第31期 21.3 特殊的平行四边形(菱形)-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY) 第29~32期(2026年2月) 第29期2版 21.2.3三角形的中位线 21.1四边形及多边形 基础训练1.B;2.D;3.C;4.4 基础训练1.C；2.C;3.66°；4.20. 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 5.(1)这个n边形一个内角的度数为：180°×7+2= 7 以PE=宁AD,PF=BC因为AD=BC,所以PE=PE:所 140° 以∠PFE=∠PEF=18° (2)这个n边形的每个外角的度数为：180°-140°=40°. 第29期3版 360°÷40°=9， 所以这个n边形的内角和为：(9-2)×180°=1260°. 题号 12345678 21.2平行四边形 答案DABDBCDC 21.2.1平行四边形及其性质 二、9.60；10.118°；11.答案不惟一，如AB=CD: 基础训练1.C;2.C；3.1.5. 1230:13.17:149或10， 4.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 三、15.由题意，得(n-2)×180°×人=360°-150.解得 6 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60°.所以AB= n=9. DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= 16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= ∠FDA.所以△ABE≌△FDA(SAS).所以AE=AF: BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB. 5.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，所以 AB EA. AD∥BC,∠D=∠B=60°.所以∠BAD=180°-∠B=120° 所以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中 ∠B=∠DAE,所 因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEB=∠AFD=90°.所以 BC AD. ∠BAE=90°-∠B=30°，∠DAF=90°-∠D=30°.所以 以△ABC≌△EAD(SAS). ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=6O°. 17.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6,所以AD= ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= BC=6由(I)知∠DAF=30所以DF=2AD=3.由勾股 ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF.又ED∥ FC,所以四边形EFCD是平行四边形. 定理，得AF=√AD-DF=35 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 21.2.2平行四边形的判定 基础训练1.B；2.A3.D；4.是 ∠ABD=分∠AC=30因为∠ADB=100,所以∠A= 5.因为a2+b+c2+f=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- 180°-∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形. 形，所以EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠C0D.在△A0E和△C0D 18.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD, ∠EAO=∠DCO, AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED 中，{A0=C0, 所以△AOE≌△COD(ASA).所以OE =分(180-∠DCE)=90-子∠DCE.所以∠AED I∠AOE=∠COD, 1 =OD.所以四边形AECD是平行四边形. ∠CDE=90°-2LDCE. 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为点E是AB的中点， =∠B.又DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. 所以AE=BE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， BC.所以∠M=∠EFB=45°.由对顶角相等，得∠AEM= 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- ∠FEB.所以△AEM≌△BEF(AAS).所以ME=FE.因为DF ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= ⊥BC,所以∠DFB=90°.所以∠DFE=∠DFB-∠EFB= 2DF=8. 45°.所以DM=DF.所以DE⊥EF 能力提高5.45. 附加题1()LP=子∠A 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 ∠BAC=∠FCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF又AE= (2)延长BA,CD相交于点F,如图，因 CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF 为∠BAD=a,∠CDA=B,a+B>180°， (2)连接OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=OC, 所以∠FAD=180°-∠BAD=180°-a,∠FDA=180° 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC ∠CDA=180°-B. =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF.在Rt△BEO 在△FAD中，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA)=180°- 中，∠BEF+∠AB0=90°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 (180°-&+180°-B)=a+B-180° 2∠BAC+∠BAC=90°.所以∠BAC=30°.因为四边形ABCD 因为BP平分∠ABC,CP平分∠DCE,所以由(1)的结论， 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 得∠P=分∠P=7a+8-00 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=2√5. (30-7-8 21.3.1.2直角三角形斜边上的中线 2.(1)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE,∠AEC= 基础训练1D:2.C:3.C:4号 ∠ACE,∠BEC=∠BCE. 5.连接CE,图略. 所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+∠BCE,即∠AEB= (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD. ∠ACB. 所以∠AEC=90. 因为∠AEB=∠CAD,所以∠ACB=∠CAD. 因为F为AC的中点，所以F=方4C=1 所以BC∥AD. (2)因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45° 因为CD⊥CE,所以AB∥CD. 所以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC所以 所以四边形ABCD是平行四边形. AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略. 21.3.1.3矩形的判定 所以AG∥CF. 基础训练1.D;2.B; 又AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13. 根据勾股定理，得AC2-CG=AD2-DG2,即42-(3- 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB. DG)2=32-DG. 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC. 解得DG=分 又DF=BE,AF=CE,所以△AFD≌△CEB. 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. 所以CF=AG=√AD-DG=45 3 所以AD∥BC. 因为AC=AE,AB1CE,所以CE=2CF=8 所以四边形ABCD是平行四边形. 3 又∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形. 第30期2版 能力提高6.4. 21.3特殊的平行四边形（矩形） 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C=180°.因为∠A= 21.3.1.1矩形的性质 ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD为 基础训练1.D；2.D;3.110. 矩形 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= (2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= 90°.所以∠DAE=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90°： 6,AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD 一2— 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.又EF=EF,所以CE=AC,所以AC=BD.所以四边形ABCD是矩形 Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GE.所以BF=BG+GF (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，BC= =6+DF.因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在 AD=3. Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2,即82+(6- 根据勾股定理，得BD=AB+AD2=5. DF)2=(6+DF.解得DP=号 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 2.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠ADC= 第30期3版 ∠B=∠C=90°，AB=CD. 由折叠的性质，得AB=PD,∠A=∠P=90°，∠B= 题号12345678 ∠PDF=90 答案ACD CC D C B 所以PD=CD,∠PDF=∠ADC,∠P=∠C. =9.35:1045;1.6;12.48:13.子 所以∠PDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF,即∠PDE= ∠CDF. 14.52或45. 所以△PDE≌△CDF(ASA). 三、15.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD= (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略 8.因为AB=6,AC=10,所以AC2=AB+BC.所以∠B= 所以∠EGF=∠EGB=90°. 90°.所以平行四边形ABCD是矩形. 所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形. 16.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F 所以AE=BG,DE=CG,EG=CD=4. =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.又∠AEF= 在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG=√EF-EG=3. ∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). 由(I)得，△PDE≌△CDF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.又∠F= 所以PE=CF,DE=DF=CG=CF+3. 30°，所以CF=2CD=8. 由折叠的性质，得AE=PE. 17.因为矩形ABCD≌矩形AEFG,所以AB=AE=1, 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CFP=DF2,即CF ∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2.所以∠ABE=∠AEB, +42=(CF+3)2. ∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA= 90°.所以∠DEF=∠ADB.所以EH=DH.在Rt△AEH中，根 解得CF=石 据勾股定理，得EH+AE=AP,即(2-AH)2+12=AH.解 所以BC=20F+3=号 得AM=子 第31期2版 18.(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线，所以AD 21.3特殊的平行四边形（菱形） ⊥BC,∠CAD=号∠BMC,所以∠ADC=90因为AN为 21.3.2.1菱形的性质 基础训练1.D;2.C;3.20;4.80°. △ABC外角∠CAM的平分线，所以∠CAN=7∠CMM所以 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AC⊥BD.因 ∠DAE=∠CAD+∠CAN=90°.因为CE⊥AN,所以∠AEC= 为DE⊥BD,所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形 90°.所以四边形ADCE为矩形. 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC,∠ABP= (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： ∠CBP.又BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS).所以PA=PC 由(I)知，四边形ADCE为矩形.所以AE=CD,AC=DE. 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD.所以 又AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD.所以四边形 ∠ABD=∠ADB.因为AE=AB,所以AE=AD.所以∠E= ABDE是平行四边形. ∠ADE.所以2∠ADB+2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE (3)DF∥AB,DF=4B =90°.所以△BDE为直角三角形. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB=OD. 附加题 1.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥BC.又 因为AE=AB,所以0C=0A=2DE=号×6=3(cm). CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.所以CE=BD.又 8.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,OA= 一3 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 之4C=4cm,0B=2BD=3cm根据勾股定理，得AB= 第31期3版 /0N+0B=5cm因为S装Ea=之AC·BD=AB~DH, 题号1234567 8 所以DH=AC:BD=24。 5 cm. 答案ACCBBBC D 2AB 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD;11.24: (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB=OD,∠DAH= 12.205;13.16;14.90°或56.25°. 2∠OAB.所以OH=OB.所以∠OHB=∠OBH.所以∠BOH= 三、15.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,∠ABD= 180°-2∠OBH.因为∠OAB=90°-∠OBH,所以∠DAH= ∠CBD.因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形， 180°-2∠OBH.所以∠BOH=∠DAH. ∠EMB=∠CBD.所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE= 18.2.2.2菱形的判定 EM.所以CF=EM. 基础训练1.B;2.D; 16.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE 3.答案不惟一，如AB=AC; -∠EAF,即∠BAE=∠DAF.因为四边形ABCD是平行四边 4.(2,22)或(2，-22). 形，所以∠B=∠D.又BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS).所 AB AD. 以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形 5.在△ABC和△ADC中， AC=AC,所以△ABC兰 17.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB= BC DC, OD,AC⊥BD.因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE △ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.因为AB∥CD,所以 =OF.所以四边形AECF是平行四边形.又AC⊥EF,所以四边 ∠BAC=∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以AD=CD.所以 形AECF是菱形. AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱形. (2)△ADE是直角三角形.理由如下： 6.(1)因为AE∥CF,所以∠EAD=∠FCD,∠AED= 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,OB=OD=4.因为BE ∠CFD.因为BA=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD= =3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE=5.因为AC⊥ CD.所以△AED兰△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四边形 BD,所以∠AOE=∠AOD=90°.根据勾股定理，得AE2=OA AECF是平行四边形.又BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. +0E2=5,AD2=0A2+0D2=20.所以AE2+AD2=DE2.所 (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2.在 以△ADE是直角三角形. Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+(2+ 18.(1)连接AC,图略.因为四边形ABCD是菱形，所以AB BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. =BC=CD,AB∥CD.因为∠B=60°，所以∠BCD=180°- 能力提高7.(1)能.因为四边形ABCD是矩形，所以∠A ∠B=120°，△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以 =∠C=90°，AD∥BC.所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥ AE⊥BC.所以∠AEC=90°.因为∠AEF=60°，所以∠FEC= CD.根据题意，得BP=2t,DQ=t.因为PE⊥BC,所以PE∥ ∠AEC-∠AEF=30°.所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF CD,LBEP=0e所以PE=2BP=t=D0.所以四边形 =30~所以LPEC=∠CFE.所以BC=CR因为CE=2BC, PEQD是平行四边形.因为AB=4,所以BD=8.所以DP=8 所以CF=CD,即F是CD的中点 -2t.当DP=PE时，四边形PEQD为菱形.所以8-2t=t.解 (2)连接AC,图略.因为△ABC是等边三角形，所以AB= 得1=受 AC,∠BAC=∠ACB=60°.所以∠ACF=∠BCD-∠ACB= 60°=∠B.因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF (2)①当∠EPQ=90°时，四边形EPQC为矩形，所以PE -∠EAC,即∠BAE=∠CAF.所以△ABE≌△ACF(ASA).所 =QC,所以t=4-t,解得t=2;②当∠PQE=90°时，由(1) 以AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF=60°.因 得，PD∥EQ,所以∠DPQ=∠PQE=90°，在Rt△DPQ中， 为∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=20. ∠P0D=30,所以D0=20P.所以1=2(8-20.解得1=台 附加题1.(1)因为点E为AB的中点，所以AB=2AE= 2BE ③不存在∠PEQ=90°的情况. 因为AB=2CD,所以CD=AE. 综上所述，当4=2或号时，△P05为直角三角形 又AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC 定理，得CF=AC=AD2+CD=√2. 因为AB∥CD,所以∠DCA=∠CAB. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略.所以∠EGA=∠EGC 所以∠DCA=∠DAC =90°.因为AE平分∠CAD,所以ED=EG.在Rt△ADE和 所以AD=CD. Rt△AGE中，AE=AE,所以R△ADE兰R△ACE(HL.所以 所以四边形AECD是菱形. LED EG, (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2,所以 AD=AG=1.所以CG=AC-AG=√2-1.因为四边形ABCD AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120° 是正方形，所以∠ACD=45°.所以∠CEG=90°-∠GCE= 所以CE=BE,∠CEB=180°-∠AEC=60°. 45°.所以EG=CG.根据勾股定理，得CE=√EG+CG=2 所以∠ACE=∠CAE=30°，△CEB是等边三角形. 所以BC=2,∠ECB=60°. -2 所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°. 能力提高6.42. 根据勾股定理，得AC=√AB2-BC=25. 7.连接BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= ∠AEF=45°，AF=AE=4.根据勾股定理，得EF2=AF2+AE 所以5Ac=分4C.BC=26 =32.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB= 2.(I)因为点E与点F关于直线CD对称，所以FD=ED, 90°.所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= FG=EG,∠EDG=∠FDG. AD AB. 因为EG∥AF,所以∠EGD=∠FDG. ∠FAB.在△ADE和△ABF中， ∠EAD=∠FAB,所以△ADE 所以∠EGD=∠EDG. AE AF. 所以ED=EG.所以FD=ED=FG=EG ≌△ABF(SAS).所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45°. 所以四边形DEGF是菱形. 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90°.根据勾股定理，得BE= (2)连接FC,EC,图略. EF2+BF2=6. 因为∠A=∠B=90°，所以∠A+∠B=180° 21.3.3.2正方形的判定 所以AF∥CB. 基础训练1.A;2.D;3.不一定. 因为AF=BC=8,所以四边形ABCF是平行四边形. 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1.因为 所以CF=AB=10. AB=2,所以OA2+OB2=AB2.所以∠AOB=90°.所以AC⊥ 根据轴对称的性质，得CE=CF=10. BD.所以四边形ABCD是正方形 根据勾股定理，得BE=√CE2-BC=6. 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°.因为BE 所以AE=AB-BE=4. ⊥EF,所以∠BEF=90°.因为∠ABE+∠CEF=45°，所以 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2=DE2,即4 ∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=I8O +(8-DF)2=DF2 -(∠CEF+∠ABE)=135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+ 解得DF=5. ∠CBE)=45°.所以∠BAC=90°-∠BCE=45°.所以AB= 所以S四边形DEG=DF·AE=20. BC.所以四边形ABCD是正方形. 第32期2版 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.又AB 21.3特殊的平行四边形（正方形） =CB,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB= 21.3.3.1正方形的性质 ∠CDB. 基础训练1.C；2.C;3.115. (2)因为PM∥CD,PN∥AD,所以四边形MPND是平行 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD, 四边形，∠MPD=∠NDP.所以∠MPD=∠MDP.所以PM= ∠B=∠D=90°.因为AE=AF,所以AB-AE=AD-AF,即 DM.所以四边形MPND是菱形.所以当MW=PD时，四边形 BE=DF.所以△BCE≌△DCF(SAS).所以CE=CF.因为点 MPWD是正方形 M是EF的中点，所以CM⊥EF. 能力提高7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以 5.(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD= AD∥BC,AD=BC.因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四 CD=1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F.因为AE平 边形.所以AD=CE.所以BC=CE. 分∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE=∠F.根据勾股： (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF因 5 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形.因为KE=√KF2-EF产=3.所以AB=KE=3,BE=BK+KE= AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB.因为∠DAF=∠FBE,所以 4.所以点A,E之间的距离为：AE=√AB+BE2=5. ∠FBE=∠FEB.所以FB=FE.因为BC=CE,所以FC⊥BE 附加题L.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC 所以∠BCF=9O°.所以四边形ABCD是正方形 =90° 第32期3版 所以∠EBG=180°-∠ABC=90°. 所以平行四边形BEFG是矩形. 题号12345678 (2)90.理由如下： 答案BBBDBDD C 延长GP交DC于点H,图略. 二、9.135°；10.6；11.答案不惟一，如AC=BD: 因为正方形ABCD和平行四边形BEFG,所以AB∥DC,BE 12.152;13.8；14.62或4V5+22 ∥GF,DC=BC 三、15.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠ADB 所以DC∥GE. =45因为BE=BD,所以∠BDE=∠E=之(1S80°- 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP. 因为P是线段DF的中点，所以DP=FP. ∠EBD)=67.5°.所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5 r∠DHP=∠FGP, 16.因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠DAB= 在△DHP和△FGP中， ∠HDP=∠GFP,所以△DHP≌ ∠BAF+∠DAF=90°.因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°.所以 DP FP, ∠ADE+∠DAF=90.所以∠BAF=∠ADE.在△ABF和 △FGP(AAS). ,∠B=∠EAD 所以HP=GP,DH=FG △DAE中， ∠BAF=∠ADE,所以△ABF≌△DAE(AAS).所 当∠CPG=90°时，PG⊥PC. AF DE, 所以CH=CG. 以AB=DA.所以四边形ABCD是正方形. 所以DC-CH=BC-CG,即DH=BG. 17.(I)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF 所以BG=FG AD CB. =45°，AD=BC.在△ADE和△CBF中 ∠DAE=∠BCF,所 所以平行四边形BEFG是菱形. AE CF, 由(1I)知四边形BEFG是矩形. 以△ADE≌△CBF(SAS. 所以四边形BEFG是正方形. (2)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AC⊥ 2.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，所 BD,OA=OB=OC=OD.因为AB=AD=4,所以BD= 以∠D=∠A=90°，HG=HE √AB+AD2=42=AC.所以0A=OB=22.因为AE= [EH HG, 在Rt△AHE和Rt△DGH中 所以Rt△AHE≌ AH DG. CF=2,所以OE=OA-AE=OC-CF=OF=√2.所以四 Rt△DGH(HL)· 边形BEDF为菱形，DE=√OD+OE=√I0.所以四边形 所以∠AEH=∠DHG BEDF的周长为：4DE=4√I0. 因为∠AHE+∠AEH=90°，所以∠AHE+∠DHG=90° 18.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB 所以∠EHG=90° =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= 所以四边形EFGH为正方形. EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°.因为DH=CE=BK,所以 AH 4,CG DC-DG 5. HG=KE=AB.所以△ADH≌△ABK≌△KEF≌ △HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF,∠DAH=∠BAK所 由勾股定理，得HG=√DG+DH=25. 以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+∠KAD=∠BAK+ 因为四边形EFGH是正方形，所以FG=25,∠EFG= ∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH是正方形 90° (2)连接AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 所以∠CFG=180°-∠EFG=90 KF=√IO,因为CE=1,所以BK=EF=1.根据勾股定理，得 由勾股定理，得CF=√CG-FG=5. 64 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 菱形以特殊的对称 报纸发行质量反馈电话 美而受到人们的喜爱， 0351-5271248 动点问题求定解 在生产、生活中都有着 (上接4版参考答案 广泛的应用.下面让我 三、15.因为四 们一起赏析它的应用 吧！ 眼看世界 边形ABCD是平行 ⊙广东钟伦军 例1如图1所示 四边形，所以BC= 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗1BD=5.根据勾股定理，得AE=√AD2-DE 的木制活动衣帽架是由 李 AD=8.因为AB= 人运动变化观点的一类问题.解决动点问题，有 2 三个全等的菱形构成， 6,AC=10,所以AC 利于发展同学们的思维，对提高同学们的解题 =5√3.因为∠B0D=90°，BD=10,所以E0 根据实际需要可以调节 =AB2+BC2.所以 能力也大有益处这类问题通过仔细观察图形，=5.所以线段OA的最小值为：AE-E0=53 AE间的距离.若AE间的 距离调节到60cm,菱形 ∠B=90°.所以平 分析、归纳与探究图形的变化规律，抓住图形运 -5. 的边长AB=20cm,则 动变化中的不变量和变化规律求解。现将与菱 故填53-5. 行四边形ABCD是 ∠DAB的度数是 形有关的动点问题列举如下，供同学们参考. 例2如图2，点P,Q分 矩形. 例1如图1，已知平行 别是菱形ABCD的边AD,BCA A.90° B.1009 16.(1)因为四 四边形ABCD中，AB=BC, 上的两个动点，若线段PQ长 C.120° D.150° 边形ABCD是矩形， BC=10,∠BCD=60°，两 的最大值为85，最小值为 2 解：连接AE,如图 所以AD∥BC.所以 顶点B,D分别在平面直角 8,则菱形ABCD的边长为 1.因为AE间的距离调 ∠F=∠BCE.因为 坐标系的y轴，x轴的正半轴 A.46 B.10C.12 D.16 节到60cm,木制活动衣 E是AB的中点，所 上滑动，连接OA,则线段OA的长的最小值是 解：连接AC,过点A作AE⊥BC,交CB的延 帽架是由三个全等的菱 长线于点E,如图2.因为四边形ABCD是菱形， 形构成，所以AC=20cm.因为四边形ABCD是 以AE=EB.又 解：过点A作AE⊥BD于点E,连接OE,如所以AB=BC.因为线段PQ长的最大值为85， 菱形，所以AB=BC=20cm,∠DAB= ∠AEF=∠BEC,所 2∠BAC.所以AC=AB=BC.所以△ABC是等 图1.当点A,O,E在一条直线上时，OA最短.因最小值为8，所以AC=85,AE=8.根据勾股 边三角形.所以∠BAC=60°.所以∠DAB= 以 △AEF ≌ 为四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,所以定理，得CE=√AC-AE=16.在Rt△AEB 120°.故选C. △BEC(AAS). 四边形ABCD是菱形.因为BC=10,∠BCD=中，AB2=BE2+AE2,即BC2=(16-BC)2+ 例2 蜜蜂采蜜时， (2)因为四边 60°，所以AB=AD=10,∠BAD=60°.所以64.解得BC=10. 蜜源很远它就会跳起“8 形ABCD是矩形，所 △ABD是等边三角形.所以BD=10.所以DE= 故选B. 字舞”，告诉同伴蜜源的 十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十 方向.如图2，两个全等菱 以∠D=90.又 第30期2版参考答案 (2)因为∠BAC=45°，所以∠ACE=909 形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按 ∠F=30°，所以CF 21.3特殊的平行四边形（矩形） -∠BAC=45°.所以AE=CE.因为F为AC的 ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行 =2CD=8. 21.3.1.1矩形的性质 中点，所以EF垂直平分AC.所以AM=CM.所 224厘米后停下，则这只蜜蜂停在 点 基础训练1.D;2.D;3.110. 以BC=CD=CM+DM=AM+DM. 解：因为两个全等菱形的边长为1厘米，所 17.AH =5 4 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD 21.3.1.3矩形的判定 以蜜蜂沿菱形的边飞行一个“8字舞”的路程 18.(1)略 ∥BC,∠B=90°.所以∠DAE=∠AEB.因为 基础训练1.D;2.B; 为：8×1=8（厘米）.因为224÷8=28，所以这 (2)四边形 DF⊥AE,所以∠AFD=90°=∠B.又DA= 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13 只蜜蜂飞行224厘米后停下的点与飞行8厘米 ABDE是平行四边 AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB.所 后停下的点相同.由图可知，飞行8厘米后停在 (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形以180°-∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA= 点A.所以这只蜜蜂飞行224厘米后停在A点.故 形.证明略 填A. ABCD是矩形，所以∠ADC=90°.因为∠FDC∠BEC.又DF=BE,AF=CE,所以△AFD≌ (3)DF∥AB, 例3学校植物园沿路护栏的纹饰部分设 =30°，所以∠ADF=∠ADC-∠FDC=60°.所△CEB.所以∠DAC=∠BCA,AD=CB.所以 计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图 以∠DAF=90°-∠ADF=30.所以AD=2DFAD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.又 DF -2AB. 案，纹饰长度就增加dcm,如图3，已知每个菱形 =8. ∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形. 图案的边长为103cm,其中一个内角为60°.若 附加题 能力提高5.43. 能力提高6.4. d=26,该纹饰要用231个菱形图案，则纹饰的 1.(1)略. 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C= 长度= cm. (2)四边形 ∥CD.所以∠BAC=∠FC0.由对顶角相等，得180°.因为∠A=∠D=90°，所以∠C=∠A= BCED的周长为16. ∠AOE=∠COF.又AE=CF,所以△A0E≌∠D=90°.所以四边形ABCD为矩形. €60D △C0F.所以OE=OF 2.（1)略. (2)DF (2)AB=2√3. 图3 21.3.1.2直角三角形斜边上的中线 第30期3版参考答案 (2)Bc=9 解：连接AC,BD交于点0，如图3.因为四边 基础训练kD:2.C:3.C:4号 形ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以BD=2BO, 题号12345678 AC⊥BD,∠AB0=30°.所以∠AOB=90°.因 5.连接CE,图略 答案A C D CC D C B 为AB=10,3cm,所以A0=2AB=53cm (1)因为CD=CB,E为BD的中点，所以 二、9.35°；10.45；11.6；12.48： CE⊥BD.所以∠AEC=90°.因为F为AC的中 点，所以EF=2AC=1. 13子；14.5v2或45 根据勾股定理，得B0=√AB2-A0=15cm. 所以BD=30cm.所以1=30+26×(231-1) (下转1,4版中缝) =6010(cm).故填6010. 数评括 2026年2月18日·星期三 初中数学 31期总第1171期 人教 八年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-156 将两种特殊的四边 名师点睛 形融合为一体考查平行 重点精讲 四边形及特殊平行四边 素延 形的性质与判定，这是常 见的一种题型.解决这类 萎形性质的应用 斋问运的关提在于熟统等 ○山西 赵俊芳 王 握和运用各种特殊四边 一、菱形的四条边都相等 形的性质和判定，下面举 雁 例1如图1，在菱形 2BD=4,0C=2AC=3,再利用句服定理 例予以说明. ABCD中，E,F分别是AD 计算出BC,最后根据直角三角形斜边上中线的 展风采 例1如图1，矩形 BD的中点，若EF=5,则菱 性质得到OH的长. EFGH的顶点E,G分别 形ABCD的周长为( 解：因为四边形ABCD为菱形，AC=6,BD 在菱形ABCD的边AD, A.20 B.30 =8,所以AC1BD,0C=↓AC=3,0B= 2 BC上，顶点F,H在菱形 C.40 D.50 ABCD的对角线BD上. 分析：由三角形中位线定理可求得AB= 2BD=4.所以∠B0C=902.根据勾股定理，得 求证：BG=DE. 10,由菱形的性质即可求解 解：因为E,F分别是AD,BD的中点，EF= BC=√/OB2+OC2=5.因为H为BC的中点， 5,所以AB=2EF=10.因为四边形ABCD是菱 所以OH=2BC=3故选B. 证明：因为四边 形，所以AB=BC=CD=AD=10.所以菱形 形EFGH是矩形，所以 ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=40.故选 三、菱形的每一条对角线平分一组对角 例3如图3，在菱形 EH=FG,EH∥FG 二、菱形的对角线互相垂直 ABCD中，∠ACD=40°，则 所以∠GFH 例2如图2，在菱形 ∠ABC= 0 LEHF.所以180°-∠GFH=180°-∠EHF,即 ABCD中，对角线AC,BD相 分析：由菱形的性质得 ∠BFG=∠DHE.因为四边形ABCD是菱形，所 交于点O,H为BC的中点， 出AB∥CD,∠BCD= 以AD∥BC.所以∠GBF=∠EDH.所以△BGF AC=6,BD=8,则线段OH 2∠ACD=80°，则∠ABC+ 兰△DEH(AAS).所以BG=DE 的长为 ∠BCD=180°，即可得出答 例2如图2，四边形 A 12 案 A 解：因为四边形ABCD是菱形，∠ACD= ABCD为矩形，G是对角线 C.3 D.5 40°，所以AB∥CD,∠BCD=2∠ACD=80°.所 BD的中点.连接GC并延 分析：先根据菱形的性质得到AC⊥BD,OB以∠ABC=180°-∠BCD=100°.故填100. 长至F,使CF=GC,以 DC,CF为邻边作菱形 专题辅导8) DCFE,连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状： (2)连接DF,若BC=√3，求DF的长 添加辅助线 解题方法现 解：(1)因为四边形DCFE是菱形，所以CF DE,CF∥DE.因为CF=GC,所以DE=GC. ◎江西 邓文姣 所以四边形CEDG是平行四边形.因为四边形 辅助线是在几何学中用来帮助解答疑难几 例2如图2，在菱形 ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，所以GB 何图形问题，通过添加适当的辅助线，可以将条ABCD中，∠ADC=120°，点 =GC=GD.所以四边形CEDG是菱形. 件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以 E关于∠A的平分线的对称 (2)因为四边形DCFE是菱形，所以CD= 便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的. 点为F,点F关于∠B的平 CF.因为CF=GC,所以GC=GD=CD=GB, 例1 如图1，在菱形 分线的对称点为G,连接 所以△CDG是等边三角形.所以LCGD= ABCD中，∠BAD=80°，AB的 EG.若AE=1,AB=4,则 垂直平分线交对角线AC于点 EG= ∠GCD=60°.所以180°-∠CGD=180°- 解：连接FG,过点B作BH⊥FG于点H,如 ∠GCD,即∠BGC=LFCD.在△BGC和】 F,垂足为E,连接DF,则 图2.因为四边形ABCD是菱形，∠ADC=120° ∠DFE= 图1 BG FC, 所以AB∥CD,∠ABC=120°.所以∠A=180 △FCD中， 解：连接BF,如图1.因为四边形ABCD是菱 ∠BGC=∠FCD,所以△BGC≌ -∠ADC=60°.因为点E关于∠A的平分线的 形，∠BAD=80°，所以∠BAC=∠DAC= CG DC. 对称点为F,点F关于∠B的平分线的对称点为 1 △FCD.所以DF=BC ∠BAD=40°，AB=AD.因为EF是线段AB的G,所以AE=AF=1,BF=BG.所以△AEF是 本周主讲 垂直平分线，所以AF=BF,∠AEF=90°.所以 等边三角形，FH=GH,∠GFB=(180° ∠ABF=∠BAF=40°，∠AFE=50°.所以 ∠FBG)=30°.所以EF=1,∠AFE=60°.所以 ∠AFB=180°- 21.3特殊的平行四边形 ∠BAF-∠ABF=100°.在∠EFG=180°-∠AFE-∠GFB=90°.因为 AD AB, 学习目标：掌握菱形的有 △ADF和△ABF中， ∠DAF=∠BAF,所以 BF=AB-A=3.所以BH=方BF=子根据 AF AF, 认知重点：了解菱形和平行四 △ADF≌△ABF(SAS).所以∠AFD=∠AFB= 定理，将州丽-所：华所以 边形、矩形的联系和区别 100.所以∠DFE=∠AFD+∠AFE=150故FG=2FH=33.根据勾股定理，得EG= 填150°. VEF2+FG=27.故填27. 素养专练 数理极 7.如图6，在菱形ABCD中，延长BA到点E,使 4.如图3，点A,B的坐标分别为(0,2)，(2 跟踪训练 得AE=AB,连接DE. O),点C在y轴上，点D为平面内一点，若四边形 (1)求证：△BDE为直角三角形； ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标： GENzoNGXUNLIAN (2)若DE=6cm,求OC的长. 21.3特殊的平行四边形（菱形） 5.如图4，在四边形ABCD中，AB=AD,CB= 21.3.2.1菱形的性质 CD,若AB∥CD,求证：四边形ABCD是菱形 垦础训练 1.已知四边形ABCD是菱形，其中AB= 4cm,则四边形ABCD的周长是 ( ) A.5 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm 2.如图1，菱形ABCD的对角线AC,BD交于 点O,M是边AB的中点，点P在边BC上，且BP= BM,将点M平移到点P,则平移的距离为( A.AB B.7AB 8.如图7，四边形ABCD是菱形，AC,BD交于 点O,DH⊥AB于点H. C.AC D.BD (1)若对角线AC=8cm,BD=6cm,求DH 6.如图5，在△ABC中，BA=BC,BD平分 的长； ∠ABC交AC于点D,点E在线段BD上，点F在BD (2)连接H0,求证：∠BOH=∠DAH. 的延长线上，连接AE,CE,AF,CF,且AE∥CF (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BF=BA,AD=4,DF=2,求BF的 图1 2 长 3.如图2，已知菱形ABCD的对角线AC=5 BD=8,则菱形ABCD的面积为 4.如图3，在菱形ABCD中， AC与BD相交于点O,AB的垂直 平分线EF交AC于点F,连接 DF,若∠BAD=80°，则∠DFO 的度数为 图3 5.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延 长线于点E.求证：四边形ACDE是平行四边形. 21.3.2.2菱形的判定 能刀提高 堡础训练 7.如图6，矩形ABCD中，AB=4,∠ADB= 1.如图1，以0为圆心，0A长 30°，一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每 为半径画弧分别交0M,0N于A,B C 秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时 两点，再分别以A,B为圆心，以OA 一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位 长为半径画弧，两弧交于点C,连0 长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达 接AC,BC,则四边形OACB一定是 终点时，另一个点也随之停止运动.设点P,Q运动 的时间为t秒(>0).过点P作PE⊥BC于点E A.平行四边形 B.菱形 连接EQ,PQ. C.矩形 D.无法确定 (1)四边形PEQD能够成为菱形吗？如果能， 2.要判断一个四边形是否为菱形，可行的测 求出相应的t值；如果不能，请说明理由， 6.如图5，点P是菱形ABCD的对角线BD上 量方案是 (2)当t为何值时，△PQE为直角三角形？ -点，连接CP,AP.求证：PA=PC. A.测量两组对边是否相等 B.测量对角线是否垂直 C.测量对角线是否互相平分 D.测量对角线交点到四条边的距离是否相 图5 等 3.如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点 E,F分别是AB,AC边的中点，请你在△ABC中添 加一个条件： 使得四边形AEDF是菱 形 数理报社试题研究中心 图3 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 17.(12分)如图14，菱形ABCD的对角线AC 同步检测 BD交于点O,点E在线段OB上，点F在线段OD 上，且DF=BE,连接AE,AF,CE,CF (1)求证：四边形AECF是菱形； TONGBUJIANCE (2)若AC=4,BD=8,BE=3,试判断 △ADE的形状，并说明理由， 【检测范围：21.3—菱形】 、精心选一选（每小题4分，共32分） 10.如图7，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足 3 4 为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形，应添加 题号 6 8 的条件是 (只需写出一个条件 答案 即可). 11.如图8，在菱形ABCD中，对角线AC,BD的 图图14 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 长度分别为16和12，且交于点0，则△A0B的面积 为 A.对角线互相垂直 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线相等 2.在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是 A.BC B.BA C.BD D.CD 8 0 3.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 12.如图9，菱形花坛ABCD的周长为80m, 交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形 18.(14分)菱形ABCD中，∠B=60°，点E在 ABCD的周长为 ∠ABC=120,沿着菱形的对角线修建两条小路边BC上，点F在边CD上 AC和BD,则小路AC的长是 m. A.6 B.12 C.24 D.48 (1)如图15，若E是BC的中点，∠AEF=60°， 13.如图10，CD是△ABC的角平分线，过点D 求证：F是CD的中点： 分别作AC,BC的平行线，交BC于点E,交AC于点 (2)如图16，若∠EAF=60°，∠BAE=20° E.若∠ACB=60°，CD=43,则四边形CEDF的求∠FEC的度数. 周长是 图 4.如图2，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC =6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线 段EF,若四边形ECDF为菱形时，a的值为 ( 图10 A.1 B.2 C.3 D.4 14.如图11，在菱形ABCD中，∠ABC=135° 5.如图3，在平面直角坐标系中，y个 P是对角线AC上一动点，连接DP,将△CDP沿边 菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC CD翻折得到△CDM,连接BM,当△BCM是以BC 在y轴上，若点A的坐标为(12,13)，则B 为腰的等腰三角形时，∠ADP的度数为 点C的坐标是 三、耐心解一解（共44分） 0 A.(0,-8) B.(0,-5) 15.(8分)如图12，在菱形ABCD中，E为AB C.(-5,0) D.(0,-6) 图3 边上一点，过点E作EF∥BC,交BD于点M,交CD 6.下列是4位同学所画的菱形，依据所标数 于点F.求证：CF=EM. 据，不一定为菱形的是 2入2 0130 607202 附加题⊙ 2 130° 2 22 (以下试题供各地根据实际情况选用) A B D 图12 1,(8分)如图1，在四边形ABCD中，AB∥ 7.如图4，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB的中点，连 ⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D.若AB=9cm, 接CE. 则EF的长是 ) (1)求证：四边形AECD为菱形； A.2 cm B.6 cm (2)若∠D=120°，CD=2,求△ABC的面积 D C.3.3 cm D.93 16.(10分)如图13，点E,F分别在口ABCD的 G" 边BC,CD上，BE=DF,∠BAF=∠DAE.求证：四 图4 图5 边形ABCD是菱形. 2.(12分)如图2，在四边形ABCD中，∠A= 8.如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为 ∠B=90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线 AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E,过点A 上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG 作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延 ∥AF交CD于点G,连接FG,DE. 长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若CF=6,AC 冬1 (1)求证：四边形DEGF是菱形； =AF+2,则四边形BDFG的周长为 ( (2)若AB=10,AF=BC=8,求四边形 A.9.5 B.10 C.12.5 D.20 DEGF的面积 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图6，四边形ABCD是菱形，∠ACD= 30°，则∠BAD= 图2 数理报社试题研究中心 图6 (参考答案见下期)