第27期 7.3 定义 、命题 、定理 7.4 平移 第七章 复习与小结-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 发理脑 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期(2026年1月) 第25期2版 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 基础训练1.C;2.C;3.B;4.30°；5.105. 图1 6.由对顶角相等，得∠A0D=∠B0C=140°. (2)因为∠1：∠2：∠3=1：2：3， 因为OE平分∠AOD: 所以设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x. 所以∠A0E=∠D0E=之∠A0D=70 因为∠2+∠3=180°， 所以2x+3x=180. 所以∠B0E=180°-∠A0E=110°. 解得x=36. 因为OF平分∠BOE, 所以∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°. 所以∠E0F=名∠B0E=5 第25期3版 所以∠DOF=∠DOE-∠EOF=15° 7.1.2两条直线垂直 题号 1 2 3 45 67 8 基础训练1.A;2.B;3.C;4.3;5.26 答案CDBC CC BA 6.(1)图略.(2)图略.(3)MF.(4)0M. 二、9.垂线段最短；10.40°；11.70°； 7.因为OF⊥CD, 12.∠ACD,∠CDB:13.149;14.82或202. 所以∠F0D=90°. 三、15.(1)图略. 因为∠E0F=54°， (2)AB. 所以∠D0E=∠FOD-∠E0F=36. (3)图略，CE. 因为OE平分∠BOD, 16.因为OM⊥AB, 所以∠B0E=∠D0E=36. 所以∠BOM=90. 因为0G⊥0E, 所以∠E0G=90°. 因为∠1=子∠B0C,∠B0C=∠B0M+∠， 所以∠B0G=∠EOG-∠B0E=54° 所以∠A0G=180°-∠B0G=126. 所以∠1=号∠B0M=30 7.1.3两条直线被第三条直线所截 所以∠B0C=120°. 基础训练1.B;2.D;3.A:4.70°，70°，110° 所以∠B0D=180°-∠B0C=60°. 5.∠1与∠DAB是由直线DE和BC被直线AB所截形成的 17.(1)∠1的同旁内角是∠MOE,∠A0E,∠ADE;∠2的 内错角. 内错角是∠MOE,∠AOE. ∠2与∠1是由直线AB和AC被直线BC所截形成的同旁 (2)因为∠B0M=145°， 内角；∠2与∠CAD是由直线DE和BC被直线AC所截形成的 所以∠AOM=180°-∠B0M=35°. 同旁内角；∠2与∠CAB是由直线BC和AB被直线AC所截形 由对顶角相等，得∠AOE=∠B0F=65. 成的同旁内角. 所以∠M0E=∠AOE-∠AOM=30°. 能力提高6.(1)如图1所示. 答：水下部分向上弯折了30°. 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 18.(1)因为OE⊥CD, 因为OE平分∠BOC, 所以∠D0E=∠C0E=90°，即∠B0D+∠B0E=90° 所以∠B0E=∠C0E=分∠B0C=90°-7∠A0C 因为∠B0D=∠B0E+10°， 所以∠B0E=40°. 因为OC10D, 因为OE平分∠BOF, 所以∠D0C=90°. 所以∠EOF=∠BOE=40. 所以∠D0E=∠D0G-∠C0E=∠A0C 所以∠C0F=∠C0E-∠EOF=50°. (3)2∠M0N+∠D0E的值是定值，为270. (2)因为OE平分∠BOF, 因为OM平分∠A0C, 所以∠EOF=∠BOE. 因为OE⊥CD, 所以∠c0N=号∠A0C 所以∠BOD+∠BOE=∠EOF+∠COF=90°. 由(2)，得∠D0E=寸∠A0C 所以∠BOD=∠COF: 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC. 所以∠COM=∠DOE. 所以∠AOC=∠COF. 因为ON平分∠B0E, 所以OC是∠AOF的平分线. 所以∠BON=∠EON=号∠BOE 附加题1()180-4 因为∠B0E=∠C0E=90-3∠A0C. (2)由对顶角相等，得∠B0C=∠AOD=76°. 因为OE平分∠B0C, 所以∠B0N=号(90-号∠A0C)=45-4∠A0C 所以∠C0E=号∠B0C=38 所以∠M0N=∠C0M+∠G0E+∠B0N=方∠A0C+ 如图2.因为OF1CD, 90°- 所以∠C0F=90°， 2∠40G+45°-4∠40C=1350-}2A0C 所以∠EOF=∠C0E+∠C0F=128. 因为∠D0B=方∠A0C, 所以∠M0N=135°-之∠D0E,即∠M0N+7LD0E= 135°. 所以2∠M0N+∠D0E=270°. 图2 图3 如图3.因为OF⊥CD, 第26期2版 所以∠C0F=90°. 7.2平行线 所以∠E0F=∠C0F-∠COE=52. 7.2.1平行线的概念 综上所述，∠E0F的度数为128°或52. 基础训练1.D;2.C;3.D;4.①②⑤： 2.(1)因为∠A0C=116°， 5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 所以∠B0C=180°-∠A0C=64°. 互相平行. 因为0E平分∠B0C, 6.图略 所以∠c0E=7LB0C=32 7.2.2平行线的判定 基础训练1.A;2.D; 因为OC⊥CD, 3.答案不惟一，DF平分∠ADE;4.3. 所以∠D0C=90°. 5.因为∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，所 所以∠D0E=∠D0C-∠C0E=58° 以∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°.所以AD∥BE,BE∥ (2)∠D0B=子∠A0C,理由如下： CF.所以AD∥CF. 因为∠A0C+∠B0C=180°， 6.因为∠1=∠2，∠ABC=∠ACB,所以∠ABC-∠1= 所以∠BOC=180°-∠AOC. ∠ACB-∠2，即∠EBD=∠BCF因为∠EBD=∠D,所以 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 ∠BCF=∠D.所以FC∥ED. =∠C=30°.所以∠DAC=∠DAE-∠CAE=60°. 7.2.3平行线的性质 (2)①如图4，当三角形ADE在线段AC的左侧时，过点A 基础训练1.A;2.D;3.D;4.B;5.78°；6.25. 作AP∥BC.因为BC∥DE,所以AP∥BC∥DE.所以∠BAP 7.(1)GD∥CA.理由如下： =∠B=60°，∠DAP=∠D=45°.所以∠BAD=∠BAP- 因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD=180°.因为∠1+∠2 ∠DAP=15°.因为∠BAC=90°，所以∠DAC=∠BAC+ =180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥CA. ∠BAD=105 (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 40°. 第26期3版 题号12345678 答案ABCDDAC B 图4 图5E 二、9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 ②如图5，当三角形ADE在线段AC的右侧时，过点A作AQ 线也互相平行；10.45；11.③⑤；12.15°； ∥BC.因为BC∥DE,所以AQ∥BC∥DE.所以∠CAQ=∠C 13.112.5;14.46°. =30°，∠DA0=∠D=45°.所以∠DAC=∠CAQ+∠DAQ= 三、15.图略（提示：先过，点B作线段AC的平行线，再过，点A 75°. 作AD⊥BD,垂足为点D,此时AD的长最短，点D即为所求). 综上所述，∠DAC的度数为105°或75. 16.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 第27期2版 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF 7.3定义、命题、定理 17.延长AB到点C,图略.因为AB∥MN,∠2=100°，所以 基础训练1.B;2.C; ∠CBD=180°-∠2=80°.因为∠DBE=130°，所以∠CBE 3.如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等： =∠DBE-∠CBD=50°.因为AB∥PQ,所以∠1=∠CBE= 4.答案不惟一，如-2. 50. 5.∠C;∠A;两直线平行，同位角相等；已知；两直线平行， 18.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以CD∥FE.所以 同位角相等；∠4；两直线平行，内错角相等；180°；等量代换. ∠ACD+∠EHC=180°.因为∠ACD+∠F=180°，所以 6.答案不惟一以①②作为题设，③作为结论为例. ∠EHC=∠F.所以AC∥FG. 已知∠1=∠2，∠B=∠C.求证：AB∥CD. (2)因为∠BCD:∠ACD=2:3,所以设∠BCD=2x,∠ACD 证明：由对顶角相等，得∠1=∠3.因为∠1=∠2，所以 =3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x ∠2=∠3.所以CE∥BF.所以∠AEC=∠B.又因为∠B= 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°，所以 ∠C,所以∠AEC=∠C.所以AB∥CD. 3x+15x=180°.解得x=10°.所以∠BCD=20. 7.4平移 附加题1.(1)因为AB∥CD,PG∥CD,所以AB∥PG 7.4.1平移现象及平移的性质 所以∠EPG=∠PFH,∠GPH=∠PHF.因为∠PFH= 基础训练1.A;2.C；3.B;4.105°；5.42. ∠PHF,所以∠EPG=∠GPH.所以PG平分∠EPH. 6.(1)因为AB边沿着AC方向平移到ED,所以AC∥BD. (2)设∠EPN=x°.因为PN平分∠EPM,所以∠EPM= 所以∠EBD=∠AEB=7O°.所以∠EBC=∠EBD-∠CBD= 2∠EPN=2.x°.因为PM⊥PH,所以∠MPH=90.所以∠EPH 10. =∠EPM+∠MPH=(2x+90)°.因为PG平分∠EPH,所以 (2)由平移的性质，得AB=ED,AE=BD.所以三角形 EOC与三角形BOD周长的和为：CE+OC+OE+OB+OD+BD ∠BPG=∠EPH=(x+45)°所以∠NPG=LEPG- CE+AE+OC+0B+OD+OE=AC+BC+ED =AC+BC ∠EPN=45°. +AB=18. 2.(1)设AD交BC于点M,图略.因为BC⊥AD,所以 7.4.2平移作图 ∠BMA=90°.因为∠DAE=90°，所以BC∥AE.所以∠CAE 基础训练1.C:2.A:3.2:4.3和5. 3 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平以∠AOF=180°-∠BOD=150°.因为OE平分∠AOF,所以 移的距离是线段AD的长度. ∠E0F=7∠A0F=75.所以∠B0E=∠B0D+∠B0F= (2)图略. 105°.因为0E∥DM,所以∠ANM=∠B0E=105°. 第27期3,4版 答：扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数是105°. 五、22.(1)∠AEF=∠BED. 题号12345678910 (2)①由平移的性质，得EF∥BD,DE∥CF.所以∠BED 答案CB DABCCADB =∠BAC,∠BEF=∠B.因为∠BAC=∠B,所以∠BED= 二11.垂线段最短：12.52°，10：13.答案不惟一，如 ∠BEF.所以EB平分∠DEF. ∠EAD=∠B;14.135°；15.6或43.5. ②∠BAF=∠B+∠D.理由如下： 三、16.图略 因为BD∥EF,所以∠BEF=∠B,∠DEF+∠D=∠BEF 17.(1)∠1与∠4是同位角，∠1与∠2是内错角，∠1与 +∠BED+∠D=18O°.因为DE∥CF,所以∠BED+∠EAC ∠5是同旁内角. =180°，所以∠EAC=∠BEF+∠D=∠B+∠D.由对顶角相 (2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1与∠5互补. 等，得∠BAF=∠EAC.所以∠BAF=∠B+∠D. 理由如下： 23.(1)两直线平行，同旁内角互补；EF:CD;∠C;360° 因为∠1=∠4，所以OA∥CD.所以∠1=∠2，∠1+∠5 (2)过点C沿BA方向作CM∥AB,过点D沿BA方向作DN =180°. ∥AB,图略.所以AB∥CM∥DN∥EF所以∠B+∠BCM= 18.(1)因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为CD⊥ 180°，∠MCD+∠CDN=180°，∠NDE+∠E=180°.所以∠B AB,GF⊥AB,所以CD∥GE.所以∠BGF=∠BCD.所以 +∠BCM+∠MCD+∠CDN+∠NDE+∠E=540°，即∠B+ ∠CDE=∠BGF. ∠BCD+∠CDE+∠E=540°. (2)所得的命题是真命题.理由如下： (3)∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°.理由如下： 因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为∠CDE= 由(1)，得在A,C两点的同一侧有1个折点，所以∠A+ ∠BGF,所以∠BCD=∠BGF.所以CD∥GF.因为CD⊥AB, ∠AEC+∠C=180°×(1+1)=360°. 所以GF⊥AB. 由(2)，得在B,E两点的同一侧有2个折点，所以∠B+ 四、19.过点C沿AB方向作CF∥AB,图略.因为∠B:∠D ∠C+∠D+∠E=180°×(2+1)=540° =4:3,所以设∠B=4x,∠D=3x因为CF∥AB,所以∠BCF 因为在B,F两点的同一侧有3个折点，所以∠B+∠C+ =∠B=4x.因为AB∥DE,所以DE∥CF.所以∠DCF=∠D ∠D+∠E+∠F=180°×(3+1)=720° =3x.所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=x=20°.所以∠B= (4)180°×(n+1) 80°.所以∠B0E=180°-∠B=100°. 20.(1)因为0C⊥OD,所以∠C0D=90°.因为∠B0D= 第28期2版 40°，所以∠B0C=∠C0D-∠B0D=50°，所以∠A0C=180° 8.1平方根 -∠B0C=130°.因为OE平分∠A0C,所以∠A0E= 基础训练1.A;2.C:3.B: 7L40C=652 4.<;5.7.223;6.7. (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角.理由如下： 7.(10:(2)9:(3)-0.1:(4)±8 若∠AOE=∠BOD,则∠B0D+∠B0C+∠C0E=180. 8(0=号或=-}；(2)x=子 或x=-9 2 因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE.所以∠BOD= ∠COE.因为OC⊥OD,所以∠B0C+∠BOD=90°.所以 能力提高9.B;10.4或64. ∠BOC+∠COE=90°.所以∠BOC+∠BOD+∠BOC+ 8.2立方根 ∠C0E=180°.与∠B0D+∠B0C+∠C0E=180°相矛盾.所 基础训练1.A;2.D;3.15.627;4.-3. 以∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. 5.(17；(2)-06:(3)10:4)-等 21.(1)由对顶角相等，得∠BNM=∠AND.因为∠AOE =∠BNM,所以∠AOE=∠AND.所以OE∥DM 6.(1x=4:(2)x=-子 (2)由题意，得AB∥CD.所以∠B0D=∠ODC=30°.所 7.瓶内溶液的体积V=πr2h≈3×32×16=432(cm3). 4 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 所以这个正方体容器的棱长为：432÷2=6(cm). 18(①把d=10代入f=g8得f= 9001 8.3实数及其简单运算 所以1=Vg=√四e1.o5(. /103 基础训练1.C;2.B;3.0-3;4.1,2,3,4. 5.(1)3: 答：这场雷雨大约能持续1.05h. (2)“整数”席：{-4,2025，-√16，…； (220mm=号h “分数”席：-了0.3…： 把=号代人产-得（兮户= “无理数”席：{π，⑧，0.303003…（相邻两个3之间0的个 数逐次加1)，…}. 所以d=100≈4.64(km). 答：这场雷雨区域的直径大约是4.64km. 6.实数在数轴上表示略.-π<-1.5<√2<4. 附加题1.(1)答案不惟一，如/729+-729=9+ 7.(1)22;(2)37-7:(3)3. (-9)=0. 第28期3版 (2)a+b=0. 题号12345678 (3)因为/3-2x与x+5的值互为相反数， 答案CADBABC D 所以3-2x+x+5=0. 解得x=8. 二、9.2,2-5；10.>；11.12；12.±2； 2.(1)因为正方形ABCD的面积是10， 13.0:14.-2或-12. 所以正方形ABCD的边长是√1O. 三、15.正实数集合：7,9，-(-2)，401001001…（相邻 因为3<10<4， 两个1之间0的个数逐次加1)，1.23，…； 所以x=3,y=√10-3 负分数集合：-34，-0.37，…： 所以(y-√10)*=（√10-3-√10）3=-27. (2)①1+W10. 无理数集合：牙，4.010010001…（相邻两个1之间0的 ②因为正方形ABCD的边长是√0，第一次翻滚后点P表 个数逐次加1)，…； 示的数是1+√10；第二次翻滚后点C对应的数是1+2√0； 非正整数集合：0，-42，…. 第三次翻滚后点D对应的数是1+3√0；…，因为经过第 16.()-7；(2)±0.13；(3)m-3(4号 2026次翻滚后与数轴上的点Q重合，所以点Q表示的数是1+ 202610. 17.(1)-25:(2)4:(3)3-35. -5哑 竹 电 为 + 米 S961L08-1Ss1 8ZILZS-ISEO 金 套 (I)( N 导 5 .2 507 价 三 205CD2 名 va7() 、 导 82 ( S 融 18.(1)如图16，已知DE∥BC,CD⊥AB,GF ⊥AB,求证： 21.如图19-①是 一种躺椅，19-②是其结构示意图，扶手AB 23.问题情境 ∠CDE=∠BGF: 与底座CD都平行于地面EF,前支架OE与后支架OF分别交CD于 (1)如图21-①，已知AB∥CD,求∠A+∠AEC+∠C的度数， (2)若把(1)中的已知“GF⊥AB”与求证“∠CDE=∠BGF 点G,D,AB与DM交于点N,∠AOE=∠BNM. 以下是某位同学的解答过程，请在横线上以及括号内填空，将 对调，所得的命题是真命题还是假命题？请作出判断，并说明理由。 (1)求证：OE∥DM; 解答过程补充完整 (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的 解：如图21-①，过点E作EF∥AB. 夹角∠ANM的度数. 所以∠A+∠AEF=180( 因为AB∥CD(已知)， 所以 、∥ （如果两条直线都与第三条直线平 行，那么这两条直线也互相平行) 所以∠CEF+ =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式的性质）， 即∠A+∠AEC+∠C=」 (等量代换). 数理报初中 类比探究： 釐 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） (2)根据上述解题过程及作辅助线的方法，在图21-②中，已 报 19.如图17，已知AB∥DE,∠C=20°，∠B:∠D=4:3,求 知AB∥EF,求∠B+∠C+∠D+∠E的度数 ∠BOE的度数 (3)根据(1)和(2)的规律，在图21-③中，已知AB∥GF,试 数学 猜想∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数，并说明理由. 归纳总结： 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14 (4)如图21-④，已知AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M, 分，共27分) 教 M2,M3,…,Mn共n个折点，则∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D 22.综合与实践 17 的度数是 (用含n的代数式表示). 年 级 年级(CD)综合评估卷 在三角形ABC中，∠A=∠B,点D是BC边上的一点，将线段 CD沿CA方向平移，点C的对应点是F,点D的对应点E正好落在AB (GD 边上. (1)如图20-①，∠AEF与∠BED的数量关系是： (2)如图20-②，当点D在BC的延长线上时，将线段CD沿CA 20.如图18，点O是直线AB上的一点，射线OC,OD在直线AB的 方向平移，点D的对应点E正好落在BA的延长线上. 异侧，已知OC⊥OD,OE平分∠AOC. ①求证：EB平分∠DEF: 卷 (1)若∠B0D=40°，求∠AOE的度数； ②试探究∠BAF与∠B,∠D的数量关系，并说明理由. (2)∠AOE与∠BOD是否有可能成为对顶角？若有可能，请求 出∠BOD的度数；若不可能，请说明理由. (参考答案见下期) 数理报 2026年1月20日·星期二 初中数学 第27期总第1171期 人教 七年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八(F) 邮发代号：21-155 入门向导： 本周主讲 学习命题三要素 7.3定义、命题、定理 ■■■■■■■■ 学习目标：掌握定义、命题、定理的概念 ⊙四川王婧舒 能够指出命题的题设和结论，并判断命题的真 假. 一、理解命题的定义 (1)相等的角是对顶角； 认知重点：能有根据地写出证明中的推 判断正确或错误的陈述语句，叫作命题. (2)同位角相等： 理，会举反例说明一个命题是假命题 例1下列语句中，哪些是命题？哪些不是 (3)若x>2,则x-3>0 7.4平移 学习目标：通过生活中的实例认识平移 命题？ 解：(1)是假命题.如：如图1，若∠A0C= 并掌握平移的性质 (1)如果a>0,b>0,那么ab>0: 90°，OB是∠AOC的平分线，则∠AOB 认知重点：能按要求画出简单平面图形 (2)如果∠A+∠B=180°，那么∠A与∠C0B,但∠AOB与∠C0B不是对顶角， 平移后的图形，会利用平移的性质解决实际 ∠B互为邻补角： A 问题 第七章整章复习 (3)吸烟对身体有害； 学习目标：掌握两条直线相交所成的角 (4)画一个角； 的位置关系和数量关系，掌 (5)对顶角： 握平行线的判定和性质，了 解定义、命题、定理的概念， (6)内错角相等. (2)是假命题.如：如图2，∠1和∠2是同位 掌握平移的性质 解：(1)(2)(3)(6)是命题：(4)(5)不是角，显然，∠1<∠2. 命题 (3)是假命题.如：当x=2.5时，x-3<0. 例3指出下列命题的题设和结论 二、识别真假命题 三、区分题设与结论 (1)同角的补角相等： 由题设和结论组成的命题，如果题设成立 命题是由题设和结论两部分组成的.题设 (2)在同一平面内，两条直线不平行，它们 那么结论一定成立的命题是真命题；如果题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.这 一定相交； 成立，不能保证结论一定成立的命题是假命题。样的命题可写成“如果…那么…”的形式， (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行. 判断一个命题是真命题时，可以用推理加以论用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的 解：(1)命题可改写成：如果两个角是同一 证；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个部分是结论.有些命题的题设和结论不是很明 个角的补角，那么这两个角相等，题设：两个角 符合该命题的题设，而不满足该命题结论的例显，如“对顶角相等”，经过分析可以写成“如果是同一个角的补角：结论：这两个角相等。 子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反…那么…”的形式，但在改写时，不能简单 (2)题设：在同一平面内，两条直线不平行； 例”. 地加上“如果”“那么”，应把省略的成分补充进结论：这两条直线一定相交 例2判断下列命题是真命题还是假命题，去，即可改成“如果两个角是对顶角，那么这两 (3)题设：两条直线都与第三条直线平行： 如果是假命题，请举出一个反例： 个角相等” 结论：这两条直线互相平行 A.17 cm B.15 cm 专题铺导 C.13 cm D.12 cm ,平移的性质体验馆 解：因为三角形ABC的周长为9cm, 所以AB+BC+AC=9cm. ⊙广东周彦博 因为三角形ABC沿BC边向右平移3cm得 到三角形DEF, 把一个图形平移，得到的新图形具有下列 所以BE=BC-EC=3 所以AD=CF=3cm,DF=AC 特点： 故选C. 所以四边形ABFD的周长为：AB+BC+CF 1.新图形与原图形的形状和大小完全相同. 二、用于求角度 +DF+AD AB+BC+CF+AC+AD =9+ 2.新图形中的每一点，都是由原图形中的 例2如图2，将线段CD 某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接平移至C'D八.若∠2=130° 3+3=15(cm) 各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且则∠1= 12/ 故选B. 相等. 四、用于求面积 A.130° B.90° D D' 例4如图4，三角形 以上通常称之为平移的性质.利用平移的 C.65° D.50° 图2 ABC的BC边长为4cm.将 性质可以巧妙地解决许多数学问题，现举例分 解：由平移的性质可知CD∥CD'. 析如下，供同学们参考. 三角形ABC平移2cm得到 所以∠1+∠2=180° 三角形A'B'C',且BB'⊥ 一、用于求平移的距离 因为∠2=130° BC,则阴影部分的面积为 例1如图1，三角形 所以∠1=180°-∠2=50°. cm2. ABC沿BC方向平移得到三 故选D. 解：因为三角形ABC平移2cm得到三角形 角形DEF.已知BC=5,EC=B 三、用于求周长 A'B'C'. 2,则平移的距离是 例3如图3，将周 所以BB'=2cm,S三角形Bc=S三角彩Bc, A.1 B.2 C.3 D.4 长为9cm的三角形ABC 因为BC=4cm,BB'⊥BC, 解：因为点B平移后的对应点是点E, 沿BC边向右平移3cm 所以阴影部分的面积等于四边形BB'C'C 所以线段BE就是平移的距离。 得到三角形DEF,连接 的面积，为：BC·BB′=4×2=8(cm2). 因为BC=5,EC=2, AD,则四边形ABFD的周长为 故填8 素养专练 数理极 C.推开教室的门 跟踪训练 D.风筝在空中随风瓢动 2.如图1是运动员在冰面上表 GENZONGXUNLIAN 演的图案，下列四个选项中，能由原 7.3定义、命题、定理 图通过平移得到的是 图 堡础训练 A.向下平移2格 B.向上平移2格 1.下列语句中，不是命题的是 C.向上平移1格 D.向下平移1格 A.两点之间，线段最短 3.如图2，最小正方形的边长为1，将字母“V” B.连接A,B两点 3.如图2，三角形DEF是三角形ABC沿BC方 向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平 C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 向平移后得到的，则平移的距离是 移前的图形可以组成字母“W” D.不平行的两条直线有一个交点 A.线段BF的长度B.线段BE的长度 2.下列命题中，是真命题的是 C.线段AB的长度 D.线段DF的长度 A.内错角相等 B.若a2=b2,则a=b C.对顶角相等 图图2 图3 D.两锐角之和一定是钝角 4.如图3是由六个大小相同的等边三角形拼 3.把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对 成的图形，能由标号为1的三角形平移得到的是 图2 图3 值相等”改写成“如果…那么…”的形式是 4.如图3，将∠A0B沿着直线MN平移到 标号为 的三角形 ∠CPD处.若∠AOM=35°，∠DPN=40°，则 5.如图4，经过平移，三角形ABC的顶点A移 4.判断命题“对于任何实数a,都有1a1> ∠AOB的度数是 到了点D. -a”是假命题，只需举一个反例，反例中的a可以 5.如图4，将三角形 (1)指出平移的方向和平移的距离： 是 (填写一个符合条件的α的值) ABC沿着点B到C的方 (2)画出平移后的三角形DEF. 5.补全下列推理过程： 向平移到三角形DEF的 如图1，已知点D,E,F分 + 位置，AB=9,D0=4,平 别在AB,BC,AC边上，且DE∥ 移距离为6，则阴影部分 图4 AC,EF∥AB.求证：∠A+∠B 的面积为 + +∠C=180. 6.如图5，将三角形ABC中的AB边沿着AC 图4 证明：因为DE∥AC(已知)， 方向平移到ED,ED交BC于点O,连接BD,BE. 供题/本报命题组 所以1= (两直线平行，同位角相 (1)若∠AEB=70°，∠CBD=60°，求∠EBC (参考答案见下期 等)，∠4= 的大小； 因为EF∥AB( (2)若AB=7,BC=8,AC=3,AB边在平移 第26期2版参考答案 所以∠3=∠B( ),∠2= 的过程中，点E始终在AC边上（不与，点A,C重 7.2平行线 ( 合)，求三角形EOC与三角形BOD周长的和. 7.2.1平行线的概念 基础训练1.D:2.C;3.D;4.①②⑤： 所以∠2=∠A(等量代换) 5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么 因为∠1+∠2+∠3=180°， + 这两条直线也互相平行. 所以∠A+∠B+∠C= 6.图略 7.2.2平行线的判定 6.如图2，已知三个论断：①∠1=∠2：②∠B 基础训练1.A;2.D; =∠C;③AB∥CD.请你从中任选两个论断作为 3.答案不惟一，DF平分∠ADE;4.3. 题设，另一个论断作为结论，组成一个命题，写出 5.因为∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°， 已知、求证，并证明该命题的正确性 ∠2=45°， 所以∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°. 所以AD∥BE,BE∥CF. 所以AD∥CF. 6.因为∠1=∠2，∠ABC=∠ACB, 所以∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD 7.4.2平移作图 =∠BCF. 屋础训练 因为∠EBD=∠D, 所以∠BCF=∠D. 1.下列平移作图错误的是 所以FC∥ED. 7.4平移 7.2.3平行线的性质 7.4.1平移现象及平移的性质 基础训练1.A;2.D;3.D;4.B; 5.78°；6.25°. 屋础训练 7.（1)GD∥CA.理由如下： 1.下列运动中，属于平移的是 2.在6×6的方格中，将图1-①中的图形N 因为EF∥CD, A.飞机在地面上沿直线滑行 平移后的位置如图1-②所示，则图形N的平移 所以∠1+∠ACD=180° B.在游乐场里荡秋千 方法中，正确的是 ( （下转1,4版中缝) 6.如图5，直线AB,CD相交于点0,0E平分∠B0D,OF⊥OE. 13.如图11，已知∠EBF,点A,C分别在射线BE,BF上，点D为 《相交线与平行线》综合评估卷 若∠A0C=46°，则∠C0F的度数是 ∠FBF内一点，连接AD,CD,不添加辅助线，请添加一个条件使得 A.67 B.92 C.113 D.1349 AD∥BF,则添加的条件为」 (写出一个即可) 30m ◆数理报社试题研究中心 (时间：90分钟满分：120分) 题 二 四 五 总 分 分 7.下列命题中，是真命题的是 图11 图12 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 14.如图12，直线AB,CD交于点0，C0⊥OE,OF是∠AOD的平分 1.2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”（如 B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 线，0G是∠E0B的平分线若∠A0C=44°，则∠F0G= 图1)，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、 C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 15.如图13，在两条笔直且平行的景观道 舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹 D.直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 AB,CD上放置P,Q两盏激光灯，其中光线PB 克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不8w02 8.如图6，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修 按顺时针方向以每秒5°的速度转动至PA边便 C 解努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰 图1 建同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化.已知小路的 立即回转，并不断往返转动：光线QC按顺时针 雪运动作出新贡献的美好追求.下列选项中，能通过平移会徽得到 宽为2m,则绿化面积为 方向以每秒3°的速度转动至QD边就停止转C Q 报 图13 的图形是 A.560m2 B.600m C.616m2 D.660m2 动，此时光线PB也停止转动.若光线QC先转 报 初 动4秒，光线PB才开始转动，当PB,∥QC,时，光线PB转动的时间 SZOZ NISUVH 9.某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务.图7-①是某品牌 初 中 共享单车放在水平地面的实物图，图7-②是其示意图，其中AB, 为 秒. 中 CD都与地面1平行，∠BCD=60°，∠BAC=50°.若AM∥BE,则 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） ARBIN 2025 ∠MAC的度数是 16.如图14，已知每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶 点都在格点上（每个小正方形的顶点叫作格点） 七 2.如图2，著名的比萨斜塔塔身与地面所成较 (1)过点A作BC所在直线的垂线段AD: 年 小的角为85°，则它的邻补角的度数为 ( 级 (2)过点A作BC所在直线的平行线AE; 级 A.85° B.95° (GD》 (3)平移三角形ABC,使点A平移到点F,点B平移到点G,点C C.1059 D.115 2 平移到点H,画出平移后的三角形FGH, GDY 3.数学课上老师用双手表示的“三线八角”图 A.759 B.15o C.659 D.70 综 形如图3所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截 10.如图8，已知∠A=45°，CD⊥AB,垂 A D 图2 合评估卷 合 线)，从左至右依次表示 足为点D,DE,DF分别是∠ADC和∠BDC的 评 平分线，则有下列说法：①∠ADC=90°； 卷 ②DF∥AC:③DE⊥DF:④∠FDC=∠ECD: ⑤∠EDC=∠FCD,其中正确的有 图3 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、同旁内角 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 17.如图15，直线CD与∠AOB的OB边相交 C.内错角、同旁内角、同位角 D.内错角、同位角、同旁内角 11.如图9，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现 (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角； 4.下面4个k值，能说明命题“对于任意偶数k,都是4的倍数” 要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应在公路上选点C处 (2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠5互补吗？ 是假命题的反例是 ( 来建汽车站，依据是 为什么？ A.k=2 B.k=4 超 C.k=8 D.k=16 5.如图4，AB∥CD,直线EF经过点C.已 E 知∠DCE=60°，∠ACF=10°，则∠A的度数 为 ( 图9 图10 A.80 B.70° 12.如图10，把∠ABC沿竖直方向向上平移10cm得到∠DEF. C.60° D.509 图4 若∠ABC=52°，则∠DEF= ,BE= cm.