第30期 21.3 特殊的平行四边形(矩形)-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

素养·拓展 数理极 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 面对矩形求值问 报纸发行质量反馈电话 专题辅导 题，根据具体情况的不 太思维天地太 0351-5271248 数学思想 同特点，结合数学思想， 灵活应用 (上接4版参考答案 可化难为易，捷足先登 一、方程思想 11.答案不惟 例1如图1，矩形 ABCD中，DE⊥AC于 直角三角形斜边上的中线送 ,如AB=CD: 12.30°； O点F,交BC边于点E, + ©山东张波 13.117°； 青已知AB=6,AD=8, “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 证：∠DBC= ∠ABC 149或10. 海则线段CE的长为 半”这一定理揭示了直角三角形斜边上的中线 3 三、15.n的值为9. 与斜边的数量关系，它是研究线段倍分问题的 晓 思路分析：由于AB=之DE,而)DE等于 16.因为四边形 基础.对于与直角三角形有关或条件中隐含着 直角三角形的证明问题，若能联想到直角三角 Rt△ADE斜边DE上的中线长，故添加Rt△ADE ABCD是平行四边 形，所以AD∥BC, 形斜边上的中线，通过添加斜边上的中线这条 中DE边上的中线AM,如图2.于是AM=AB,从 AD=BC.所以 辅助线，可以理清角与角或线段与线段之间的 而∠AMB=∠ABM.又∠AMB=2∠D,而∠D ∠AEB=∠DAE.因 解：因为四边形 关系，从而把题设与结论结合起来，使问题得以 =∠DBC,所以∠ABM=2∠DBC.所以∠ABC 为AB=AE,所以 ABCD是矩形，所以CD=AB=6,∠ADC= 圆满地解决。 ∠B=∠AEB.所以 ∠DCE=90°.所以AC=/AD+CD2=10.因为 例1如图1，AB,CD交于 =3LDBC.所以∠DBC=号∠ABC LB=∠DAE.在 DE⊥AC,以∠CFD=∠CFE=0,AD·CD点E,AD=AE,GB=CE,FC, 例3如图3，AD是△ABC △ABC和△EAD中， H分别是DE,BE,AC的中点. AB EA. 2AC·DF所以DF=AD·CD = =4.8.所以CF求证：FH=GH 的高线，且BD=2AC,E是AC ∠B=∠DAE,所 AC 思路分析：连接AF,GC,如 的中点，连接BE,取BE的中点B BC AD, =√CD-DF=3.6.在Rt△CDE中，CD2+CE 图1.因为AD=AE,F是DE的中点，所以AF⊥ F,连接DF.求证：DF⊥BE. 图3 以 △ABC =DE2,即62+EF2+3.62=(4.8+EF)2.解得EF DF.由于H是AC的中点，于是得到FH是 思路分析：连接DE,如图3.因为AD是 △EAD(SAS). =2.7.所以CE=/EF2+CF2=4.5. 17.(1)因为 故填4.5. Rt△AFC斜边AC上的中线，所以FH=)AC.同 △ABC的高线，E是AC的中点，得到DE是 Rt△ADC斜边AC上的中线根据“直角三角形 BD是△ABC的角平 二、分类讨论思想 理得到CH=2AC所以FH=Gm 分线，所以∠CBD 例2在矩形ABCD中，对角线AC和BD相 斜边上的中线等于斜边的一半”，得DE =∠EBD.因为ED 交于点O,过点B作AC的垂线，垂足为E,若AC 例2如图2，已知AC1 ∥BC,所以∠CBD =10,OE=3,则线段BC的长为 2AC.由于BD= BC于点C,AD∥BC,BD和 AC.得DE=BD.又F是B跳 =∠EDB.所以 解：①如图2，当点E在线段OA上时，因为 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得D AC交于点E,AB= 2DE.求 LEBD=∠EDB.所 四边形ABCD是矩形，AC=10,所以OB=OC 图2 ⊥BE 以BE=ED.因为 =2AC=5.因为BE⊥AC,0E=3,所以BE= 十十十4十 BE=CF,所以ED 第29期2版参考答案 √/AD2-DF2=3V3 =CF.又ED∥FC, OB2-0E=4,CE=0C+0E=8.所以BC 21.1四边形及多边形 21.2.2平行四边形的判定 所以四边形EFCD =√BE2+CE2=45. 基础训练1.C:2.C；3.66°；4.20 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 是平行四边形 5.(1)这个n边形一个内角的度数为140° 5.因为a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,所以 (2)∠AEF (2)这个n边形的内角和为1260° (a-c)2+(b-d)2=0.所以a=c,b=d.所 130°. 21.2平行四边形 以四边形ABCD是平行四边形. 18.略. 图2 21.2.1平行四边形及其性质 6.由对顶角相等，得∠A0E=∠C0D.在 附加题 ②如图3，当点E在线段OC上时，因为四边 形ABCD是矩形，AC=10,所以OB=OC= 基础训练1.C;2.C;3.1.5. 1.(1)∠P r∠EAO=∠DCO. 方4C=5.因为BE1AC,0B=3,所以BB- 4.因为四边形ABCD是平行四边形，所以△AOE和△COD 中 A0=C0. 所以 2<4 AB=CD,BC=AD,∠ABC=∠ADC.因为 ∠AOE=∠COD, √0B2-OE2=4,CE=OC-0E=2.所以BC △BCE和△CDF都是等边三角形，所以CD= (2)∠P= △AOE≌△COD(ASA).所以OE=OD.所以四 =√BE2+CE2=2W5 DF,BC=BE,∠EBC=LCDF=60°.所以AB边形AECD是平行四边形. + 2B-90 故填25或45. =DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+ 21.2.3三角形的中位线 三、整体思想 ∠CDF,即∠ABE=∠FDA.所以△ABE≌ 基础训练1.B;2.D;3.C; 4.4 (3)90°- 2 例3如图4，在平行四边 △FDA(SAS).所以AE=AF 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F 形ABCD中，点E,F,G分别在 5.(I)因为四边形ABCD是平行四边形， 28 边AB,BC,CD上，且BE=BF CF=CH.求证：EF⊥FG. ∠B=60°，所以AD∥BC,∠D=∠B=60.所 是CD的中点，所以PE=2AD,PF=BC因 2.（1)略 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠BAD=180°-∠B=120°.因为AE⊥BC, 为AD=BC,所以PE=PF.所以∠PFE= (2)CE=8⑤ 以AB∥CD.所以∠B+∠C=180°.因为BE=AF⊥CD,所以∠AEB=∠AFD=90°.所以∠PEF=18. 3 BF,Cf=6C,所以∠BEF=∠BFE=2(I80°∠B590∠B=30,∠D1F=0-∠D 第29期3版参考答案 =30°.所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF -LB),∠CFG=∠CGF=2(I80°-∠C).所 =60°. 题号12345678 以∠EFG=180°-（∠BFE+∠CFG)=180 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC 答案DABDBCD C -[2(180°-∠B)+2(180°-∠C)]=90° =6,所以AD=BC=6.由(1)知∠DAF=30°. 二、9.60； 10.118°； 所以EF⊥FG. 所以DF=2A4D=3.由勾股定理，得AF (下转1,4版中缝) 数评橘 2026年2月11日·星期三 初中数学 第30期总第1170期 人教 八年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-156 本周主讲 品味法 21.3特殊的平行四边形矩形 判定矩形把握三主线 学习目标：1.掌握矩形的有关性质和判 定方法，并能运用这些知识进行相关的证 ⊙广东 陈嘉惠 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 BC=4,P为斜边AB上一动点，PEB 明和计算 例2如图2，在 ⊥BC于点E,PF⊥CA于点F,则 2.掌握直角三角形斜边上中线的性质」 □ABCD中，E为BC的中点， 线段EF长的最小值为 ( 认知重点：了解矩形和平行四 连接AE并延长交DC的延 A.5 B.2 边形的联系和区别， 长线于点F,连接BF,AC,若 图2 AD=AF,求证：四边形ABFC是矩形， C.45 5 2 主线 、有一个角是直角的平行四边形是 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 解：连接PC,如图4.因为PE 矩形 以AB∥CD,AD=BC.所以∠BAE=∠CFE,⊥BC,PF⊥CA,所以∠PEC= 例1如图1，在四边形 ∠ABE=∠FCE.因为E为BC的中点，所以EB∠PFC=90°.又∠ACB=90°，所 ABCD中，∠A=∠C=90, EC. 在△ABE 和△FCE中， 以四边形ECFP是矩形.所以EF AB=CD,求证：四边形 ∠BAE=∠CFE, =PC.所以当CP⊥AB时，PC的 ∠ABE=∠FCE,所以 △ABE ABCD是矩形. ≌ 长最小，EF的长也最小.因为AC 图1 证明：连接BD,如图1. EB EC. =2,BC=4,所以AB=√22+42=25.因为 △FCE(AAS).所以AB=CF.所以四边形 在Rt△ABD和Rt△CDB中， rBD=DB,所以 LAB CD. ABFC是平行四边形.因为AD=AF,所以BC= 2AC·BC= AB·PC,所以PC= AC·BC 21 AB Rt△ABD≌Rt△CDB(HL.所以AD=CB.所AF.所以四边形ABFC是矩形. 以四边形ABCD是平行四边形.因为∠A=90°， 主线三、有三个角是直角的四边形是矩形 45.所以线段EF长的最小值为45 5 所以四边形ABCD是矩形， 例3如图3，在直角三角形ABC中，AC=2 故选C 名师点晴 C.57c D.48o 解：因为四边形ABCD是矩形， 形影不离的小伙伴 所以∠A=∠ABC=90°. 由折叠的性质，得∠BA'E=∠A=90° ∠A'BE=∠ABE ◎江西陈臻 因为∠DBC=24°，所以∠A'BE=∠ABE 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的BC=8cm,则EF的长是 求值问题中，涉及到众多知识点，下面选取几例 A.2.2 cm B.2.3 cm (∠ABC-∠DBC)=33 加以说明，供同学们参考。 C.2.4 cm D.2.5 cm 所以∠A'EB=90°-∠A'BE=57° 一、矩形和坐标 解：因为四边形ABCD是矩形， 故选C. 例1如图1，在矩形 所以∠ABC=90°，BD=AC,0B=OD. 四、矩形和全等三角形 例4如图4，EF过矩 A OABC中，点B的坐标是(1,3) 因为AB=6cm,BC=8cm, 形ABCD对角线的交点O,且 则A,C两点之间的距离是 由勾股定理，得AC=√AB+BC= 分别交AB,CD于点E,F,若 ( 10cm. 矩形ABCD的面积是12，那 A.4 B.13 所以BD=10cm 么阴影部分的面积是 C.√o D.22 解：连接AC,OB,图略 所以0D=BD=5em 解：因为四边形ABCD是矩形， 因为点E,F分别是AO,AD的中点， 所以AB∥CD,OA=OC 因为B(1,3),所以0B=√2+3= /10. 所以P-20D=2.5om 所以∠EAO=∠FCO. 由对顶角相等，得∠AOE=∠COF 因为四边形OABC是矩形，所以AC=OB= 故选D. r∠EAO=∠FCO. /10. 三、矩形和折叠 在△AOE和△C0F中，{0A=0C, 故选C. 例3如图3，将矩形纸 I∠AOE=∠COF 片ABCD沿BE折叠，使点A 所以△AOE≌△COF(ASA) 二、矩形和勾股定理 例2如图2，在矩形 落在对角线BD上的A'处.若 所以S AAOE=S△cOF: 所以S阴影=SAREO+SACOF=SABB0+S△AOE ABCD中，对角线AC,BD相交 ∠DBC=24°，则∠A'EB等 于点O,点E,F分别是AO,AD S△40s=4SE形Bn=3. 的中点，连接EF,AB=6cm, A.669 B.609 故填3. 素养专练 人 数理极 21.3.1.2直角三角形斜边上的中线 2.如图1，直角三角形ABC 跟踪训练 的面积为4，点D是斜边AB的中 垦础训练 点，过点D作DE⊥AC于点E, GENzoNGXUNLIAN 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD DF⊥BC于点F,则四边形A 图1 21.3特殊的平行四边形（矩形） 是斜边AB上的中线.若CD=4,则AB的长为 十 DECF的面积为 () 21.3.1.1矩形的性质 ( A.1 B.2 C.2.5 D.3 A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图2，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的 垦训练 中点，点F,G在边BC上，且DG=EF.只需添加 1.如图1，点O为矩形ABCD对角线AC与BD 个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件 的交点，若AC=6,则BD的长为 可以是 (写出一个即可) A.1 B.2 C.3 D.6 2.如图2，在矩形ABCD中，点E为BA延长线 图3 上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径 图2 图1 图2 4.如图3，在△ABC中，AB=AC,点0是BC 的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4, 2.如图2，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于 的中点，CE∥OA,AE∥BC,连接OE,若OA=5, CE=10,则AG= 点0，E为AB的中点，连接OE,若∠ACD=30 BC=24,则OE的长为 A.2B.2.5C.3 D.3.5 则∠AOE= ) 5.如图4，E,F是四边形ABCD的对角线AC 3.如图3，△ABC中，AB=AC=12,BC=8, A.30°B.40° C.50° D.60° AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点， 上的两点，且AF=CE,BE=DF,BE∥DF.若 3.“美丽乡村”建设使我市 ∠BAD=90°，求证：四边形ABCD是矩形 连接DE,则△CDE的周长是 农村住宅旧貌变新颜，如图3所 A.20 B.12 C.16 D.13 示为一农村民居侧面截图，屋坡 AF,AG分别架在墙体的点B,C 处，且AB=AC,侧面四边形 图图3 BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°，则∠A= 4.如图4，在矩形ABCD中，点E在BC边上， 4.如图4，O是矩形ABCD的对角线BD的中 AE=AD,DF⊥AE,垂足为F, (1)求证：DF=AB: 点，E是AB边的中点若B=12,0B=2则线 (2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD的长. 段0C的长为 5.如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，点D在 AB上，CD=CB,点E为BD的中点，F为AC的中 点，连接EF交CD于点M,连接AM. (1)若AC=2,求EF的长； 能刀提高 (2)求线段AM,DM,BC之间的数量关系. 6.如图5，在矩形ABCD D 中，E,F分别是AB,AD上的动 点，P是线段EF的中点，PG⊥ BC,PH⊥CD,G,H为垂足，连4 接GH.若AB=4,AD=3,EF =2,则GH的最小值是 能刀提高 7.如图6，四边形ABCD中，AD∥BC,∠A= 5.如图5，在矩形ABCD ∠D=90°，点E是AD的中点，连接BE,将△ABE 中，AB=4,AD=8,点E在边 沿BE折叠后得到△GBE,且点G在四边形ABCD BC上，若EA平分∠BED,则B 内部，延长BG交DC于点F,连接EF E EC= 图5 (1)求证：四边形ABCD是矩形； 6.如图6，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB, (2)若AB=6,BC=8,求DF的长 CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线 AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC. (1)求证：OE=OF: (2)若BC=2,求AB的长. 21.3.1.3矩形的判定 垦四训练 1.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要 测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它 图6 们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.这 样做的依据是 A.两组对边分别相等的四边形是矩形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是矩形 数理报社试题研究中心 D.对角线相等的平行四边形是矩形 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 17.(12分)如图16，矩形ABCD兰矩形 同步检 AEFG,点E在BD上，EF与AD相交于点H,连接 AF.若AB=1,BC=2,求AH的长 TONGBUJIANCE 【检测范围：21.3一矩形】 、精心选一选（每小题4分，共32分） AF.若∠BAF=a,则∠EFC的度数是 题号1 345 6 7 8 A.a B45°+号 16 答案 C.45°- 2 D.90°-x 1.如图1，两条公路AC,BC互相垂直，公路AB 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为 9.如图9，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 10km,则M,C两点间的距离为 ) 点O,∠AOB=70°，则∠ACB的大小为 A.5 km B.10 km D C.52 km D.53 km A、 18.(14分)如图17，在△ABC中，AB=AC, AD是△ABC的角平分线，AN是△ABC外角 图9 ∠CAM的平分线，CE⊥AV,垂足为点E. 图10 10.如图10，在△ABC中，AB=AC,点D在BC (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)连接DE,交AC于点F,请判断四边形 图1 边上，DF∥AB,DE∥AC,则当∠B= ABDE的形状，并证明； 2.两个矩形的位置如图2所示，若∠1= 时，四边形AEDF是矩形. 11.如图11，矩形ABCD的对角线相交于点O (3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出 120°，则∠2= :过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,若AB=3, 你的结论. A.30°B.75° C.60° D.150° 3.如图3，四边形ABCD的对角线互相平分，要 BC=4,则图中阴影部分的面积为 E 使它成为矩形，那么需要添加的条件是( A.AB BC B.AC⊥BD C.∠BAD=∠BCDD.AC=BD 图11 图12 12.如图12，在矩形ABCD中，E是边AD上 点，F,G分别是BE,CE的中点，连接AF,DG,FG. 图3 图4 若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积 4.如图4，将四根木条用钉子钉成一个矩形框 为 架ABCD,然后向左扭动框架，观察所得四边形的 13.如图13，△ABC中，AB= G 变化，下面判断错误的是 AC,AD为BC上的高线，E为AB边 A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 上一点，EF⊥BC于点F,交CA的 E B.对角线BD的长度减小 延长线于点G.已知EF=2,EG= 附加题⊙ C.四边形ABCD的面积不变 3,则AD的长为 (以下试题供各地根据实际情况选用) D.四边形ABCD的周长不变 14.矩形ABCD中，AB=8, 图13 1.(8分)如图1，四边形ABCD是平行四边形， 5.如图5，在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC,DAD=7,点E在AB边上，AE=5.若点P是矩形 :CE∥BD交AD的延长线于点E,CE=AC. 是AB的中点，DE=BE,则∠C的度数是( ）ABCD边上一点，且与点A,E构成以AE为腰的等 (1)求证：四边形ABCD是矩形； A.65° B.70° C.75° D.80° 腰三角形，则等腰△AEP的底边长是 (2)若AB=4,AD=3,求四边形BCED的周 三、耐心解一解（共44分） 长 15.(8分)如图14，在□ABCD中，AB=6,AC =10,AD=8.求证：四边形ABCD是矩形 图5 6 6.如图6，A,B为5×5的正方形网格中的格 点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此 14 图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出( A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如图7，∠A0B=90°，0C平分∠A0B,PE 16.(10分)如图15，在矩形ABCD中，E为AB 2.(12分)如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使 ⊥OA于点E,PF⊥OC于点F,PG⊥OB于点G, 的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F 点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF. OE+0c的值是 (1)求证：△PDE≌△CDF; OF (1)求证：△AEF≌△BEC; C.2 (2)若CD=4,∠F=30°，求CF的长. (2)若CD=4,EF=5,求BC的长 A.1 B.2 D.3 G 图7 图8 图15 图2 8.如图8，在矩形ABCD中，点E为CD边的中 数理报社试题研究中心 点，连接AE,过点E作EF⊥AE交BC于点F,连接 (参考答案见下期)初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY) 第29~32期(2026年2月) 第29期2版 21.2.3三角形的中位线 21.1四边形及多边形 基础训练1.B;2.D;3.C;4.4 基础训练1.C；2.C;3.66°；4.20. 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 5.(1)这个n边形一个内角的度数为：180°×7+2= 7 以PE=宁AD,PF=BC因为AD=BC,所以PE=PE:所 140° 以∠PFE=∠PEF=18° (2)这个n边形的每个外角的度数为：180°-140°=40°. 第29期3版 360°÷40°=9， 所以这个n边形的内角和为：(9-2)×180°=1260°. 题号 12345678 21.2平行四边形 答案DABDBCDC 21.2.1平行四边形及其性质 二、9.60；10.118°；11.答案不惟一，如AB=CD: 基础训练1.C;2.C；3.1.5. 1230:13.17:149或10， 4.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 三、15.由题意，得(n-2)×180°×人=360°-150.解得 6 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60°.所以AB= n=9. DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= 16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= ∠FDA.所以△ABE≌△FDA(SAS).所以AE=AF: BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB. 5.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，所以 AB EA. AD∥BC,∠D=∠B=60°.所以∠BAD=180°-∠B=120° 所以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中 ∠B=∠DAE,所 因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEB=∠AFD=90°.所以 BC AD. ∠BAE=90°-∠B=30°，∠DAF=90°-∠D=30°.所以 以△ABC≌△EAD(SAS). ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=6O°. 17.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6,所以AD= ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= BC=6由(I)知∠DAF=30所以DF=2AD=3.由勾股 ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF.又ED∥ FC,所以四边形EFCD是平行四边形. 定理，得AF=√AD-DF=35 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 21.2.2平行四边形的判定 基础训练1.B；2.A3.D；4.是 ∠ABD=分∠AC=30因为∠ADB=100,所以∠A= 5.因为a2+b+c2+f=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- 180°-∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形. 形，所以EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠C0D.在△A0E和△C0D 18.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD, ∠EAO=∠DCO, AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED 中，{A0=C0, 所以△AOE≌△COD(ASA).所以OE =分(180-∠DCE)=90-子∠DCE.所以∠AED I∠AOE=∠COD, 1 =OD.所以四边形AECD是平行四边形. ∠CDE=90°-2LDCE. 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为点E是AB的中点， =∠B.又DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB. 所以AE=BE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， BC.所以∠M=∠EFB=45°.由对顶角相等，得∠AEM= 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- ∠FEB.所以△AEM≌△BEF(AAS).所以ME=FE.因为DF ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= ⊥BC,所以∠DFB=90°.所以∠DFE=∠DFB-∠EFB= 2DF=8. 45°.所以DM=DF.所以DE⊥EF 能力提高5.45. 附加题1()LP=子∠A 6.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 ∠BAC=∠FCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF又AE= (2)延长BA,CD相交于点F,如图，因 CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF 为∠BAD=a,∠CDA=B,a+B>180°， (2)连接OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=OC, 所以∠FAD=180°-∠BAD=180°-a,∠FDA=180° 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC ∠CDA=180°-B. =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF.在Rt△BEO 在△FAD中，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA)=180°- 中，∠BEF+∠AB0=90°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 (180°-&+180°-B)=a+B-180° 2∠BAC+∠BAC=90°.所以∠BAC=30°.因为四边形ABCD 因为BP平分∠ABC,CP平分∠DCE,所以由(1)的结论， 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 得∠P=分∠P=7a+8-00 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=2√5. (30-7-8 21.3.1.2直角三角形斜边上的中线 2.(1)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE,∠AEC= 基础训练1D:2.C:3.C:4号 ∠ACE,∠BEC=∠BCE. 5.连接CE,图略. 所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+∠BCE,即∠AEB= (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD. ∠ACB. 所以∠AEC=90. 因为∠AEB=∠CAD,所以∠ACB=∠CAD. 因为F为AC的中点，所以F=方4C=1 所以BC∥AD. (2)因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45° 因为CD⊥CE,所以AB∥CD. 所以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC所以 所以四边形ABCD是平行四边形. AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略. 21.3.1.3矩形的判定 所以AG∥CF. 基础训练1.D;2.B; 又AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13. 根据勾股定理，得AC2-CG=AD2-DG2,即42-(3- 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB. DG)2=32-DG. 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC. 解得DG=分 又DF=BE,AF=CE,所以△AFD≌△CEB. 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. 所以CF=AG=√AD-DG=45 3 所以AD∥BC. 因为AC=AE,AB1CE,所以CE=2CF=8 所以四边形ABCD是平行四边形. 3 又∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形. 第30期2版 能力提高6.4. 21.3特殊的平行四边形（矩形） 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C=180°.因为∠A= 21.3.1.1矩形的性质 ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD为 基础训练1.D；2.D;3.110. 矩形 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= (2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= 90°.所以∠DAE=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90°： 6,AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD 一2— 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.又EF=EF,所以CE=AC,所以AC=BD.所以四边形ABCD是矩形 Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GE.所以BF=BG+GF (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，BC= =6+DF.因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在 AD=3. Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2,即82+(6- 根据勾股定理，得BD=AB+AD2=5. DF)2=(6+DF.解得DP=号 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 2.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠ADC= 第30期3版 ∠B=∠C=90°，AB=CD. 由折叠的性质，得AB=PD,∠A=∠P=90°，∠B= 题号12345678 ∠PDF=90 答案ACD CC D C B 所以PD=CD,∠PDF=∠ADC,∠P=∠C. =9.35:1045;1.6;12.48:13.子 所以∠PDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF,即∠PDE= ∠CDF. 14.52或45. 所以△PDE≌△CDF(ASA). 三、15.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD= (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略 8.因为AB=6,AC=10,所以AC2=AB+BC.所以∠B= 所以∠EGF=∠EGB=90°. 90°.所以平行四边形ABCD是矩形. 所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形. 16.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F 所以AE=BG,DE=CG,EG=CD=4. =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.又∠AEF= 在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG=√EF-EG=3. ∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). 由(I)得，△PDE≌△CDF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.又∠F= 所以PE=CF,DE=DF=CG=CF+3. 30°，所以CF=2CD=8. 由折叠的性质，得AE=PE. 17.因为矩形ABCD≌矩形AEFG,所以AB=AE=1, 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CFP=DF2,即CF ∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2.所以∠ABE=∠AEB, +42=(CF+3)2. ∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+∠DEF=180°-∠FEA= 90°.所以∠DEF=∠ADB.所以EH=DH.在Rt△AEH中，根 解得CF=石 据勾股定理，得EH+AE=AP,即(2-AH)2+12=AH.解 所以BC=20F+3=号 得AM=子 第31期2版 18.(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线，所以AD 21.3特殊的平行四边形（菱形） ⊥BC,∠CAD=号∠BMC,所以∠ADC=90因为AN为 21.3.2.1菱形的性质 基础训练1.D;2.C;3.20;4.80°. △ABC外角∠CAM的平分线，所以∠CAN=7∠CMM所以 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AC⊥BD.因 ∠DAE=∠CAD+∠CAN=90°.因为CE⊥AN,所以∠AEC= 为DE⊥BD,所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形 90°.所以四边形ADCE为矩形. 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC,∠ABP= (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： ∠CBP.又BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS).所以PA=PC 由(I)知，四边形ADCE为矩形.所以AE=CD,AC=DE. 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD.所以 又AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD.所以四边形 ∠ABD=∠ADB.因为AE=AB,所以AE=AD.所以∠E= ABDE是平行四边形. ∠ADE.所以2∠ADB+2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE (3)DF∥AB,DF=4B =90°.所以△BDE为直角三角形. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB=OD. 附加题 1.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥BC.又 因为AE=AB,所以0C=0A=2DE=号×6=3(cm). CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.所以CE=BD.又 8.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,OA= 一3 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 之4C=4cm,0B=2BD=3cm根据勾股定理，得AB= 第31期3版 /0N+0B=5cm因为S装Ea=之AC·BD=AB~DH, 题号1234567 8 所以DH=AC:BD=24。 5 cm. 答案ACCBBBC D 2AB 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD;11.24: (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB=OD,∠DAH= 12.205;13.16;14.90°或56.25°. 2∠OAB.所以OH=OB.所以∠OHB=∠OBH.所以∠BOH= 三、15.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,∠ABD= 180°-2∠OBH.因为∠OAB=90°-∠OBH,所以∠DAH= ∠CBD.因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形， 180°-2∠OBH.所以∠BOH=∠DAH. ∠EMB=∠CBD.所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE= 18.2.2.2菱形的判定 EM.所以CF=EM. 基础训练1.B;2.D; 16.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE 3.答案不惟一，如AB=AC; -∠EAF,即∠BAE=∠DAF.因为四边形ABCD是平行四边 4.(2,22)或(2，-22). 形，所以∠B=∠D.又BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS).所 AB AD. 以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形 5.在△ABC和△ADC中， AC=AC,所以△ABC兰 17.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB= BC DC, OD,AC⊥BD.因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE △ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.因为AB∥CD,所以 =OF.所以四边形AECF是平行四边形.又AC⊥EF,所以四边 ∠BAC=∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以AD=CD.所以 形AECF是菱形. AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱形. (2)△ADE是直角三角形.理由如下： 6.(1)因为AE∥CF,所以∠EAD=∠FCD,∠AED= 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,OB=OD=4.因为BE ∠CFD.因为BA=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD= =3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE=5.因为AC⊥ CD.所以△AED兰△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四边形 BD,所以∠AOE=∠AOD=90°.根据勾股定理，得AE2=OA AECF是平行四边形.又BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. +0E2=5,AD2=0A2+0D2=20.所以AE2+AD2=DE2.所 (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2.在 以△ADE是直角三角形. Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+(2+ 18.(1)连接AC,图略.因为四边形ABCD是菱形，所以AB BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. =BC=CD,AB∥CD.因为∠B=60°，所以∠BCD=180°- 能力提高7.(1)能.因为四边形ABCD是矩形，所以∠A ∠B=120°，△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以 =∠C=90°，AD∥BC.所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥ AE⊥BC.所以∠AEC=90°.因为∠AEF=60°，所以∠FEC= CD.根据题意，得BP=2t,DQ=t.因为PE⊥BC,所以PE∥ ∠AEC-∠AEF=30°.所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF CD,LBEP=0e所以PE=2BP=t=D0.所以四边形 =30~所以LPEC=∠CFE.所以BC=CR因为CE=2BC, PEQD是平行四边形.因为AB=4,所以BD=8.所以DP=8 所以CF=CD,即F是CD的中点 -2t.当DP=PE时，四边形PEQD为菱形.所以8-2t=t.解 (2)连接AC,图略.因为△ABC是等边三角形，所以AB= 得1=受 AC,∠BAC=∠ACB=60°.所以∠ACF=∠BCD-∠ACB= 60°=∠B.因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF (2)①当∠EPQ=90°时，四边形EPQC为矩形，所以PE -∠EAC,即∠BAE=∠CAF.所以△ABE≌△ACF(ASA).所 =QC,所以t=4-t,解得t=2;②当∠PQE=90°时，由(1) 以AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF=60°.因 得，PD∥EQ,所以∠DPQ=∠PQE=90°，在Rt△DPQ中， 为∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=20. ∠P0D=30,所以D0=20P.所以1=2(8-20.解得1=台 附加题1.(1)因为点E为AB的中点，所以AB=2AE= 2BE ③不存在∠PEQ=90°的情况. 因为AB=2CD,所以CD=AE. 综上所述，当4=2或号时，△P05为直角三角形 又AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC 定理，得CF=AC=AD2+CD=√2. 因为AB∥CD,所以∠DCA=∠CAB. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略.所以∠EGA=∠EGC 所以∠DCA=∠DAC =90°.因为AE平分∠CAD,所以ED=EG.在Rt△ADE和 所以AD=CD. Rt△AGE中，AE=AE,所以R△ADE兰R△ACE(HL.所以 所以四边形AECD是菱形. LED EG, (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2,所以 AD=AG=1.所以CG=AC-AG=√2-1.因为四边形ABCD AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120° 是正方形，所以∠ACD=45°.所以∠CEG=90°-∠GCE= 所以CE=BE,∠CEB=180°-∠AEC=60°. 45°.所以EG=CG.根据勾股定理，得CE=√EG+CG=2 所以∠ACE=∠CAE=30°，△CEB是等边三角形. 所以BC=2,∠ECB=60°. -2 所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°. 能力提高6.42. 根据勾股定理，得AC=√AB2-BC=25. 7.连接BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= ∠AEF=45°，AF=AE=4.根据勾股定理，得EF2=AF2+AE 所以5Ac=分4C.BC=26 =32.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB= 2.(I)因为点E与点F关于直线CD对称，所以FD=ED, 90°.所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= FG=EG,∠EDG=∠FDG. AD AB. 因为EG∥AF,所以∠EGD=∠FDG. ∠FAB.在△ADE和△ABF中， ∠EAD=∠FAB,所以△ADE 所以∠EGD=∠EDG. AE AF. 所以ED=EG.所以FD=ED=FG=EG ≌△ABF(SAS).所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45°. 所以四边形DEGF是菱形. 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90°.根据勾股定理，得BE= (2)连接FC,EC,图略. EF2+BF2=6. 因为∠A=∠B=90°，所以∠A+∠B=180° 21.3.3.2正方形的判定 所以AF∥CB. 基础训练1.A;2.D;3.不一定. 因为AF=BC=8,所以四边形ABCF是平行四边形. 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1.因为 所以CF=AB=10. AB=2,所以OA2+OB2=AB2.所以∠AOB=90°.所以AC⊥ 根据轴对称的性质，得CE=CF=10. BD.所以四边形ABCD是正方形 根据勾股定理，得BE=√CE2-BC=6. 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°.因为BE 所以AE=AB-BE=4. ⊥EF,所以∠BEF=90°.因为∠ABE+∠CEF=45°，所以 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2=DE2,即4 ∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=I8O +(8-DF)2=DF2 -(∠CEF+∠ABE)=135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+ 解得DF=5. ∠CBE)=45°.所以∠BAC=90°-∠BCE=45°.所以AB= 所以S四边形DEG=DF·AE=20. BC.所以四边形ABCD是正方形. 第32期2版 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.又AB 21.3特殊的平行四边形（正方形） =CB,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB= 21.3.3.1正方形的性质 ∠CDB. 基础训练1.C；2.C;3.115. (2)因为PM∥CD,PN∥AD,所以四边形MPND是平行 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD, 四边形，∠MPD=∠NDP.所以∠MPD=∠MDP.所以PM= ∠B=∠D=90°.因为AE=AF,所以AB-AE=AD-AF,即 DM.所以四边形MPND是菱形.所以当MW=PD时，四边形 BE=DF.所以△BCE≌△DCF(SAS).所以CE=CF.因为点 MPWD是正方形 M是EF的中点，所以CM⊥EF. 能力提高7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以 5.(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD= AD∥BC,AD=BC.因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四 CD=1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F.因为AE平 边形.所以AD=CE.所以BC=CE. 分∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE=∠F.根据勾股： (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF因 5 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形.因为KE=√KF2-EF产=3.所以AB=KE=3,BE=BK+KE= AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB.因为∠DAF=∠FBE,所以 4.所以点A,E之间的距离为：AE=√AB+BE2=5. ∠FBE=∠FEB.所以FB=FE.因为BC=CE,所以FC⊥BE 附加题L.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC 所以∠BCF=9O°.所以四边形ABCD是正方形 =90° 第32期3版 所以∠EBG=180°-∠ABC=90°. 所以平行四边形BEFG是矩形. 题号12345678 (2)90.理由如下： 答案BBBDBDD C 延长GP交DC于点H,图略. 二、9.135°；10.6；11.答案不惟一，如AC=BD: 因为正方形ABCD和平行四边形BEFG,所以AB∥DC,BE 12.152;13.8；14.62或4V5+22 ∥GF,DC=BC 三、15.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠ADB 所以DC∥GE. =45因为BE=BD,所以∠BDE=∠E=之(1S80°- 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP. 因为P是线段DF的中点，所以DP=FP. ∠EBD)=67.5°.所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5 r∠DHP=∠FGP, 16.因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠DAB= 在△DHP和△FGP中， ∠HDP=∠GFP,所以△DHP≌ ∠BAF+∠DAF=90°.因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°.所以 DP FP, ∠ADE+∠DAF=90.所以∠BAF=∠ADE.在△ABF和 △FGP(AAS). ,∠B=∠EAD 所以HP=GP,DH=FG △DAE中， ∠BAF=∠ADE,所以△ABF≌△DAE(AAS).所 当∠CPG=90°时，PG⊥PC. AF DE, 所以CH=CG. 以AB=DA.所以四边形ABCD是正方形. 所以DC-CH=BC-CG,即DH=BG. 17.(I)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF 所以BG=FG AD CB. =45°，AD=BC.在△ADE和△CBF中 ∠DAE=∠BCF,所 所以平行四边形BEFG是菱形. AE CF, 由(1I)知四边形BEFG是矩形. 以△ADE≌△CBF(SAS. 所以四边形BEFG是正方形. (2)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AC⊥ 2.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，所 BD,OA=OB=OC=OD.因为AB=AD=4,所以BD= 以∠D=∠A=90°，HG=HE √AB+AD2=42=AC.所以0A=OB=22.因为AE= [EH HG, 在Rt△AHE和Rt△DGH中 所以Rt△AHE≌ AH DG. CF=2,所以OE=OA-AE=OC-CF=OF=√2.所以四 Rt△DGH(HL)· 边形BEDF为菱形，DE=√OD+OE=√I0.所以四边形 所以∠AEH=∠DHG BEDF的周长为：4DE=4√I0. 因为∠AHE+∠AEH=90°，所以∠AHE+∠DHG=90° 18.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB 所以∠EHG=90° =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= 所以四边形EFGH为正方形. EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°.因为DH=CE=BK,所以 AH 4,CG DC-DG 5. HG=KE=AB.所以△ADH≌△ABK≌△KEF≌ △HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF,∠DAH=∠BAK所 由勾股定理，得HG=√DG+DH=25. 以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+∠KAD=∠BAK+ 因为四边形EFGH是正方形，所以FG=25,∠EFG= ∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH是正方形 90° (2)连接AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 所以∠CFG=180°-∠EFG=90 KF=√IO,因为CE=1,所以BK=EF=1.根据勾股定理，得 由勾股定理，得CF=√CG-FG=5. 6