第25期 7.1 相交线-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期(2026年1月) 第25期2版 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 基础训练1.C;2.C;3.B;4.30°；5.105. 图1 6.由对顶角相等，得∠AOD=∠B0C=140° (2)因为∠1：∠2：∠3=1：2：3， 因为OE平分∠AOD, 所以设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x°. 所以∠A0E=LD0E=分LA0D=70 因为∠2+∠3=180°， 所以2x+3x=180. 所以∠B0E=180°-∠AOE=110°. 解得x=36. 因为OF平分∠BOE. 所以∠1=36°，∠2=72°，∠3=108 所以∠E0F=7∠B0E=5 第25期3版 所以∠D0F=∠D0E-∠EOF=15° 7.1.2两条直线垂直 题号1 234567 8 基础训练1.A;2.B;3.C;4.3;5.26 答案CDBC 6.(1)图略.(2)图略.(3)MF.(4)0M. 二、9.垂线段最短；10.40°；11.70°； 7.因为OF⊥CD, 12.∠ACD,∠CDB;13.149;14.82或202. 所以∠FOD=90° 三、15.(1)图略. 因为∠E0F=54°， (2)AB. 所以∠D0E=∠FOD-∠EOF=36°. (3)图略，CE. 因为OE平分∠BOD, 16.因为OM⊥AB, 所以∠B0E=∠D0E=36°. 所以∠BOM=90°. 因为OG⊥OE, 所以∠EOG=90° 因为∠1=子∠B0C,∠B0C=∠B0N+∠A, 所以∠B0G=∠E0G-∠B0E=54° 所以∠1=号LB0M=300 所以∠A0G=180°-∠B0G=126° 7.1.3两条直线被第三条直线所截 所以∠B0C=120°. 基础训练1.B;2.D;3.A;4.70°，70°，110° 所以∠B0D=180°-∠B0C=60° 5.∠1与∠DAB是由直线DE和BC被直线AB所截形成的 17.(1)∠1的同旁内角是∠MOE,∠AOE,∠ADE;∠2的 内错角. 内错角是∠MOE,∠AOE. ∠2与∠1是由直线AB和AC被直线BC所截形成的同旁 (2)因为∠B0M=145°， 内角；∠2与∠CAD是由直线DE和BC被直线AC所截形成的 所以∠A0M=180°-∠B0M=35°. 同旁内角；∠2与∠CAB是由直线BC和AB被直线AC所截形 由对顶角相等，得∠AOE=∠BOF=65° 成的同旁内角。 所以∠M0E=∠AOE-∠AOM=30. 能力提高6.(1)如图1所示. 答：水下部分向上弯折了30°. 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 18.(1)因为OE⊥CD, 因为OE平分∠BOC, 所以∠D0E=∠COE=90°，即∠B0D+∠BOE=90, 所以∠B0E=∠c0E=分∠B0C=90P-7∠A0C 因为∠BOD=∠B0E+10°， 所以∠B0E=40°. 因为OC⊥0D, 因为OE平分∠BOF, 所以∠D0C=90°. 所以∠EOF=∠BOE=40°. 所以LD0E=∠D0C-LC0E=2∠A0C 所以∠COF=∠C0E-∠EOF=50°. (3)2∠M0N+∠D0E的值是定值，为270°. (2)因为OE平分∠B0F, 因为OM平分∠AOC, 所以∠EOF=∠BOE. 因为OE⊥CD, 所以∠c0M=宁∠40C 所以∠BOD+∠BOE=∠EOF+∠COF=90°. 由(2)，得∠D0E= ∠40C 1 所以∠BOD=∠COF 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC. 所以∠COM=∠DOE. 所以∠AOC=∠COF. 因为OW平分∠B0E, 所以OC是∠AOF的平分线. 所以∠BON=∠EON=∠BOE 附加题1(1)180- 因为∠B0E=∠C0E=90°-2LA0C, (2)由对顶角相等，得∠B0C=∠AOD=76° 因为OE平分∠B0C, 所以∠E0N=2(902-2∠A0C)=45-4∠A0C 所以∠c0E=∠B0C=38 所以∠MON=∠C0M+∠COE+∠E0N=2∠A0C+ 如图2.因为OF⊥CD, 所以∠C0F=90°， 90°-2∠A0C+450-子∠40C=1350-4∠A0C 所以∠EOF=∠COE+∠C0F=128° 因为LD0E=7∠40C, 所以∠M0N=135°-子∠D0E,即∠M0N+7∠D0E= 135° 所以2∠MOW+∠DOE=270°. 图2 图3 如图3.因为OF⊥CD, 第26期2版 所以∠C0F=90°. 7.2平行线 所以∠EOF=∠COF-∠COE=52. 7.2.1平行线的概念 综上所述，∠E0F的度数为128°或52°. 基础训练1.D;2.C；3.D;4.①②⑤： 2.(1)因为∠A0C=116°， 5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 所以∠B0C=180°-∠A0C=64°. 互相平行. 因为OE平分∠BOC, 6.图略. 所以∠C0E=号∠B0C=32 7.2.2平行线的判定 基础训练1.A;2.D; 因为OC⊥CD, 所以∠D0C=90°. 3.答案不惟一，DF平分∠ADE;4.3. 所以∠D0E=∠D0C-∠C0E=58° 5.因为∠A=114°，∠C=135°，∠1=66°，∠2=45°，所 以∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°.所以AD∥BE,BE∥ (2)LD0E=之∠A0C理由如下： CF.所以AD∥CF 因为∠A0C+∠B0C=180°， 6.因为∠1=∠2，∠ABC=∠ACB,所以∠ABC-∠1= 所以∠BOC=180°-∠AOC ∠ACB-∠2，即∠EBD=∠BCE因为∠EBD=∠D,所以 -2 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 ∠BCF=∠D.所以FC∥ED, =∠C=30°.所以∠DAC=∠DAE-∠CAE=60° 7.2.3平行线的性质 (2)①如图4，当三角形ADE在线段AC的左侧时，过点A 基础训练1.A;2.D;3.D;4.B;5.78°；6.25° 作AP∥BC.因为BC∥DE,所以AP∥BC∥DE.所以∠BAP 7.(1)GD∥CA.理由如下： =∠B=60°，∠DAP=∠D=45°.所以∠BAD=∠BAP- 因为EF∥CD,所以∠1+∠ACD=180°.因为∠1+∠2 ∠DAP=15°.因为∠BAC=90°，所以∠DAC=∠BAC+ =180°，所以∠ACD=∠2.所以GD∥CA. ∠BAD=105 (2)由(1)，得∠2=∠ACD=40°.因为DG平分∠CDB, 所以∠BDG=∠2=40°.因为GD∥CA,所以∠A=∠BDG= 40° 第26期3版 题号12345678 图4 图5E 二、9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 ②如图5，当三角形ADE在线段AC的右侧时，过点A作AQ 线也互相平行；10.45；11.③⑤；12.15°； ∥BC.因为BC∥DE,所以AQ∥BC∥DE.所以∠CAQ=∠C 13.112.5;14.46° =30°，∠DAQ=∠D=45°.所以∠DAC=∠CAQ+∠DAQ= 三、I5.图略（提示：先过点B作线段AC的平行线，再过点A 75. 作AD⊥BD,垂足为，点D,此时AD的长最短，点D即为所求) 综上所述，∠DAC的度数为105°或75°. 16.因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°，所以∠ADE= 第27期2版 2∠ADG=134°.所以∠ADF=180°-∠ADE=46°.因为∠B =46°，所以∠ADF=∠B.所以BC∥EF 7.3定义、命题、定理 17.延长AB到点C,图略.因为AB∥MW,∠2=100°，所以 基础训练1.B;2.C; ∠CBD=180°-∠2=80°.因为∠DBE=130°，所以∠CBE 3.如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等； =∠DBE-∠CBD=50°.因为AB∥PQ,所以∠1=∠CBE= 4.答案不惟一，如-2. 50. 5.∠C;∠A;两直线平行，同位角相等；已知；两直线平行， 18.(1)因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以CD∥FE.所以 同位角相等；∠4；两直线平行，内错角相等；180°；等量代换 ∠ACD+∠EHC=180°.因为∠ACD+∠F=180°，所以 6.答案不惟一.以①②作为题设，③作为结论为例. ∠EHC=∠F.所以AC∥FG. 已知∠1=∠2，∠B=∠C.求证：AB∥CD. (2)因为∠BCD:∠ACD=2:3,所以设∠BCD=2x,∠ACD 证明：由对顶角相等，得∠1=∠3.因为∠1=∠2，所以 =3x.因为AC∥FG,所以∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x ∠2=∠3.所以CE∥BF.所以∠AEC=∠B.又因为∠B= 因为∠F=3∠G,所以∠F=15x.因为∠ACD+∠F=180°，所以 ∠C,所以∠AEC=∠C.所以AB∥CD. 3x+15x=180°.解得x=10°.所以∠BCD=20°. 7.4平移 附加题1.(1)因为AB∥CD,PG∥CD,所以AB∥PG. 7.4.1平移现象及平移的性质 所以∠EPG=∠PFH,∠GPH=∠PHF.因为∠PFH= 基础训练1.A;2.C;3.B;4.105°；5.42. ∠PHF,所以∠EPG=∠GPH.所以PG平分∠EPH. 6.(1)因为AB边沿着AC方向平移到ED,所以AC∥BD. (2)设∠EPW=x°.因为PW平分∠EPM,所以∠EPM= 所以∠EBD=∠AEB=7O°.所以∠EBC=∠EBD-∠CBD= 10°. 2∠EPN=2x°.因为PM⊥PH,所以∠MPH=90°.所以∠EPH =∠EPM+∠MPH=(2x+90)°.因为PG平分∠EPH,所以 (2)由平移的性质，得AB=ED,AE=BD.所以三角形 EOC与三角形BOD周长的和为：CE+OC+OE+OB+OD+BD 1 ∠EPG=2∠EPH=(x+45)°所以∠NPG=∠EPG- CE +AE+OC+0B+OD+OE AC BC+ED AC+BC ∠EPN=45° +AB=18. 2.(1)设AD交BC于点M,图略.因为BC⊥AD,所以 7.4.2平移作图 ∠BMA=90°.因为∠DAE=90°，所以BC∥AE.所以∠CAE 基础训练1.C;2.A；3.2;4.3和5. 一3 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 5.(1)连接AD,图略.平移的方向是点A到点D的方向，平以∠AOF=180°-∠BOD=150°.因为OE平分∠AOF,所以 移的距离是线段AD的长度. ∠E0F=7∠A0F=75所以LB0E=∠B0D+∠BE0F- (2)图略 105°.因为OE∥DM,所以∠ANM=∠BOE=105°. 第27期3,4版 答：扶手AB与靠背DM的夹角∠AWM的度数是105°. 五22.(I)∠AEF=∠BED. 题号12345678910 (2)①由平移的性质，得EF∥BD,DE∥CF.所以∠BED 答案CBDABCCAD B =∠BAC,∠BEF=∠B.因为∠BAC=∠B,所以∠BED= 二、11.垂线段最短；12.52°，10；13.答案不惟一，如 ∠BEF.所以EB平分∠DEF. ∠EAD=∠B;14.135°；15.6或43.5. ②LBAF=∠B+∠D.理由如下： 三、16.图略. 因为BD∥EF,所以∠BEF=∠B,∠DEF+∠D=∠BEF 17.(1)∠1与∠4是同位角，∠1与∠2是内错角，∠1与 +∠BED+∠D=180°.因为DE∥CF,所以∠BED+∠EAC ∠5是同旁内角. =180°.所以∠EAC=∠BEF+∠D=∠B+∠D.由对顶角相 (2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1与∠5互补. 等，得∠BAF=∠EAC.所以∠BAF=∠B+∠D. 理由如下： 23.(1)两直线平行，同旁内角互补；EF;CD;∠C;360° 因为∠1=∠4，所以0A∥CD.所以∠1=∠2，∠1+∠5 (2)过点C沿BA方向作CM∥AB,过点D沿BA方向作DN =180° ∥AB,图略.所以AB∥CM∥DN∥EE所以∠B+∠BCM= 18.(1)因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为CD⊥ 180°，∠MCD+∠CDW=180°，∠NDE+∠E=180°.所以∠B AB,GF⊥AB,所以CD∥GF所以∠BGF=∠BCD.所以 +∠BCM+∠MCD+∠CDN+∠NDE+∠E=540°，即∠B+ ∠CDE=∠BGF. ∠BCD+∠CDE+∠E=540°. (2)所得的命题是真命题.理由如下： (3)∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°.理由如下： 因为DE∥BC,所以∠CDE=∠BCD.因为∠CDE= 由(1)，得在A,C两点的同一侧有1个折点，所以∠A+ ∠BGF,所以∠BCD=∠BGF.所以CD∥GF.因为CD⊥AB, ∠AEC+∠C=180°×(1+1)=360°， 所以GF⊥AB. 由(2)，得在B,E两点的同一侧有2个折点，所以∠B+ 四、I9.过点C沿AB方向作CF∥AB,图略.因为∠B:∠D ∠C+∠D+∠E=180°×(2+1)=540°. =4:3,所以设∠B=4x,∠D=3x因为CF∥AB,所以∠BCF 因为在B,F两点的同一侧有3个折点，所以∠B+∠C+ =∠B=4x.因为AB∥DE,所以DE∥CF所以∠DCF=∠D ∠D+∠E+∠F=180°×(3+1)=720°. =3x.所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=x=20°.所以∠B= (4)180°×(n+1). 80°.所以∠B0E=180°-∠B=100°. 第28期2版 20.(1)因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.因为∠B0D= 40°，所以∠B0C=∠C0D-∠B0D=50°.所以∠A0C=180° 8.1平方根 -∠B0C=130°.因为OE平分∠AOC,所以∠AOE= 基础训练1.A;2.C；3.B; 7∠40C=650 4.<;5.7.223；6.7 (2)∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角.理由如下： 7.(1)0:(29；(3)-0l;4)±8 若∠AOE=∠B0D,则∠B0D+∠B0C+∠COE=180. 81)=是或号：(2=号或x=- 2 因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE.所以∠BOD= ∠C0E.因为OC⊥OD,所以∠B0C+∠B0D=90°.所以 能力提高9.B;10.4或64. ∠BOC+∠COE=90°.所以∠BOC+∠BOD+∠BOC+ 8.2立方根 ∠COE=180°.与∠B0D+∠B0C+∠COE=180°相矛盾.所 基础训练1.A;2.D;3.15.627;4.-3. 以∠AOE与∠BOD不可能成为对顶角. 5.(1)7:(2)-06:(3)100:(4)-g 21.(1)由对顶角相等，得∠BWM=∠AWD.因为∠AOE =∠BNM,所以∠AOE=∠AND.所以OE∥DM. 6x=4:(2)x=-子 (2)由题意，得AB∥CD.所以∠B0D=∠ODC=30°.所 7.瓶内溶液的体积V=r2h≈3×32×16=432(cm3). 一4 初中数学·人教七年级(GDY)第25~28期 所以这个正方体容器的棱长为：432÷2=6(cm). 18)把d=0代人f=品得r=品 00 8.3实数及其简单运算 所以1=√隔-√罗1.5(. /103 基础训练1.C;2.B;3.10-3;4.1,2,3,4. 5.(1)3: 答：这场雷雨大约能持续1.05h (2)“整数”席：-4,2025，-√16，…； “分数”：子03…； (2)20min=号h 把1=分代人=品得兮>=品 “无理数”席：π，√⑧，0.303003…（相邻两个3之间0的个 数逐次加1)，…. 所以d=/100≈4.64(km). 6.实数在数轴上表示略.-π<-1.5<2<4. 答：这场雷雨区域的直径大约是4.64km 7.(1)22:(2)37-7;(3)√5 附加题1.(1)答案不惟一，如729+一729=9+ (-9)=0. 第28期3版 (2)a+b=0. 题号12345678 (3)因为/3-2x与x+5的值互为相反数， 答案CA DBABCD 所以3-2x+x+5=0. 解得x=8. 二9.2,2-5；10.>；11.12；12.±2； 2.(1)因为正方形ABCD的面积是10， 13.0;14.-2或-12. 所以正方形ABCD的边长是√IO. 三、15.正实数集合：受，9，-（-2)，4010010001（相邻 因为3<√10<4， 两个1之间0的个数逐次加1)，1.23，…}； 所以x=3,y=10-3. 负分数集合：-34，-037，…： 所以(y-√10)=（√0-3-10)3=-27. (2)①1+√10. 无理数集合：受，401001001（相尔两个1之间0的 ②因为正方形ABCD的边长是√I0,第一次翻滚后点P表 个数逐次加1)，…}： 示的数是1+√0；第二次翻滚后点C对应的数是1+2√0： 非正整数集合：{0，-42，…. 第三次翻滚后点D对应的数是1+3√0；….因为经过第 16()-7；(2)±0.13：(3)m-35(4号 2026次翻滚后与数轴上的点Q重合，所以点Q表示的数是1+ 2026√/10. 17.(1)-25;(2)4;(3)3-35. 54 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 名师点睛 误区一、概念不清 数 报纸发行质量反馈电话 对顶角助/你解题 例1有下列说法：① 0351-5271248 画出直线外一点到这条直线 2025~2026学年 的距离：②有公共边的两个 ©重庆毛 燕 七年级数学人教(GDY 角是邻补角：③若两个角是 对顶角在求角度时起到了很大的作用，它 解：因为∠B0D=48°，由对顶角相等，得 第二学期编辑计划 邻补角，则它们的度数之和 常与垂线、角平分线等联合起来，为求角提供便 ∠A0C=∠B0D=48°. 为180°，其中正确的说法有 第25期 利.下面举例说明，供同学们参考. 因为OM平分∠AOC, 河 7.1相交线 ( 北 一、伴随垂线 交 例1如图1，直线AB与 所以∠A0M=7∠A0C=240 第26期 A.0个 B.1个 7.2平行线 C.2个 D.3个 CD相交于点O,射线OE在 所以∠B0M=180°-∠AOM=156° 喆 第27期 错解：选D. ∠AOD的内部，且OE⊥CD于 故选D. 7.3定义、命题、定 剖析：只能画出过直线 点0.若∠A0C=35°，则 三、共同携手 理；7.4平移；第七章 外一点到这条直线的垂线段 ∠BOE的度数为 例3如图3，直线AB,CD 复习与小结 (图形)，而不能画出距离（数 第28期 A.125° B.1359 相交于点0，E0⊥OF.已知 量)邻补角在位置上需满 8.1平方根；8.2立方 C.65 D.55 ∠B0F=20°，OC平分∠A0E, 足：有一条公共边且另一边 根：8.3实数及其简 解：因为OE⊥CD, 则∠BOD= ( 互为反向延长线；邻补角是 单运算 所以∠E0D=90° A.20° B.30° 特殊的互补角，它们的度数之和一定为180° 第29期 因为∠A0C=35°， C.55 D.35° 正解：选B. 第八章复习与小结 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=35° 解：因为E0⊥OF, 误区二、画图不正确 第30期 所以∠B0E=∠E0D+∠BOD=125° 所以∠E0F=90° 例2如图1，过直线1上的点A作直线1， 9.1用坐标描述平面 故选A 因为∠B0F=20°， 的垂线段，垂足为点B, 内点的位置；9.2坐 二、联合角平分线 所以∠AOE=180°-∠EOF-∠BOF= 标方法的简单应用 例2如图2，直线AB 70° 第31期 CD交于点O,射线OM平分 B 因为0C平分∠AOE 第九章复习与小结 ∠A0C.若∠B0D=48°，则 第32期 ∠BOM= 图2 所以∠A0C=7LA0E=350 图1 图3 期中复习 A.969 B.1329 由对顶角相等，得∠B0D=∠AOC=35. 错解：如图2，线段AB即为所求作的垂线段， 第33期 10.1二元一次方程 C.146° D.1569 故选D. 剖析：过点A作直线1，的垂线段是指所作线 段与2垂直，而不是与l垂直，这是平时最容易犯 组的概念；10.2消 数眼看世泉 的错误，关键是要弄清作哪条直线的垂线段即可. 元一 —解二元一次 正解：如图3，线段AB即为所求作的垂线 方程组 铺管挖渠 垂线帮师 第34期 段 10.3实际问题与二 误区三、识别不准 元一次方程组；*10.4 ©湖北周丽如 例3如图4，下列各组角 三元一次方程组的 利用垂线的性质一一垂线段最短，可以解理由是：垂线段最短和两点之间，线段最短 中，互为对顶角的是 解法 决生活中常见的铺管挖渠等问题.现列举两例 例2如图3，某河流EF的同侧有A,B,C, A.∠1与∠2 第35期 供同学们参考. D四个村庄，为了解决当地的缺水问题，政府准 B.∠1与∠3 第十章复习与小结 例1如图1，在河岸MN的同侧有村庄A备出资修建一个蓄水池. C.∠2与∠4 第36期 和自来水厂B.现要在河岸上建一个抽水站P, (1)若不考虑其他因素，请你确定蓄水池H D.∠2与∠5 11.1不等式；11.2 把河中的水先输送到自来水厂B,处理后再输的位置，使它到四个村庄的距离之和最小： 错解：选C. 元一次不等式（概念 送到村庄A.为了节省资金，所铺设的水管应尽 (2)现计划把河中的水引入蓄水池H,怎样 剖析：有一个公共顶点，并且一个角的两边 及解法) 可能短，那么抽水站P应建在何处？应怎样铺设开挖水渠最短？请画出图形，并说明理由， 是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位 第37期 水管？请画出图形，并说明理由 置关系的两个角互为对顶角.所以确定两个角 11.2一元一次不等 。D 是对顶角，必须同时满足以下两个特征：(1)有 式（应用）；11.3一元 个公共顶点；(2)两边互为反向延长线， 次不等式组 正解：选A 第38期 例4如图5，同旁内角有 第十一章复习与小 图4 图2 对，它们分别是 结 分析：(1)要使蓄水池H到四个村庄的距离 第39期 分析：要使抽水站到自来水厂的距离最短，之和最小，则根据“两点之间，线段最短”可知，点 错解：同旁内角有2对，它 12.1统计调查；12.2 可根据“垂线段最短”这一性质来确定点P的H的位置应在线段AC与BD的交点处；(2)利用 们分别是∠4与∠7，∠5与 用统计图描述数据 位置，而自来水厂到村庄的水管沿从B点到A垂线的性质即可确定所挖水渠的位置。 第40期 ∠6. 点的线段铺设最短， 解：(1)如图4，连接AC,BD,交于点H,则点 第十二章复习与小 剖析：按定义，同旁内角是由两条直线被第 解：如图2，过点B作BP⊥MN,垂足为P,H就是所求蓄水池的位置.根据“两点之间，线段 三条直线所截得到的，根据其特征“内部同旁' 第41~48期 则点P就是所求抽水站的位置；连接AB,则线最短”可知，点H到四个村庄的距离之和最小 判断即▣. 升级突破（合刊）】 段BA即为自来水厂到村庄的最短距离.所以沿(2)如图4，过点H作HG1EF于点G,则沿 正解：同旁内角有4对，分别是∠4与∠7， P→B→A的路线铺设水管，所用的水管最短。G挖渠，可使水渠最短。理由是：垂线段最短， ∠5与∠6，∠1与∠5，∠1与∠6. 数评橘 2026年1月6日·星期二 初中数学 第 25期总第1169期 人教 七年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-155 本周主讲 入门向导 辨析比较学垂线 7.1相交线 学习目标：1.掌握邻补角、对顶角、垂线 ◎四川王清瑞 一、垂线与垂直 四、垂线段与点到直线的距离 及垂线段的概念及其相关性质 当两条直线相交所成的四个角中有一个角 垂线段是一种几何图 2.能够正确识别图形中的同位角、内错 是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一形，属于“形”的概念，垂线 角和同旁内角，培养学生的识图能力 条直线叫作另一条直线的垂线.垂直是相交的段的特征是：()是一条线 认知重点：1探索并掌握对顶角的性质， 种特殊情形.由此我们可以知道，垂线是指互段：(2)垂直于某一直线. 能运用其性质解决一些求角问题 相垂直的两条直线中的一条，表示一种图形，而点到直线的距离是指垂线 2.能利用三角尺或量角器过→ 垂直则是指两条直线之间的位置关系。 段的长度，属于“量”的概念，不能认为点到直线 已知直线的垂线，理解点到直线的 二、垂线与斜线 的距离就是垂线段.如图2，点C到直线AB的距 离的意义，会度量点到直线的距 垂线和斜线是以两条直线相交是否成直角 离不是垂线段CD,而是垂线段CD的长度. 来区分的，反映了两条直线的位置关系的不同， 例下列说法中，正确的是 ( 知 、对顶角的概念 过直线AB外的一点 A.垂线最短 如图1，∠1与∠3是直 C作直线AB的垂线，只 B.两条直线相交所成的四个角中，如果有 线AB与CD相交所构成的， 能作一条.如图1，CD1 三个角相等，那么这两条直线互相垂直 对顶角知多 它们有一个公共顶点0，并 AB,而过直线AB外的 图1 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 且∠1的两边分别是∠3的 点C画斜线和直线AB相交可画无数条，如直线 D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作点 两边的反向延长线，具有这 CE,CF,CG等，线段CE,CF,CG都比垂线段CD 到直线的距离 种位置关系的两个角，互为 要长 解析：垂线是一条直线，不可度量，故选项A 三、垂线与垂线段 对顶角.图1中∠2和∠4也 错误；选项C缺“在同一平面内”这一条件，故错 东互为对顶角， 垂线是相交线的一种特殊情形，不可度量；误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫 垂线段是线段（垂线上一点与垂足之间的线作点到直线的距离，故选项D错误；两条直线相 段)，可以度量，这是二者的不同.二者的相同之 交所成的四个角中，如果有三个角相等，根据 处在于：垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是 “对顶角相等”，可得四个角都等于90°，所以这 图1 垂线的一部分 两条直线互相垂直，故选项B正确故选B. 由此可以看出，确定两 个角是对顶角，必须同时满 专题辅导 足以下两个特征： 三 线八角” (1)有公共顶点； 好识别 (2)两边互为反向延 O江西 李欣瑶 长线 一、明确概念及特征 ∠1与∠2都是内错角 温馨提示：对顶角是成对出现的，它们是互 1.同位角：两直线被第三条直线所截，无公 为对顶角，即其中一个角是另一个角的对顶角， 共顶点的两个角都在其中一条直线的同侧，并 单独的一个角不能构成对顶角. 且分别在另两条直线的同一个方向上.所以其 图2 二、对顶角的性质 特征是“同旁同侧” 2.内错角：两直线被第三条直线所截，无公 3.同旁内角的形象如字母“U”状.如图3中 对顶角相等，但相等的两个角 的∠1与∠2都是同旁内角. 不一定互为对顶角.如图2，已知 共顶点的两个角都在两条直线之间，并且分别在 ∠1=∠2=30°，但∠1与∠2不互 第三条直线的两侧.所以其特征是“内部两旁” 为对顶角.因为∠1与∠2虽然有公 图2 3.同旁内角：两直线被第三条直线所截，无 公共顶点的两个角都在两条直线之间，并且都在 图3 共顶点，但∠1的两边与∠2的两边不互为反向 第三条直线的同侧.所以其特征是“内部同旁” 如图4，请判断∠1与∠3，∠2与∠4， 延长线 ∠5与∠6分别是什么位置关系的角， 例如图3，直线AB,CD 温馨提示：三种角均是从位置的角度加以 相交于点0.若∠1=40°， 定义和区分的，并且三种角分别是成对出现的 4 ∠2=120°，则∠C0M的度 每一对角的顶点都不相同，且与角的大小无关 2>b -CR 数是 ( ) 二、形象感受三种角 ① 图 1.同位角的形象如字母“F”状.如图1中的 4 图5 A.709 B.809 1与∠2都是同位角 解：(1)如图5-①，∠1与∠3可以看成直 C.90 D.100 线DE,BC被直线EC所截形成的同位角； 解：因为∠2=120°，由对顶角相等，得 (2)如图5-②，∠2与∠4可以看成直线 ∠B0C=120°.因为∠1=40°，所以∠C0M= DE,BC被直线BE所截形成的内错角； ∠BOC-∠1=80° (3)如图5-③，∠5与∠6可以看成直线 故选B. 2.内错角的形象如字母“Z”状.如图2中的BE,DE被直线BD所截形成的同旁内角 2 素养专练 人 数理极 C.两点确定一条直线 7.1.3两条直线被第三条直线所截 跟踪训练 D.两点之间，线段最短 堡础训练 GEnzoNGXUNLIAN 1.如图1，直线a,b被直线 7.1相交线 c所截，则∠1与∠2的位置关 7.1.1两条直线相交 系是 () A.内错角 B.同位角 29 图1 图2 堡础训练 2.如图2，点0在直线BD上.已知∠1=25 C.同旁内角D.邻补角 图1 1.下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是 0C10A,则∠B0C的度数是 2.下列图形中，∠1与∠2是内错角的是 A.55 B.65° C.759 D.155° 3.下列各图中，过直线1外的点P画直线1的 B D 垂线，三角尺操作正确的是 B C 2.如图1，直线AB,CD相交于点0.若∠1= 3.如图2，有下列判断：①∠A与∠1是同位 42°，则∠2的度数是 角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错 A.135° B.130° 角：④∠2与∠3是同旁内角，其中正确的是 C.1389 D.128° ( 4.如图3，点A,B,C在直线l上，PB⊥AC,PA A.①②③ B.①2④ =5cm,PB=3cm,PC=4cm,则点P到直线l的 C.②③④ D.①②③④ D cm. 图1 图2 距离是」 3.如图2是一把剪刀，在使用过程中，若 ∠C0D增加20°，则∠A0B A.减少20° B.增加20° 图2 图3 C.不变 D.增加40° 4.如图3，若∠1=30°，∠2=110°，则∠3的 4.小冉手持激光灯照向地面，激光灯发出的 5.如图4，直线AB,CD相交于点0，OE⊥CD, 同位角的大小是 ,内错角的大小是 光线CO与地面AB形成了两个角（如图3）.若 ∠E0F=142°，∠D0F=2∠B0D,则∠AOC的度 ,同旁内角的大小是 ∠BOC=5∠AOC,则∠BOC的邻补角的度数是 数为 5.如图4，∠1与哪个角是内错角，∠2与哪个 6.按下列要求画图并填空： 角是同旁内角，它们分别是哪两条直线被哪条直 5.如图4，直线AB,CD交于点0,0E平分 如图5，直线AB和CD相交 线所截？ ∠A0D.若∠1=30°，则∠C0E= 于点O,M是CD上的一点. (1)过点M画出直线CD的 垂线，交直线AB于点N; (2)过点M画出直线AB的 0 图3 图4 垂线，垂足为点F; 6.如图5，直线AB,CD相交于点0，OE平分 (3)点M到直线AB的距离是线段 ∠AOD,OF平分∠B0E.若∠B0C=140°，求 的长； ∠DOF的度数 (4)点O到直线MN的距离是线段 能刀提高 的长 7.如图6，直线AB,CD相交于点0,0E平分 6.两条直线都与第三条直线相交，∠1与∠2 ∠B0D,0F⊥CD,0G⊥0E.若∠E0F=54°，求 是内错角，∠1与∠3是同旁内角 ∠AOG的度数 (1)根据上述条件，画出符合题意的图形； (2)若∠1：∠2：∠3=1：2：3，求∠1，∠2 ∠3的度数 7.1.2两条直线垂直 屋础训练 1.如图1，要把河流中的水引到水池A中，应 过点A作AB⊥河岸CD于点B,这样做依据的几 何学原理是 ) A.垂线段最短 供题/本报命题组 B.点到直线的距离 (参考答案见下期) 数理极 素养•测评 3 (2)若测得∠B0F=65°，∠B0M=145°，从 同罗检测（一） 水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上弯折 了多少？ TONGBUJIANCE 【检测范围：7.1】 、精心选一选（每小题4分，共32分） 10.如图10，已知直线a,b相交，∠a+LB= 题号123 4 5 6 7 80°，则∠a= 17 答案 1.如图1，直线4，b交于点0.若∠1=75°，则 ∠2的度数是 0 A.30° B.45° 图10 图11 C.75° D.105 11.如图11，点0为直线AB上一点，∠1= 18.(14分)如图18，直线AB与直线CD相交 20°，当∠2= 时，0C⊥0D 于点O,OE⊥CD,且OE平分∠BOF. 12.如图12，已知C是0A上的一点，射线CE (1)若BOD比∠BOE大10°，求∠C0F的 交OB于点D,则图中与∠AOB是同位角的是 度数； (2)试说明：OC是∠AOF的平分线 1 图2 2.由图2可知，∠1和∠2是一对 A.对顶角 B.同位角 C.内错角 D.同旁内角 3.如图3，点0在直线AB上.若∠1=35°，则 ∠2的度数是 () 图12 A.155° B.145° C.135° D.55 13.如图13，直线AB,CD相交于点0,0E平分 P ∠A0C,OE⊥OF.若∠B0D+∠AOF=121°，则 ∠BOE= 12 14.如图14，直线AB,CD相 0 交于点0.已知∠B0D=76, 图3 图4 附加题⊙ OE平分∠AOC,将射线OE绕 4.如图4，量得直线1外一点P到1的距离PB 点0逆时针转动a(0°<a< (以下试题供各地根据实际情况选用) 的长为3cm.若A是直线l上一点，则线段PA的长 360)到0F.当∠A0F=120 图14 1.(8分)如图1，直线AB,CD相交于点0，OE 不可能是 ( 时，a的度数是 平分∠BOC. A.3.5 cm B.6 cm C.2.8 cm D.4 cm 三、耐心解一解（共44分） (1)若∠A0D=a,则∠A0E= (用 5.如图5，直线AB,CD相交于点0，射线OM平 15.(8分)如图15，在网格中画图，并回答问 含Q的式子表示)； 分∠A0C,ON⊥0M.若∠AOM=35°，则∠C0W 题 (2)若∠AOD=76°，0F⊥CD,求∠E0F的 的度数为 ( (1)过点C画AB的垂线，垂足为点E: 度数 A.35° B.45° C.55° D.65 (2)线段CE的长度是点C到直线 的 距离； (3)连接CA,CB,在线段CA,CB,CE中，线段 211 最短 图5 图6 6.如图6，直线a,b相交，∠1=40°，则∠2 ∠3= A.40° B.80° C.100° D.120° 2.(12分)已知点0在直线AB上，0C1OD, 7.如图7，下列说法不正确的是 ( 图15 OE平分∠BOC. A.∠1和∠4是同位角 【问题初探】(1)如图2-①，若∠A0C= B.∠2和∠4是内错角 16.(10分)如图16，直线AB,CD相交于点0,116°，求∠D0E的度数； C.∠A和∠4是同旁内角 OM⊥AB.若∠1=人∠BOC,求∠BOD的度数 【类比分析】(2)如图2-①，试探究∠DOE与 D.∠3和∠4是同旁内角 4 ∠A0C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】(3)如图2-②，若OM平分 ∠AOC,ON平分∠B0E,试探究2∠MON+∠DOE 的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果 不是，请说明理由 图7 图8 客1 8.如图8，直线AB,CD相交于点O,OF1CD 垂足为点O,射线OE平分∠BOF若∠DOE= 20°，则∠A0C的度数为 ( A.50°B.70° C.20°D.40 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 17.(12分)如图17，把一根筷子的一端放在 9.如图9是小凡同学在体育 水里，另一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这 课上跳远后留下的脚印，他的跳 是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播 远成绩是线段BN的长度，这样测 方向发生了改变 供题/本报命题组 量的依据是 图9 (1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角； (参考答案见下期)