第27期 20.1 勾股定理及其应用 20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 (上接第3版) 在学习了勾股定理后， 专题辅导 报纸发行质量反馈电话 2.（10分)著名的赵爽弦图（如图3，其中四 我们经常会遇到求最短路 0351-5271248 个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直 径的问题，现针对该类问题 选取三例分析如下，供同学 可股定理助解最短潞径间题 第26期综合测评卷 角边长都为b,斜边长都为c),由此推导出直角 三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角 们参考. ◎河南孟雅婷 参考答案 一、圆柱体中的最短路 三、长方体中的最短路径 -、1.D;2.A: 边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2 径 例3如图5，已知长方体 3.C:4.B: 例1如图1，圆柱体玻璃容器高12cm,底 的三条棱AB,BC,BD的长分别 5.B;6.A; 面周长为24cm,在容器外侧距下底1cm的点A 为4,5,2，蚂蚁从点A出发沿长E 7.B:8.B: 处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外侧距上底方体的表面爬行到点M的最短 9.C:10.A. 2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁吃到蜂蜜所 路程是 二ll.2av2a; 爬行的最短距离为 图5 cm 解析：要求长方体表面两 12.3; 图3 点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方 13.0.2ab; (1)现有4个全等的直角三角形（阴影部 体展开，然后利用“两点之间，线段最短”解答 14.35: 分)，直角边长分别为a,b,斜边长为c,将它们拼 注意将长方体展开后蚂蚁的爬行路线有3种，分 合为如图4所示的形状.请你利用图4推导上面的 别求出，选取最短的路程即可. 15.3+22 关系式 图2 ①如图6，将长方体展开，前面与上面所在 三、16.(1)96： 图1 (2)如图5，在一条东西走向河流的一侧有 的平面形成长方形ABMN.由题意，得AB=4, (2)310. 解析：如图2，将圆柱体玻璃容器的侧面展 一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB= BD=2,DM=BC=5.所以BM=BD+DM= 开，EC为底面周长的一半，过点A作AF⊥CD于 17.原式=b- AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 点F,此时AB的长度即为蚂蚁吃到蜂蜜所爬行 7.在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM= 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水 的最短距离.由题意，得AF=EC=12cm,CF AB2+BMP=42+72=65 18.(1)这场雷 点H(,点A,H,B在一条直线上)，并新修一条路 =AE=1cm,BD=2cm,CD=12cm.所以BE 雨大约能持续0.2h. CH,且CH⊥AB.测得CH=6千米，HB=4千 =CD-BD-CF=9cm.在Rt△ABF中，由勾 (2)这场雷雨 区域的直径是9km. 米，求原路CA长多少千米？ 股定理，得AB=√/AF2+BF2=√122+92= 四、19.m 225=15(cm). -36,n=36 故填15. 二、正方体中的最短路径 20.(1)长方形 图6 7 例2如图3是一个棱长为1的正方体纸 ②如图7，将长方体展开，前面与右面所在 ABCD的周长为 图5 盒.若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶 的平面形成长方形ACME.由题意，得AB=4, 262米. 点A爬到顶点B去觅食，则儒要爬行的最短路程BC=5,CM=BD=2.所以AC=AB+BC= (2)铺完整个通 是 ( 9.在Rt△ACM中，由勾股定理，得AM= 道需要花费1680元 A.3 B.2 C.5 D.3 AC2+CM=√92+22=√85 21.(1)22. ③如图8，将长方体展开，M (2)a+2b - 左面与上面所在的平面形成长 42=-2. 方形AFMD.由题意，得AF=BC (3)不能.理由 =5,MN AB =4,NF BD 2 略 图3 图4 2.所以MF=MN+NF=6.在 五、22.(1)① 解析：如图4，将正方体的侧面展开，线段 Rt△AFM中，由勾股定理，得AM 图8 AB的长即为蚂蚁需要爬行的最短路程.由题意， =√AF2+MF2=52+62=61. 4+ 6 5. 6' 得BC=1,AC=2.在Rt△ABC中，由勾股定理， 因为√61<√65<√85，所以蚂蚁从点A 得AB=√BC2+AC=√2+22=√5.所以需出发沿长方体的表面爬行到点M的最短路程是 ② Vn+ 1 +2 数理报社试题研究中心 要爬行的最短路程是5. √6i 1 (参考答案见29期) 故选C. 故填√61 =(m+1)Nn+2 (2)略. 第25期2版参考答案 4.(1)21:(2)25;(3)3,2 第25期3版参考答案 (3)原式= 19.1二次根式及其性质 ； 20253 基础训练1.B;2.A;3.π-3；4.5. (4)310 题号12345678 5.（)根据题意，得3-7≥0.解得x≤6. 2；(5)5mvm:(6)410 5xy2 答案AC B A C B D A 23.(1)① 3+2 5.(1)6:(2)24:(3)8a√b. 二、9.5n√2m;10.5;11.50; ② 2 (2)当x=-2时， 3- 19.3二次根式的加法与减法 12.3√6m2;13.2026;14.2或-2. 5+3 基础训练1.C;2.145,50;3.4;4.-6. 三、15.(1)42：(2)3：(3)143. (2)13 V3-2×(-2)=3+=2 51065:（2)4,(352+7,7 16.(1)A. 1I<11-3.理 (2)一，计算(25)2时，没有将“2”平方. 由略 (3)因为二次根式√3-2的值为零，所 能力提高6.(1)因为x=2-√3，y=2+ (3)原式=21-子5。 (3)y的最大值 5,所以xy=(2-V3)(2+5)=1,(x-y)2 17.(1)长方形木板ABCD的面积为18cm㎡2 为2+3. 以3-2=0.解得x=6. =(2-3-2-3)2=12.所以x2+y2-y= (2)木工乙的想法可行.理由略 能力提高6.设长方形封皮的宽为xcm, (x-y)2+xy=13. 18.(1)6-5. 则长为3xcm.根据题意，得x·3x=210.解得x (2)因为1<3<2，所以0<2-√3<1， (2)原式=32 =√0（负值舍去）.因为√而<√100，所以正3<2+3<4.所以2-5的小数部分是2- (3)12a-2a2+6=4. 附加题1.(1)-3+√2 方形卡片不能直接装进长方形封皮中. 5,2+5的整数部分是3，即a=2-5,b=3. (2)不是.理由略 19.2二次根式的乘法与除法 所以ax-by=(2-3)(2-√3)-3(2+3) 2.(1)a的值为28或12 基础训练1.C;2.C;3.√6. =1-73. (2)原式=5+1. 数理报 2026年1月21日·星期三 初中数学 第27期总第1167期 人教 八年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-156 名师点睛 判别直角三角形有方法 本周庄饼 20.1勾股定理及其应用 ©广东李睿泽 20.2勾股定理的逆定理及其应用 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2= D.三内角的度数之比为3：4：5 学习目标：探索勾股定理及其逆定理，并 c2,那么这个三角形是直角三角形.由此我们可 解析：根据三角形内角和定理和勾股定理 能运用它们解决一些简单的实际问题 以判别直角三角形.判别直角三角形的基本思路的逆定理可判别三角形是否为直角三角形， 认知重点：1理解并掌握勾股定理及其逆 是：①确定最长边c;②分别计算c2和a2+b2的 A.根据三角形内角和定理可求得各角分别 定理」 值；③若a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形；为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形； 2.掌握勾股定理及其逆定理在实际问题 若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形. B.设三边长的平方分别为x,2x,3x(x≠0)，因 中的应用，如求距离、判断三角形形状等问题； 方法一、已知具体线段长度判别直角三角形 为x+2x-3x,符合勾股定理的逆定理，所以此 学会将实际问题中的几何图形转化为直角三 例1下列各组数中，以它们为边的三角形三角形是直角三角形；C.设三边长分别为9x, 不是直角三角形的是 (）40x,41x(x≠0)，因为(9x)2+(40x)2= 角形，利用勾股定理及其逆定理求解 A.1.5,2,3 B.7,24,25 (41x)2,符合勾股定理的逆定理，所以此三角形 形的顶点上，则∠BAC的度数是 ( C.6,8,10 D.3,4,5 是直角三角形：D.根据三角形内角和定理可求 A.30° B.36° C.459 D.60° 解析：要判断所给的一组线段能否组成直得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是 角三角形，只要看两条较短线段长的平方和是直角三角形.故选D. 否等于最长线段的平方即可 方法三、已知三角形三边长满足的关系式 A.1.52+22=6.25≠32，不能构成直角三判别直角三角形 角形，故本选项符合题意；B.7+242=625= 例3若三角形的三边长a,b,c满足|c2- 252,能构成直角三角形，故本选项不符合题意； a2-b21+（a-b)2=0,则此三角形的形状是 图 图2 C.62+82=100=102,能构成直角三角形，故本 解析：连接BC,先分别算出△BAC三边长 选项不符合题意；D.32+42=25=52,能构成直 解析：根据绝对值和平方的非负性以及勾度的平方，再运用勾股定理的逆定理得出 角三角形，故本选项不符合题意.故选A. 股定理的逆定理即可解答。 △BAC是等腰直角三角形，进而得出∠BAC的 方法二、已知三角形的对应比判别直角三 因为1c2-a2-b21+(a-b)2=0,所以c2度数. 角形 -a2-b2=0,且a-b=0.所以2=a2+b2 如图2，连接BC.因为每个小正方形的边长 例2满足下列条件的三角形中，不是直角且a=6.所以此三角形是等腰直角三角形.故都是1，所以AB2=12+32=10,CB2=12+32 三角形的是 填等腰直角三角形. =10,AC2=22+42=20.因为10+10=20，所 A.三内角的度数之比为1：2：3 方法四、已知网格信息判别直角三角形 以AB2+CB2=AC2.又因为AB2=CB2,所以 B.三边长的平方之比为1：2：3 例4如图1，在4×4的正方形网格中，每△BAC是等腰直角三角形.所以∠BAC=45°. C.三边长之比为9：40：41 个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方故选C. 十十十十十 十十十十十 在实际问题中，有一些题目并不具备可利 用勾股定理的模型，要想顺利地解答题目，首先 题型空间 需根据实际问题构造直角三角形，现举例分析 自用 角形铺路 如下，供同学们参考 勾股定理解题 例1《九章算术》是中国 传统数学的重要著作之一，奠 ◎江西张浩然 定了中国传统数学的基本框 例2如图2是高空 所以∠AF0=L0GC=90° 架.如图1是其中记载的一道 秋千的示意图，小明从起 因为∠AOC=∠AOF+∠C0G=90° “折竹”问题：“今有竹高一丈， 图 始位置点A处绕着点O经 ∠AOF+∠0AF=90°，所以∠C0G=∠OAF 末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是： 过最低点B,最终荡到最高 A ∠AF0=∠OGC, 一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处点C处.若∠A0C=90°， D 在△AOF和△OCG中， ∠0AF=∠C0G,所 折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离点A与点B的高度差AD=1米，水平距离BD= AO OC, 地面多高？答：折断处离地面 尺高. 4米，则点C与点B的高度差CE为 米 以△AOF兰△OCG(AAS). 分析：本题考查了勾股定理的应用，解题的 分析：过点A作AF⊥OB于点F,过点C作 所以OG=AF=BD=4米 关键是根据实际问题抽象出数学图形.竹子折CG⊥OB于点G.根据“AAS”可判定△AOF≌ 设OA=x米，则OF=(x-1)米 断后刚好构造出一个直角三角形，利用勾股定△OCG,再根据全等三角形的性质可得OG= 在Rt△AFO中，由勾股定理，得AF2+OF2 理即可求解 4米.在Rt△AF0中，根据勾股定理可求得A0,=0A2,即42+(x-1)2=x2. 解：设折断处离地面x尺高。 最后根据线段的数量关系即可求出点C与点B 解得x=8.5. 根据题意，得x2+32=(10-x)2 的高度差CE. 所以OB=OA=8.5米. 解得x=4.55. 解：如图2，过点A作AF⊥OB于点F,过点 所以CE=GB=OB-OG=4.5米 故填4.55 C作CG⊥OB于点G 故填4.5. 素养·专练 数理极 3.学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股 求小巷的宽度， 跟踪训练 定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定 理的方法：如图2-①，点B是正方形ACDE边CD GENZONGXUNLIAN 上一点，连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别 20.1勾股定理及其应用 为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图 20.1.1认识勾股定理 2-②所示，该同学用两图的面积不变证明了勾 股定理。请你写出该方法证明勾股定理的过程。 垦础训练 1.如图1，在由边长为1个单位长度的小正方 形组成的网格中，点A,B都是格点（即网格线的交 点)，则线段AB的长为 20.2勾股定理的逆定理及其应用 A.2 B.5 C.6 D.7 垦训练 1.下列各组数中，是勾股数的是 ( A.1,1,2 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.9,15,17 图1 图 2.一个零件的形状如 D 2.如图2，所有涂色四边形都是正方形，所有 图1所示，按规定这个零 4 A< 三角形都是直角三角形若正方形A,B,C的面积 件中的∠A和∠BDC都应 分别为3,9,6，则正方形D的面积为 为直角，将量得的这个零 图 3.如图3，已知AC= 件各边尺寸标注在图1 20.1.3勾股定理的应用 BC,则数轴上点B所表示的 中，由此可知 数是 垦础训练 A.∠A符合要求 4.如图4，在△ABC中， B.∠BDC符合要求 1.安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形 ∠BAC=90°，AD⊥BC,垂 C.∠A和∠BDC都符合要求 图3 较为复杂，如图1，在A村与B村之间有一座大山， 足为D.已知BD=3,AB=5.设CD长为x. D.∠A和∠BDC都不符合要求 原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C= (1)根据勾股定理，得AC= (用含 3.在△ABC中，AB=8cm,BC=15cm,AC 90°)绕过村庄间的大山，打通A,B间的隧道后， x的代数式表示，结果需化简)： =17cm,则△ABC的面积等于 cm. 就可直接从A村到B村.若AC=9km,BC= (2)求x的值 4.若一个三角形的三边长分别是m+1,m+ 12km,则打通隧道后从A村到B村比原来减少的 2,m+3,则当m= 时，它是直角三角形 路程为 5.已知：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB= A.4 km B.5 km C.6 km D.7 km 90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13 (1)求∠CAD的度数； (2)求四边形ABCD的面积 图 图2 2.如图2，有两棵树，一棵高6m,另一棵高 2m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞 能力提高 到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 () A.8 m B.45mC.10mD.14m 5.若一直角三角形的两边长分别为10和5， 3.如图3，有一个由传感器控制的灯A,要装 则第三边长为 在门上方的墙上，且离地高4.5m,任何东西只要 与该灯相距5m及5m以内，灯就会自动发光，则 6.如图3，一架无人机旋停在空中点A处，点 20.1.2勾股定理的验证 A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地 名身高1.5m的学生(CD)在灯刚好发光时离 面上点C(点B,C处于同一水平面上)之间的距离 凰础训练 墙的距离CE为 4C=25米，且BC=15米 1.我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算 (1)求∠ABC的度数； 经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾 (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行 股定理的方法.下面四幅图中，不能用面积证明勾 至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上， 股定理的是 蜂蜜 连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的 图3 图4 长) 4.如图4所示的圆柱形玻璃杯高为10cm,底 面周长为16cm,在杯内离杯底4cm的点C处有 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的点A处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm. 2.由四个全等的直角三角形 5.如图5，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯 拼成如图1所示的“赵爽弦图” 子AC斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面 图中正方形ABCD的面积是10， 2米，即AB=2米，梯子底端距右墙底端1.5米， AH=3,则正方形EFGH的面积 即BC=1.5米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠 数理报社试题研究中心 在左墙时，顶端距离地面2.4米，即DE=2.4米， （参考答案见29期) 数理极 素养·测评 5 17.(10分)如图10，某一个小岛的周围有环 同步检测 岛暗礁，暗礁分布在以小岛C为圆心，半径r为 23km的圆形区域内.小岛C位于轮船A正西方向 TONGBUJIANCE 40km处，港口B位于小岛C正北方向30km处.如 果轮船沿着直线AB返航至港口B,那么它是否有 【检测范围：20.120.2】 触礁的危险？请通过计算说明理由. 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填-填（每小题4分，共24分） 港口B 题号1 34 5 6 7 8 9.若Rt△ABC的三边长为a,b,c,斜边长c 3,则a2+b2= 答案 10.如图6，在△ABC中，已知AB=AC= 小岛C 轮船A 1.如图1，若正方形A的面积为 5cm,BC=8cm,则BC边上的高为 9,正方形B的面积为4，则正方形C 图10 的面积为 ( C A.13 B.5 E C.36 D.97 图1 B 2.在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 洗手台面 所对的边，若∠A+∠C=90°，则下面等式成立的 图6 图7 18.(14分)如图11是放在地面上的一个长方 是 ( 11.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量体盒子，其中AB=9cm,BC=6cm,BF=5cm, A.a2+b2=c2 B.a2-b2=c2 得长为12m,宽为9m,对角线为15m,则这个桌面点M在棱AB上，且AM=3cm,点N是FG的中点， C.a2+c2=b2 D.a2-c2=2b2 (填“合格”或“不合格”). 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的两个外表面从点M 3.下列各组数是勾股数的是 ( 12.如图7，是某款自动感应水龙头的示意图，爬行到点八，它需要爬行的最短路程是多少（盒子 A.2,3,4 B.3,4,6 在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D底面妈蚁无法到达)？ C.6,8,10 D.4,6,7 所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感 4.如图2是由四个全等的直角三角形拼接而应装置.已知出水口D到点C的距离CD为15cm, 成，其中AE=5,BE=13,则EF2的值是() 出水口D到点E的距离为17cm,且.CD⊥AB,则红 A.128 B.64 C.32 D.144 外线感应装置距离洗手台面的高度BE为 D cm. 13.被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦 图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图8-① 所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中直角 三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为 图2 图3 c.现将这四个直角三角形无缝隙无重叠地拼接成 5.如图3，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周如图8-②所示图形ABCDEFGH,若该图形的周 附加题⊙ 长是12m,高5m,要从A点环绕油罐建梯子，正好 长为48,0H=6,则b= C= (以下试题供各地根据实际情况选用) 到达A的正上方的B点，则梯子最短需要() 1.（10分)项目化学习. A.12mB.13mC.17mD.20m 【项目主题】探究斜三角形三边的数量关系。 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 【项目内容】学习了勾股定理后，同学们知道 0 a,b,c,下列条件中不能判断△ABC是直角三角形 了直角三角形两条较小边的平方和等于最大边的 的是 平方.数学兴趣小组在此基础上对纯角三角形和 A.∠A+∠B=∠C ① 2 图8 锐角三角形三边的数量关系产生了浓厚的兴趣， B.b2+c2=a2 14.在△ABC中，若AB=26,AC=30,高AD准备展开探究. C.a:b:c=5:12:13 =24,则BC的长为 【项目任务】任务一：(1)如图1，△ABC是锐 D.∠A:∠B:∠C=5:12:13 三、耐心解一解（共44分） 角三角形，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,试 7.如图4，长方形纸片ABCD中，AB=3cm, 15.(12分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,比较a2+b与c2的大小 AD=9cm,将此长方形纸片折叠，使点D与点B重 ∠B,∠C所对的边分别为a,b,c 合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的 (1)若a=9,b=40,求c; 面积为 ( (2)若a:b=3:4,c=10,求a,b的值. A.6 cm2 B.8 cm2 C.10 em2 D.12 cm 图1 图2 兴趣小组的思路是：如图1，过点A作AD⊥BC 于点D,构造出Rt△ACD和Rt△ABD,设CD=x, 利用勾股定理通过AD相等得到等量关系，最后可 16.(8分)如图9，CD是△ABC的高，已知AD得到结论a2+b 2(填“>”“=”或 =4,BD=1,CD=2,试判断△ABC的形状，并说“<”)； 图图4 图5 明理由. 任务二：(2)如图2，△ABC是钝角三角形，且 8.如图5，正方形ABCD的边长为a,其面积标 ∠C是钝角，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,猜 记为S,以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该 想：a2+b2 c2(填“>”“=”或“<”)，并 等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方 说明理由. 形，其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去，若 图9 =2品，则n的值为 ( ) A.2024B.2025C.2026D.2027 (下转第4版)初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 装理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY) 第25~28期(2026年1月) 第25期2版 二、9.5n2m;10.5；1l.50；12.36m2; 19.1二次根式及其性质 13.2026:14.2或-2. 基础训练1.B;2.A;3.π-3；4.5. 三、15.(1)42；(2)3；(3)145. 5.（1)根据题意，得3-之x≥0.解得x≤6. 16.(1)A (2)一，计算(25)2时，没有将“2”平方 (2)当x=-2时，√3- =√-×(-2)= 1 (3)原式=21-子5 √3+I=2. 17.(1)由题意，得正方形AGFE的边长为：√I92=85(cm. 1 (3)因为二次根式√3-2的值为零，所以3- 2x=0. 所以AD=AE-DE=65cm,AB=AG-BG=5cm 解得x=6. 所以长方形木板ABCD的面积为：65×5=18(cm). 能力提高6.设长方形封皮的宽为xcm,则长为3xcm (2)木工乙的想法可行.理由如下： 根据题意，得x·3x=210. 解得x=√而（负值舍去） 根据题意，得栽出木料的长为：12÷=46(cm).因为 因为0</100，所以正方形卡片不能直接装进长方形 封皮中 46-5,65=0丽5=2所以46<659< 19.2二次根式的乘法与除法 √5所以可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行. 基础训练 1.C;2.C;3.6 18.(1)6-5. 4.()21,(2)25:(3)32 (2)原式= 2-2 6-2 ； 2+2)(2-万+(6+2)(6-2) (4)3 ⑧-6 96-94 2 ；(5)5mvm;(6)40 5xy 十…+ (8+6)(8-6) (6+4)(6-√94)+ 5.(1)6:(2)24;(3)8a6. 98-96 19.3二次根式的加法与减法 (s+V5)(V烟-6=2-万+6-2+…+ 基础训练1.C;2.145,50;3.4;4.-6. 5.(65:(2)45；3)5万+7万 56-所+丽-6)=(-万+V⑧)=3(-万 +72)=32 能力提高6.(1)因为x=2-5,y=2+5,所以y= (3)因为a= 1 (2-5)(2+3)=1,(x-y)2=(2-3-2-5)2=12. 而-3所以a=而+3.所以a-3 所以x2+y2-xy=(x-y)2+xy=13. √0.所以(a-3)2=10.所以a2-6a=1.所以12a-2a2+6 (2)因为1<5<2，所以0<2-5<1,3<2+5< =-2(a2-6a)+6=-2+6=4. 4.所以2-5的小数部分是2-5,2+5的整数部分是3，即 附加题1.(1)-3+2 a=2-5,b=3.所以ax-by=(2-5)(2-5)-3(2+ (2)不是.理由如下： 5)=1-75. 因为(m+5)(1-5)=m-3m+5-3=-5+35, 第25期3版 所以m-√5m=-2+25,即m(1-√5)=-2(1-3).所以 m=-2. 题号12345678 所以(m+5)+(5-5)=(-2+5)+(5-5)=3 答案ACBACBDA ≠2.所以m+5与5-5不是关于1的平衡数. 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 2.(1)因为a+6万=(m+n)2=m+3n2+25mn,所以沿大正方形纸片边的方向不能剪出符合要求的长方形. 所以a=m2+3n2,6=2mn. 所以mn=3. 五2a0V4+石-5V: 因为m,n为正整数，所以m=1,n=3或m=3,n=1. 1 1 ②√n+n+2=(m+1)√n+2 当m=1,n=3时，a=m2+3n2=28; 当m=3,n=1时，a=m2+3n2=12. (2)因为n为正整数，所以n+1>0.所以等式右边= 所以a的值为28或12. √(n+1)7. +=√a++2=√ 71 m+2n+1 (2)令√4-√10+25+√4+√10+25=. 1 t2+十X√中+之左边.所以等式成立 则2=4-√10+25+4+√10+25 + (a)√24+2×V60ms=2025 1 2√42-（√10+25）2=8+2√16-10-25 W2026 8+2√6-25=8+2(5-1)=6+25=(5+1)2. √/3×2026=20255. 因为t>0,所以t=√5+1. 第26期综合测评卷 a40万4石g55 (2)√3-√T<T-3.理由如下： 压不布后m3品因为 2 题号12345678910 答案DAC BBABBCA 3+√>√T+3>0,所以√3-<-3. 二、11.2a√2a;12.3;13.0.2ab; (3)因为x+1≥0，x-1≥0，所以x≥1. 14.35;15.3+22. 因为y=√x+I-√x-I+3= 2 三、16.(1)96；(2)3√0. +I+-+3, 17.由题意，得a<-1,b>1. 所以当x=1时，分母√x+I+√x-I有最小值2 所以a+1<0,b-1>0,a-b<0. 所以y的最大值为：2+3=万+3. 所以原式=-(a+1)+2(b-1)-(b-a)=-a-1+ 2b-2-b+a=b-3. 第27期2版 18.(1)这场雷雨大约能持续0.2h 20.1勾股定理及其应用 (2)这场雷雨区域的直径是9km. 20.1.1认识勾股定理 四、19.根据题意，得26-(-6)=-n-2m. 基础训练1B:2.18:3.1. 4.(1)16+x2. 所以2m+n=-36. (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x 因为m,n互为相反数，所以m+n=0. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2. 所以2m+n=m+m+n=m=-36. 又因为AB=5,AC2=16+x2,所以52+16+x2=(3+ 所以n=36. x)2. 20.(1)(128+50)×2=(82+52)×2=132 ×2=262(米).所以长方形ABCD的周长为262米. 解得：=的 (2)√128×√50-2×(/3+1)×（√/13-1）=80- 能力提高5.55或55. 2×12=56(平方米)，则56×30=1680（元），所以铺完整个 20.1.2勾股定理的验证 基础训练1.D:2.4. 通道需要花费1680元. 3.连接BF,图略. 21.(1)22. 因为AC=b,所以S正方形CE=B. (2)由题意，得a=2,b=22-2. 由题易得，△BAF为等腰直角三角形 所以a+2b-42=2+2(2√2-2)-42=2+42- 4-42=-2. 所以Sm=Saw+5am=2+之(6-0)(a+ (3)不能.理由如下： 1 因为长方形长、宽之比为2：1，所以设长方形的长和宽分 别为2xcm,xcm.由题意，得2x·x=12.因为x>0,所以x= 又因为S正方形cDE=S四边形ABDF: 6.所以2x=26.因为26=√24>16=4，即26>4， 所以8=+- 2 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 所以+宁= 所以a=6,b=8. 16.△ABC为直角三角形.理由如下： 所以a2+6=c2. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 20.1.3勾股定理的应用 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=42+22=20. 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=12+22= 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=1.5米，由勾股定理，得 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC2+CB2=20+5 AC2=AB2+BC2=6.25. =25=AB.所以△ABC为直角三角形. 所以AC=2.5米 17.连接AB,过点C作CD⊥AB于点D,图略 在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC=AC=2.5米，由勾股定 由题意可得，BC=30km,AC=40km,∠ACB=90° 理，得CD2=EC2-DE2=0.49. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC, 所以CD=0.7米. 所以AB=50km 所以BD=CD+BC=2.2米 答：小巷的宽度为2.2米 因为SAcB=4C;BC=4B;CD,所以40×30-50CD, 2 2 2 2 20.2勾股定理的逆定理及其应用 解得CD=24km, 基础训练1.C;2.D:3.60:4.2. 因为24>23，所以这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 有触礁的危险. AC2=AB2-BC2=144. 18.因为点N是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FN= 因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2. FG=3cm.因为AB=9cm,AM=3cm,所以BM=AB-AM 2 所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. =6cm.当展开图如图1所示时，因为BF=5cm,所以BW= (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12. BF+FW=8cm.由勾股定理，得MW2=BM+BN2=1O0.所 所以Saem=Sc+S=弓4C,BC+之4C,AD 以MW=10cm H =7×2x9+7×12×5=84. 6.(1)因为AB2+BC2=202+152=625,AC2=252= 625,所以AB2+BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90° M (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 M 图1 图2 CD=AD=x米，BD=(20-x)米. 当展开图如图2所示时，过点N作WP⊥BC于点P,则BP 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD=BD2+BC,即x2= =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. (20-x)2+152. 由勾股定理，得MN2=PM2+PN2=106.因为100<106，所以 解得x=12 它需要爬行的最短路程是10cm 8 附加题1.（1)>. 答：这架无人机向下飞行的距离(4D的长)为受米 (2)<.理由如下： 第27期3版 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,图略.所以BD =BC+CD=a+CD.在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2,在 Rt△ACD中，AD2=AC2-CD,所以AB-BD2=AC-CD2, 题号12345678 即c2-(a+CD)2=b2-CD2,整理，得a2+b2=c2-2a·CD. 答案ACCABDA D 因为a>0,CD>0,所以a2+b2<c2. 二、9.9；10.3cm;11.合格；12.12； 2.(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角 13.8,10;14.28或8. 形的面积，即最后化简为c2+ab; 三、15.(1)由勾股定理，得c2=a2+2=92+402=412, 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 所以c=41. 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab.根据面积相等，直 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4k(k>0). 接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+b2=c2. 由勾股定理，得c2=a2+62=(3k)2+(4k)2=25k2= (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x- (5k)2. 4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2=C 又因为c=10,所以5k=10, +Af,即x2=62+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 解得k=2. 答：原路CA长6.5千米. 3 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 第28期综合测评卷 21.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC2+BC =162+122=400,AB2=202=400, 题号12345678910 所以AC+BC2=AB2. 答案CB AA CDBA C C 所以△ABC是直角三角形. 二、11.6；12.4（答案不唯一）；13.北偏西60°； (2)连接BE,图略 因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,AE=BE, 1441米：15.2或爱 由(1)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 三、16.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=17- 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE+CB=BE,即x2+ 82=225,所以BD=15. 所以CD=BC-BD=21-15=6. 12=(16-)2,解得x=子 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD+CD2=82+62 所以SAB=SAE-SAcE=7AC·BC-CE·BC= =100,所以AC=10. 17.在△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理，得BD2=AD 的 -AB2=902-602=4500. 所以5am=之5m=7空 在△BCD中，BC2+CD=30+60=4500. 五、22.(1)海港C受台风影响.理由如下： 所以BC+CD2=BD2. 如图2，过点C作CD⊥AB于点 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. D.因为AC=300km,BC=400km, 所以BC⊥CD, ∠ACB=90°，所以在Rt△ABC中，由 所以该车符合安全标准 E 18.补充过程如下：所以S四边形BE=S△Bc+S△EF+ 勾股定理，得AB2=AC+BC= 图2 5002.所以AB=500km.因为S6ABc= Sgxmno-b),SnE- 2AC·BC=2AB·CD,所以CD=240km因为以台风中心 sam=2+6+a)6-a）=2+8-d,所以 为圆心周围250km以内为受影响区域，所以海港C受到台风 =2+8-，所以。2+= 影响。 (2)如图2，当EC=FC=250km时，台风正好影响海港 四、19.(1)由题意，得BC=80米，AB=100米，CD=BE C.在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=CE2-CD2=4900. =1.5米，∠ACB=90°. 所以ED=70km.因为EC=FC,CD⊥AB,所以EF=2ED= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2-BC=36O0. 140km.因为台风中心移动的速度为20km/h,所以140÷20= 所以AC=60米. 7(小时)，即台风影响海港C持续的时间为7小时. 所以AD=AC+CD=61.5米 23.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 所以风筝离地面的垂直高度为61.5米. 因为AM=2,MN=3,NB=4,所以AM+MN2=22+32 (2)由题意，得BF=60米，A'B=100-32=68(米)，FG =BE=1.5米，∠A'FB=90° =13≠NB2,所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角 在Rt△A'BF中，由勾股定理，得A'F2=A'B2-BFP= 三角形.所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点” 1024. (2)①因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，MN为以 所以A'F=32米. AM,MW,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN=2.4, 所以A'G=A'F+FG=33.5米 所以MW2=AM2+NB2=0.72+2.42=2.52,所以MW=2.5. 61.5-33.5=28(米)，所以此时风筝下降28米. 所以AB=AM+BN+MN=5.6. 20.(1)如图1所示，点P即为所求. ②设BW=x,则MW=AB-AM-BW=12-4-x=8- D (2)如图1，过点B作BE垂直于AC于 x因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM,MW, 点E.由题意，得A1C=AC=2cm,BE= NB为边的三角形的直角边，且AM=4,所以当BN为直角三角 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 形的斜边时，BW=M2+AM,即x2=(8-x)2+4,解得x AE=AC+CE=24cm.在Rt△A,BE中， =5,此时BWN=5:当BW为直角三角形的直角边时，MW2= 图1 由勾股定理，得A1B2=A1E2+BE2=676,所以A1B=26cm, AM2+BW2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. 即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm 综上所述，BN的长为3或5