7.3 定义、命题、定理 +7.4 平移 导学案 -2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.3 定义、命题、定理 & 7.4 平移 一、定义、命题和定理 1、在数学的学习中，我们会对一些对象进行清晰、明确的描述，例如： ①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． ②使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解． ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 这样的描述称为数学对象的定义 2、判断下列语句是否正确？ ①1与5的和不等于6．②对顶角不一定相等．③同角的余角相等． ④今天早晨你吃饭了吗？⑤学习数学． 其中，①②③这些语句都对某一件事情作出了“是”或“不是”的判断， 像这样判断一件事情的语句，叫做命题． 3.判断：下列语句，哪些是命题？哪些不是？ （1）过直线AB外一点P，作AB的平行线． （2）过直线AB外一点P，可以作一条直线与 AB平行吗？ （3）过直线AB外一点P，有且只有一条直线与这条直线平行． （4）若，则a≤0 ． 其中，（3）（4）是命题；（1）（2）不是命题． 因为（1）是作图，没有对一件事情作出判断，（2）是问句 总结： 命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 练习1：把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边加同一个数，结果仍是等式； 即，（1）如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补； （2） 如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式； 练习2：指出下列命题的题设和结论： （1）如果两个数互为相反数，这两个数的商为－1． （2）两直线平行，同旁内角互补． （3）同旁内角互补，两直线平行． 即，（1）题设是：两个数互为相反数，结论是：这两个数的商为－1． （2）题设是：两直线平行，结论是：同旁内角互补． （3）题设是：同旁内角互补，结论是：两直线平行． 思考： 判断下列命题，哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？ （1）如果两个数的和为0，这两个数互为相反数； （2）如果两个数互为相反数，这两个数的和为0； （3）如果两个角是邻补角，这两个角互补； （4）如果两个角互补，这两个角是邻补角． 发现，只有4错误 总结： 正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 如果是真命题，题设成立，那么结论一定成立； 如果是假命题，题设成立，不一定能保证结论成立． 练习1： 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？ （1）两条直线相交有几个交点？（2）煤球是白色的． （3）垂直于同一条直线的两条直线平行． （4）画∠AOB＝30°．（5）如果x2＝y2，那么x＝y． 思考： 命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．”为什么是真命题？如何推理呢？ 例题　如图，已知直线b∥c，a⊥b．求证：a⊥c． 证明：∵a⊥b（已知）， ∴∠1＝90°（垂直的定义）． 又∵b∥c（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）． ∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）． ∴a⊥c（垂直的定义）． 上述推理过程被叫做“证明” 练习如何做证明题 1.已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角． 求证：∠ACD＝∠B． 证明：∵AC⊥BC（已知）， ∴∠ACB＝90°（ 　　　　　 ）， ∴∠BCD是∠DCA的余角（ 　　　　　 ）． ∵∠BCD是∠B的余角（已知）， ∴∠ACD＝∠B（ 　　　　　　　　 ）． 2．已知，如图，BCE，AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE． 证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠4＝ 　　　 （ 　　　　　　 ）. ∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠3＝ 　　　 （ 　　　　　 ）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF（ 　　　　　 ）， 即 　　 ＝ 　　 ， ∴∠3＝ 　　 （ 　　 ）， ∴AD∥BE（ 　　　 ）． 作业1 1．下列命题中，正确的是（　　）． A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0 2．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有三个命题，①∠1＋∠3＝90°；②∠2＋∠3＝90°；③∠2＝∠4．下列说法中，正确的是（　　）． A． 只有①正确 B．只有②正确 B． C．①和③正确 D．①②③都正确 3． 分别把下列命题写出“如果……，那么……”的形式，并指出其题设和结论，判断其真假． （1）两点确定一条直线；（2）等角的补角相等；（3）内错角相等． 4．已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1＝∠2，求证：BE∥CF． 证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）， ∴ ＝ ＝90°（ 　　　　 ）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴ ＝ （等式性质）． ∴BE∥CF（ 　　　　　　　　 ）． 检测1 1．已知下列命题：①内错角相等；②互补的角就是平角；③不相交的两条直线叫做平行线；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中正确命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列句子：①作线段AB＝AC；②如果a＝b，那么|a|＝|b|；③分数都是有理数；④两点确定一条直线．其中是命题的有__________．（填序号） 3．要说明“同位角互补，两直线平行”是假命题，可以举反例：__________． 4．举反例说明下列命题是假命题． （1）一个角的补角一定是钝角；（2）互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角． 5．如图所示，如果已知∠1＝∠2，则AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 二、平移 1、观察几个一模一样的雪人图 相邻两个雪人中，找出三组对应点（例如，它们的鼻尖A，帽顶B，纽扣C的对应点A′，B′，C′），连接这些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长短有什么关系？ 总结发现：AA′∥BB′∥CC′，且AA′＝BB′＝CC′． 即，一个图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移 生活中常见的平移：滑雪、鸟在天空飞行、拉抽屉等 例题精析 如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′． 解：如图，过B，C点分别作线段BB′，CC′使得他们与线段AA′平行且相等，连结A′B′，B′C′，C′A′．三角形A′B′C′就是三角形ABC平移后的图形． 总结： 平移的性质： 平移后新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 练习2 1． 如图，平移△ABC可得到△DEF，如果∠A＝50°，∠C＝60°， 那么∠E＝____，∠EDF＝_____，∠F＝____，∠DOB＝_____． 2．如图所示，长方体中，平移后能得到棱AA1的棱有________． 3．如图，是两个正三角形拼成的，试分析△ABC经过怎样的变化得到△DCE？点A，B，C的对应点分别是什么？对应点所连线段有什么特性？ 作业2 1．下图中的变换属于平移的有哪些？ 2．如图，在方格中平移△ABC，使点A移到点M，点B，C应移动到什么位置？再将A由点M移到点N？分别画出两次平移后的三角形．如果直接把△ABC平移，使A点移到点N，它和前面先移到M后移到N的位置相同吗？ 3．如图，一束平行光线（其中每两条光线互相平行）正对着一个图案及它后面的墙壁，这个图案与它在墙上的影子的形状和大小有什么关系？说出其中的道理． 检测2 1．图形经过平移，对应点所连的线段（ ）． A．平行 B．相等 C．平行(或在同一条直线上)且相等 D．既不平行，又不相等 2．线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，则线段AB和线段A′B′的关系是__________． 3．将∠ABC向上平移3 cm得到∠A′B′C′，若∠ABC＝30°，则BB′＝_____，∠A′B′C′＝______． 4．如图所示，△ABC中，∠A=50°，∠B=70°．如果将△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为△DEF，请你在图中找出平行且相等的两条线段并且求∠DFE是多少度． 答案 练习1： 解析：问句一定不是命题，只有对一件事情作出判断的句子才是命题． 答案：（1）（4）不是命题．（3）是真命题．（2）（5）是假命题． 练习如何做证明题 1：垂直定义，余角定义，同角的余角相等． 2：∠BAE ，两直线平行，同位角相等． ∠BAE ，（等量代换）．等式性质． ∠BAE，∠CAD，∠CAD，（等量代换）．内错角相等，两直线平行． 作业1： 1．D． 2．A． 3.（1）如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线． （2）如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等． （3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等． 4．∠ABC=∠BCD，垂直定义，∠EBC=∠BCF，内错角相等，两直线平行． 检测1： 1．C．2．②③④． 3．答案不唯一，例如“如图，∠1＝130°，∠2＝50°，a与b不平行．” 4．解：（1）钝角的补角是锐角．（2）互补的两个角可以都是直角． 5．解：假命题． 添加BE∥DF，能使该命题成立． 证明如下： 理由：因为BE∥DF，所以∠EBD＝∠FDN． 因为∠1＝∠2，所以∠ABD＝∠CDN，所以AB∥CD． 练习2： 1、70， 50， 60， 60． 2、BB1，CC1，DD1． 3、解：经过平移，线段AB的端点A移到了点D， 线段AB的端点B移到了点C，端点C移到了点E．对应点的所连线段平行且相等． 作业2： 1．D． 2．如图 3．这个图案与它在墙上的影子的形状和大小完全相同．因为由上述做法得到的影子相当于是由这个图案平移得到的． 检测2： 1．C． 2．平行且相等．3．3 cm； 30°． 4．解:∵A、B、C的对应点分别是D、E、F， ∵经过平移对应点的连线互相平行且相等， ∴就有AD∥CF，AD=CF． 或AD∥BE，AD=BE，或BE∥CF，BE=CF． 又∵平移前后图形大小形状不变， ∴∠ACB=∠DFE． 而∠ACB=180°－50°－70°， ∴∠ACB=60°． ∴∠DFE=60°． 学科网（北京）股份有限公司 $