第29期 21.1 四边形及多边形 21.2 平行四边形-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 专题铺 第27期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话 20.1勾股定理及其应用 0351-5271248 三角形中位线应用宝典 20.1.1认识勾股定理 第28期综合测评卷 基础训练1.B;2.18;3.1. 参考答案 4.(1)16+x2. -、1.C;2.B; 3.A;4.A; ◎河北李妍 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD 5.C;6.D; 三角形中位线定理在一个题设下，有两个 解：因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， +CD=3+x.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 7.B;8.A; 结论：一个是线段之间的位置关系，另一个是线 段之间的数量关系.这个定理在证明、计算、作 所以DE=BF=2AB=3,FE=BD=)BC= AB2+AC2=BC2.又因为AB=5,AC2=16 9.C;10.C 二、11.6： 图中都有广泛的应用，是三角形的重要性质之4.所以四边形BDEF的周长是：2(DE+FE) x,所以52+16+x2=(3+x)只.解得x=16 12.4(答案不唯 一.当三角形中有中点时，往往借助三角形中位 14. 能力提高5.55或55 13.北偏西60°： 线定理来解决相关问题， 故选B. 20.1.2勾股定理的验证 14.4.1米； 一、求角度 三、求面积 基础训练1.D;2.4. 例1如图1，在Rt△ABC 例3如图3，在△ABC中， 3.连接BF,图略.因为AC=b,所以 15.2成爱、 中，∠A=30°，点D,E分别是 AB=AC,M,N分别是AB,AC的 三、16.AC=10. 直角边AC,BC的中点，连接 中点，D,E为BC边上的点，连接 SE方彩cE=b.由题易得，△BAF为等腰直角三 17.在△ABD DE,则∠CED的度数是 ND,ME.若AB=13cm,BC= 角形.所以S四边形BDF=SAAF+SARDF= 20 中，∠ABD=90°，由 图1 10cm,DE=5cm,则图中阴影部 勾股定理，得BD= E A.709 B.60 分的面积为 ( 图3 2(b -a)(a+b)= 2+-又因为 AD2-AB2=90 2 C.30° D.20° A.25 cm? B.35 cm? 602=4500.在 C.30 cm2 解：在Rt△ABC中，∠A=30°，所以∠B= D.42 cm2 S=Sm所以=+ △BCD中，BC2 + 90°-∠A=60.因为D,E分别是AC,BC的中 解：如图3，连接MN,过点A作AG⊥BC CD2=302+602= 点G,设ME与ND相交于点O.因为BC= 0所+=子.所以。+6= 4500.所以BC2+ 点，所以DE∥AB.所以∠CED=∠B=60° CD2=BD2.所以 10cm,M,N分别是AB,AC的中点，所以MN= 故选B. 20.1.3勾股定理的应用 △BCD是直角三角 二、求周长 2BC=5cm因为AB=AC,AG⊥BC,所以BG 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 形，且∠BCD = 例2如图2，在△ABC 5.小巷的宽度为2.2米 90°.所以BC⊥CD, 中，D,E,F分别是BC,AC,AB 2BC=5cm.由勾股定理，得AG= 所以该车符合安全 20.2勾股定理的逆定理及其应用 的中点.若AB=6,BC=8,则 标准。 √AB2-BG=12cm.所以图中阴影部分的面 基础训练1.C;2.D;3.60;4.2. 18.略 四边形BDEF的周长是 积为：SAMN+SAOMN+S△OE= 2×5×12= 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由 四、19.(1)风 筝离地面的垂直高 A.28 B.14 勾股定理，得AC2=AB2-BC=144.因为AD 30(cm2). 度为61.5米 C.10 D.7 故选C =5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2.所 (2)此时风筝 以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°， 下降28米. 题型空间 (2)S四边形1BcD=84。 20.(1)略 多边形》 6.(1)∠ABC=90° (2)蚂蚁爬行的 就在你身边 (2)这架无人机向下飞行的距离(AD的 最短路径长是26cm. 21.(1)略 ◎山西侯傅俊 7 现实情景中有许多与多边形相联系的问 长)为米 (2)CE= 2 题，这些问题立意新颍，趣味性、应用性强，下面 分析：根据正多边形的外角和是360°，且每 第27期3版参考答案 举例予以说明。 个外角都相等，即可求出∠1. 一、班徽设计 解：因为“停车让行标志”可以看成是正八 五、22.(1)海 例1为了提高同学们 边形，所以∠1=360°÷8=45 题号1234567 8 港C受台风影响.理 的创新能力和设计能力，某中 故填45°. 答案AC C A B DA D 由略 学进行班徽设计大赛，如图1 三、行走路线 二、9.9； 10.3cm; 11.合格；12.12： (2)台风影响 是某班一位同学的班徽设计 例3如图3， 13.8,10;14.28或8. 海港C持续的时间 获奖作品，其形状可以近似看 只蚂蚁从点A出 为7小时. 作正五边形，则每一个内角的 发每向前爬行5厘 三、15.(1)c=41. 23.(1)点M,N 米，就向左边偏转4 c.9° (2)a=6,b=8. 度数为 不是线段AB的“勾 分析：根据正多边形的内角和公式、概念即 9°，则这只蚂蚁回 图3 16.△ABC为直角三角形.理由略. 股分割点”.理由略 可求解 到点A时，共爬行了 17.这艘轮船沿着直线AB返航至港口B, (2)BN的长为 A.100厘米 B.200厘米 3或5. 解：正五边形的内角和为：(5-2)×180°= 没有触礁的危险.理由略 C.400厘米 540°.因为正五边形的每一个内角都相等，所以 D.不能回到点A 分析：根据题意可得，这只蚂蚁回到点A时， 18.它需要爬行的最短路 每一个内角的度数为：540°÷5=108° 经过的正多边形的每个外角的度数都是9°，求 程是10cm. 故填108 出这个正多边形的边数即可得解 附加题1.(1)> 二、交通标志 解：根据题意可得，这只蚂蚁回到点A时，经过 例2交通指示牌中“停车 (2)<.理由略. 的正多边形的边数为：360°÷9°=40.所这只蚂 让行标志”外轮廓可以看成是 蚁回到点A时，共爬行了：40×5=200（厘米）. 2.(1)略. 正八边形，如图2，则∠1= 故选B. (2)原路CA长6.5千米 装理橘 2026年2月4日·星期三 初中数学 29期总第1169期 人教 八年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-156 最味方法 180°，∠A+∠D=180°.因为∠B=∠D,所 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ∠A=∠C.所以四边形ABCD为平行四边形. P行四边形的判定来“ 方法四、对角线互相平分的四边形是平行 四边形 例4如图5，在 O江西 肖建勇 口ABCD中，E,F两点在对 平行四边形的判定方法较多，综合性较强， 点P作这条直线的平行线”，一位同学设计出自 角线BD上，且BE=DF,E 涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平 己的尺规作图方案： 连接AE,EC,CF,FA.求 行四边形的性质联系.判定一个四边形是否为 在直线I上取A,B两点（点B在点A的右 证：四边形AECF是平行四边形， 平行四边形是利用平行四边形的性质解决其他侧)，分别以点P为圆心，AB长为半径；再以点B 证明：如图5，连接AC交BD于点O.因为四 问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本为圆心，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q(点 边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC,OB= 节的重点. Q和点A在直线PB的两侧)，如图3，PQ所在的OD.因为BE=DF,所以OB-BE=0D-DF, 方法一、两组对边分别平行的四边形是平直线即为所求.通过所学知识判断这个方案是 即OE=OF.所以四边形AECF是平行四边形 行四边形 的（填“正确”或“错误”） 方法五、一组对边平行且相等的四边形是 例1如图1，在口ABCD 平行四边形 中，AB=8,点E是AB上一点， 例5如图6，在四边形 AE=3,连接DE,过点C作CF ABCD中，AC与BD交于点 ∥DE,交AB的延长线于点F 1 O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足 则BF的长为 图2 图3 图 分别为点E,F,且BE=DF, A.5 B.4 C.3 D.2 解：根据作图，得PA=BQ,PQ=AB.所以∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四 解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB=四边形ABQP是平行四边形.所以PQ∥直线L. 边形. 8,所以DC=AB=8,AB∥CD.因为AE=3,所 故填正确。 证明：因为∠BAC=∠DCA,所以AB∥ 以BE=AB-AE=5.因为CF∥DE,所以四边 方法三、两组对角分别相等的四边形是平CD.因为BE⊥AC,DF⊥AC,所以∠AEB= 形DEFC是平行四边形.所以EF=DC=8.所行四边形 ∠CFD=90°.在△ABE和△CDF中， 以BF=EF-BE=3. 例3如图4，在四边形 ∠BAE=∠DCF, 故选C. ABCD中，AB∥CD,∠B ∠AEB=∠CFD,所以 △ABE ≌ 方法二、两组对边分别相等的四边形是平 ∠D.求证：四边形ABCD为平 BE DF. 行四边形 行四边形 △CDF(AAS).所以AB=CD.所以四边形 例2 如图2，对于几何作图“过直线1外 证明：因为AB∥CD,所以∠B ABCD是平行四边形， 名师点晴 AE平分∠BAD,CF平分∠BCD.求证：AF=CE, 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 平行四边彩牵手角平分线 以∠B=∠D,AD=BC,AB=CD,∠BAD= ∠BCD.因为AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,所 以∠BB=3∠BA,∠FCD=∠BCD所以 ◎广东谢建铭 ∠EAB=∠FCD.在△ABE和△CDF中， 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 r∠B=∠D, 形相关的考题也多种多样，其中与角平分线有 例2如图2，在口ABCD AB CD. 所以 △ABE 关的问题是近几年命题的热点.下面选取几例 中，∠ABC的平分线交AD于点 L∠EAB=∠FCD, 加以说明，供同学们参考 E,∠BCD的平分线交AD于点 △CDF(ASA).所以BE=DF.所以AD-DF= 一、已知平行四边形一个角的平分线 F.若AB=3,AD=4,则EF的 BC-BE,即AF=CE. 长是 图 例1如图1，在平行四 边形ABCD中，∠ABC的平 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 本周主讲 分线交AD于点E,且∠BEA AD∥CB,AB=DC=3.所以∠CBE=∠AEB, =30°，则∠A的大小为 ∠BCF=∠CFD.因为BE平分∠ABC,CF平分 21.1四边形及多边形 ∠BCD,所以∠ABE=∠CBE,∠DCF= 21.2平行四边形 ∠BCF.所以∠ABE=∠AEB,∠DFC= 学习目标：1.了解四边形和 A.150 B.1309 多边形的相关概念，并会应用多边形的内角 ∠DCF.所以AE=AB=3,DF=DC=3.因为 C.120° D.100° 和公式及外角和进行计算 AD=4,所以AF=AD-DF=1.所以EF=AE 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 2理解并掌握平行四边形的概念和性质， -AF=2. AD∥BC.因为∠BEA=30°，所以∠CBE= 3.理解并掌握判定平行四边形的方法 故填2. 4掌握三角形中位线定理的应用. ∠BEA=30°.因为BE平分∠ABC,所以∠ABE 三、已知平行四边形一组 认知重点：掌握平行四边形的 =∠CBE=30°.所以∠A=180°-∠ABE- 对角的平分线 判定定理与性质定理的综合应 ∠BEA=120° 例3如图3，点E,F分 用 故选C. 别在口ABCD的BC,AD边上， 2 素养专练 数理极 以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF,连！ 6.如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交 跟踪训练 接AE,AF.求证：AE=AF 于点O,且AO=C0,点E在BD上，满足∠EA0= ∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形 GENZONGXUNLIAN 21.1四边形及多边形 垦础训练 1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将 这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边 数为 ( A.7 B.8 C.9 D.10 5.如图4，在□ABCD中，∠B=60°，AE1 2.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设 BC,AF⊥CD,垂足分别为点E,F + 计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景 (1)求∠EAF的度数； 色宛如镶嵌于一个画框之中.如图1是一个正八 + (2)若BC=6,求线段AF的长 边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角 的度数是 () A.1059 B.120° C.135 D.150° 21.2.3三角形的中位线 垦础训练 1.如图1，CD是△ABC的中线，E,F分别是 图1 图2 AC,DC的中点，EF=1,则BD的长为() 3.如图2，正五边形ABCDE中，以CD为边作 21.2.2平行四边形的判定 A.1 B.2 C.3 D.4 等边△CDF,连接BF,则∠CBF的度数为 垦础训练 4.如图3，小明从A点出发，沿 1,为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平 直线前进2米后向左转36°，再沿直 行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相 线前进2米，又向左转36°，…，照这 6 图1 样走下去，他第一次回到出发地A 等苏以T.依是·杂铁轨表任铁勃之间昌 36°. 两根枕木构成一个平行四边形，即可得到两条铁 2.如图2，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC 点时，一共走了 米 A 图3 轨平行.判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据 的中点.若∠B=40°，则∠BDE的度数是 5.一个n边形的每个外角都相等，它的一个 是 ) () 内角与相邻外角的度数之比为7：2. A.平行线之间的距离处处相等 A.50°B.40°C.150°D.140° (1)求这个n边形一个内角的度数： B.一组对边平行且相等的四边形是平行四 3.如图3，在△ABC中，AB=BC=10,BD平 (2)求这个n边形的内角和. 边形 分∠ABC交AC于点D,点F在BC上，且BF=4, C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 连接AF,点E是AF的中点，连接DE,则DE的长 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 是 2.如图1是由4个全等的正三角形拼成的，则 B.2 C.3 D.4 图中平行四边形有 ( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 21.2平行四边形 图3 图4 4.如图4，在四边形ABCD中，∠ADC=140° 21.2.1平行四边形及其性质 图1 图图2 E,F分别是AB,AD的中点，且∠AFE=50°.若 堡础训练 3.如图2，在口ABCD中，点E,F分别在CD,BC=10,CD=6,则EF= BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BF,CF=√5，EF 5.如图5，在四边形ABCD中，点P是对角线 1.在口ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是 =3,则AB的长是 )BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点.若AD= () + 号 c BC,∠PEF=18°，求∠PFE的度数 A.65° B.55 C.50 D.409 + B.1 D.√3 2.如图1，若口ABC0的顶点A,C的坐标分别 4.在四边形ABCD中，∠A=∠C=60°，∠B 是(5,0)，(2,3)，则点B的坐标是 =∠D=120°，则四边形ABCD 平行四 A.(3,7)B.(5,3)C.(7,3)D.(8,2) 边形（填“是”或“不是”） 5.已知四边形ABCD的四条边顺次为a,b,c, d,且a2+b2+c2+=2ac+2bd.求证：四边形 ABCD是平行四边形. 图1 图2 3.如图2，在口ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,线段EF经过点O,AH⊥BC于点H.若AH =2,BC=3,则图中阴影部分的面积是 数理报社试题研究中心 4.如图3，在口ABCD中，∠BCD=120°，分别 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 17.(12分)如图13，BD是△ABC的角平分 同步检测 线，点E,F分别在AB,BC上，BE=CF,ED∥BC (I)求证：四边形EFCD是平行四边形； TONGBUJIANCE (2)若∠ABC=60°，∠ADB=100°，求 ∠AEF的度数 【检测范围：21.121.2】 、精心选一选（每小题4分，共32分） 10.如图7，将口ABCD的一边BC延长至点E. 题号1 2 345678 若∠DCE=62°，则∠A= 11.如图8，四边形ABCD的对角线相交于点 答案 O,∠ABD=∠CDB,请添加一个条件 ,使 1.如图1，直线a∥b,则直线a,b之间的距离四边形ABCD是平行四边形（只填一种情况即 是 ( 可) A.线段AB B.线段AB的长度 C.线段CD D.线段CD的长度 图8 图g b 12.如图9，在□ABCD的AB,CD边上截取线 18.(14分)如图14，平行四边形ABCD中，点 图1 图2 段AF,CE,使AF=CE,连接EF,点M,N是线段E是AB边上一点，CE=AB,DF1BC,交CE于点 2.如图2，在平行四边形ABCD中，∠A=EF上的两点，且EN=FM,连接AW,CM.若 G,连接DE,EF 140°，则∠D的度数为 ( )∠CMF=100°，∠CEM=70°，则∠NAF= A.40° B.70 C.110° D.1409 ()求证：∠AED=0°-2∠DCE: 3.一个正多边形的每个内角都等于135°，则 13.将一个正五边形与一个正八边形按如图 (2)若点E是AB边的中点，∠EFB=45°，求 该正多边形的边数是 ( )10所示的方式放置，顶点A,B,C,D在同一条直线证：DE⊥EF A.6 B.8 C.10 D.12 上，E为公共顶点，则∠FEG+∠BEC的度数是 4.已知四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的 度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 C.2:2:3:4 D.2:3:2:3 5.如图3，□ABCD纸片中，∠A=120°，AB= 图10 图11 4,BC=5,剪掉两个角后，得到图形AEFCGH.已知 ! 14.如图11，在平行四边形ABCD中，AB= ∠EFC=∠AHG=120°，且EF=1,HG=2,则图6cmAD=10cm,点P在AD边上，以每秒1cm的 形AEFCGH的周长为 ( ) 速度从点A向点D运动，点Q在CB边上，以每秒 A.12 B.15 C.16 D.18 :2cm的速度从点C出发，在CB之间做往返运动， 两个动点同时出发，当点P到达点D时，两点同时 停止运动，设运动时间为(s)(t>0).在点P,Q的 运动过程中，当t= s时，四边形APQB为 附加题⊙ 平行四边形 (以下试题供各地根据实际情况选用)》 三、耐心解一解（共44分） 图3 图4 1.(8分)综合与实践 6.某区街道如图4所示，其中CE垂直平分 15.(8分)若一个n边形的内角和 6比它的 (1)思考探究：如图1，△ABC的内角∠ABC AF,BD∥CF,BC∥DF.从B站到E站有两条公交 外角和少150°，求n的值 的平分线与外角LACD的平分线相交于点P,则 线路：线路1是B→D→A→E,线路2是B→C→ ∠P与∠A的关系是 F→E,则两条线路的长度关系为 (2)类比探究：如图2，在四边形ABCD中，设 A.线路1较短 B.线路2较短 ∠A=a,∠D=B,+B>180°，四边形ABCD的 C.相等 D.无法确定 内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交 7.将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后 于点P,求∠P的度数（用含α，B的代数式表示）： 剩下的多边形的内角和为 (3)拓展迁移：如图3，将(2)中a+B>180 A.180°或360° B.180°或540° 改为a+B<180°，其他条件不变，则∠P= C.360°或5409 D.180°或360°或540° _（用含α，B的代数式表示) 8.如图5，四边形ABCD中， AD∥BC,BC=3,AB=5,AD M =6.若点M是线段BD的中点， R 则CM的长是 () 图5 16.(10分)如图12，在口ABCD中，E为BC边 图1 图2 A号 B.2 c D.3 上一点，且AB=AE.求证：△ABC≌△EAD 2.(12分)如图4，已 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 知AC=AE,BC=BE 9.如图6，A,B两点被一座山隔开，M,N分别 ∠AEB=∠CAD,CD⊥E 是AC,BC的中点，测量MN的长度为30m,那么AB CE. 的长度为 m. (1)求证：四边形 4 图12 ABCD是平行四边形； (2)若AD=CD=3,AC=4,求CE的长 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 拨评柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY) 第29~32期(2026年2月)】 第29期2版 21.2.3三角形的中位线 21.1四边形及多边形 基础训练1.B;2.D;3.C;4.4. 基础训练1.C;2.C;3.66°；4.20. 5.因为P是BD的中点，E是AB的中点，F是CD的中点，所 5.(1)这个n边形一个内角的度数为：180°×7本2= 7 以PE=号4D,PF=BC因为AD=BC,所以PE=PE所 140°. 以∠PFE=∠PEF=18. (2)这个n边形的每个外角的度数为：180°-140°=40°. 第29期3版 360°÷40°=9， 所以这个n边形的内角和为：(9-2)×180°=1260°. 题号12345678 21.2平行四边形 答案DABDBCD C 21.2.1平行四边形及其性质 二、9.60； 10.118°； 11.答案不惟一，如AB=CD: 基础训练1.C;2.C;3.1.5. 12.30:13.17；14.3或10. 4.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC= AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是等边三角形， 三、15.由题意，得(n-2)×180°×人=360°-150°.解得 6 所以CD=DF,BC=BE,∠EBC=∠CDF=60°.所以AB= n=9. DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE= 16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD= ∠FDA.所以△ABE兰△FDA(SAS).所以AE=AF BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB. 5.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，所以 AB EA. AD∥BC,∠D=∠B=60°.所以∠BAD=180°-∠B=120. 所以∠B=∠DAE.在△ABC和△EAD中 ∠B=∠DAE,所 因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以∠AEB=∠AFD=90°.所以 BC AD ∠BAE=90°-∠B=30°，∠DAF=90°-∠D=30°.所以 以△ABC≌△EAD(SAS). ∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=6O°. 17.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD= (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6,所以AD= ∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以∠EBD= BC=6由(1)知∠DAP=30e所以DF=之AD=3.由勾股 ∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED=CF.又ED∥ FC,所以四边形EFCD是平行四边形 定理，得AF=AD-DF=3 (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，所以 21.2.2平行四边形的判定 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是. ∠ABD=7∠ABC=30.因为∠ADB=100,所以∠A= 5.因为a2+b2+c2+=2ac+2bd,所以(a-c)2+(b- 180°-∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形EFCD是平行四边 d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是平行四边形. 形，所以EF∥AC.所以∠AEF=180°-∠A=130°. 6.由对顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和△COD 18.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD ,∠EAO=∠DC0. AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以∠CDE=∠CED 中，{A0=C0,所以△A0E≌△C0D(ASA).所以OE =(1800-∠DCE)=900-分∠DCE所以∠ABD= I∠AOE=∠COD, =OD.所以四边形AECD是平行四边形. ∠CDE=90°-2LDCE 1 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 (2)延长DA,FE交于点M,图略.因为点E是AB的中点，=∠B.又DA=AE,所以△DFA≌△ABE.所以DF=AB 所以AE=BE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ (2)因为AB=4,所以DF=4.因为四边形ABCD是矩形， BC.所以∠M=∠EFB=45°.由对顶角相等，得∠AEM= 所以∠ADC=90°.因为∠FDC=30°，所以∠ADF=∠ADC- ∠FEB.所以△AEM兰△BEF(AAS).所以ME=FE.因为DF ∠FDC=60°.所以∠DAF=90°-∠ADF=30°.所以AD= ⊥BC,所以∠DFB=90°.所以∠DFE=∠DFB-∠EFB= 2DF=8. 45°.所以DM=DF.所以DE⊥EF 能力提高5.45. 附加题1(DLP=子∠A 6.(I)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.所以 ∠BAC=LFCO.由对顶角相等，得∠AOE=∠COF.又AE= (2)延长BA,CD相交于点F,如图，因 CF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF. 为∠BAD=a,∠CDA=B,a+B>180°， 。 (2)连接OB,图略.因为△AOE≌△COF,所以OA=0C, 所以∠FAD=180°-∠BAD=180°-a,∠FDA=180°- 即O为矩形ABCD对角线的交点.所以OA=OB.所以∠BAC ∠CDA=180°-B. =∠ABO.因为BE=BF,OE=OF,所以BO⊥EF在Rt△BEO 在△FAD中，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA)=180°- 中，∠BEF+∠ABO=9O°.因为∠BEF=2∠BAC,所以 (180°-au+180°-B)=a+B-180°. 2∠BAC+∠BAC=90°.所以∠BAC=30°.因为四边形ABCD 因为BP平分∠ABC,CP平分∠DCE,所以由(1)的结论， 是矩形，所以∠ABC=90°.因为BC=2,所以AC=2BC=4. 得P=分P=0+部-0 1 根据勾股定理，得AB=√AC-BC=25. (3)90°-之a-28 21.3.1.2直角三角形斜边上的中线 2.(1)因为AC=AE,BC=BE,所以AB⊥CE,∠AEC= 基础训练1D:2C:3.C:4号 ∠ACE,∠BEC=∠BCE. 5.连接CE,图略 所以∠AEC+∠BEC=∠ACE+∠BCE,即∠AEB= (I)因为CD=CB,E为BD的中点，所以CE⊥BD. ∠ACB. 所以∠AEC=90° 因为∠AEB=∠CAD,所以∠ACB=∠CAD 因为F为AC的中点，所以EP=方AC=1. 所以BC∥AD. (2)因为∠BAC=45°，所以∠ACE=90°-∠BAC=45°. 因为CD⊥CE,所以AB∥CD. 所以AE=CE.因为F为AC的中点，所以EF垂直平分AC.所以 所以四边形ABCD是平行四边形. AM=CM.所以BC=CD=CM+DM=AM+DM. (2)过点A作AG⊥CD于点G,图略 21.3.1.3矩形的判定 所以AG∥CF. 基础训练1.D;2.B; 又AB∥CD,AB⊥CE,所以CF=AG 3.答案不惟一，如DE=FG;4.13. 根据勾股定理，得AC2-CG=AD2-DG,即42-(3- 5.因为BE∥DF,所以∠DFC=∠AEB DG)2=32-DG2 所以180°-∠DFC=180°-∠AEB,即∠DFA=∠BEC. 解得DG=号 又DF=BE,AF=CE,所以△AFD≌△CEB. 所以∠DAC=∠BCA,AD=CB. 所以CF=AG=√AD-DG=4E 3 所以AD∥BC. 因为AC=AE,AB⊥CE,所以CE=2CF=85 所以四边形ABCD是平行四边形. 3 又∠BAD=90°，所以四边形ABCD是矩形. 第30期2版 能力提高6.4. 21.3特殊的平行四边形（矩形） 7.(1)因为AD∥BC,所以∠D+∠C=180°.因为∠A= 21.3.1.1矩形的性质 ∠D=90°，所以∠C=∠A=∠D=90°.所以四边形ABCD为 基础训练1.D;2.D;3.110. 矩形. 4.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠B= （2)根据折叠的性质，得∠BGE=∠A=90°，BG=AB= 90°.所以∠DAE=∠AEB.因为DF⊥AE,所以∠AFD=90°6，AE=GE.所以∠EGF=180°-∠BGE=90°.因为E是AD 2 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 的中点，所以AE=DE.所以DE=GE.又EF=EF,所以CE=AC,所以AC=BD.所以四边形ABCD是矩形. Rt△DEF≌Rt△GEF(HL).所以DF=GF所以BF=BG+GF (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，BC= =6+DF.因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=6.在AD=3. Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC+CF2=BF2,即82+(6- 根据勾股定理，得BD=√AB+AD=5. DPy2=(6+DP.解得DF=号 所以四边形BCED的周长为：2(BC+BD)=16. 2.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠ADC= 第30期3版 ∠B=∠C=90°，AB=CD. 由折叠的性质，得AB=PD,∠A=∠P=90°，∠B= 题号12345678 ∠PDF=90°. 答案A C D CC D C B 所以PD=CD,∠PDF=∠ADC,∠P=∠C. =9.35°；10.45；11.6；12.48；13.7 7 所以∠PDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF,即∠PDE= ∠CDF 14.52或45. 所以△PDE≌△CDF(ASA). 三、15.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC=AD= (2)过点E作EG⊥BC于点G,图略 8.因为AB=6,AC=10,所以AC2=AB+BC2所以∠B= 所以∠EGF=∠EGB=90°. 90°.所以平行四边形ABCD是矩形. 所以四边形ABGE和四边形EGCD都是矩形 16.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC.所以∠F 所以AE=BG,DE=CG,EG=CD=4 =∠BCE.因为E是AB的中点，所以AE=EB.又∠AEF= 在Rt△EGF中，由勾股定理，得FG=√EF-EG=3. ∠BEC,所以△AEF≌△BEC(AAS). 由(1)得，△PDE≌△CDF (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°.又∠F= 所以PE=CF,DE=DF=CG=CF+3. 30°，所以CF=2CD=8. 由折叠的性质，得AE=PE. 17.因为矩形ABCD≌矩形AEFG,所以AB=AE=1, 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2+CF2=DF2,即CF ∠DAB=∠FEA=90°，AD=BC=2.所以∠ABE=∠AEB, +42=(CF+3)2. ∠ABE+∠ADB=90°，∠AEB+∠DEF=18O°-∠FEA= 90°.所以∠DEF=∠ADB.所以EH=DH.在Rt△AEH中，根 解得CP=名 据勾股定理，得EH+AE2=AF,即(2-AH)2+12=Af.解 所以BC=2F+3=9 得A=子 第31期2版 18.(1)因为AB=AC,AD是△ABC的角平分线，所以AD 21.3特殊的平行四边形（菱形） 1上BC,∠CD=7∠BMC所以∠A0C=90因为AN为 21.3.2.1菱形的性质 基础训练1.D;2.C;3.20:4.80° △MBc外角∠CAW的平分线，所以∠CAN=子∠CL所以 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AC⊥BD.因 ∠DAE=∠CAD+∠CAN=90°.因为CE⊥AN,所以∠AEC= 为DE⊥BD,所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形 90°.所以四边形ADCE为矩形， 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC,∠ABP= (2)四边形ABDE是平行四边形.证明如下： ∠CBP.又BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS).所以PA=PC 由(1)知，四边形ADCE为矩形.所以AE=CD,AC=DE. 7.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD.所以 又AB=AC,BD=CD,所以AB=DE,AE=BD.所以四边形 ∠ABD=∠ADB.因为AE=AB,所以AE=AD.所以∠E= ABDE是平行四边形. ∠ADE.所以2∠ADB+2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE (3)DF∥AB,DF=24B =90°.所以△BDE为直角三角形 (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB=OD 附加题 1.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥BC.又 因为AE=AB,所以0c=0M=子0E=方×6=3(em. CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.所以CE=BD.又 8.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,OA= —3 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 子4C=4em,0B=8D=3em根据勾股定理，得AB= 第31期3版 ! O+0B=5cm因为S装=分4C~BD=AB.0H, 题号1 234567 8 所以DH=AC:BD=24 答案A CCBB BC D 2AB 5 cm. 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD;11.24: (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB=OD,∠DAH= 12.205;13.16；14.90°或56.25°. 2∠OAB.所以OH=OB.所以∠OHB=∠OBH.所以∠BOH= 三、I5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,∠ABD= 180°-2∠OBH.因为∠OAB=90°-∠OBH,所以∠DAH= ∠CBD.因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形， 180°-2∠OBH.所以∠BOH=∠DAH. ∠EMB=∠CBD.所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE= 18.2.2.2菱形的判定 EM.所以CF=EM. 基础训练1.B:2.D; 16.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE 3.答案不惟一，如AB=AC: -∠EAF,即∠BAE=∠DAF.因为四边形ABCD是平行四边 4.(2,22)或(2，-22). 形，所以∠B=∠D.又BE=DF,所以△ABE≌△ADF(AAS).所 AB AD, 以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形 5.在△ABC和△ADC中， AC=AC,所以△ABC≌ 17.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB= BC DC, OD,AC⊥BD.因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE △ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.因为AB∥CD,所以 =OF.所以四边形AECF是平行四边形.又AC⊥EF,所以四边 ∠BAC=∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以AD=CD.所以 形AECF是菱形. AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱形 (2)△ADE是直角三角形.理由如下： 6.(I)因为AE∥CF,所以∠EAD=∠FCD,∠AED= 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,OB=OD=4.因为BE ∠CFD.因为BA=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD= =3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE=5.因为AC⊥ CD.所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四边形； BD,所以∠AOE=∠AOD=90°.根据勾股定理，得AE2=OA AECF是平行四边形.又BD⊥AC,所以四边形AECF是菱形. +0E2=5,AD2=0A2+0D2=20.所以AE2+AD2=DE.所 (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2.在 以△ADE是直角三角形. Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+(2+ 18.(1)连接AC,图略.因为四边形ABCD是菱形，所以AB BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. =BC=CD,AB∥CD.因为∠B=60°，所以∠BCD=180°- 能力提高7.(1)能.因为四边形ABCD是矩形，所以∠A ∠B=120°，△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以 =∠C=90°，AD∥BC.所以∠PBE=∠ADB=30°，BC⊥ AE⊥BC.所以∠AEC=90°.因为∠AEF=60°，所以∠FEC= CD.根据题意，得BP=2,DQ=t.因为PE⊥BC,所以PE∥ ∠AEC-∠AEF=30°.所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECE CD,∠BEP=90所以PE=之6P=1=D0.所以四边形 =30e所以∠FEC=∠CFE所以EC=CR因为CE=BC. PEQD是平行四边形.因为AB=4,所以BD=8.所以DP=8 所以CF=CD,即F是CD的中点 -2.当DP=PE时，四边形PEQD为菱形.所以8-2t=t解 (2)连接AC,图略.因为△ABC是等边三角形，所以AB= 得：=号 AC,∠BAC=∠ACB=60°.所以∠ACF=∠BCD-∠ACB= 60°=∠B.因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF (2)①当∠EPQ=90°时，四边形EPQC为矩形，所以PE -∠EAC,即∠BAE=∠CAF.所以△ABE≌△ACF(ASA).所 =QC,所以t=4-t,解得t=2:②当∠PQE=90°时，由(1) 以AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF=60°.因 得，PD∥EQ,所以∠DPQ=∠PQE=90°，在Rt△DPQ中， 为∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=20°. ∠PQD=30°，所以D0=2DP,所以t=2(8-2),解得t=6: 5； 附加题1.(1)因为点E为AB的中点，所以AB=2AE= ③不存在∠PEQ=90°的情况. 2BE. 因为AB=2CD,所以CD=AE. 综上所述，当：=2或5号时，△P0E为直角三角形， 又AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形. 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC. 定理，得CF=AC=√AD2+CD=√2. 因为AB∥CD,所以∠DCA=∠CAB. (2)过点E作EG⊥AC于点G,图略.所以∠EGA=∠EGC 所以∠DCA=∠DAC. =90°.因为AE平分∠CAD,所以ED=EG.在Rt△ADE和 所以AD=CD Rt△AGE中，E=AE,所以R△ADE兰RAAGEO(HD.所以 所以四边形AECD是菱形 LED EG, (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2,所以 AD=AG=1.所以CG=AC-AG=2-1.因为四边形ABCD AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120°. 是正方形，所以∠ACD=45°.所以∠CEG=90°-∠GCE= 所以CE=BE,∠CEB=180°-∠AEC=60° 45°.所以EG=CG.根据勾股定理，得CE=√EG+CG=2 所以∠ACE=∠CAE=30°，△CEB是等边三角形. 所以BC=2,∠ECB=60. -2. 所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=90° 能力提高6.42. 根据勾股定理，得AC=√AB2-BC=25. 7.连接BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= 所以5c=分1C·BC=25 ∠AEF=45°，AF=AE=4.根据勾股定理，得EF2=AF2+AE2 =32.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB= 2.(1)因为点E与点F关于直线CD对称，所以FD=ED, 90°.所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= FG=EG,∠EDG=∠FDG .AD AB. 因为EG∥AF,所以∠EGD=∠FDG ∠FAB.在△ADE和△ABF中 ∠EAD=∠FAB.所以△ADE 所以∠EGD=∠EDG AE AF, 所以ED=EG.所以FD=ED=FG=EG. ≌△ABF(SAS).所以DE=BF=2,∠AED=∠AFB=45° 所以四边形DEGF是菱形 所以∠BFE=∠AFB+∠AFE=90°.根据勾股定理，得BE= (2)连接FC,EC,图略. EF2+BF2 =6. 因为∠A=∠B=90°，所以∠A+∠B=180 21.3.3.2正方形的判定 所以AF∥CB. 基础训练1.A;2.D；3.不一定. 因为AF=BC=8,所以四边形ABCF是平行四边形 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1.因为 所以CF=AB=10. AB=2,所以OA2+OB2=AB2.所以∠AOB=90°.所以AC⊥ 根据轴对称的性质，得CE=CF=10, BD.所以四边形ABCD是正方形 根据勾股定理，得BE=√CE-BC=6 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°.因为BE 所以AE=AB-BE=4. ⊥EF,所以∠BEF=90°.因为∠ABE+∠CEF=45°，所以 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2=DE,即4？ ∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=18O +(8-DF)2=DF2 -(∠CEF+∠ABE)=135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+ 解得DF=5. ∠CBE)=45°.所以∠BAC=90°-∠BCE=45°.所以AB= 所以S四边形DEGF=DF·AE=20. BC.所以四边形ABCD是正方形. 第32期2版 6.(1I)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.又AB 21.3特殊的平行四边形（正方形） =CB,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB= 21.3.3.1正方形的性质 ∠CDB. 基础训练1.C;2.C;3.115. (2)因为PM∥CD,PW∥AD,所以四边形MPND是平行 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD, 四边形，∠MPD=∠NDP.所以∠MPD=∠MDP.所以PM= ∠B=∠D=90°.因为AE=AF,所以AB-AE=AD-AF,即 DM.所以四边形MPND是菱形.所以当MN=PD时，四边形 BE=DF.所以△BCE≌△DCF(SAS).所以CE=CF.因为点 MPWD是正方形. M是EF的中点，所以CM⊥EF 能力提高7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以 5.(1)因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD= AD∥BC,AD=BC.因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四 CD=1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠E因为AE平 边形.所以AD=CE.所以BC=CE 分∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE=∠F根据勾股 (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF.因 5 初中数学·人教八年级(GDY)第29~32期 为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形.因为 KE=√KF2-EF产=3.所以AB=KE=3,BE=BK+KE= AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB.因为∠DAF=∠FBE,所以 4.所以点A,E之间的距离为：AE=√AB+BE=5. ∠FBE=∠FEB.所以FB=FE.因为BC=CE,所以FC⊥BE. 附加题1.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC 所以∠BCF=90°.所以四边形ABCD是正方形 =90° 第32期3版 所以∠EBG=180°-∠ABC=90°. 所以平行四边形BEFG是矩形. 题号12345678 (2)90.理由如下： 答案B BBDBDD C 延长GP交DC于点H,图略. 二9.135°；10.6；11.答案不惟一，如AC=BD: 因为正方形ABCD和平行四边形BEFG,所以AB∥DC,BE 12.152:13.8:14.62或45+22 ∥GF,DC=BC 三、15.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠ADB 所以DC∥GF =45e因为BE=B0,所以∠B0E=∠E=分(180- 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP. 因为P是线段DF的中点，所以DP=FP ∠EBD)=67.5°.所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5°. r∠DHP=∠FGP 16.因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠DAB= 在△DHP和△FGP中 ∠HDP=∠GFP,所以△DHP≌ ∠BAF+∠DAF=90°.因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°.所以 DP FP. ∠ADE+∠DAF=90°.所以∠BAF=∠ADE.在△ABF和 △FGP(AAS). ∠B=∠EAD 所以HP=GP,DH=FG. △DAE中， ∠BAF=∠ADE,所以△ABF≌△DAE(AAS).所 当∠CPG=90°时，PG⊥PC AF DE, 所以CH=CG 以AB=DA.所以四边形ABCD是正方形. 所以DC-CH=BC-CG,即DH=BG. 17.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF 所以BG=FG AD CB. =45°，AD=BC.在△ADE和△CBF中 ∠DAE=∠BCF,所 所以平行四边形BEFG是菱形. LAE CF, 由(I)知四边形BEFG是矩形. 以△ADE≌△CBF(SAS). 所以四边形BEFG是正方形. (2)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AC⊥ 2.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，所 BD,OA=OB=OC=OD.因为AB=AD=4,所以BD= 以∠D=∠A=90°，HG=HE √AB2+AD2=42=AC.所以OA=OB=22.因为AE= EH HG. 在Rt△AHE和Rt△DGH中， 所以Rt△AHE≌ LAH DG. CF=√2，所以OE=OA-AE=0C-CF=OF=2.所以四 Rt△DGH(HL) 边形BEDF为菱形，DE=√OD2+OE=√I0.所以四边形 所以∠AEH=∠DHG BEDF的周长为：4DE=4√1o. 因为∠AHE+∠AEH=90°，所以∠AHE+∠DHG=90°. 18.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB 所以∠EHG=90. =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= 所以四边形EFGH为正方形. EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°.因为DH=CE=BK,所以 AH =4.CG DC-DG =5. HG=KE=AB.所以△ADH≌△ABK≌△KEF≌ 由勾股定理，得HG=√DG+D=25. △HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF,∠DAH=∠BAK.所 以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+∠KAD=∠BAK+ 因为四边形EFGH是正方形，所以FG=25,∠EFG= ∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH是正方形. 90°. (2)连接AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 所以∠CFG=180°-∠EFG=90° KF=√O.因为CE=1,所以BK=EF=1.根据勾股定理，得 由勾股定理，得CF=√CC-FC=√5. 6