第25期 19.1 二次根式及其性质 19.2 二次根式的乘法与除法 19.3 二次根式的加法与减法-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（人教版·新教材 广东专版）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 (上接第3版) 2.(10分)阅读材料：小明在学习二次根式 在进行二次根式的运算 报纸发行质量反馈电话 后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式 时，如果能运用整式运算中 0351-5271248 附加题⊙ 子的平方，如3+22=(1+2)2，善于思考的 的相关技巧，可使运算简便 (以下试题供各地根据实际情况选用) 小明进行了以下探索： 现举例加以分析，供同学们 2025-2026学年 参考 八年级数学人教(GDY) 1.(10分)若a+b=2,则a与b的平均数 若设a+2b=(m+2n)2=m2+2n2+ 安 是1，我们称a与b是关于1的平衡数.例如，3与 技巧一、运用乘法公式 第二学期编辑计划 -1是关于1的平衡数 22mn(其中a,b,m,n均为整数)，则有a=m 例1计算：(4 第25期 +2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似 (1)5-2与」 是关于1的平衡数； 25)(5+1)2. 技式 19.1二次根式及其性 质；19.2二次根式的乘 (2)若(m+5)(1-5)=-5+35,试 a+2b的式子化为平方式的方法，请你仿照小 分析：根据乘法公式进 明的方法探索并解决下列问题： 行运算即可 巧的 法与除法；19.3二次根 判断m+3与5-5是否是关于1的平衡数， (1)若a+63=(m+5n)2,且a,m,n均 式的加法与减法 并说明理由. 解：原式=(4-23)(4 第26期 为正整数，求a的值； +25)=4. 第十九章复习与小结 (2)化简：W4-√10+25+√4+√10+25 例2计算(5+1)(6 第27期 -2)的结果是 20.1勾股定理及其应 分析：对6-2提取2后，用平方差公式 用；20.2勾股定理的逆 计算即可 定理及其应用 解：原式=(5+1)[2×(5-1)]=2 第28期 第二十章复习与小结 ×[(5+1)(5-1)]=22. 第29期 故填22. 21.1四边形及多边形 技巧二、逆用幂的运算法则 21.2平行四边形 数理报社试题研究中心 例3计算：(3-√10)23×(3+√10)24 第30期 (参考答案见27期) 21.3特殊的平行四边形 分析：通过观察可以发现，两个底数3 (矩形) 专题辅导 √0和3+√0相乘可以运用平方差公式计 第31期 算，因此可先将两个因式的指数转化成相同的 21.3特殊的平行四边形 详解“分母有理化” 指数，再逆用积的乘方法则进行计算即可。 (菱形) 解：原式=[(3-√o)(3+√0)]5×(3+ 第32期 四川吴江敏 21.3特殊的平行四边形 /10) 一、分母有理化的定义 0)时，我们通常会利用平方差公式(x+y)(x (正方形) =(-1)25×(3+10)》 分母有理化，简单来说，就是通过特定的运 第33期 算，将分母中的根式（无理数形式）转化为有理 )）=2-少来进行分母有理化如：a m+n =-3-/10 第二十一章复习与小结 数的过程.在数学运算中，含有根式的分母往往 a(m-√n) am-a/n 故填-3-√0. 第34期 会使计算变得复杂，给我们的解题带来诸多不 (m+n)(m-√n)m2-n 技巧三、运用因式分解 期中复习 良，方时重于分号是无理数反，无 例2观察下列式子： 例4已知a=2+5,b=2-√5，则代数 第35期 22.1函数的概念；22.2 1 式a26+ab2的值为 论是进行加减乘除等基本运算，还是进一步分 2-1 =2-1: 2+1(2+1)(2-1) 分析：此题可先运用提公因式法对所求代 函数的表示；第二十二 析式子的性质，都不太直观而经过分母有理 数式进行因式分解，然后代入求值即可. 章复习与小结 化.将其转化为号后，分母变成了有理数2，计算 1 5-2 3+2(5+2)(5-2 =5-2: 第36期 解：因为a=2+5,b=2-5,所以a26+ 23.1一次函数的概念； 和理解都会变得更加容易： 5-2 ab2=ab(a+b)=(2+5)(2-5)(2+5+ 23.2一次函数的图象和 二、分母有理化的基本方法 5+2(5+2)(5-2) =5-2;… 2-5)=(-1)×4=-4. 性质 1.分母为单项根式 故填-4. 当分母是单项根式，如后a,6为实线，6> 试求：(1)1 的值； 第37期 3+22 例5 若x=2-1,则x2+2x+1= 23.3一次函数与方程 0)的形式时，我们可以利用分数的基本性质，给 1 (组)、不等式；23.4实际 (2) (n为正整数)的值； n+1+√n 分析：此题可以先将x2+2x+1进行因式分 问题与一次函数 分子分母同时乘以万来实现分母有理化如： 解，再把x的值代入计算比较简便。 第38期 a·√b 1 =ab (3) 1 万+i+万+万+4+后 +…+ b 解：当x=2-1时，原式=(x+1)2=(2)2 第二十三章复习与小结 =2 第39期 例1 请你用两种方法计算： 100+Vg的值 故填2. 24.1数据的集中趋势； 24.2数据的离散程度； 解：(1)原式= 3-22 =3-22, (3+22)(3-22 牛刀小武 24.3数据的四分位数； 24.4数据的分组 方法二：压：×5.55：5 (2)原式= /n+T-/n 1.已知a=√7-1，则代数式(a-1)2+6(a 第40期 5 5×5-5 (n+I+n)(√n+I-n) -1)+9的值是 第二十四章复习与小结 2.分母为两项之和或差（含根式） n+I-元. 当分母是两项根式之和或差的形式，如 2.已知a=2√2-3，b=22+3. 第41~48期 (3)原式=2-1+5-2+…+√00 (1)求a2-2的值： 升级突破（合刊） 或a(a,m,n为实数，m2≠n且n> m+√nm-√n -√99=10-1=9. (2)求a2+b2-ab的值 数评橱 2026年1月7日·星期三 初中数学 第 25期总第1165期 人教 八年级(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-156 名师点晴 本周主饼 强化四种意识解题如虎添翼 19.1二次根式及其性质 19.2二次根式的乘法与除法 ©广东焦文静 19.3二次根式的加法与减法 二次根式的混合运算综合性强、灵活性大， 意识，切不可盲目进行 学习目标：1.了解二次根式、最简二次根 要想学好这部分内容，必须强化如下四种意识 三、运算律意识 式的概念 一、化简意识 例3 1 2.理解二次根式的性质 例1计算：(27-8)(5+2)： 计算(2-2)×√的结果是 3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法 解：原式=(35-32)(5+2) 则，会用它们进行简单的四则运算 =3×[(5-2)(5+2)] A. B.1 C.5 D.3 3 认知重点：1.会确定二次根式中字母的取 =3. 值范围. 1 点评：在二次根式的混合运算中，一般要先将 解：原式=√27×3-√12×3 2.能熟练进行二次根式的加、减、乘、除混 题中的二次根式化成最简二次根式，被开方数相同 合运算，并能运用二次根式的运算解决实际问 =5-√4 的二次根式要及时合并，这样可简化运算过程 =3-2=1. 二、顺序意识 故选B. 点评：整式运算中的运算律和运算性质在 一、二次根式的被 例2 计算：2-⑧×√6+ /1 开方数的非负性 二次根式的运算中仍然适用。 例1 若x,y都是 四、分母有理化意识 解：原式=25- 1 3 /18× 实数，且√-2+ 6+W3x3 例4计算： +/32 2+1 2-x+y=3,则x+y =25-5+ 3 √2-1 二次根式的 的值是 解：原式= +42 (2+1)(2-1) 双重非负性 A.2 3 =2-1+42 B.3 点评：二次根式的运算顺序与实数的运算 =52-1. C.5 顺序一样，都是先算乘方，再算乘除，最后算加 点评：当分母含有二次根式时，可运用平方 D.不能确定 减，有括号的要先算括号里面的.一定要有顺序 法或平方差公式进行分母有理化. 解析：根据题意，得 x-2≥0,2-x≥0， 在化简二次根式时， 品味方法 静 所以x-2=0, 很多同学不仔细审题，往 解得x=2, 往一 拿到题目就开方，造 过 所以y 成无法化简或化简错误 关斩将破化简 3 所以x+y=2+3=5. 现介绍几种二次根式的 ◎江西陈文慧 故选C 化简方法，供同学们参考。 三、先化成平方形式，再开方 二、二次根式的非负性 一、先化成因数的乘积，再开方 当被开方数是单项式时，应先将被开方数 例2若√(a-b)7=b-a,则 当被开方数是整数时，应先化成几个因数 写成含有平方的形式，再开方 ( A.axb B.a<b 的乘积，再开方 例3若y>0,则-xy可化简为 C.a≥b D.a≤b 例1化简√12的结果是 ( A.25 B.3 解析：因为√(a-b)产 C.22D.2 =b-a≥0 分析：先判断x,y的正负，再根据二次根式 所以b≥a. 分析：将被开方数12写成平方数4与3的乘 的性质进行化简. 故选D. 积，再将平方数4开方即可 解：因为xy>0,所以x,y同号，且均不为0. 例3实数a,b在数轴上对应的点的位置 解：√2=√4×3=25.故选A 又因为√x有意义，所以-x2y>0.所以x< 二、先化成分数形式，再开方 如图所示，则化简√a2+2ab+6-(√万-a)2 当被开方数是小数或带分数时，应先将其 0,y<0. +√得 化成分数或假分数的形式，再开方， 所以原式=√？，y=-xy.故 例2化简：(1)0.03； 22 填-x√-y A.a-2b B.-a-2b 四、先计算出结果，再开方 C.-2a-b D.a+2b 分析：(1)0.03是小数，在化简时应先将其化 当被开方数是数的和（或差）的形式时，应 解析：由数轴得a<0,b>0,1a1>1b1 为分数，然后再根据二次根式的性质进行化简； 先计算出其和（或差），再开方 所以a+b<0,b-a>0, (2)2是带分数，不能直接进行开方运算， 例4与√72-62-2结果相同的是（ 所以√a+2ab+b-(√b-a)2+√a 应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的 A.7-6+2 B.7+6-2 =√(a+b)-(b-a)2+√ 性质进行化简。 C.7+6+2 D.7-6-2 =l a+bl-1b-al +l al 解：(1)0.03= 3 分析：被开方数是三个数的平方差的形式，不 =-(a+b)-(b-a)+(-a) √100 10 能直接开方得7-6-2，而应该先计算，再开方. =-a-b-b +a-a=-a-2b (2) 9 3 解：√72-6-2=√49-36-4=5 故选B. 4 =3.结合选项可知A为正确答案.故选A. 2 素养专练 数理极 19.2二次根式的乘法与除法 19.3二次根式的加法与减法 跟踪训练 屋础训练 堡础训练 GENZONGXUNLIAN 1.下列二次根式是最简二次根式的是 1.化简√8-√8的结果是 19.1二次根式及其性质 A.√10 B.-2 垦础训练 B.√8x C.2 D.22 1.下列式子中，不是二次根式的是 2.某广场有一长方形花坛，两边长分别为 ( C.10 D.0.6 A.5 B.-3 2.下列计算中，正确的是 √20m和√125m,则该花坛的周长为 m, ( ) 面积为 m2. C.√2+1 D.0 A.1⑧÷2=6 3.若√2能与最简二次根式√x-I合并同 2.若√x-5在实数范围内有意义，则x的取 B.(42)2=8 类项，则x的值为 值范围是 () C.√-3)7=3 A.x≥5 B.x>5 D.23×22=26 4.已知x+y=-9,y=9,则x√至+yWy C.x≤5 D.x≠5 3.若3×口=18，则“口”中的数是 的值是 3.化简：√(3-)= 5.计算： 4.已知a,b满足√a-17+17-a=b+ 4.化简： (1)20+45; 8,则√a-b的值是 (1)√49×9； (2)√60： 5已知二次根式√。 (1)求x的取值范围； (2)求当x=-2时，二次根式3-2于：的 值； 3: (4)22.5; (3)若二次根式√3-2的值为零，求x的 值 (5)√25m; 5xy(x>0). (6) 32 5.计算： 能刀提高 (1)2×8: 能刀提高 6.【任务驱动】如图，某数学兴趣小组制做了 精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特 6.已知x=2-5,y=2+5, (1)求x2+y2-xy的值； 色包装封皮. 【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，正 (2)若x的小数部分是a,y的整数部分是b, 求ax-by的值. 方形卡片的面积为100cm';B小组成员制作长方 形包装封皮，长方形封皮的长与宽的比为3：1，面 (2)4⑤×25 积为210cm2. 5 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片 能否直接装进长方形封皮中。 (3)12√万：？五 2 V6(a>0. 数理报社试题研究中心 （参考答案见27期) 数理极 素养·测评 3 17.(10分)有一块长方形木板ABCD,木工甲 同步检 采用如图2的方式，将木板的长AD增加 25cm(即DE=23cm),完AB增加75cm(即 TONGBUJIANCE BG=7,5cm),得到一个面积为192cm2的正方形 【检测范围：19.1~19.3】 AGFE. 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 三、耐心解一解（共44分） (1)求长方形木板ABCD的面积； 题号12345678 15.(12分)计算： (2)木工乙想从长方形木板ABCD中裁出 答案 (1)⑧×但 个面积为12cm,宽为cm的长方形木料，请通 1.下列各式中，一定是二次根式的是( 过计算说明木工乙的想法是否可行 A.5 B./m c.2 D.√-20 2.无理数6的倒数是 ( 图2 名B-5 c. D.-6 6 2 3.下列运算正确的是 ( (2)(54-24)÷√3： A.3+5=33 B.√27÷5=3 C.5×5=⑧ D.35-√5=3 4.下列二次根式中，化成最简二次根式后，与 48可以合并的是 () A.√0.12 B.√/18 C./0.6 D.32 (32反-6店+3s 5.如图1，若数轴上点A, 18.(14分)在数学小组探究学习活动中，小明 遇到这样一道解答题： B对应的实数分别为-√3和 1 √5，用圆规以点B为圆心，AB 已知a=2+ ,求2m2-8a+1的值. 长为半径画弧交数轴于点C, 他是这样解答的： 则点C对应的实数是( 2-5 A.5 B.25 因为a=1 =2-3, 2+√5(2+√5)(2-5) 16.(8分)下面是小颖同学进行二次根式混合 C.35 D.45 运算的过程，请认真阅读，完成相应的问题： 所以a-2=-5. 6.已知a=/7+4,b=4-7,则 所以(a-2)2=3,即a2-4a+4=3. 5 a26b25的值为 ( V4 +(25-1)2 所以a2-4a=-1. A.17+4 B.-7-4 所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2× C.1 D.-1 =50+10-45+1…第一步 4 (-1)+1=-1. 7,后x(历+6的值应在( 请你根据小明的解题方法，解答下列问题： =分+11-45…第二步 5 (1)填空： 1 A.1到2之间 B.2到3之间 6+5 75 C.3到4之间 D.4到5之间 =11- 21 …第三步 (2)化简：1 1 1 8.已知22，√2，m是某三角形三边的长，则 (1)以上解答步骤中，第一步标①处的依据 2+万+6+2+s+6+…+ 1 √(m-42)2-√(m-82)2= ( 是 /6+94/98+√96 A.2m-122 B.122-2m .): 6 (3)若a= 03求2a-20+6的值 C.122 D.-4√2 二、细心填一填（每小题4分，共24分） R看√8a0B>0 9.化简：√50mn(n>0)= (2)以上解答步骤中，第 步开始出现 10.若√24与最简二次根式5√a+I可以合 错误，具体错误是 并，则a= (3)请计算正确的结果。 11.已知n为正整数，若计算n-√8的结果 为2√2，则n的值为 12.已知拦河坝的横断面是梯形，其上底是 8m,下底是√32m,高是5m,则横断面的面积 为 13.已知a满足12025-al+a-2026 a,则a-20252= 14.已知√49-x+√25+x=12,则 √49-x-√25+元的值为 (下转第4版)初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期(2026年1月) 第25期2版 二、9.5n√2m:10.5;11.50;12.36m2; 19.1二次根式及其性质 13.2026；14.2或-2. 基础训练1.B;2.A;3.π-3；4.5. 三15.(1)42；(2)3：(3)145. 5.(1)）根据题意，得3-≥0.解得≤6 16.(1)A (2)一，计算(25)2时，没有将“2”平方. (2)当x=-2时，5-=√-分×(-2)= （3)原式=21-子5. √/3+1=2 17.(1)由题意，得正方形AGFE的边长为：√192=83(cm). (3)因为二次根式/3- 的值为零，所以3-之=0 1 所以AD=AE-DE=65cm,AB=AG-BG=3cm. 解得x=6. 所以长方形木板ABCD的面积为：6√3×√3=18(cm2). 能力提高6.设长方形封皮的宽为xcm,则长为3xcm. (2)木工乙的想法可行.理由如下： 根据题意，得x·3x=210. 解得x=√0（负值舍去） 根据影意，得栽出木料的长为：2÷9.4,6(cm).因为 因为√7而<√100，所以正方形卡片不能直接装进长方形 封皮中. 46v6,6510s5=所以46<65 19.2二次根式的乘法与除法 √3.所以可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行. 基础训练L.C;2.C;3.√6. 18.(1)6-5 4.(1)21; (2)25;(3)32 (2)原式= 2-2 6-2 : (2+2)(2-2)(6+2)(6-2) (4)310 ⑧-√6 √96-94 2 (5)5mm;(6)40 5xy21 +…+ + (8+6)(⑧-6) (96+√94)（√96-94） 5.(1)6:(2)24;(3)8ab. （s+6(8-52-5+,6-2+…+ √98-96 19.3二次根式的加法与减法 基础训练1.C;2.145,50;3.4;4.-6. 5(65:(a)4,(35+77 6-g+vs-v06)=之(-2+v8)=(-万 +72)=32. 能力提高6.(1)因为x=2-3,y=2+5,所以xy= (2-3)(2+5)=1,(x-y)2=(2-5-2-3)2=12. (3)因为a=0-3所以a而+3.所以a-3 所以x2+y2-y=(x-y)2+xy=13. √10.所以(a-3)2=10.所以a2-6a=1.所以12a-2a2+6 (2)因为1<3<2，所以0<2-5<1,3<2+3< =-2(m2-6a)+6=-2+6=4. 4.所以2-3的小数部分是2-√3,2+√5的整数部分是3，即 附加题1.(1)-3+2. a=2-5,b=3.所以ax-by=(2-√3)(2-√5)-3(2+ (2)不是.理由如下： 3)=1-73. 因为(m+3)(1-3)=m-√3m+3-3=-5+33, 第25期3版 所以m-√3m=-2+23,即m(1-√3)=-2(1-√3).所以 m=-2. 题号 1 2 3456 78 所以(m+√3)+(5-5)=(-2+5)+(5-√3)=3 答案A ≠2.所以m+3与5-5不是关于1的平衡数. 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 2.(1)因为a+65=(m+5)2=m2+3n2+23mm,所以沿大正方形纸片边的方向不能剪出符合要求的长方形. 所以a=m2+3n2,6=2mn. 所以mn=3. 五2104+石=5V: 因为m,n为正整数，所以m=1,n=3或m=3,n=1. ②a++2=a+V+ 1■ 当m=1,n=3时，a=m2+3n2=28; 当m=3,n=1时，a=m2+3n2=12. (2)因为n为正整数，所以n+1>0.所以等式右边= 所以a的值为28或12. a+)V+2=√a+1)n+2 /1 2+2n+1 ‘n+2√n+2 (2)令V√4-V√10+25+√/4+√10+25=t. /n2+2n +、1 则=4-√10+25+4+√10+25 + n+2 n+2√n+ +n+2=左边.所以等式成立 1 /1 2W42-(V√10+25)2=8+2√16-10-2√5 (3)√24+20m6×√6078=2025 V2026 8+2√6-25=8+2(5-1)=6+25=(5+1)2. 3×2026=20253. 因为t>0,所以t=5+1. 23.(1)①。1 2 第26期综合测评卷 3+2:② 5+5 (2)3-√T<√T-3.理由如下： 题号12345678910 丽而Bm3因为 答案DAC B BAB BC A √3+行>T+3>0,所以3-<√T-3. 二、11.2a√2a;12.3；13.0.2ab: (3)因为x+1≥0，x-1≥0，所以x≥1. 14.35;15.3+22. 2 三、16.(1)9√6；(2)3√10. 因为y+T可+3=十后+3 17.由题意，得a<-1,b>1. 所以当x=1时，分母√x+I+x-T有最小值2. 所以a+1<0,b-1>0,a-b<0. 厅以y的最大值为：号+3三2+3 所以原式=-(a+1)+2(b-1)-(b-a)=-a-1+ 2b-2-b+a=b-3. 第27期2版 18.(1)这场雷雨大约能持续0.2h. 20.1勾股定理及其应用 (2)这场雷雨区域的直径是9km. 20.1.1认识勾股定理 四、19.根据题意，得26-（-√6)=-n-2m. 基础训练1.B;2.18;3.1. 4.(1)16+x2. 所以2m+n=-36. (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x 因为m,n互为相反数，所以m+n=0. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2. 所以2m+n=m+m+n=m=-36. 又因为AB=5,AC2=16+x2,所以52+16+x2=(3+ 所以n=36. x)2. 20.(1)(128+√50)×2=(82+52)×2=132 解得=乌 ×2=262(米).所以长方形ABCD的周长为262米. (2)√128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=80- 能力提高5.55或55. 2×12=56(平方米)，则56×30=1680（元），所以铺完整个 20.1.2勾股定理的验证 通道需要花费1680元. 基础训练1.D;2.4. 3.连接BF,图略. 21.(1)22. 因为AC=b,所以S正方形cE=b. (2)由题意，得a=2,b=22-2. 由题易得，△BAF为等腰直角三角形. 所以a+2b-42=2+2(22-2)-42=2+42- 所以S8Er=SAar+Samr=之2+分(6-a)(a+ 4-42=-2. (3)不能.理由如下： 2 因为长方形长、宽之比为2：1，所以设长方形的长和宽分 别为2xcm,xcm.由题意，得2x·x=12.因为x>0,所以x= 又因为S正方形ACDE=S四边形ABDP 6.所以2x=26.因为26=√24>16=4，即26>4， 所以=+-2 2 -2 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 所以2+28= 所以a=6,b=8. 16.△ABC为直角三角形.理由如下： 所以2+b2=c2. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 20.1.3勾股定理的应用 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=42+22=20. 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=12+22= 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=1.5米，由勾股定理，得 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC2+CB2=20+5 AC2=AB2+BC2=6.25 =25=AB.所以△ABC为直角三角形. 所以AC=2.5米. 17.连接AB,过点C作CD上AB于点D,图略 在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC=AC=2.5米，由勾股定 由题意可得，BC=30km,AC=40km,∠ACB=90°. 理，得CD2=EC2-DE2=0.49. 由勾股定理，得AB=AC2+BC2. 所以CD=0.7米. 所以AB=50km. 所以BD=CD+BC=2.2米. 因为Sa-4C;BC=4B;CD,所以40X30-0CD, 答：小巷的宽度为2.2米 2 2 2 2 20.2勾股定理的逆定理及其应用 解得CD=24km, 基础训练1.C;2.D;3.60;4.2. 因为24>23，所以这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 有触礁的危险. AC2=AB2-BC2=144. 18.因为点N是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FV= 因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2. G=3cm.因为AB=9cm,AM=3cm,所以BM三A正 所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. =6cm.当展开图如图1所示时，因为BF=5cm,所以BW= (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12. BF+FV=8cm.由勾股定理，得MW2=BM+BN2=100.所 所以S5n=Sc+SAn=2AG,BC+2AG:AD 以MN=10cm. H =7×12x9+7×12×5=84, 6.(1)因为AB2+BC2=202+152=625,AC2=252= 625,所以AB2+BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90. M B P C (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 图1 图2 CD=AD=x米，BD=(20-x)米 当展开图如图2所示时，过点V作NP⊥BC于点P,则BP 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2=BD+BC,即x2= =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. (20-x)2+152. 由勾股定理，得MW2=PM2+P2=106.因为100<106，所以 解得x=125 它需要爬行的最短路程是10cm. 8 附加题1.(1)>. 答：这架无人机向下飞行的距离(0的关)为空米 (2)<.理由如下： 第27期3版 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,图略.所以BD =BC+CD=a+CD.在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD,在 Rt△ACD中，AD2=AC-CD2,所以AB2-BD2=AC-CD2, 题号123456 78 即c2-(a+CD)2=b2-CD2,整理，得a2+b2=c2-2a·CD. 答案AC C A BD A D 因为a>0,CD>0,所以a2+b2<c2. 二、9.9；10.3cm:11.合格：12.12： 2.(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角 13.8,10;14.28或8. 形的面积，即最后化简为c2+ab: 三、15.(1)由勾股定理，得c2=a2+b2=92+402=412, 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 所以c=41. 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab.根据面积相等，直 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4h(k>0). 接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+=c2. 由勾股定理，得c2=a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2= (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x (5k)2. 4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2=C 又因为c=10,所以5k=10, +A,即x2=6+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 解得k=2. 答：原路CA长6.5千米 3 初中数学·人教八年级(GDY)第25~28期 第28期综合测评卷 21.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC+BC2 =162+122=400,AB2=202=400, 题号12345678910 所以AC+BC2=AB2. 答案C BAA C DBA CC 所以△ABC是直角三角形. (2)连接BE,图略。 二、11.6：12.4（答案不唯一）；13.北偏西60°； 1441米：15.2或空。 因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,AE=BE. 由(1)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 三、16.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90. 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=172- 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE2+CB=BE,即x2+ 82=225,所以BD=15. 所以CD=BC-BD=21-15=6. 122=(16-)3,解得x=子 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=82+62 所以Sam=Sam-SE=7AC~BC-CEBC= =100,所以AC=10. 75. 17.在△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理，得BD2=AD -AB2=902-602=4500. 所以Som=宁56e-空 1 在△BCD中，BC+CD2=302+602=4500. 五、22.(1)海港C受台风影响.理由如下： 所以BC2+CD2=BD2, 如图2，过点C作CD⊥AB于点 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90. D.因为AC=300km,BC=400km, 所以BC⊥CD, ∠ACB=90°，所以在Rt△ABC中，由 所以该车符合安全标准。 勾股定理，得AB2=AC2+BC2= 18.补充过程如下：所以S网边形BDE=S△ABc+S△AEF+ 图2 5002.所以AB=500km.因为S△ABc= SgcE=了ab+74b+6(6-a】=,SE=SE+ 之4C:8C=号4B:CD,所以cD=240km因为以台风中心 Se=72+7(6+a)6-a)=72+2-7d,所以 为圆心周围250km以内为受影响区域，所以海港C受到台风 8=+-,所以心+份=日 影响. (2)如图2，当EC=FC=250km时，台风正好影响海港 四、19.(1)由题意，得BC=80米，AB=100米，CD=BE C.在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=CE2-CD2=4900. =1.5米，∠ACB=90°. 所以ED=70km.因为EC=FC,CD⊥AB,所以EF=2ED= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2-BC2=3600. 140km.因为台风中心移动的速度为20km/h,所以140÷20= 所以AC=60米. 7(小时)，即台风影响海港C持续的时间为7小时. 所以AD=AC+CD=61.5米. 23.(1)点M,V不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 所以风筝离地面的垂直高度为61.5米. 因为AM=2,MN=3,NB=4,所以AM+MN2=22+32 (2)由题意，得BF=60米，A'B=100-32=68(米)，FG =BE=1.5米，∠A'FB=90. =13≠NB,所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角 在Rt△A'BF中，由勾股定理，得A'F2=A'B-BFP= 三角形.所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点”. 1024. (2)①因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，MN为以 所以A'F=32米. AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BW=2.4, 所以A'G=A'F+FG=33.5米. 所以MW=AM+NB2=0.72+2.42=2.52,所以MN=2.5. 61.5-33.5=28(米)，所以此时风筝下降28米 所以AB=AM+BN+MN=5.6. 20.(1)如图1所示，点P即为所求 A ②设BN=x,则MN=AB-AM-BN=12-4-x=8- D (2)如图1，过点B作BE垂直于AC于 x.因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM,MW, 点E.由题意，得A,C=AC=2cm,BE= NB为边的三角形的直角边，且AM=4,所以当BN为直角三角 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 E 形的斜边时，BN2=MW2+AMP,即x2=(8-x)2+42,解得x A,E=A1C+CE=24cm.在Rt△A,BE中， 图1 =5,此时BN=5;当BN为直角三角形的直角边时，MN2= 由勾股定理，得A,B2=AE2+BE2=676,所以A,B=26cm, AM+BW2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. 即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm. 综上所述，BW的长为3或5.