想 a,那么这个数叫作a的立方根或三次方根. 可以省略不写，而在符号“a”中，根指数n= 温馨提示：算术平方根从属于平方根，是平3，不能省略 一、无理数的定义 方根的一部分，知道了一个正数的平方根也就 三、性质对比 我们学过的数，如 知道了这个正数的算术平方根，同样，知道了一 认 1.平方根的性质：一个正数有两个平方根， 果写成小数形式，可分 个正数的算术平方根，也就知道了这个正数的 它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方 为三类：有限小数、无限 平方根 根.如49有两个平方根，是7和-7，它们互为相 循环小数和无限不循环 4.开平方：求一个数的平方根的运算，叫作 反数 小数.其中有限小数和 东 开平方. 2.算术平方根的性质：一个正数a的算术平 无限循环小数是有理 5.开立方：求一个数的立方根的运算，叫作 方根有一个，是a的正的平方根，0的算术平方！ 数，无限不循环小数叫 开立方 温馨提示：开平方与平方互为逆运算，开立 根是0，负数没有算术平方根.如49的算术平方 作无理数 厘 方与立方互为逆运算，因此可根据这种关系求 根只有一个，是7. 二、无理数的形式 一个数的平方根和立方根 3.立方根的性质：正数的立方根是正数，负 1.方根型无理数 二、符号对比 数的立方根是负数，0的立方根是0.如216= 所有开方开不尽的 1.一个非负数a的平方根记作±Va,如2的6，-216=-6,6=0. 方根都是无理数，这是 无理数最常见的表现形 专题辅导 式，如5，-√2,10等都是无理数.但是方根 兄弟联合俅方根 形式的数并不都是无理数，如4,27等都是 开方开得尽的方根，所以这样的方根是有理数： 2.含π型无理数 ⊙四川王清瑞 表示圆的周长与直径的比值π，是一个特 一、平方根联合立方根 二、平方根、立方根联合算术平方根 例1已知3x+1的平方根是±4，求9x+ 例3已知某正数的两个平方根分别是-1 殊的无理数.它的外在形式是一个字母，但目前 和a-4,b+12的立方根是-2，求a-b的算术 没有一个人能求出它究竟有多少位小数，而且 19的立方根. 平方根. 也不循环.与π有关的很多数也都是无理数，如 解：因为3x+1的平方根是±4， 解：根据题意，得a-4=1,b+12=（-2) 所以3x+1=(±4)2=16. 4m,牙，36+m等都是无理数，但并不是所有含 =-8. 解得x=5. 解得a=5,b=-20 π的数都是无理数，如2π就是有理数： 所以9x+19=64. 所以a-b=25. 因为64的立方根是4， 因为25的算术平方根是5， 3.小数型无理数 所以9x+19的立方根是4 所以a-b的算术平方根是5 无限不循环小数叫作无理数.如 例2已知4a+7的立方根是3，求6a+6 三、立方根、算术平方根联合立方根 0.1010010001(相邻两个1之间0的个数逐 的平方根。 例4已知2a-1的算术平方根是3,3a 次加1)，0.5353353335…（相邻两个5之间3 解：因为4a+7的立方根是3， b-4的立方根是2，求a+40b的立方根. 的个数逐次加1)等都是无理数 所以4a+7=33=27. 解：根据题意，得2a-1=32=9,3a-b 例 4=23=8. 下列咯数：-1,7,1121221221…（相 解得a=5. 解得a=5,b=3. 邻两个1之间2的个数逐次加1)，-3.1415， 所以6a+6=36. 所以a+40b=125, 22 因为36的平方根是±6， 因为125的立方根是5， ，-0.3，，其中无理数有」 个 所以6a+6的平方根是±6. 所以a+40b的立方根是5 解：填3. 2 素养专练 数理极 10.已知3a-4和12-5a是一个正数的两个 8.3实数及其简单运算 跟踪训练 平方根，则这个正数的值是 垦础训练 GEnzoNGXUNLIAN 8.2立方根 1.下列各数中，是无理数的是 8.1平方根 垦和训练 A.0.2 B.0 屋砂训练 C.2 1.8的立方根是 ( 1.16的算术平方根是 A.2 B.-2 C.±2 D.±4 2.√6的相反数是 A.4 B.-4 2.有下列说法：①一个数的立方根有两个， A.6 B.-6 C.16 D.±4 它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数 2.9的平方根是 ) 的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根， C.6 6 D.、6 6 A.-3 B.3 那么这个数也一定有平方根，其中正确的有 3.3-√10的绝对值是」 C.±3 D.9 ( 4.请写出小于√7的所有正整数： 3.一个正方形的面积是31，估计它的边长大 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 小在 ( 3.用计算器计算3816的结果约是 5.数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细 A.4与5之间 B.5与6之间 （结果保留小数点后三位) 辨别并为它们安排合适的席位： C.6与7之间 D.7与8之间 4.已知5x-1的平方根是±3，y-3的立方根 7 4.比较大小：2w6 5(填“>”“<”或 是-2，则x+y= - 3,-4,0.3,m,8,2025,-16, “=”） 5.求下列各式的值： 0.303003…(相邻两个3之间0的个数逐次加1). 5.用计算器计算√52.17的结果约是 (1)3343: (2)3-0.216; (1)主办方需要准备 个“无理数” (结果保留小数点后三位). 的席位； 6.若-3是m的一个平方根，则m+40的算 (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： 术平方根是 “整数”席： …}; 7.求下列各式的值： “分数”席： …}; (1)√0： (2)√-9)严； “无理数”席：} …. 3512 6.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的 (3)10: (4) 125 大小（用“<”连接） -π，4，-1.5,2 (3)-0.0121: (4)± 64 W81 6.求下列各式中x的值： (1)2(x-1)3=54; 7.计算： (1)2-3+3+2: 8.求下列各式中x的值： (1)25x2-9=0; (2)27(x+1)3+64=0. (2)7(3-7): (2)4(1+x)2=49. 7.已知一个底面半径为3cm的瓶子内装着 些溶液，溶液的高度为16cm.若瓶内的溶液正 好倒满2个一样大的正方体容器，求这个正方体 (3)9+8+11-31. 容器的棱长（π取3，容器的厚度不计）. 能刀提高 9.已知√20.24≈4.499，/202.4≈14.227， 则√202400 A.44.99 B.449.9 供题/本报命题组 C.142.27 D.1422.7 (参考答案见30期) 数理招 素养·测评 后两位)？ 同步检测（三 (2)如果这场雷雨持续了20min,那么这场雷 雨区域的直径大约是多少（结果保留小数点后两 TONGBUJIANCE 位)？ 【检测范围：8.1-8.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 三、耐心解一解（共44分） 题号123 4 5 6 8 15.(8分)把下列各数填入相应的集合中： 答案 0,-34,-037,牙-4,5，-(-2). 1.5的平方根是 4.010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加 A.25 B.√5 C.±5D.-5 1),1.23. 2.下列各数中，没有算数平方根的是( 正实数集合：} …}; 附加题⊙ A.-1 B.0 负分数集合：{ …}； (以下试题供各地根据实际情况选用) C.(-3) D.100 无理数集合：{ …}; 1.(8分)观察下列式子： 3已知球的体积公式是V=青成，若乒乓球 非正整数集合：{ … ①近+1=1+(-1)=0： 16.(12分)求下列各式的值： 的体积为号严cm,则这个乒乓球的半径为( ②8+-8=2+(-2)=0： (1)7； (2)±√0.0169； ③1000+-1000=10+(-10)=0： A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 31 @福+分=方+(-}0： T 4.估计万的值应在 ( … A.1与2之间 B.2与3之间 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： C.3与4之间 D.4与5之间 (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等 5.下列计算不正确的是 式： A.16-阿=7 (3)3)2：(4)二-729 (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳 为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a,b, 酒- D.32-22=2 若 ,则a+拓=0；反之也成立. (3)若3-2x与x+5的值互为相反数， 6.若√102.0I=10.1,则√1.0201的值是 求x的值 ( A.0.101 B.1.01 C.10.1 D.101 7.已知一个正数的两个平方根分别是m+1 17.(12分)计算： 和2m-16,则这个正数是 ( (1)5√5+45-115： A.-6B.4 C.36 D.±6 8.如图1，已知点B,C在数轴上表示的数分别 是2，I1,点A在数轴上.若AB=2BC,则点A表 示的数是 ( 2.（12分)如图，在4×4的小正方形组成的图 A B 形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）.已 01 3V1I4 5 图1 知每个小正方形的边长是1，正方形ABCD的面积 A.211-2 B.T-3 (2)6(6-2) 是10，点A表示的数是1. 6 C.√-2 D.6-211 (1)若正方形ABCD的边长的值的整数部分 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 为x,小数部分为y,求(y-I0)的值 9.-√2的绝对值是 ,√5-2的相反数 (2)若正方形ABCD从当前位置沿数轴正方 向翻滚，我们把点B滚到与点P重合时，记为第 10.比较大小：71 次翻滚；点C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚；点 3 D翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚；…，以此类 “<”或“=”) 推 (3)64-125-41+√(3-5)2. 11.用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U ①点P表示的数是 之间满足关系，P=行当一个用电器的电阻为 ②若正方形ABCD从当前位置沿数轴正方向 翻滚，经过第2026次翻滚后与数轴上的点Q重合， 4Ω，功率为36W时，它两端的电压是 V. 求点Q表示的数. 12.已知4a+4的立方根是2,2a+4b+2的算 术平方根是4，则a+b的平方根是 13.实数a,b在数轴上的位置如图2所示，则 18.（12分)某地气象资料表明：当地雷雨持续 化简√匠-万-1a+b1的结果是 ,06 的时间4()可以用公式=0来估计，英中 图2 d(km)是雷雨区域的直径. 14.已知1a1=5,b是49的平方根，且 (1)如果某场雷雨区域的直径是10km,那么 供题/本报命题组 1a+b1=a+b,则a-b的值是 这场雷雨大约能持续多长时间（结果保留小数点 (参考答案见30期)