第32期 6.2 二元一次方程组的解法(应用) 6.3 三元一次方程组及其解法 6.4 实践与探索-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大七年级第31~35期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级 第31~35期(2026年2月) 第31期2版 所以原方程组的解为=，4， ly=1. 6.1二元一次方程组和它的解 基础训练1.D;2.B:3.4;4.0. 15.(1)由题意，得x+2y=10, l2x-y=5. 5.(1)购买甲种票x张，乙种票y张. 解得=4，即这个相同的解是x=4, 根据达在，得4”5m Ly=3, ly=3. (2)设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h. ②)由题意，海二是方程组十：6的解， ly =3 根紫题应利 所以4a+3动=L解得0=，2， L4b+3a=6. Lb=3. (3)设大马有x匹，小马有y匹. 所以4a2+62=4×(-2)2+32=25. x+y=100, 根据题意，得 3x+子=10. 16山自超盛和阳公4解82 (2)由题意，得ax+by+ax-by=10.所以2ax=10, 6.(1)表格从左到右依次填：0,2,4,6,8； 因为a=1,所以x=5. (2)表格从左到右依次填：3,2,1,0，-1： )二元-次方登，：的解为2 )将代人方我粗园，得 Lx-y=-1 6.2二元一次方程组的解法（解法） -2=8+m解得=4+3， x +2y 5m. ly m-2. 6.2.1代入消元法 因为x-y=6,所以4+3m-m+2=6.解得m=0. 基础训练1.D;2.B;3.丙：4.16. 50.e6 附加题1.设原方程组为r+y=2,① lcx-7y=8.② 6.2.2加减消元法 把r=3,代入②，得3c+14=8.解得c=-2. ly=-21 基础训练1.D;2.1;3.1. 把222代人①.{222 ly =-2ly =2 解得8： 5w叱2 12b-2a--8. 所以深方餐组为色57,2公 解8 2.(1)是； (2)因为a=1,b=-3,所以2026a-b=2026×1- (2)因为二元一次方程kx+(2k-1)y=8是“最佳”方 程，所以k+2h-1=8.解得k=3. (-3)=2029. (3)因为方程组+(m-3水y=2-m,是“最佳“方程组， 第31期3版 lmx+(n+1)y=2m+3 题号12345678 、所以n+m-3=2-m:解得{W_3 lm+n+1=2m+3. 答案C D B CAA C A 所以原方程组为3x-2y=1, 三9-1：103：1山.-号；123或15 Lx+4y=5. 因为x=P,是该方程组的解， 「x=1, ly =g 三13.(1)=4，(2) 1 ly=1: 1y=-5 所以3p-29=1解得p=1 lp+4q=5. lq=1. 14.任务一：加减消元，等式的基本性质2； 所以2印+g=3. 任务二：三； 任务三：①×2，得2x-2y=-10.③ 第32期2版 ②-③，得2x-3y-(2x-2y）=-1.解得y=1. 6.2二元一次方程组的解法（应用） 将y=1代入①，得x=-4. 基础训练1.A;2.C；3.B;4.2,4;5.30;6.1400. 初中数学·华东师大七年级第31~35期 7.设A种空调售出x台，B种空调售出y台. 工人单独工作一天，商铺应支付y元工资 限据题意，得0o5:022007-04y=10m 根糕题应，得网g得二 解得厂x=160, 答：甲工人单独工作一天，商铺应支付400元工资，乙工人 ly=180. 单独工作一天，商铺应支付550元工资. 答：A种空调售出160台，B种空调售出180台. (2)设甲工人每天完成的工作量为m,乙工人每天完成的 ·6.3三元一次方程组及其解法 工作量为n. 基础训练1.C;2.200:3.-10 1 根据题意，得6m+6m=1解得 m三18' 4m+7n=1. 1 [a =2. =8 In=9 b=-3 (2){y=3, 所以单独请甲工人完成需要18天，商铺支付的维修费用 =1; 3 为：400×18=7200（元）：单独请乙工人完成需要9天，商铺支 z=-4 付的维修费用为：550×9=4950（元）. 6.4实践与探索 因为7200>4950， 基础训练1.A;2.A;3.15,10;4.525cm2 所以单独请乙工人完成，商铺支付的维修费用较少， 5.设小明在上坡路上用了x分钟，在下坡路上用了y分钟. 附加题1.设甲每小时行驶x千米，乙每小时行驶y千米. 根据装意，得6十21n解得二 30. .30 根据题意，得 60+60=4, 解得x3, 答：小明在上坡路上用了11分钟，在下坡路上用了5分钟. l4、40 =34- ly=5. y). 6.设出租车的起步价是x元，超过3km的部分每千米收费 y元 相遇前：(4-1)÷(3+5)=号（小时）： 限经蓝金代十侣》的 ly=1.5 相遇后：(4+1)÷(3+5)=冬（小时）. 答：出租车的起步价是5元. 能力提高7.(1)设购进一台小风扇需要x元，购进一台 答：在他们出发后号小时或氵小时两人相距1千米。 大风扇需要y元. 2.(1)1650. 根据题意，得20x+0=110解得=15， (2)①设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元. 115x+20y=1825. Ly=80 答：购进一台小风扇需要15元，购进一台大风扇需要80元 根跟题意得+01州￥得0 Ly=50. (2)设购进小风扇a台，大风扇b台. 答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元. 根据题意，得15a+80b=900.整理，得a=60-6b 30 ②每箱打折牛奶的价格为：30×0.6=18（元），每箱打折 咖啡的价格为：50×0.6=30（元），即每箱打折咖啡的价格与 因为ab均为正整数所以8或。或8 每箱牛奶的原价相同. Lb=3 设采购牛奶与咖啡共α箱，采购原价咖啡b箱，则采购打折 所以有3种购买方案，最多可以购买44台小风扇. 牛奶·箱，采购打折咖啡与原价牛奶共（子-）箱。 第32期3版 题号1234567 8 根据题意，得18×4+30（子a-)+506=120, 答案CCC D C B C B 整理，得6=60-品 =[32i4010:181:1卫3 因为a均为正格数所心[G:皮[：0， 三、13.设商场购进“滨滨”x个，“妮妮”y个. 又因为a>b,所以a=40,b=6. 限据题童彩代55m解： 答：此次按原价采购的咖啡有6箱。 Ly=400. 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个. 第33期综合测评卷 14.设换了清酒x斗，醑酒y斗. -、题号123456789101112 15 [x= 根据题意，得：+y=5, 7 答案D DC C AB CB DD C D 解得{ 110x+3y=30. =9 二13.y=1-5x;14.5;15.81,54; 16.0或-1或-2. 答：换了清酒9斗，丽酒9斗 三17.(1)=5，(2)=3， lb=3: Ly=-1. 15.设学校合唱队原来有x名女生，y名男生， 根装题盒利利及 1区由题意儿；2欢好四 ly=6. 19.设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，修建每个B种 所以5+6=11（名）. 光伏车棚需投资y万元。 答：学校合唱队原来共有11名学生 16.(1)设甲工人单独工作一天，商铺应支付x元工资，乙 限浆宽意，得十邮得二2 l5x+3y-21. 初中数学·华东师大七年级第31~35期 答：修建每个A种光伏车棚需投资3万元，修建每个B种光 (5)5n-9≥-1；(6)2(4+a-3)>20. 伏车棚需投资2万元 7.1.2不等式的解集 20.因为(2x-4)2+1y-=0所以2x-4=0,y-2 基础训练1.D; 2.答案不惟-，如2*≥0：3.2， =0.解得￥=2，y=7将 1代人方程组 1y=2 4.由题意，得3m+2m≤-10.所以m≤-2.数轴表示略. 7.2不等式的基本性质 +4=子得 「2m+2=3 n, 基础训练1.A;2.B; 解得m=20,所以2m 3.(1)<,(2)≥；4.a<0;5.> 3x+ny=m,6+2m=m. 1 Ln=28. 6.因为4>1，所以M-p=4-20+1=0,1>0,p 3 3 1 n + 4mm=152. N=2a+1-0+2=a1>0. 3 3 3 21.(1)由题意，得 所以M>P,P>N.所以M>P>N ∫260x+(560-260)y=351, 7.3解一元一次不等式（解法） 1260x+(600-260)y+(760-600)×0.9=521. 基础训练1.B;2.D: 解得x=0.6, 1y=0.65. 3x<-7;412:5a<-2 (2)小海家申请“一户多人口”政策后，7月的电费为：0.6 ×360+(560-360)×0.65=346(元)； 6数轴表示略(0x≥5：(2<号 8月的电费为：0.6×360+(700-360)×0.65+(760- (3)x≥-1；(4)x<1. 700)×0.9=491(元). 能力提高7.因为关于x的不等式(a-2)x”+2-1<5是 (351+521)-(346+491)=35(元). 元一次不等式，所以a+2=1.解得a=-1. 答：小海家2025年7,8月份共可节省35元电费. 当a=-1时，不等式9ax+3a-4b<0可化为-9x-3- 22.(1)设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共 能坐学生b人. 4h<0.解得x>-3-46 9 银据恶点，得在8W1m解得8二0 又因为该不等式的解集为x>号所以3，也=专 9 所以50÷2=25（辆），50÷5=10（辆）. 答：两座车租用了25辆，五座车租用了10辆 解得6。一子 (2)设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用小巴车(24-x 第34期3版 -y)辆. 根据题意，得2x+5y+7(24-x-y)=100. 题号12345678 整理，得5x+2y=68. 答案D CBBDB C A 因为x,y为非负整数，且x+y<24, 二、9.-3；10.>；11.-5；12.0或-1. 所以=8：或=10或=12， ly=14ly=91y=4. 三，13.16r-2<0:(2)7+7≤0： 所以对应的24-x-y的值依次为2,5,8. 所以符合要求的租车方案有3种： (3)-3 t-2x>x+10. 方案1：租两座车8辆，五座车14辆，小巴车2辆： 方案2：租两座车10辆，五座车9辆，小巴车5辆： 14.数轴表示略.(1)x≤2；(2)x>3:(3)x≥3 方案3：租两座车12辆，五座车4辆，小巴车8辆. 15.解不等式2x-1>5,得x>3. (3)方案1的租金为：2×8×18+5×14×8+2×49= 解不等式5x+1≤-4，得x≤-1. 946(元)： 因为有理数a是不等式2x-1>5的最小整数解，有理数 方案2的租金为：2×10×18+5×9×8+5×49= b是不等式5x+1≤-4的最大负整数解， 965(元)； 所以a=4,b=-1. 方案3的租金为：2×12×18+5×4×8+8×49= 所以不等式ax-9<b可化为4x-9<-1. 984(元). 解得x<2. 因为946<965<984，所以租金最低的租车方案是方案 1,最低租金为946元 16.解方程组-y=3。得x=2a+L l2x +y 6a, 【y=2a-2. 第34期2版 因为x+y<3,所以2a+1+2a-2<3.解得a<1. 解不等式3b-4>2b-3,得b>1.所以a<. 7.1认识不等式 附加题1.()由题意，得+6=0，。解得口=4， 7.1.1不等式 a-2b-6=0. b=-1. 基础训练1.C;2.D;3.30-6x<15. (2)将a=4,b=-1代入不等式3a-(x-2)<-4b(x 4.2,6,5.1是不等式2x-1>1的解；-9，-5是不等式x +13<12的解. -2),得12-(-2)<4(x-2.解得>号 5.(1)x-6>12;(2)2y-5<0; 所以该不等式的最小整数解为5. (3)3m+4≥0：(42a+≤4： 2.(1)有； (2)解不等式x+2>a,得x>-2+a. 3 初中数学·华东师大七年级第31~35期 解不等式x-2≤1-2x,得x≤1. 14.设需要租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8-x)辆. 由题意，得-2+a<1.解得a<3. 根据题意，得45x+30(8-x)≥300. (3)解不等式-3x≤-3m,得x≥m. 解得x≥4. 解不等式2x-1<x+1,得x<2. 答：一次将全部师生送到指定地点至少需要租用甲种客车 因为关于x的不等式-3x≤-3m与2x-1<x+1“没有 4辆. 整数交集”，所以m>2. 15.由题意，得9-4+4<4，① 13x-24+4≥7.② 第35期2版 7.3解一元一次不等式（应用）》 解不等式①.得x>是 基础训练1.B;2.B；3.22;4.7. 解不等式②，得x≥9. 5.设这批计算机有x台. 所以x的取值范围是x≥9. 根据题意，得5500×60+5000(x-60)>550000. 16.(1)设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为 解得x>104. 少元 答：这批计算机最少有105台. 根据题意，得40(x-60)+85(y-45)=2075, 6.设B设备购进x套，则A设备购进2x套 60(x-60)+100(y-45)=2700. 根据题意，得(1.5×0.8-0.8)×2x+(2×0.95-1.2)x 解得r80, ≥6，解得x三43子 Ly=60. 答：A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元 因为x为整数，所以x的最小值为44， (2)设第三周购进A水果礼盒m盒，B水果礼盒n盒. 答：B设备至少购进44套. 根据题意，得60m+45n=9000. 7.(1)设甲种稻花香大米每千克的采购价为x元，乙种稻 花香大米每千克的采购价为y元. 整理，得n=200-号m 限据题意，料化说·解降行8 根据题意，得(80×0.9-60)m+40%×45n≥3000. Ly=16. 答：甲种稻花香大米每千克的采购价为20元，乙种稻花香 整理，得12m+18m≥300，即12m+18(200-号m）≥ 大米每千克的采购价为16元. 3000. (2)设超市采购甲种稻花香大米m千克. 解得m≤50. 根据题意，得20m+16(1000-m)≤18000. 因为m,n均为正整数，所以m最大可取值为48. 解得m≤500. 答：第三周最多购进A水果礼盒48盒 答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克. 1-3m x= 7 能力提高8.D. 附加题1.由题意，得2x-3y+1=0解得 7.4解一元一次不等式组 13x-y+m=0. 3-2m 7 基础训练1.B;2.C;3.x<4;4.a>2. 5.数轴表示略. 1-3m>0, 7 (1)1<x≤3；(2)-2<x≤3； 因为0<x<y,所以 3)-2<子：(4)-}≤<-1 1-3m<3-2m 7 71 能力提高6.51或59. 解得-2<m<3 解不等式知：2<“行得-254 2.(1)设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需 51 4x-m≤4-x, 要y元 因为不等式组恰有2个整数解，即为-1,0， 跟题应，科红女0解得{上设 ly=65. 所以0≤m+4<1.解得-4≤m<1. 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要 5 所以整数m的值为-4，-3，-2，-1,0. 65元. (2)设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔(200-m)个. 根据题意，得65m+30(200-m)≤10200. 解方程组{mx+y=4,得 =4 m+3 3x-y=0, 解得m≤120. Γm+31 答：最多可购进乙型头盔120个. 因为方程组的解也为整数， (3)能实现利润不少于6190元的目标.理由如下： 所以符合条件的整数m的值为-4，-2，-1. 根据题意，得(58-30)(200-m)+(98-65)m≥6190. 解得m≥118. 第35期3版 又因为m≤120， 题号12345678 所以118≤m≤120. 因为m为整数，所以m可取值为118,119,120，对应的200 答案CDC A B AB C -m的值分别为82,81,80. 二、9.-3<x≤2；10.m<3;11.6;12.8,10. 所以该商场有3种采购方案： 三、13.数轴表示略.(1)-1≤x<5; 方案1：采购甲型头盔82个，乙型头盔118个； (2)-1<≤4：(3)号≤≤8 方案2：采购甲型头盔81个，乙型头盔119个； 方案3：采购甲型头盔80个，乙型头盔120个素养·拓展 数理极 第31期2版参考答案 “图形信息题”风采展 6.1二元一次方程组和它的解 基础训练1.D;2.B:3.4;4.0 5.(1)购买甲种票x张，乙种票y张 ◎山西 刘奇勇 在二元一次方程组的实际应用题中，图形 例2如图2，正方形 用要 信息题是一道亮丽的风景线，现列举两例解析ABCD由四个相同的大长方 (2)设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h. 如下，供同学们参考. 形、四个相同的小长方形以 例1小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏， 及一个小正方形组成，其中 根据题意，得：+y=6, lx -y=1. 各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和 四个大长方形的长和宽分 (3)设大马有x匹，小马有y匹 得分情况如图1所示，则大壮的得分是( 别是小长方形长和宽的2 倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形 根据题意，得+y:10, 1BCD的面积是 3x+兰=100， 分析：设小长方形的长为a,宽为b,则大长 6.(1)表格从左到右依次填：0,2,4,6,8： 小虎19分 大壮 分 明明21分 方形的长为2a,宽为2b.根据图形可得出关于 图1 (2)表格从左到右依次填：3,2,1,0，-1； A.20分B.22分C.23分D.25分 a,b的二元一次方程组，解之得出4，b的值，再 分析：设投中外环得x分，投中内环得y分， 利用正方形的面积公式即可得出结论， (3)二元一次方程组2x+y=4, lx-y=-1 的解为1， y=2. 根据小虎得19分和明明得21分，可得出关于x,y 解：设小长方形的长为α，宽为b,则大长方 6.2二元一次方程组的解法（解法）】 形的长为2a,宽为2b. 的二元一次方程组，解之得出x,y的值，再将其代 6.2.1代入消元法 入x+4y中即可得出结论. 根据题意，得=6+1， 基础训练1.D;2.B;3.丙；4.16. l2a =2b+a b. 解：设投中外环得x分，投中内环得y分 根据题意，得3x+2,=19, [a= ly=-3: y=-1. 2’ 解得 6.2.2加减消元法 l2x+3y=21. 基础训练1.D;2.1;3.1. 解得3， 所以大正方形ABCD的面积是：(2a+2b)2 ly=5. 4(=3,(2=0.5 rx=3, (3){ ly=1; ly=5; 所以x+4y=23.故选C. =(2×号+2×宁2=16填16 b头 专题辅导 54把=2，代人ar-=-4得 ly=-2 Lbx+ay =-8, 正整数解的应用 2a+2b=-4, 2b-2a=-8. (2)因为a=1,b=-3,所以2026a-b=2026× ©云南刑羽雯 1-(-3)=2029. 二元一次方程有无数多个解，在实际问题发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 中经常会用到二元一次方程的正整数解.现结288辆由于抽调不出足够的熟练工来完成新式 第31期3版参考答案 合例题讲解如下，供同学们参考. 电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人.他 -、题号12345678 例1《张丘建算经》是一部数学问题集，们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的 答案C D B CA A C A 其内容、范围与《九章算术》相仿.其中提出并解安装。生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和 决了一个在数学史上非常著名的不定方程问1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练 二9-1：103：1.-号；123或15 题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车.如 rx=1, 鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百果工厂抽调(0<n<5)名熟练工，使得招聘 三13.(1)=4， (2) y=1: 只，问鸡翁、母、雏各几何？”（译文：公鸡每只值的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安 -5 五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文 14.任务一：加减消元，等式的基本性质2； 装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡 任务二：三； 解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽 中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？)若买得公鸡车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车。 任务三：①×2，得2x-2y=-10.③ 和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于 ②-③，得2x-3y-(2x-2y)=-1.解得y=1. 母鸡数，则此时买得小鸡 只 根据题意，得2x+y=10,解得：=4， 将y=1代入①，得x=-4. l3x+2y=16. ly=2. 解：设公鸡买了x只，母鸡买了y只，小鸡买 设招聘a名新工人. 所以原方程组的解为：=一4， 了x只 ly=1. 根据题意，得12(2a+4n)=288. +y+名=100 化简，得a=12-2n. 15.(1)由题意，得+2=10， 解得厂心=4即 根据题意，得 l2x-y=5. y=3, 5x+3y+3=10. 因为0<n<5,且n,a均为正整数， 这个相同的解是厂x=4, 消去x,得7x+4y=100.所以y=25- 4 所以 、jn=3, 化三1，或m三2，或。=6 或 ly=3. la=10 la =8 (2)由题意，得=4是方程组+=1的 因为x,y均为正整数， 「n=4, Ly =3 Lbx +ay =6 mas( la=4. 所以工厂共有4种新工人的招聘方案： 解，所以4a+36=1, l4b+3a=6. 因为x+y≤20，且x≥y,所以x=12,y=4 方案1：招聘10名新工人，抽调1名熟练工； 所以x=84.故填84. 解得-2， 方案2：招聘8名新工人，抽调2名熟练工； b=3. 例2近几年来，新能源汽车在中国已然成 方案3：招聘6名新工人，抽调3名熟练工： 所以4a2+b2=4×(-2)2+32=25. 为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开 方案4：招聘4名新工人，抽调4名熟练工 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2026年2月10日星期= 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 32期总第1176期 华东师大 0351-5271248 七年级 (上接4版参考答案)》 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F)邮发代号：21-44 16.(1)由题意，得 「3a+2b=-1,解得 2a-b=4. 本周全讲 品味方法 a=1, 三法在手设元不愁 Lb=-2. 62二元一次方程组的解法（应用）】 (2)由题意，得ax 学习目标：通过对与生活密切相关的问题 +by+ax-by=10.所 的自主探索、交流讨论，会列二元一次方程组 ©四川 张彦华 解：设获得一等奖的学生有x名，二等奖的 三、辅助设元法 以2ax=10.因为a= 解决简单的实际问题，增强自己的思维能力 1,所以x=5. 学生有y名 对于一些较复杂的问题，往往条件隐含、关 6.3三元一次方程组及其解法 根据题意，得厂x+y=30, 系交错，这时不妨引入辅助元，在已知量和未知 学习目标：深刻感悟消元思想，掌握解三 L20x+16y=528. 量之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间 方程 组 元一次方程组的方法 的关系，列出方程组.而所引入的辅助元在解题 「x*y=8+m, 过程中被消去，不影响问题的结果.这种方法叫 酸 6.4实践与探索 x☒y=5m, 学习目标：掌握列二（三）元一次方程组解 答：获得一等奖的学生有12名，二等奖的学 做辅助设元法，也叫设而不求法 「x-2y=8+m 生有18名. 例3如图2，桌面上有甲、乙、丙三个杯 决实际问题的一般步骤，体验化复 Lx +2y =5m. 子，三个杯子内原本均装有一些水.先将甲杯的 解得=4+3m, 杂问题为简单问题的策略，准确设 二、间接设元法 间接设元法就是选取 一个和问题有关的量作 水全部倒入丙杯，此时丙杯内的水量为原本甲 Ly m -2. 元，将实际问题转化成二（三）元 为未知数，再通过这个未知数求出所要求的量. 杯内水量的3倍；再将乙杯内的水全部倒人丙 因为x-y=6,所 次方程组的数学模型， 例2用12块相同 杯，此时丙杯内的水量为原本乙杯内水量的4倍 以4+3m-m+2=6. 少150毫升.若此过程中水没有溢出，则原本甲 解得m=0. 的长方形地板砖拼成的 附加题1.设原 设元是列方程组解应用题的重要环节.只 长方形如图1所示，求这 乙两杯内的水量相差多少毫升？ 方 程组 为 有设得巧，才能解得巧，那么怎样设元呢？这里 个长方形的面积 rax+by=2,① 结合例题介绍几种方法，供同学们参考， 分析：要求长方形的面积，需要先求出长方 cx-7y=8.② 一、直接设元法 形的长，所以需要通过间接设元的方法先求出 把{=3，代人 如果题设中的关系能明确表示出所求的未 长方形地板砖的长和宽.设长方形地板砖的长 ly=-2 知量时，可采用直接设元法，即求什么就设什 为xcm,宽为ycm,根据图中的信息“长方形的 图2 ②，得3c+14=8 么，这是最常用的设元法 宽=长方形地板砖的长+长方形地板砖的宽× 解得c=-2. 分析：本题可以采用“架桥过河”的方法解 例1在一次知识竞赛中，学校为获得一等 2,长方形地板砖的长=长方形地板砖的宽× 决.根据题意可以分别设出原本甲、乙、丙杯内 把 ∫x=3, 和 奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元， Ly=-2 4”列出关于x,y的二元一次方程组，解答即可. 水的体积，然后根据题意可以列出方程组，通过 其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件 x=-2,代人①，得 解：设长方形地板砖的长为xcm,宽为ycm. 作差即可得到原本甲、乙两杯内的水量相差多 ly =2 16元，获得一等奖和二等奖的学生分别有多少名？ 根据题意，得x+2y=60, 少毫升. r3a-2b=2, 分析：由于题中的数量关系明确，可以采用 lx =4y 解：设原本甲杯内有水α毫升，乙杯内有水 -2a+2b=2. 直接设元法.设获得一等奖的学生有x名，二等 b毫升，丙杯内有水c毫升： 解得04， 奖的学生有y名，根据“获得一等奖和二等奖的 标：0 lb=5. 学生共30名”以及“一等奖奖品每件20元，二等 所以长方形的长为：2×40=80(cm), 根起装意，符日6104收 ① ② 所以原方程组为 奖奖品每件16元，共花费528元”列出关于x, 所以80×60=4800(cm2). ②-①并化简，得b-a=50. [4x+5y=2, 的二元一次方程组，解答即可 答：这个长方形的面积是4800cm2 答：原本甲、乙两杯内的水量相差50毫升 -2x-7y=8. 2.(1)是； 名师点睛 例2甲、乙两人在东西方向的公路上行 (2)因为二元一次 走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东 方程kx+(2h-1)y=8 是“最佳”方程，所以k+ 等量关系有窍门 走，那么30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人 2k-1=8.解得k=3. 同时相向而行，2分钟后相遇.问甲、乙两人的速 (3)因为方程组 贵州 戴志宏 度各是多少？ 「s+m-3y=2-m是 窍门一：借助表格分析 (2)求出x,y的值 分析：设甲的速度为x米/分，乙的速度为 Lmx+(n+1)y=2m+3 根据所要解决的问题，恰当地设出未知数， 分析：(1)根据谷物面包、牛奶的质量及这 y米/分，则本题中的数量关系如图所示.同向 “最佳”方程组，所以 结合已知条件，把一些相关的数量用表格列出 两种食物中蛋白质的占比，即可分别用含x,y的 而行为追及问题，经过30分钟，甲追上乙，这时 「n+m-3=2-m, 解 来，借助表格找等量关系 整式表示出这两种食物中蛋白质的含量； m+n+1=2m+3. 例1 在某学校食堂为学生提供的400克早 (2)根据“早餐套装的总质量为400克，且 甲行30x米，乙行30y米，甲、乙行程的差是 m=1,所以原方程 餐套餐中，蛋白质总含量为10%，包括一个谷物蛋白质总含量为10%”列出关于x,y的二元一次 300米；相向而行为相遇问题，2分钟后相遇，这 ln=3. 面包、一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋 方程组，解答即可 时甲、乙行程的和为300米，在图中可很明显地 组为x-2y=因为 的质量约为50克，其中蛋白质含量为11克；谷物 解：(1)由表格可得谷物面包中蛋白质含量 反映出这些等量关系 Lx+4y=5. 面包和牛奶的部分主要营养成分如下表所示) 为10%x克，牛奶中蛋白质含量为7%y克 西k 30 东 x=P,是该方程组的 甲 300米 Ly =q 项目 面包（占比）牛奶（占比） 故填10%x,7%y. -30y —22y- 所 蛋白质 10% 7% (2)根据题意，得 解：设甲的速度是x米/分，乙的速度是 「3p-2g=1, 脂肪 30% 3.4% 「x+y+50=400, lp+4g=5. y米/分 碳水化合物 45% 5.8% 10%x+7%y+11=400×10% =1所以2印+g=3, 根据题意，得30x-30y-30. lg=1. 设该份早餐中谷物面包为x克，牛奶为y克 解得x=150, Ly=200 2x+2y=300. (全文完) (1)请补全表格（用含有x,y的整式表示） 窍门二：利用图示法分析 谷物面包牛奶去壳鸡蛋 总量 借画示意图的方法把已知条件和未知条 质量/克 50 400 件之间的数量关系表示出来，等量关系在示意图 答：甲的速度是80米/分，乙的速度是 蛋白质含量/克 11 400×10% 上便一目了然 70米/分. 素养专练 数理极 ·6.3三元一次方程组及其解法 3.某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力 跟踪训练 乡村振兴，下表是本次购买图书的发票，部分数据 屋础训练 看不清，根据表中其他数据可求出购买《爱的教育》 GENZONGXUNLIAN x+y+2=3, ① 的数量为 《边城》的数量为 6.2二元一次方程组的解法（应用） 1.解三元一次方程组 3x+2y+z=10,② 名称 数量（本）单价（元/本）金额（元） 垦础训练 2x-y+z=-1 ③ 《假如给我三天光明》 5 50 250 时，根据下列变形可以消去未知数：的是( 《爱的教育》 30 ■ 1.甲种防腐药水含药30%，乙种防腐药水含 A.①+③，①×2-② 《边城》 ◆ 25 药75%，现用这两种防腐药水配制含药50%的防 B.①+③，③×2+② 总计 30 950 腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲 C.②-①，②-③ 4.如图，是由截面为同一种长方形的墙砖粘 种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列 D.①-②，①×2-③ 贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放 方程组正确的是 ( 2.小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商 的墙砖高10cm,两块横放的墙砖比两块竖放的墙 A.+y=18, 品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示 砖低40cm,则每块墙砖的截面面积是 30%x+75%y=18×50% 的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、 B.厂x+y=18, 4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙 10c 30%x+75%y=18 丙各1件时，应付款 元 C.x+y=18, rx+y=8, 75%x+30%y=18×50% 3.方程组{y+z=-2,的解使代数式k+2y 5.小明家离学校1880米，其中有一段为上坡 D.x+y=18, z+x=4 路，另一段为下坡路.他跑步去学校共用了16分 175%x+30%y=18 ·z的值为-5，则k的值为 钟，已知小明在上坡路上的平均速度为80米/分 2.有一个两位数，十位上的数字与个位上的 4.解方程组： 在下坡路上的平均速度为200米/分，求小明在 数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大 ra-2b+4c=12, 上、下坡路上各用了多少分钟 3,则这个两位数是 ( (1)3a+2b+c=1, A.47B.56 C.63 D.84 4a-c=7: 3.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有 这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托， 对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为 5尺，那么索长 () A.25尺B.20尺C.15尺D.10尺 4.王老师买了钢笔和圆珠笔共6支作为奖 2x+3y-z=11, 6.某城市规定：出租车起步价所包含的路程 品，已知钢笔每支12元，圆珠笔每支7元，一共花 (2)2x+y-5z=8, 为0~3km,超过3km的部分按每千米另外收 了52元，则王老师买了 支钢笔， 1-2x+7y+z=19. 费.甲说：“我乘这种出租车走了11km,付了 支圆珠笔。 17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23km,付了 5.某班同学参加搬花瓶劳动，搬大花瓶人数 35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？ 比搬小花瓶人数的一半多3人，若从搬小花瓶的 同学中抽出6人搬大花瓶，则搬小花瓶和搬大花 瓶的人数相等，原来搬小花瓶的同学有 人. 6.某中学现有初、高中在校学生4200人，计 6.4实践与探索 划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生 增加11%，这样会使在校学生共增加10%，则这 垦础训练 能刀提高 所学校初中现在的在校生有 人 1.某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人 7.某风扇专卖店准备购进两款风扇，一款是 7.炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店 每天可生产镜片200片或镜架50个.两个镜片和 手持小风扇，一款是落地大风扇.已知购进20台 销售的A,B两种空调销量迅速增长.已知A空调 一个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和 小风扇和10合大风扇需要1100元：购进15台小 的进价为0.2万元/台，售价为0.5万元/台；B空 镜架，才能使生产出的产品配套？设安排x名工人 风扇和20台大风扇需要1825元. 调的进价为0.4万元/台，售价为0.7万元/台. 生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组为 (1)求购进一合小风扇和一台大风扇分别需 去年六月这两种空调的销售总额为206万元，总 要多少元； ) 利润为102万元，求A,B两种空调各售出的台数. A.x+y=60, B.x+y=60, (2)若该专卖店准备用900元购进若干合小 l200x=2×50y l2×200x=50y 风扇和大风扇（两种风扇都买，且钱刚好花完）， C.x+y=60, x+y=60, 请问有几种购买方案？最多可以购买几台小风扇？ 1 200x=50y 200x=2×50y 2.已知每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉 有6条腿，1对翅膀现有若干蜻蜓和蝉，共有 42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是 ( A.3,4 B.4,3 数理报社试题研究中心 C.2,5 D.5,2 （参考答案见34期) 数理极 素养•测评 3 15.(14分)学校合唱队男生人数是女生人数 同步检测 (五) 的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人 数的比是3：4，学校合唱队原来共有多少名学生？ TONGBUJIANCE 【检测范围：6.2（应用）6.4】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 8.有8张形状、大小完全 20 题号1234 5 6 7 8 相同的小长方形卡片，将它 答案 们按如图所示的方式（不重 叠)放置在大长方形ABCD 9 1.某校为提高学生的阅读品味，决定购买甲、 中，根据图中标出的数据可D 乙两种书籍供同学们借阅.已知每本甲种书比每 :知，1张小长方形卡片的面积是 本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共 A.72 B.68C.64 D.60 16.(16分)某商铺进行维修，若请甲、乙两名 花费230元.设每本甲种书x元，每本乙种书y元， 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 工人同时施工，则6天可以完成，共需支付两人工 则可列方程组为 A.x-y=5, B.x+y=5, 9.已知两数x,y之和是2，x比y的2倍大14，资5700元；若先请甲工人单独做4天，再请乙工人 则可列方程组为 单独做7天也可完成，共需支付两人工资5450元. l3x+4y=230 3x+4y=230 (1)甲、乙两人单独工作一天，商铺应分别支 C.+5=y, D.x-y=5, 10.甲、乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库 l3x+4y=230 4x+3y=230 运25%的粮食到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多付多少工资？ 20吨粮食，则原来甲仓库存粮 2.作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上 吨 (2)单独请哪名工人完成，商铺支付的维修费用 午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12 11.已知一个两位数，它的十位上的数字与个 较少？ 位上的数字之和是9，若颠倒个位数字与十位数字 时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下 午3时到家.若他平路每小时走4km,登山每小时 的位置，得到的新数比原数小63，则这个两位数是 走3km,下山每小时走6km,求小明家到山顶的路 程.”设上山所用时间为ah,下山所用时间为bh. 12.开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用 小李查看解析时发现答案中的方程组 品，明明用17元买了1支笔和4个本，亮亮用19元 3a=60,中有污损，则答案中另一个方程应为 买了2支笔和3个本，小伟购买同样价格的笔和本 共用了48元，则小伟的购买方案共有 种 三、耐心解一解（共52分） 附加题⊙ A+号=3 B.4a+36-3+4 13.(10分)第九届亚洲冬季运动会于2025年 (以下试题供各地根据实际情况选用) 3 2 2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮” 1.(8分)A,B两地相距4千米，甲从A地出发 C.a-b 1 D.3a+2b=12 在市场热销。某商场购进“滨滨”和“妮妮”共 步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人 3.五一小长假，小华和家人到公园游玩湖边1000个，共花费1800元，其中一个“滨滨”进价同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲 有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一 20元，一个“妮妮”进价15元，商场购进“滨滨”和剩余路程是乙剩余路程的3倍.问在他们出发后多 次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次“妮妮”各多少个？ 长时间两人相距1千米？ 共可以满载游客52人，则1艘大船与1艘小船一次 满载游客的人数共为 ( A.32 B.30 C.28 D.26 4.一个学生有百科知识能量卡和新年贺卡共 325张，百科知识能量卡的张数比新年贺卡张数的 2倍少2张，则这个学生有百科知识能量卡( A.215张 B.214张 C.217张 D.216张 2.(12分)某公司后勤部准备去超市采购牛奶 5.某市举行中学生足球 胜负合计 和咖啡若干箱，现有两种不同的采购方案，如下 比赛，每队胜一场得3分，负 场数 y 12 14.(12分)我国古代数学名著《张丘建算经》 表 一场得1分，本次足球比赛没 积分3x 28 中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟 牛奶（箱）咖啡（箱）金额（元） 有平局，右表是市实验学校 三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？” 方案一 20 10 1100 比赛信息（不完整），则该校获胜的场数为( 意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价 方案二 30 15 A.6场 B.7场 C.8场 D.9场 值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问 (1)根据表中的数据，判断方案二的金额是 6.一批同学到学校礼堂观摩“模拟法庭”主题 清、醑酒各几斗(1斛=10斗)？ 元 活动，如果每3人坐一张长条椅，则有25人没有座 (2)①若后勒部采购牛奶25箱，咖啡20箱，则 位；如果每4人坐一张长条椅，则刚好空出4张长 需支付1750元，求牛奶与咖啡每箱分别为多少 条椅，则观摩的学生有 元； A.145人B.148人C.120人D.124人 ②若牛奶和咖啡每箱的原价不变，超市中该 7.某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动 款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折 中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒， 的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的 准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另 咖啡和牛奶，此次采购共花了1200元，其中采购 部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面或 3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个 打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡总箱数的4，求 包装盒，则这些卡纸可以做成包装盒的个数为 此次按原价采购的咖啡有多少箱。 ( 数理报社试题研究中心 A.6 B.8 C.12 D.16 (参考答案见34期)