第26期 7.2 平行线-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 发理脑 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期(2026年1月) 第25期2版 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 基础训练1.C;2.C;3.B;4.30°；5.105. 图1 6.由对顶角相等，得∠A0D=∠B0C=140°. (2)因为∠1：∠2：∠3=1：2：3， 因为OE平分∠AOD: 所以设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x. 所以∠A0E=∠D0E=之∠A0D=70 因为∠2+∠3=180°， 所以2x+3x=180. 所以∠B0E=180°-∠A0E=110°. 解得x=36. 因为OF平分∠BOE, 所以∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°. 所以∠E0F=名∠B0E=5 第25期3版 所以∠DOF=∠DOE-∠EOF=15° 7.1.2两条直线垂直 题号 1 2 3 45 67 8 基础训练1.A;2.B;3.C;4.3;5.26 答案CDBC CC BA 6.(1)图略.(2)图略.(3)MF.(4)0M. 二、9.垂线段最短；10.40°；11.70°； 7.因为OF⊥CD, 12.∠ACD,∠CDB:13.149;14.82或202. 所以∠F0D=90°. 三、15.(1)图略. 因为∠E0F=54°， (2)AB. 所以∠D0E=∠FOD-∠E0F=36. (3)图略，CE. 因为OE平分∠BOD, 16.因为OM⊥AB, 所以∠B0E=∠D0E=36. 所以∠BOM=90. 因为0G⊥0E, 所以∠E0G=90°. 因为∠1=子∠B0C,∠B0C=∠B0M+∠， 所以∠B0G=∠EOG-∠B0E=54° 所以∠A0G=180°-∠B0G=126. 所以∠1=号∠B0M=30 7.1.3两条直线被第三条直线所截 所以∠B0C=120°. 基础训练1.B;2.D;3.A:4.70°，70°，110° 所以∠B0D=180°-∠B0C=60°. 5.∠1与∠DAB是由直线DE和BC被直线AB所截形成的 17.(1)∠1的同旁内角是∠MOE,∠A0E,∠ADE;∠2的 内错角. 内错角是∠MOE,∠AOE. ∠2与∠1是由直线AB和AC被直线BC所截形成的同旁 (2)因为∠B0M=145°， 内角；∠2与∠CAD是由直线DE和BC被直线AC所截形成的 所以∠AOM=180°-∠B0M=35°. 同旁内角；∠2与∠CAB是由直线BC和AB被直线AC所截形 由对顶角相等，得∠AOE=∠B0F=65. 成的同旁内角. 所以∠M0E=∠AOE-∠AOM=30°. 能力提高6.(1)如图1所示. 答：水下部分向上弯折了30°. 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 18.(1)因为OE⊥CD, 因为OE平分∠BOC, 所以∠D0E=∠C0E=90°，即∠B0D+∠B0E=90° 所以∠B0E=∠C0E=分∠B0C=90°-7∠A0C 因为∠B0D=∠B0E+10°， 所以∠B0E=40°. 因为OC10D, 因为OE平分∠BOF, 所以∠D0C=90°. 所以∠EOF=∠BOE=40. 所以∠D0E=∠D0G-∠C0E=∠A0C 所以∠C0F=∠C0E-∠EOF=50°. (3)2∠M0N+∠D0E的值是定值，为270. (2)因为OE平分∠BOF, 因为OM平分∠A0C, 所以∠EOF=∠BOE. 因为OE⊥CD, 所以∠c0N=号∠A0C 所以∠BOD+∠BOE=∠EOF+∠COF=90°. 由(2)，得∠D0E=寸∠A0C 所以∠BOD=∠COF: 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC. 所以∠COM=∠DOE. 所以∠AOC=∠COF. 因为ON平分∠B0E, 所以OC是∠AOF的平分线. 所以∠BON=∠EON=号∠BOE 附加题1()180-4 因为∠B0E=∠C0E=90-3∠A0C. (2)由对顶角相等，得∠B0C=∠AOD=76°. 因为OE平分∠B0C, 所以∠B0N=号(90-号∠A0C)=45-4∠A0C 所以∠C0E=号∠B0C=38 所以∠M0N=∠C0M+∠G0E+∠B0N=方∠A0C+ 如图2.因为OF1CD, 90°- 所以∠C0F=90°， 2∠40G+45°-4∠40C=1350-}2A0C 所以∠EOF=∠C0E+∠C0F=128. 因为∠D0B=方∠A0C, 所以∠M0N=135°-之∠D0E,即∠M0N+7LD0E= 135°. 所以2∠M0N+∠D0E=270°. 图2 图3 如图3.因为OF⊥CD, 第26期2版 所以∠C0F=90°. 7.2平行线 所以∠E0F=∠C0F-∠COE=52. 7.2.1平行线的概念 综上所述，∠E0F的度数为128°或52. 基础训练1.D;2.C;3.D;4.①②⑤： 2.(1)因为∠A0C=116°， 5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 所以∠B0C=180°-∠A0C=64°. 互相平行. 因为0E平分∠B0C, 6.图略 所以∠c0E=7LB0C=32 7.2.2平行线的判定 基础训练1.A;2.D; 因为OC⊥CD, 3.答案不惟一，DF平分∠ADE;4.3. 所以∠D0C=90°. 5.因为∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，所 所以∠D0E=∠D0C-∠C0E=58° 以∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°.所以AD∥BE,BE∥ (2)∠D0B=子∠A0C,理由如下： CF.所以AD∥CF. 因为∠A0C+∠B0C=180°， 6.因为∠1=∠2，∠ABC=∠ACB,所以∠ABC-∠1= 所以∠BOC=180°-∠AOC. ∠ACB-∠2，即∠EBD=∠BCF因为∠EBD=∠D,所以 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 ∠BCF=∠D.所以FC∥ED. =∠C=30°.所以∠DAC=∠DAE-∠CAE=60°. 7.2.3平行线的性质 (2)①如图4，当三角形ADE在线段AC的左侧时，过点A 基础训练1.A;2.D;3.D;4.B;5.78°；6.25. 作AP∥BC.因为BC∥DE,所以AP∥BC∥DE.所以∠BAP 7.(1)GD∥CA.理由如下： =∠B=60°，∠DAP=∠D=45°.所以∠BAD=∠BAP- 因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD=180°.因为∠1+∠2 ∠DAP=15°.因为∠BAC=90°，所以∠DAC=∠BAC+ =180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥CA. ∠BAD=105 (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 40°. 第26期3版 题号12345678 答案ABCDDAC B 图4 图5E 二、9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 ②如图5，当三角形ADE在线段AC的右侧时，过点A作AQ 线也互相平行；10.45；11.③⑤；12.15°； ∥BC.因为BC∥DE,所以AQ∥BC∥DE.所以∠CAQ=∠C 13.112.5;14.46°. =30°，∠DA0=∠D=45°.所以∠DAC=∠CAQ+∠DAQ= 三、15.图略（提示：先过，点B作线段AC的平行线，再过，点A 75°. 作AD⊥BD,垂足为点D,此时AD的长最短，点D即为所求). 综上所述，∠DAC的度数为105°或75. 16.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 第27期2版 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF 7.3定义、命题、定理 17.延长AB到点C,图略.因为AB∥MN,∠2=100°，所以 基础训练1.B;2.C; ∠CBD=180°-∠2=80°.因为∠DBE=130°，所以∠CBE 3.如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等： =∠DBE-∠CBD=50°.因为AB∥PQ,所以∠1=∠CBE= 4.答案不惟一，如-2. 50. 5.∠C;∠A;两直线平行，同位角相等；已知；两直线平行， 18.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以CD∥FE.所以 同位角相等；∠4；两直线平行，内错角相等；180°；等量代换. ∠ACD+∠EHC=180°.因为∠ACD+∠F=180°，所以 6.答案不惟一以①②作为题设，③作为结论为例. ∠EHC=∠F.所以AC∥FG. 已知∠1=∠2，∠B=∠C.求证：AB∥CD. (2)因为∠BCD:∠ACD=2:3,所以设∠BCD=2x,∠ACD 证明：由对顶角相等，得∠1=∠3.因为∠1=∠2，所以 =3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x ∠2=∠3.所以CE∥BF.所以∠AEC=∠B.又因为∠B= 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°，所以 ∠C,所以∠AEC=∠C.所以AB∥CD. 3x+15x=180°.解得x=10°.所以∠BCD=20. 7.4平移 附加题1.(1)因为AB∥CD,PG∥CD,所以AB∥PG 7.4.1平移现象及平移的性质 所以∠EPG=∠PFH,∠GPH=∠PHF.因为∠PFH= 基础训练1.A;2.C；3.B;4.105°；5.42. ∠PHF,所以∠EPG=∠GPH.所以PG平分∠EPH. 6.(1)因为AB边沿着AC方向平移到ED,所以AC∥BD. (2)设∠EPN=x°.因为PN平分∠EPM,所以∠EPM= 所以∠EBD=∠AEB=7O°.所以∠EBC=∠EBD-∠CBD= 2∠EPN=2.x°.因为PM⊥PH,所以∠MPH=90.所以∠EPH 10. =∠EPM+∠MPH=(2x+90)°.因为PG平分∠EPH,所以 (2)由平移的性质，得AB=ED,AE=BD.所以三角形 EOC与三角形BOD周长的和为：CE+OC+OE+OB+OD+BD ∠BPG=∠EPH=(x+45)°所以∠NPG=LEPG- CE+AE+OC+0B+OD+OE=AC+BC+ED =AC+BC ∠EPN=45°. +AB=18. 2.(1)设AD交BC于点M,图略.因为BC⊥AD,所以 7.4.2平移作图 ∠BMA=90°.因为∠DAE=90°，所以BC∥AE.所以∠CAE 基础训练1.C:2.A:3.2:4.3和5. 3 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平以∠AOF=180°-∠BOD=150°.因为OE平分∠AOF,所以 移的距离是线段AD的长度. ∠E0F=7∠A0F=75.所以∠B0E=∠B0D+∠B0F= (2)图略. 105°.因为0E∥DM,所以∠ANM=∠B0E=105°. 第27期3,4版 答：扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数是105°. 五、22.(1)∠AEF=∠BED. 题号12345678910 (2)①由平移的性质，得EF∥BD,DE∥CF.所以∠BED 答案CB DABCCADB =∠BAC,∠BEF=∠B.因为∠BAC=∠B,所以∠BED= 二11.垂线段最短：12.52°，10：13.答案不惟一，如 ∠BEF.所以EB平分∠DEF. ∠EAD=∠B;14.135°；15.6或43.5. ②∠BAF=∠B+∠D.理由如下： 三、16.图略 因为BD∥EF,所以∠BEF=∠B,∠DEF+∠D=∠BEF 17.(1)∠1与∠4是同位角，∠1与∠2是内错角，∠1与 +∠BED+∠D=18O°.因为DE∥CF,所以∠BED+∠EAC ∠5是同旁内角. =180°，所以∠EAC=∠BEF+∠D=∠B+∠D.由对顶角相 (2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1与∠5互补. 等，得∠BAF=∠EAC.所以∠BAF=∠B+∠D. 理由如下： 23.(1)两直线平行，同旁内角互补；EF:CD;∠C;360° 因为∠1=∠4，所以OA∥CD.所以∠1=∠2，∠1+∠5 (2)过点C沿BA方向作CM∥AB,过点D沿BA方向作DN =180°. ∥AB,图略.所以AB∥CM∥DN∥EF所以∠B+∠BCM= 18.(1)因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为CD⊥ 180°，∠MCD+∠CDN=180°，∠NDE+∠E=180°.所以∠B AB,GF⊥AB,所以CD∥GE.所以∠BGF=∠BCD.所以 +∠BCM+∠MCD+∠CDN+∠NDE+∠E=540°，即∠B+ ∠CDE=∠BGF. ∠BCD+∠CDE+∠E=540°. (2)所得的命题是真命题.理由如下： (3)∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°.理由如下： 因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为∠CDE= 由(1)，得在A,C两点的同一侧有1个折点，所以∠A+ ∠BGF,所以∠BCD=∠BGF.所以CD∥GF.因为CD⊥AB, ∠AEC+∠C=180°×(1+1)=360°. 所以GF⊥AB. 由(2)，得在B,E两点的同一侧有2个折点，所以∠B+ 四、19.过点C沿AB方向作CF∥AB,图略.因为∠B:∠D ∠C+∠D+∠E=180°×(2+1)=540° =4:3,所以设∠B=4x,∠D=3x因为CF∥AB,所以∠BCF 因为在B,F两点的同一侧有3个折点，所以∠B+∠C+ =∠B=4x.因为AB∥DE,所以DE∥CF.所以∠DCF=∠D ∠D+∠E+∠F=180°×(3+1)=720° =3x.所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=x=20°.所以∠B= (4)180°×(n+1) 80°.所以∠B0E=180°-∠B=100°. 20.(1)因为0C⊥OD,所以∠C0D=90°.因为∠B0D= 第28期2版 40°，所以∠B0C=∠C0D-∠B0D=50°，所以∠A0C=180° 8.1平方根 -∠B0C=130°.因为OE平分∠A0C,所以∠A0E= 基础训练1.A;2.C:3.B: 7L40C=652 4.<;5.7.223;6.7. (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角.理由如下： 7.(10:(2)9:(3)-0.1:(4)±8 若∠AOE=∠BOD,则∠B0D+∠B0C+∠C0E=180. 8(0=号或=-}；(2)x=子 或x=-9 2 因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE.所以∠BOD= ∠COE.因为OC⊥OD,所以∠B0C+∠BOD=90°.所以 能力提高9.B;10.4或64. ∠BOC+∠COE=90°.所以∠BOC+∠BOD+∠BOC+ 8.2立方根 ∠C0E=180°.与∠B0D+∠B0C+∠C0E=180°相矛盾.所 基础训练1.A;2.D;3.15.627;4.-3. 以∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. 5.(17；(2)-06:(3)10:4)-等 21.(1)由对顶角相等，得∠BNM=∠AND.因为∠AOE =∠BNM,所以∠AOE=∠AND.所以OE∥DM 6.(1x=4:(2)x=-子 (2)由题意，得AB∥CD.所以∠B0D=∠ODC=30°.所 7.瓶内溶液的体积V=πr2h≈3×32×16=432(cm3). 4 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 所以这个正方体容器的棱长为：432÷2=6(cm). 18(①把d=10代入f=g8得f= 9001 8.3实数及其简单运算 所以1=Vg=√四e1.o5(. /103 基础训练1.C;2.B;3.0-3;4.1,2,3,4. 5.(1)3: 答：这场雷雨大约能持续1.05h. (2)“整数”席：{-4,2025，-√16，…； (220mm=号h “分数”席：-了0.3…： 把=号代人产-得（兮户= “无理数”席：{π，⑧，0.303003…（相邻两个3之间0的个 数逐次加1)，…}. 所以d=100≈4.64(km). 答：这场雷雨区域的直径大约是4.64km. 6.实数在数轴上表示略.-π<-1.5<√2<4. 附加题1.(1)答案不惟一，如/729+-729=9+ 7.(1)22;(2)37-7:(3)3. (-9)=0. 第28期3版 (2)a+b=0. 题号12345678 (3)因为/3-2x与x+5的值互为相反数， 答案CADBABC D 所以3-2x+x+5=0. 解得x=8. 二、9.2,2-5；10.>；11.12；12.±2； 2.(1)因为正方形ABCD的面积是10， 13.0:14.-2或-12. 所以正方形ABCD的边长是√1O. 三、15.正实数集合：7,9，-(-2)，401001001…（相邻 因为3<10<4， 两个1之间0的个数逐次加1)，1.23，…； 所以x=3,y=√10-3 负分数集合：-34，-0.37，…： 所以(y-√10)*=（√10-3-√10）3=-27. (2)①1+W10. 无理数集合：牙，4.010010001…（相邻两个1之间0的 ②因为正方形ABCD的边长是√0，第一次翻滚后点P表 个数逐次加1)，…； 示的数是1+√10；第二次翻滚后点C对应的数是1+2√0； 非正整数集合：0，-42，…. 第三次翻滚后点D对应的数是1+3√0；…，因为经过第 16.()-7；(2)±0.13；(3)m-3(4号 2026次翻滚后与数轴上的点Q重合，所以点Q表示的数是1+ 202610. 17.(1)-25:(2)4:(3)3-35. -5素养拓展 数理招 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 一、方位角问题 数眼看 思维天地： 报纸发行质量反馈电话 例1如图1，要修建 0351-5271248 条公路，从A村沿北偏 妙用思想巧解题 2025~2026学年 东75°方向到B村，从B村 七年级数学人教(GDY) 线 沿北偏西25·方向到C ⊙湖南戴学斌 村，再通到E村.若要保持 数学思想是数学的灵魂，是学好数学的关 (3)方法三：转化为同旁内角判断 第二学期编辑计划 公路CE与AB的方向 键所在，本文以平行线的判定问题为例，谈谈对 提示：此方法与本期1版《判平行有方 第25期 致，则∠ECB的度数是 数学思想的领悟 法》一文中的例3解法类似，请同学们自行完成 7.1相交线 办生 一、转化思想 具体解答过程 第26期 在利用平行线的判定时，通过角的“数量关 点评：利用转化思想将未知化为已知是一 7.2平行线 系”转化为平行线的“位置关系”，也常通过互种基本的数学思想，要灵活掌握这种思想 第27期 补、互余或对顶角相等进行角的转化 7.3定义、命题、定 二、整体思想 理；7.4平移；第七章 例1如图1，若∠B 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出 复习与小结 35°，∠CDF=145°，问AB与 1 对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整 第28期 解：如图1，由题意，得AW∥BF,CE∥AB. CE平行吗？请说明理由. 体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子 8.1平方根；8.2立方 所以∠FBD=∠NAB=75(两直线平行， 解：AB与CE平行.理由 或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进 根；8.3实数及其简 同位角相等). 如下： 行有目的、有意识的整体处理 单运算 因为∠CBF=25°，所以∠CBD=∠CBF (1)方法一：转化为同位角判断。 例2如图2，BE平分 第29期 +∠FBD=100°. 因为∠CDF=145° ∠ABD,DE平分∠BDC,且∠a 第八章复习与小结 所以∠ECB=180°-∠CBD=80°（两直 由邻补角的定义，得∠EDF=180 +∠B=90°，试说明：AB∥CD. 第30期 线平行，同旁内角互补) ∠CDF=35° 解：因为BE平分∠ABD, 9.1用坐标描述平面 故填80°. 因为∠B=35°， DE平分∠BDC, 内点的位置；9.2坐 二、光线问题 所以∠B=∠EDF 所以∠ABD=2∠a,∠BDC=2∠B. 标方法的简单应用 例2如图2，一束光线AB 所以AB∥CE(同位角相等，两直线平行). 所以∠ABD+∠BDC=2∠a+2∠B=2(∠a 第31期 先后经平面镜OM,ON反射后， 第九章复习与小结 反射光线CD与入射光线AB平 (2)方法二：转化为内错角判断。 +∠B). 0 因为∠CDF=145°， 第32期 行，且∠ABM=∠OBC,∠BCO 因为∠a+∠B=90°， 期中复习 =∠DCN.当∠ABM=35°时， 由邻补角的定义，得∠BDC=180°- 所以∠ABD+∠BDC=180° 第33期 ∠DCN的度数为 图2 ∠CDF=35°. 所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平 10.1二元一次方程 解：因为∠ABM=∠0OBC,∠ABM=35° 因为∠B=35°， 行). 组的概念；10.2消 所以∠0BC=35. 所以∠B=LBDC. 点评：利用整体思想使得解题思路豁然开 元一 一解二元一次 所以∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=1I09 所以AB∥CE(内错角相等，两直线平行). 朗，解题步骤简捷明了 方程组 因为CD∥AB, 第25期2版参考答案 (2)∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°. 第34期 所以∠BCD=180°-∠ABC=70(两直 7.1相交线 第25期3版参考答案 10.3实际问题与二 线平行，同旁内角互补) 因为∠BCO=∠DCN,∠BCO+∠BCD+ 7.1.1两条直线相交 一、题号12345678 元一次方程组；*10.4 三元一次方程组的 ∠DCN=180°， 基础训练1.C;2.C;3.B; 答案C D B CCC B A 解法 所以∠DCN=(180°-∠BCD)=5 4.30°；5.105. 二、9.垂线段最短；10.40°；11.70°； 第35期 6.∠D0F的度数是15°， 12.∠ACD,∠CDB；13.149; 第十章复习与小结 故填55. 7.1.2两条直线垂直 14.82或202. 第36期 三、操作问题 基础训练1.A;2.B;3.C; 三、15.(1)图略 11.1不等式；11.2 例3如图3，在长方形 4.3;5.26° (2)AB. 元一次不等式（概念 ABCD中，点E是AD上 6.(1)图略 及解法) 点，点F是BC上一点，将长C (3)图略，CE. (2)图略 方形ABCD沿直线EF折叠 16.∠B0D的度数是60° 第37期 (3)MF 17.(1)∠1的同旁内角是∠M0E,∠A0E 11.2一元一次不等 点D的对应点为点D',点C 式（应用）：11.3一元 的对应点为点C'.若∠1= (4)0M. ∠ADE;∠2的内错角是∠MOE,∠AOE 一次不等式组 39°，则∠2的度数是」 7.∠A0G的度数是126. (2)水下部分向上弯折了30°， 第38期 解：因为∠DEF+∠AEF=180°，∠1 7.1.3两条直线被第三条直线所截 18.(1)∠C0F的度数是50°. 第十一章复习与小 39°， 基础训练1.B;2.D;3.A; (2)证明略 所以∠DEF+∠D'EF=180°+39°= 4.70°，70°，110°. 附加题1.(1)10°-2 第39期 219°. 5.∠1与∠DAB是由直线DE和BC被直线 12.1统计调查；12.2 所以∠DEF=∠DEF=3×219°=10959 AB所截形成的内错角. (2)∠E0F的度数为128°或52 用统计图描述数据 ∠2与∠1是由直线AB和AC被直线BC所 2.(1)∠D0E的度数是58° 第40期 所以∠AEF=∠D'EF-∠1=70.5. 第十二章复习与小 因为AD∥BC,所以∠C'FE=∠CFE= 截形成的同旁内角；∠2与∠CAD是由直线DE (2)∠D0E=号∠A0C ∠AEF=70.5(两直线平行，内错角相等). 和BC被直线AC所截形成的同旁内角；∠2与 ∠CAB是由直线BC和AB被直线AC所截形成 理由略 第4148期 所以∠2=180°-∠C'FE-∠CFE= 升级突破（合刊）》 39° 的同旁内角. (3)2∠MON+∠DOE的 故填39° 能力提高6.(1)图略. 值是定值，为270°.过程略 数评橘 2026年1月13日·星期二 初中数学 第26期总第1170期 人教 七年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-155 本周主讲 品味方法 7.2平行线 判平行有方法 学习目标：理解并掌握平行线的概念和 O江西 吴欣然 判定方法，会利用平行线的性质计算所求角 所以∠ECD=∠DCF 由对顶角相等，得∠CNM=∠1=55， 的度数 由对顶角相等，得∠ACB=∠DCF 因为∠2=125° 所以∠ECD=∠ACB. 认知重点：灵活运用平行线的性质解题 所以∠CNM+∠2=180°， 因为∠B=∠ACB 会利用平行线的判定进行简单的推理论证， 所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平 所以∠B=∠ECD. 进一步培养表达能力和推理 所以AB∥CE(同位角相等，两直线平行)： 行) 二、用线判定 能力 例2如图2，已知 例4如图4，已知 判定两条直线平行的基本方法有： ∠A=∠AGE,∠D= ∠DAF=∠AFE,∠EFB ①同位角相等，两直线平行； ∠DGC,试说明：AB∥ ∠FBC,则AD与BC平行吗？ ②内错角相等，两直线平行； CD 图2 为什么？ ③同旁内角互补，两直线平行； 解：由对顶角相等，得∠AGE=∠DGC ④平行公理的推论，即如果两条直线都与 因为∠A=∠AGE,∠D=∠DGC 解：AD∥BC.理由如下： 第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 所以∠A=∠D. 因为∠DAF=∠AFE, 一、用角判定 所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行) 所以AD∥EF(内错角相等，两直线平行) 例1如图1，AF与BD相 例3如图3，直线EF 因为∠EFB=∠FBC, 交于点C,∠B=∠ACB,且 分别与直线AB,CD交于M, CD平分∠ECF,试说明：AB∥ N两点，已知∠1=55°，∠2 所以EF∥BC(内错角相等，两直线平行) CE. =125°，试说明：AB∥CD 所以AD∥BC(如果两条直线都与第三条 解：因为CD平分∠ECF, 解：因为∠1=55 直线平行，那么这两条直线也互相平行) 名师点睛 由对顶角相等，得∠5=∠3=75° 强强联合来解题 所以∠4=180°-∠5=105° 故选B. 例4一块直角三角板按如图4所示的方 。广东刘静姝 式放置在一张长方形纸条上.若∠1=28°，则 一、平行线的性质与垂线联合 所以∠ABE=∠BED=70°（两直线平行 例1如图1，AB∥CD, 内错角相等) ∠2的度数为 A.28 B.569 AD⊥AC,∠BAD=35°，则 因为BC平分∠ABD,BF平分∠DBE, C.36° D.62° ∠ACD= ( 所以∠CBD= ∠ABD,∠DBF 2 A.35° B.45° C.55° D.709 24DBE 解：因为AD1AC, 所以∠CBF=∠CBD -∠DBF 图4 所以∠CAD=90°. 1 因为∠BAD=35°， 2 《∠ABD∠DBE)三)∠ABE=35P 解：如图5，过点E作MN∥AB,交AD于点 M,交BC于点V 所以∠CAB=∠CAD+∠BAD=1259 故填35°. 所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相 因为AB∥CD,所以∠ACD=180° 三、平行线的性质与判定联合 等) ∠CAB=55°（两直线平行，同旁内角互补）. 例3如图3，直线l和 故选C. 2被直线和l4所截，∠1= 由题意，得AB∥CD 二、平行线的性质与角平分线联合 ∠2=130°，∠3=75°，则 所以MW∥CD(如果两条直线都与第三条 ∠4的度数是 () 直线平行，那么这两条直线也互相平行) 例2如图2，已知AB∥ A A.75° B.1059 所以∠4=∠1=28°（两直线平行，内错角 CD,BC平分∠ABD,点E在 C.115 D.130 相等). CD上，BF平分∠DBE.若 解：因为∠1=∠2， 因为∠3+∠4=90°， ∠BED=70°，则∠CBF的度c 所以1，∥，（同位角相等，两直线平行） 所以∠3=90°-∠4=62° 数是 所以∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁 所以∠2=∠3=62° 解：因为AB∥CD, 内角互补) 故选D. 2 素养专练 数理极 7.2.2平行线的判定 7.2.3平行线的性质 跟踪训练 垦四训练 堡础训练 GEnzoNGXUNLIAN 1.我们常用如图1所示个 1.如图1，直线a,b被直线c所截，且a∥b.若 7.2平行线 的方法过直线外一点画已知 ∠1=45°，则∠2的度数为 () 7.2.1平行线的概念 直线的平行线，其原理是 A.45 B.115 () C.1259 D.1359 堡础训练 A.同位角相等，两直线 平行 图 1.如图1，已知直线AB与直线CD平行，下列 表示方法正确的是 ( B.内错角相等，两直线平行 A.A∥C B.A∥D C.同旁内角互补，两直线平行 C.B∥b D.a∥b D.两直线平行，同位角互补 图1 2.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD 2.如图2，AB与CD相交于点O,连接AC,BD 的是 若∠A=∠B=30°，∠C=50°，则∠D的度数为 A-a () A.20° B.30 b -D C F C D C.40° D.50 图1 图2 3.如图3,1∥12，∠1=35°，∠2=50°，则 2.如图2，在同一平面内，经过直线a外一点 3.如图2，已知∠ADE=60°，∠1=30°，请你 ∠3的度数为 0的4条直线中有一条直线与直线a平行，则该直 () 添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线 A.35° B.50° 线是 平行”来判断BE∥DF,你添加的条件是 C.85o D.95c A.OA B.OB C.OC D.OD 3.下列说法错误的是 ( A.在同一平面内，没有公共点的两条直线是 平行线 图3 B.如果两条直线都与第三条直线平行，那么 4.如图4，下列推理不正确的是 3 这两条直线也互相平行 A.若∠AEB=∠C,则AE∥CD 图2 图3 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条 4.如图3，已知下列条件：①∠1=∠3；②∠2 B.若∠AEB=∠ADE,则AD∥BC 直线平行 =∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°，其中能 C.若AD∥BC,则∠C+∠ADC=180 D.在同一平面内，不相交的两条线段是平行 判断直线1∥12的有个 D.若AD∥BE,则∠ADE=∠DEC 线 5.如图4，若∠A=114°，∠C=135°，∠1= 5.在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原 4.有下列生活实例：①交通道口的斑马线： 66°，∠2=45°，试说明：AD∥CF 理发明了木杆秤，学名叫作戥子.如图5是一杆古 ②电脑的上下边缘线：③雨后彩虹；④操场跑道 秤在称物时的状态，已知∠1=102°，则∠2的度 线：⑤火车的平直铁轨线，其中是平行线的是 数是 （填序号)： 5.如图3是我们常见的马 路标线，工人师傅在划线时要 图4 保证中间的线与两边的线保持 平行，小明认为我们已知马路 网5 6 6.如图6，a∥b,∠1与∠2互余，∠3=115° 两边的线是互相平行的，只要 则∠4= 中间的线与两边其中任意一条 7.如图7，已知EF∥CD,∠1+∠2=180° 线平行，那么它就一定与另 图3 (1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由； 条线平行，这其中的数学原理是 6.如图5，点E,F分别在三角形ABC的AC, (2)若DG平分∠CDB,∠ACD=40°，求∠A AB边上，点D在BC边的延长线上，连接BE,CF 的度数. 6.如图4，已知方格纸上有两条线段AC,BC ED.若∠1=∠2，∠ABC=∠ACB,∠EBD= 根据下列要求完成以下操作： ∠D,试说明：FC∥ED. (1)过点B作AC的平行线l; (2)连接AB,取AB的中点0，过点0作1，的 平行线2，与BC交于点E. 图 供题/本报命题组 (参考答案见下期 数理极 素养·测评 5 16.(10分)如图16，已知∠B=46°，EF交AB 同罗检测（二） 于点D,DG平分∠ADE,∠ADG=67°，试说明：BC ∥EF. TONGBUJIANCE 【检测范围：7.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 图16 题号12 3 4 5 6 7 8 9.如图8，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为 答案 了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互 相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下 17.(12分)如图17-①的晾衣架中存在多组 1.过直线外一点画与已知直线平行的直线 去，这样做的数学依据是 平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图17-②所 ( A.有且只有一条 示的数学平面图形.已知AB∥MW∥PQ,∠2= B.有两条 100°，∠DBE=130°，求∠1的度数 C.不存在 D.无数条 2.如图1，一条公 1 路的两侧铺设了AB, CD两条平行管道，并 图8 图9 有纵向管道AC连通， 图1 10.如图9，把一块直角三角板的60°角的顶点 若∠1=120°，则∠2 放在直尺的一边上.若∠1=75°，则∠2= 图17 的度数是 ( A.50° B.60° C.70° D.80° 11.随着我国科学技术的不断发展，科学幻想 3.如图2，将两个含30°角的直角三角板的最 变为现实.图10是我国自主研发的某型号战斗机 长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD,根据是 18.(14分)如图18，CD⊥AB,垂足为点D,FE 模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之 ( ⊥AB,垂足为点E,∠ACD+∠F=180° .图11是垂尾模型轴切面的示意图，现通过垂尾 A.同位角相等，两直线平行 (1)试说明：AC∥FG; 模型的外围测得如下数据：①BC=8;②CD=2; B.同旁内角互补，两直线平行 (2)若∠F=3∠G,∠BCD:∠ACD=2:3, ③∠C=60°；④∠D=135°；⑤∠B=120°，垂尾 C.内错角相等，两直线平行 求∠BCD的度数 模型要求的位置标准之一是AB∥CD,则选择数据 D.两直线平行，内错角相等 可判断模型位置是否达标（填序号）· 30 D C 309 图2 4.如图3，已知∠BAE=∠D,∠1=34°，则 图10 图11 2= 12.如图12，直线a与直线b,c分别交于点A, A.146°B.24°C.560 D.34° B,∠1=120°，∠2=45°.若使直线b与直线c平 5.如图4，一艘船从A点出发，沿东北方向航行，则可将直线b绕点A逆时针转动的最小角度是 附加题⊙ 行至B,再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C (以下试题供各地根据实际情况选用) 点，则∠ABC的度数为 ( 1.(10分)已知AB∥CD,E,F分别为CD,AB A.15° B.309 C.45° D.60° 上一点，P,H分别在EF,AB上，∠PFH=∠PHF PG∥CD. (1)如图1-①，试说明：PG平分∠EPH: 图12 图13 (2)如图1-②，过点P作PM⊥PH,交CD于 13.如图13，已知∠B=∠BCD,∠BAC= 点M,作∠EPM的平分线交CD于点N,求∠NPG 90°，∠B+∠D=180°，∠ACB:∠ACD=1:2,则 的度数 图4 5 ∠BAD= 6.如图5，已知∠2=100°，要使AB∥CD,则 14.如图14，已知AB 需具备另一个条件是 A.∠4=100° B.∠1=100° ∥D,∠BHF=S∠EMB, C.∠3=80° D.∠4=80° 图1 7.如图6，AD∥CE,∠ABC=110°，则∠2- LECF=3LECD.若LE 图14 2.（10分)将斜边上的高不相等的两块直角三 ∠1的度数是 ( =69°，则∠F的度数为 角尺按如图2所示方式摆放，已知∠BAC=∠DAE A.50 B.60° C.70° D.110 三、耐心解一解（共44分） =90°，∠C=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°. 15.(8分)如图15，在三角形ABC外求作一点 (1)若BC⊥AD,求∠DAC的度数； D,使BD∥AC,且AD的长最短 (2)若三角形ABC保持不动，将三角形ADE 绕点A转动，使得两个直角三角形的斜边平行，求 ∠DAC的度数， 愿网6 8.如图7，BE平分∠ABF,BC平分∠ABD,∠1 =∠2，且∠4+∠2=90°，则有下列结论：①AB∥ CD:②AC⊥BC;③CD平分∠BCG;④∠1=∠5， 19 图2 其中正确的有 ( 供题/本报命题组 A.4个B.3个 C.2个 D.1个 (参考答案见下期)