第32期 21.3 特殊的平行四边形(正方形)-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 色师点睛 第31期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话 21.3特殊的平行四边形（菱形） 0351-5271248 关注中点四边形 21.3.2.1菱形的性质 (上接4版参考答案 基础训练1.D;2.C;3.20;4.80° 三、15.因为四 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥ 边形ABCD是菱形 ◎湖南李姣姣 CD,AC⊥BD.因为DE⊥BD,所以DE∥AC.所 所以AB∥CD, 中点四边形是指顺次连接四边形各边中点EF⊥FG.所以∠EFG=90°.所以四边形EFGH 以四边形ACDE是平行四边形 ∠ABD=∠CBD.因 所得的四边形，其形状与原四边形的两条对角线是矩 有着十分密切的关系，现就几种情况归纳如下 三、对角线相等的四边形的中点四边形是 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB= 为EF∥BC,所以四 一、任意一个四边形的中点四边形是平行 边形BCFE是平行 菱形 BC,∠ABP=∠CBP.又BP=BP,所以△ABP 四边形 例3如图3，E,F,G,H 四边形，∠EMB = 例1如图1，E,F,G,H ≌△CBP(SAS).所以PA=PC. 分别是四边形ABCD各边的 ∠CBD.所以BE= 分别是四边形ABCD各边的 中点，且对角线AC=BD.求 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB CF,∠ABD 中点.求证：四边形EFGH是 证：四边形EFGH是菱形. =AD.所以∠ABD=∠ADB.因为AE=AB,所 平行四边形. ∠EMB.所以BE= 证明：因为EF,GH分别 证明：连接BD,如图1. 以AE=AD.所以∠E=∠ADE.所以2∠ADB 为△ABC,△ACD的中位线， 图3 EM.所以CF=EM. 因为F,G分别是BC,CD的中 客1 +2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE=90° 16.因为∠BAF 点，所以FG∥BD,FG=2BD.同理EH∥BD, 所以EF=GH=)AC.同理HE=FG=2BD. 所以△BDE为直角三角形 = ∠DAE,所以 因为AC=BD,所以EF=FG=GH=HE.所以 EH=2BD.所以FG∥EA,且PG=EH所以四 (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OA= ∠BAF-∠EAF= 四边形EFGH是菱形， 边形EFGH是平行四边形 四、对角线互相垂直且相等的四边形的中 OC,OB=OD.因为AE=AB,所以OC=OA= ∠DAE-∠EAF,即 ∠BAE=∠DAF.因 二、对角线互相垂直的四边形的中点四边 点四边形是正方形 形是矩形 例4如图4，E,F,G,H DE=7×6=3(cm). 为四边形ABCD是平 例2 如图2，E,F,G,H 分别是四边形ABCD各边的 行四边形，所以∠B 分别是四边形ABCD各边的 中点，对角线AC=BD且AC 8.(1)DH=24 5 cm =∠D.又BE=DF 中点，且对角线AC⊥BD.求 ⊥BD.求证：四边形EFGH是 证：四边形EFGH是矩形. 正方形. (2)略. 所以△ABE兰 证明：由例1的结论，得 证明：由例2的结论可知 21.3.2.2菱形的判定 △MDF(AAS).所以 四边形EFGH是平行四边形. 图2 四边形EFGH是矩形.因为AC AB=AD.所以四边 因为EF,FG分别为△ABC,△BCD的中位线 =BD,由例3的结论可知四边形EFGH是菱形 基础训练1.B;2.D; 3.答案不惟一，如AB=AC; 形ABCD是菱形 所以EF∥AC,FG∥BD.因为AC⊥BD,所以 所以四边形EFGH是正方形 17.(1)因为四 题间一 4.(2,22)或(2，-22). 边形ABCD是菱形， rAB AD 所以0A=0C,0B 5.在△ABC和△ADC中，{AC=AC,所以 正方形题型面面观 =OD,AC⊥BD.因 BC DC, 为DF=BE,所以 △ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC. OB -BE =OD 、 ©河南侯瑞欣 DF,即OE=OF.所 正方形因其特殊的性质，考题形式多种多 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA.所以 EA FD. 中 ∠BAE=∠ADF,所以 △BAE ∠DCA=∠DAC.所以AD=CD.所以AB=CB 以四边形AECF是 样，掌握每类题型的解题策略可以快速巧妙地解 决问题.现列举几例加以说明，供同学们参考 AB DA. =CD=AD.所以四边形ABCD是菱形. 平行四边形.又AC 一、开放型 △ADF(SAS).所以BE=AF,∠ABE=∠DAF.所 6.(1)因为AE∥CF,所以∠EAD= ⊥EF,所以四边形 例1如图1，四边形 以∠ABE+∠BAF=90°所以BE⊥AF. AECF是菱形. 三、规律型 ∠FCD,∠AED=∠CFD.因为BA=BC,BD平 ABCD是平行四边形，AC与 (2)△ADE是直 例3如图3，四边形 分∠ABC,所以BD⊥AC,AD=CD.所以 BD相交于点O,AB=AD,添 0A4,B,是边长为1的正方 角三角形.理由略。 △AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四 加一个条件」 可使 形，以对角线OA为边作第 18.(1)略. ABCD成为正方形 边形AECF是平行四边形.又BD⊥AC,所以四 二个正方形OA,A,B2,连接 (2)∠FEC 解：答案不惟一，如∠BAD=90° AA2,得到△AA1A,;再以对 边形AECF是菱形 20° 二、探究型 角线OA2为边作第三个正方 3 (2)BF=5. 附加题 例2如图2，在正方形 形OAA,B3,连接A,A3,得到△A,A,A3,再以对角 能力提高1()能1=多 1.(1)略. ABCD的外侧，作两个等腰三角 线OA,为边作第四个正方形OA,A,B4,连接 A244,得到△AA3A4,…,设△A4A2,△A42A3, (2)SAABC 形ADE和DCF.若EA=ED= △424344，…的面积分别为S1,S2,S,…,如此下 (2)当1=2或5时，△PQE为直角三角 25. FD=FC,试判断BE和AF的关 去，则S4的值为 2.(1)略 系，并给予证明. 解：因为四边形OAA,B,是边长为1的正方 解：BE=AF,BE⊥AF.证 (2)S四边形DEr= 形，所以∠0A4,=90°.所以0A=12+12=2, 第31期3版参考答案 明如下： 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CD= S=2×1×1=乃因为四边形0A,4B,是正 AD,∠BAD=∠CDA=90°.在△EAD和△FDC 方形，所以∠0A,A2=90°，OA,=A,A2·所以 题号12345678 0A=20A=4.因为四边形0A,4B,是正方 答案AC C BBB C D ·EA=FD 中，AD=DC,所以△EAD≌△FDC(SS).所以形，所以0A:=A,4=2.所以S,=分×2×1 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD; ED FC. ∠EMD=∠FDC.所以∠BAD+∠EAD=∠CDA+=1,S=×2×2=2.根据规律可得S,= 11.24;12.205;13.16; 14.90°或56.25° ∠FDC,即∠BAE=∠ADF在△BAE和△ADF2-2.所以S4=222.故填220. (下转1,4版中缝) 数评极 2026年2月25日·星期三 初中数学 第32期总第1172期 人教 八年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-156 陈法 所以CE+CG=CE+AE=AC= /AD2+CD2=8. 判定正方形招式 招式二、菱形+对角线相等=正方形 例2如图2，在菱 形ABCD中，对角线 ⊙重庆 熊知龙 AC,BD相交于点O,点 正方形既是矩形，又是菱形.判定一个四边 所以∠DEF=90° E,F在对角线BD上，且 形为正方形，通常有两种途径：先证明它是矩 所以∠MEN-∠FEN=∠DEF-∠FEN,即BE=DF,OE=OA.求 形，再证明它是菱形；先证明它是菱形，再证明 ∠MEF=∠DEN. 证：四边形AECF是正 它是矩形.现举例说明两种证明思路。 在 △DEN 和 △FEM 中，方形 招式一、矩形+一组邻边相等=正方形 ∠END=∠EMF 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥ 例1如图1，已知四 EN EM, 所以 △DEN 兰BD,0A=OC,0B=OD. 边形ABCD是正方形，AB ·∠DEN=∠FEM 因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF =42,点E为对角线AC △FEM(ASA). 即OE=OF 上一动点，连接DE,过点 所以ED=EF 所以四边形AECF是菱形. E作EF⊥DE,交射线BC B 所以矩形DEFG是正方形， 因为0E=0A,所以EF=20E=20A= 于点F,以DE,EF为邻边 AC. (2)因为四边形ABCD和四边形DEFG都 作矩形DEFG,连接CG 所以菱形AECF是正方形 (1)求证：矩形DEFG是正方形； 是正方形，所以AD=CD=AB=42,DE= (2)求证：CE+CG=8. DG,∠ADC=∠EDG=90° 本周主讲 证明：(I)过点E分别作EM⊥BC于点M, 所以∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC, 21.3特殊的平行四边形正方形) EN⊥CD于点N,如图1. 即∠ADE=∠CDG. 在 △ADE 和 △CDG 学习目标：1.掌握正方形的有关性质 所以LEMF=∠EWD=∠ENC=9O°. 和判定方法，并能运用这些知识进行相关 因为点E是正方形ABCD对角线上的点， AD =CD. 的证明和计算。 所以∠ACB=∠ACD,∠BCD=90. ∠ADE=∠CDG,所 以 △ADE 2.能运用轴对称的性质解决有关 所以EM=EN,∠MEN=360°-∠EMF DE DG. 正方形的问题 ∠ENC-∠BCD=90° △CDG(SAS) 认知重点：了解正方形与平行 因为四边形DEFG是矩形， 所以AE=CG 四边形、矩形、菱形的联系和区别， 专题辅导 形.所以EF=CG.所以EF=AG.因为小敏共走 了3100m,所以小N聪行走的路程为：BA+AD+ DE EF BA +AD +GE +AG =3 100+1 500 轴对称的性质来支招 =4600(m). 故选B. ⊙广东许怡婷 二、运用轴对称的性质解题 例3如图3，在正方形 在解决有关正方形的问题中，常常结合轴 故选D ABCD中，AB=5,点E是BC边 对称的性质来解题，下面列举几例加以说明，供 例2如图2为某城市部4 上一动点（点E不与B,C重 同学们参考. 分街道示意图，四边形ABCD 合)，连接AE,作点B关于直线 一、运用正方形关于对角线对称解题 为正方形，点G在对角线BD AE的对称点F,则线段CF的最 例1如图1，F是正方 上，GE⊥CD,GF⊥BC,AD= 图3 小值为 形ABCD对角线BD上一点， 1500m,小敏行走的路线为B 连接AF,CF,并延长CF交 →A→G→E,小聪行走的路 A B.5√2-5 AD于点E.若∠AFC=140°， 线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为 则∠DEC的度数为( 3100m,则小聪行走的路程为 C.52 2 A.80° B.75° A.3100m B.4600m 解：连接AC,AF,如图3， C.709 D.659 C.3000m D.3600m 因为四边形ABCD为正方形，AB=5,所以 解：因为四边形ABCD是正方形，所以 解：连接GC,如图2， BC=5,∠ABC=90°.根据勾股定理，得AC= 因为四边形ABCD为正方形，所以∠BCD LADF=7∠ADC=45.因为正方形ABCD关 =90°，∠EDG=45°.因为GE⊥DC,所以 √AB+BC=52.因为点B,F关于直线AE 对角线BD对称，所以∠BFC=方∠AFC= ∠GED=∠GEC=90°.所以∠DGE=90°- 对称，所以AF=AB=5.当点F在AC上时，CF ∠EDG=45°.所以DE=GE.因为正方形ABCD最小.所以线段CF的最小值为：MC-AF=52 70°.由对顶角相等，得∠DFE=∠BFC=70°， 关于对角线BD对称，所以AG=CG.因为GF⊥ -5 所以∠DEC=180°-LDFE-LEDF=65. BC,所以∠GFC=90°.所以四边形GECF是矩 故选B, 2 素养专练 数理极 5.如图4，已知四边形ABCD是矩形，点E在 跟踪训练 能刀提高 对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C,D不 6.如图5，在Rt△ABC中， 重合)，BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°.求证： 】 GENZONGXUNLIAN ∠C=90°，BC=4,AC=8,点 四边形ABCD是正方形 21.3特殊的平行四边形（正方形） D为AC边上一个动点（不与A, 21.3.3.1正方形的性质 C重合)，以BD为边在BD的上 方作正方形BDEF.当AE⊥AC 屋础训练 时，BD的长为」 1.下列说法正确的是 7.如图6，等腰Rt△AEF的 图5 图4 A.菱形的四个内角都是直角 斜边EF过正方形ABCD的顶点D.若AE=4,DE B.矩形的对角线互相垂直 =2,求BE的长 C.正方形的每一条对角线平分一组对角 D.平行四边形是轴对称图形 2.如图1，正方形OABC的顶点0，B在数轴上 对应的数分别是0,4，则顶点A,C之间的距离是 ( A.1 B.2 C.4 D.无法确定 6.如图5，在四边形ABCD中，AB=BC,对角 21.3.3.2正方形的判定 线BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P分别作 PM∥CD交AD于点M,PN∥AD交CD于点N. 屋础训练 (1)求证：∠ADB=∠CDB; 1.下列说法正确的是 (2)连接MN.当MN与PD满足什么条件时， 图1 图1 A.正方形既是矩形，又是菱形 四边形MPND是正方形？ 3.如图2，在平行四边形ABCD与正方形 B.有一个内角是直角的四边形是矩形 AEFG中，点E在BC上.若∠BAE=38°，∠CEF C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正 =13°，则∠C= 方形 4.如图3，在正方形ABCD中，E,F分别为AB, D.对角线互相垂直的四边形是菱形 图 AD上的点，且AE=AF,点M是EF的中点，连接 2.如图1，点E,F,P,Q分别是正方形ABCD CM,CF,CE.求证：CM⊥EF 的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE,则下 列结论不一定正确的是 ( A.∠AFP=∠BPQ B.EF∥QP C.四边形EFPQ是正方形 图3 D.四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积 的一半 能刀提高 7.如图6，四边形ABCD是平行四边形，连接 对角线AC,过点D作DE∥AC与BC的延长线交 于点E,连接AE交DC于点F 图1 图2 (1)求证：BC=CE: 3.李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾（如 (2)连接BF.若∠DAF=∠FBE,且AD= 5.如图4，在边长为1的正方形ABCD中， 图2)，非常想买，但她拿起来看时感觉丝巾不太 2CF,求证：四边形ABCD是正方形 ∠CAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于 方.商店老板看她优豫不决的样子，马上过来拉起 点F 一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐.李燕还 (1)求CF的长： 有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验.李 (2)求CE的长 燕终于买下这块丝巾，则这块丝巾 是正 方形（填“一定”或“不一定”） 4.如图3，矩形ABCD的边AB=√2，对角线 AC与BD相交于点O,OA=1.求证：四边形ABCD 是正方形. 数理报社试题研究中心 (参考答案见35期) 数理极 素养·测评 5 17.(12分)如图15，在正方形ABCD中，对角 同步检 线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两 点，且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF (1)求证：△ADE兰△CBF; TONGBUJIANCE (2)若AB=4,AE=2,求四边形BEDF的周 【检测范围：21.3一 正方形】 长 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 题号12345 678 9.如图7，点P是正方形ABCD内对角线AC 方的一点，∠1=∠2，则∠P的度数为 答案 1.正方形具有而矩形不具有的性质是( 1 A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直 C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 2.若正方形的对角线长为2cm,则这个正方 图7 图8 形的面积为 10.如图8，点E在正方形ABCD的边CD上.若 A.4 cm2 B.2 cm2 △ABE的面积为3，则线段BC的长为 C.√2cm D.2√2cm2 11.如图9，平行四边形ABCD的对角线互相垂 3.如图1，正方形ABCD的对角线AC,BD交于直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件 18.(14分)如图16，已知四边形ABCD和 点O,E,F分别为AO,AD的中点，则∠AFE的度数：是 (只需添加一个即可). CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H, 使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH A.30° B.45° C.50° D.60 (I)求证：四边形AKFH是正方形； (2)若四边形AKFH的面积为10，CE=1,求 点A,E之间的距离 ① ② 隆图9 图10 12.如图10，小明用四根长度相同的木条制作 图1 图2 了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成 4.如图2,4C=2cm,小红作了如下操作：分图10-①的菱形，测得∠A=120°，接着将该活动 别以点A,C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分 学具调成图10-②的正方形，测得正方形的对角 图16 别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D,则四边形 线AC=30cm,则图10-①中对角线AC的长为 ABCD的形状是 cm A.平行四边形 B.菱形 13.如图11，正方形ABCD的边长为4，分别以 C.矩形 D.正方形 正方形的三边为直径在正方形的内部作半圆，则 5.如图3,0为正方形ABCD对角线AC的中 阴影部分的面积等于 点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度 ( A.6 2 B.6 C.2 D.23 A 附加题⊙ 图11 图12 14.如图12，在矩形ABCD中，AB=10,AD= (以下试题供各地根据实际情况选用) 6,线段EF在射线AB上，以EF为边在AB的上方 1.(10分)如图1，在正方形ABCD和平行四边 作正方形EFGH,连接AH,BG,CG.当EF=4,BG形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段 =2√5时，AH+CG的值为 :DF的中点，连接PG,PC. 三、耐心解一解（共44分） (1)求证：四边形BEFG是矩形； 图3 图4 15.(8分)如图13，正方形ABCD中，在BA的 (2)当PG与PC的夹角为 度时，四边 6.如图4，用四块同样大小的正方形纸片，围 :形BEFG是正方形，请说明理由 出一个菱形ABCD,一个小孩顺次在这四块纸片上 延长线上取一点E,使BE=BD,连接DE,求 轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个 ∠EDA的度数 小孩走的路线所围成的图形是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图5，点E为正方形ABCD外一点，且ED =CD,连接AE,交BD于点F.若∠CDE=42°，则 ∠BFC的度数为 图13 2.(10分)如图2，在矩形ABCD中，AD=6 A.72° B.71° DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩 C.709 D.699 形ABCD的边AB,CD,DA上，E,F,C在一条直线 16(I0分)如图14，在矩形ABCD中，点E,F上，A=2,DG=2. 分别在边AB,BC上，AF⊥DE,且AF=DE,AF与 (1)求证：四边形EFGH为正方形； DE相交于点G.求证：矩形ABCD为正方形 (2)求CF的长 图5 图6 8.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正 方形纸片按如图6方式不重叠地放置在矩形ABCD 图2 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知 道图中阴影部分的面积，则一定能求出 ( 1 A.S正方形纸片 B.S四边形ErO 数理报社试题研究中心 C.SABEF D.S△AEH (参考答案见35期)