第31期 6.1 二元一次方程组和它的解 6.2 二 元一次方程组的解法(解法)-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

素养拓展 数理极 解二元一次方程组的 思天 品味方法 观察特 基本方法是代入消元法和 加减消元法，在运用这两 灵活消元 窍门多多 种方法解二元一次方程组 时，我们可以灵活运用整 ©湖北赵奕帆 体思想，使解题更加简便 消元思想是解二元一次方程组的基本思 解：②×2，得8x-2y=6. ③ 想，在解方程组时，要注意观察方程组中各未知 ①+③，得11x=11 一、整体代入 数系数的特点，灵活消元.下面介绍几种方法供 例1 解方程组： 解得x=1. 同学们赏析 把x=1代人②，得y=1. 求 3x-4(x-2y）=5,① 一、系数反同，直接加减 lx-2y=1. 当二元一次方程组中两个方程的同一个未 所以原方程组的解是厂：=1， 知数的系数相等或互为相反数时，把两个方程 y=1. 杰 分析：观察方程组可 发现，两个方程中都有x 直接相减或相加，就可以消去一个未知数. 三、连加连减 解方程组：厂x+y=5, 0 方程组中，所有方程中同一个未知数的系 -2y,若把x-2y看作 例1 Lx -y 1. ② 数之和的绝对值相等时，可采用连加连减法，把 个整体，把②代入①即 解：①+②，得2x=6. 所得到的方程再相加减，从而简化运算 可求出x的值，再把x的 解得x=3. 值代入方程②中即可求 把x=3代人①，得y=2. 例3 解方程组：2x~y=5, ① lx-2y=1. ② 出y的值. 解：①+②，得3x-3y=6. 解：把②代入①，得3x-4=5. 所以原方程组的解是x=3, ly=2. 解得x=3. 二、适当乘数，变形方程 化简，得x-y=2. ③ 当各个未知数的系数既不相等又不互为相 ①-②，得x+y=4 ④ 把x=3代人②中，得y=1. 反数时，可以观察一下哪一个未知数系数的绝 ③+④，得2x=6. 所以原方程组的解为：=3， 对值的最小公倍数小，然后把方程变形，再运用 解得x=3. ly=1. 加减消元法求解. 把x=3代入③，得y=1. 二、整体相加 例2 解方程组： 「3x+2y=5, ① 3x+4(x+y)=7,① 4x-y=3. ② 所以原方程组的解是=3， 例2解方程组： ly=1. 3y+5(x+y）=5.② 分析：方程①说明的是x与x+y的关系，方 第29期2版参考答案 所以2x=20,7x=70. 答：跳绳的单价是20元，排球的单价是70元. 程②说明的是y与x+y的关系，仔细观察方程 5.3实践与探索 (2)第二次采购时，跳绳的单价是(20-α)元，排球的单价 一、等积变形问题 是(70-4a)元，由题意，得32(20-a)+22(70-4a)=2000, 组，会发现通过①+②可求得x+y的值，进而代 基础训练1.A:2.B;3.5. 解得a=1.5.经检验，符合题意.所以a的值是1.5. 入原方程组即可求解. 4.这个圆柱的高是0.04厘米， 附加题1.(1)方案一：获利为：3×8×0.6+(30-3×8)》 解：①+②，得3(x+y)+9(x+y)=12 能力提高5.135或品 ×0.05=14.7(万元)， 方案二：设x吨制成罐头，则(30-x)吨进行加工包装，根据 所以x+y=1. ③ 二、和、差、倍、分问题 题意，得5+30、=8，解得x=15.经检验，符合题意所以 5 将③代入①，得3x+4=7. 基础训练1.A;2.C;3.30.4:4.110. 5.甲书架有书160本，乙书架有书100本 获利为：15×0.6+(30-15)×0.4=15（万元）.因为15> 解得x=1.所以y=0. 三、销售问题 14.7,所以方案二可使工厂所获利润最多。 所以原方程组的解为x=1, 基础训练1.D:2.A;3.600 (2)设加工厂到市场的距离为y千米 根据题意，得5×15y+50×15+450=6×15y+30×15, ly=0. 4.每个A款钥匙扣的价格为5元，每个B款钥匙扣的价格为 12元. 解得y=50.经检验，符合题意 三、整体换元 四、工程问题 答：加工厂到市场的距离为50千米 例3解方程组：3(x-2)+2(x+2)=5. 基础训练1.B;2.3;3.45. 2.(1)65,50,位置C上的数的5倍 2(x-2y）-x-2y=1. 能力提高4.(1)前后共需0h (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x,则位置A上的数 为x-8,位置B上的数为x-7,位置D上的数为x+7,位置E上 分析：遇到此类题，大多数同学是将方程组 (2)答案不惟一，如让两个班一起合作完成此项任务，设两的数为x+8, 先转化为二元一次方程组的一般形式，然后再 个班一起合作完成此项任务需要的时间为yh,根据题意，得 因为(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)=5x 求解，这样不但过程繁琐，而且容易出错.仔细 六5+名)=1，解得，=9因为号<4，所以两个班起 所以“Z”字型框架中的五个数的和等于C位上的数的5倍 (3)因为中间的数为c,所以最小的数为c-8,最大的数为( 观察方程组，会发现每个方程中都含有x-2) 合作完成此项任务符合题意 +8.因为最小数与最大数的和为40，所以c-8+c+8=40,所 五、行程问题 以c=20. 和x+2y,如果将x-2y和x+2y分别看作一个 基础训练 1A:2C:3 第30期综合测评卷参考答案 整体，并分别用m,n来表示，整体换元，原方程 能力提高 4.(1)甲车的速度是60km/h,乙车的速度是 组就可化简为3m+2n=5,解此方程组求出 30 km/h. 题号123456789101112 l2m-n=1. (2)设经过yh两车相距30km,根据题意，得60y+30y= 答案D B C B AAA D C A C D m,n的值，再解方程组-2y=m,即可得解 210-30或60y+30y=210+30,解得y=2或y=弩.经检验， 二、135-y=2:14.x=1；15.号；16.1或2. Lx +2y =n 符合题意 三，n.x=(2x=2:(3)-号 解：设x-2y=m,x+2y=n. 答：经过2h或氵h两车相距30km 18.任务一：(1)去分母，等式的性质2. (2)三，移项未变号. 原方程组可化简为 r3m+2n=5, 第29期3版参考答案 2m-n=1. ② (3)正确解法如下： 一、 题号12345678 去分母，得3x-(x+1)=6,去括号，得3x-x-1=6,移项， 由①+②×2，得7m=7.解得m=1. 答案BD C A BB D C 得3x-x=6+1,合并同类项，得2x=7,系数化为1，得x=了 将m=1代人②，得n=1. 任务二：熟记等式的性质，理解并掌握移项中符号的变化， 解方程组-2y=1,得x=1, 二、9.810：10.6：11.15：12.4.25或0.5. 重视基础训练（答案不惟一）. 三、13.快马20天追上慢马. 19.(1)七年级(2)班有男生22人女生23人. lx+2y=1,ly=0. 14.长方体的体积是1000cm3. (2)应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子 所以原方程组的解为：=1， 15.这个水池的容积是8.4立方米 16.(1)设跳绳的单价是2x元，则排球的单价是7x元，由题 20.(1)a=1.(2)a=3 y=0. 意，得30×2x+20×7x=2000,解得x=10.经检验，符合题意 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 初中数学 0351-5271268 2026年2月3日·星期二 报纸发行质量反馈电话： 兹理柄 第 31期总第1175期 华东师大 0351-5271248 七年级 【上接4版参考答案) 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-44 (3)方程去分母 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 2(2x+1)=3(ax-1) .6 整理，得(3a-4)x=11.因 专题辅导 为原方程无解，所以3a 4 =0.解得a=4 “代”解干愁 香周全讲 6.1二元一次方程组和它的解 21.(1)方程x-2=3 x与方程y+2=3(y+1)》 学习目标：掌提二元一次方程（组）的概 是“差3方程”.理由如下： ©河南乔雨薇 念，学会检验一对数值是否是某个二元一次 解方程x-2=3-x,得 、直接代入 三、整体代入 =;解方程)+2=3( 方程（组）的解。 方程组中某一未知数的系数的绝对值是1 将方程组中某一个方程当成一个整体，代 认知重点：体会从实际问题中抽象出二 1),得y=-因为 时，可将该方程变形，并用含另一个未知数的整入另一个方程中消元 元一次方程组的建模思想 1x-1=-(- 式表示该未知数，然后代入另一个方程中消元. （具体实例请同学们详读本期4版《观察特 6.2二元一次方程组的解法（解法）】 =3,所以方程x-2=3 例1 解方程组： x=4y, ①点整体求解》一文的例1.) 学习目标：掌握二元一次方程组的两种 x与方程y+2=3(y+1) x+2y=-12. ② 四、参数代入 是“差3方程” 基本解法，即代入消元法和加减消元法 (2)解方程3y+5=y 解：把①代人②，得4y+2y=-12. 方程组中某一方程是比例形式时，可通过 认知重点：抓住二元一次 1,得y=-3.因为无论 取任何有理数，关于x的方 解得y=-2. 设参数代入的方法消元. 程组的未知数的系数特点，灵活 3x+ka-b=2k-1(a, 把y=-2代入①，得x=-8. [y +1 x+2 为常数)与方程3y 所以原方程组的解是：=-8， 例3解方程组：{4 3 ① 选取代入消元法或加减消元法 +5 体会消元思想」 1是“差1方程”，所以 ly=-2. 2x-3y=1. ② -(-3)1=1.解得x 2或x=-4.当x= -2 二、局部代入 解：设+1 =+2=k,则y=4h-1,x= 3 二元一次方程组 -6+k-b=2k-1. 两个方程中同一未知数的系数成倍数关系 3k-2. 精通“变脸术”，经常 整理，得(4-4)k=2b+4. 时，可连同系数一起代入 为无论取任何有理数 把x,y的值分别代入②，得2(3k-2)-3(4 以各种不同的面孔出 都成立，所以a-4=0,2b 2x+9y=11, ① 现在同学们面前.同 .4=0.解得a=4b 例2 解方程组 5x-3y=2. ② -1)=1. 2.所以a+b=2.当x 学们只要熟练掌握它 -4时，12+a .b 解：由②，得3y=5x-2. ③ 解得k= 的概念和解法，就能 江 2h-1.整理，得(a-4)k 把③代入①，得2x+3(5x-2)=11. 透过“假面具”看清 2b+10.因为无论k取任何 所以x=-3,y= 有理数都成立，所以a-4 解得x=1. 其真面目，从而运用 严 =0,2b+10=0.解得u 把x=1代人③，得y=1. 它解决问题 程皓 二元一次方程 4,b=-5.所以a+b 1 所以原方程组的解是 x=1, 所以原方程组的解是 例1若x+y= 综上所述，a+b的值 5,2x-3y=10,则x 是2或-1. 22.问题一30.8。 4y的值是 问题二：①当里程数 题型空间 不大于3千米时，快车的费 分析：根据已知 用不超过：12+2.5×3+ 方程和要求代数式的 0 ×60×0.4 巧借错误 速算系数 系数特点，用第二个方程直接减去第 个方程 21.3(元)，而出租车的起 即可求解 步价是14元，此时不满 ©四川 王一冰 从甲地到乙地，乘坐出租 学过二元一次方程组后，解题时经常会遇 看错了方程①中的α，得到方程组的解为 解：由题意，得+y=5, ① 比快车节省13.6元. 以甲、乙两地间的里程数 到关于解方程组看错系数问题，那么这类题该 〔x=5,李明看错了方程②中的b,得到方程组 l2x-3y=10. ② 定超过3千米. y=4, ②-①，得x-4y=5. 设甲、乙两地间的里 如何求解呢？下面举例说明，供同学们参考 程数为x千米 例1已知关于x,y的二元一次方程组 故填5. 根据题意，得14+ 的解为：=4求原方程组的解 例2定义一个关于非零常数a,b的新运 2.4(x-3)+13.6=12+ [ax-by=13的解为=-5，小强因看错 y=5, 2.5x+40×60×0.4.解得 Lcx-y =4 ly=-14, 分析：由题意可知=5，是方程4x+y 算，规定：a⊙b=ax+by.例如：3⊙2=3x+2y. =12.经检验，符合题意 了系数c,得到的解为 x=5,则5a-b-c= ly =4 已知1⊙1=8,4©2=20，求x,y的值. 答：甲、乙两地间的里 y=1, 分析：利用新定义的运算规则构造出相关 程数为12千米. 2的， 是方程ax+5y=15的解，从而 ②设这两位乘客乘车 的方程组，解方程组即可求出x,y的值 的里程数为m千米. 若m≤8，则0.8(10 分析：由题意，把 「x =-5,代入方程x-y 可求出α，b的值，代入即可求出原方程组的解. 解：根据题意，得+y=8, (y=-14 8m+0.5×40×60)+ 解：将=5代入4+=12，得4×5+ l4x+2y=20. 5.3=12+2.5m+0.4× =4中求出c的值，把=5，代入方程a-y lv =4 解得x2, ×60,解得m=5,经检 ly =1 4b=12. ly=6. 验，符合题意； =13中可得到5a-b=13,从而可得出答案. 解得b=-2. 例3已知1x+y+21+(2x-3y-1)2 若m>8,则0.8(10 0,则x+y的值是 28m+05×x×0)+53 解：把=-5，代人c-y=4,得-5c+ ly=-14 将=4，代入ax+5y=15,得4a+5×5 ly =5 分析：先根据非负数的性质得到关于x,y的 =12+2.5m+0.4×40 60 14=4.解得c=2. =15. 元一 次方程组，解方程组即可得解. 6.5,解得m=30.经检 把=5代入aw-y=13,得5a-b= 5 解：因为|x+y+2|+(2x-3y-1)2=0, 验，符合题意 Iy=1 解得a= 答：这两位乘客乘车的 所以+y+2=0, 里程数为5千米或30千米 13. 5 l2x-3y-1=0. (全文完) 所以5a-b-c=13-2=11 所以原方程组为 2x+5y=15, 解得=-1， 故填11. 4x -2y=12. ly=-1. 例2已知方程组r+5y=15,①王芳 解得x=6, 所以x+y=(-1)+（-1)=-2. 4x+by=12,② 6 故填-2. 2 素养专练A 数理极 6.2.2加减消元法 ns 跟踪训练 垦础训练 gEnzoNGXUNLIAN 6.1二元一次方程组和它的解 1.用加减消元法解方程组2x-3y=5,①下 3x-2y=7,② 列解法错误的是 屋础训练 A.①×3-②×2，消去x 1.下列方程中，属于二元一次方程的是 B.①×2-②×3，消去y 6.2二元一次方程组的解法（解法） C.①×(-3)+②×2，消去x A.x2-2x=1 B.x-y=z 6.2.1代入消元法 D.①×2-②×(-3)，消去y G.2 2.已知x与y互为相反数，且2x-y=6,则代 +y=1 D.x-3y=1 垦础训练 x 数式x+乃 2.下列方程组中，解为x=8的是( ) 1.已知方程组-3y=4,D把②代人①， ly =2 1y=2x-1,② ! 3.已知关于x,y的二元一次方程组 A.x+y=10, B.x+y=10, 整理得 ( x+2y=m,的解满足x-y=3,则m的值为 lx-y=4 lx-2y =4 A.x-2x+1=4 B.x-2x-1=4 2x+y=4 C.x+2y=11, D.t-2y=5, C.x-6x-3=6 D.x-6x+3=4 l3x-2y=18 l3x-2y=20 2.关于x,y的方程组=2-x,的解是 4.解方程组： 3.已知2x5-1=0是关于x,y的二元 3x=1+2y (1)3x+2=1, l3x-5y=4; -次方程，则m+n= A.x=-1, B.x=1, 4.若二元一次方程组2x+y=■·的解为 ly=-1 ly =1 Lx-3y =7 C.x=1, D.x=-1, =1,则“■”表示的数为 y=-1 ly =1 y=△， 3.老师设计了一个解方程组的接力游戏，学 5.设适当的未知数，列出二元一次方程组： 习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前 (2)2-y=-4, (1)某班40名同学去看电影，购买甲、乙两种 个人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传 l4x-5y=-23: 票共用去500元，其中甲种票每张10元，乙种票每 递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的求 张12元，求甲、乙两种票各购买了多少张； 解过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是 (2)甲、乙两人从相距6km的A,B两地匀速 相向而行，1h后相遇.已知甲的速度比乙的速度 老师 2 快1km/h,求甲、乙两人的速度； (3)我国古代数学名著《孙子算经》中记载 3x-5y=5.②2 了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已 4.已知方程组=2x,则的值为 知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大 Lx+y =6, 5x-7y=11. 马和小马各有多少匹？ 5.解方程组： (1)y=2x-3, l4x-y=3; 5.已知关于x,y的二元一次方程组 [-6y=4的解为=2， Lbx +ay =-8 1y=-2 (2)+y=4, (1)求a,b的值； l2x+y=5; (2)求2026a-b的值. 6.已知方程：①2x+y=4,②x-y=-1. (1)根据方程①填写下表： x210-1 -2 y (3)5x-3y=18. (2)根据方程②填写下表： l2x+y=5. 2 1 0 -1 -2 y (3)根据以上两表中的数据，求二元一次方 程组 2x+y=4,的解 数理报社试题研究中心 lx-y=-1 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 15.(14分)已知关于x,y的方程组 同步检测 (四) [x+2y=10,与2x-y=5,的解相同. Lax +by =1lbx ay =6" TONGBUJIANCE (1)求这个相同的解； (2)求4a2+b2的值. 【检测范围：6.16.2（解法）】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 题号12345678 9.若关于x,y的方程(n-1)xm+3y=0是 元一次方程，则n的值为 答案 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是 10.已知二元一次方程组2x+y=5则x+y 【x+2y=4, ( )的值为 A.+y=5, r-2y=4, B.1+1=5 11.对于任意有理数a,b,c,d,我们规定： Lxy =6 a1-c,根据规定，若，y同时满足 a b C.fa-y =1, D.2x+y=3, 16.(16分)对于有理数x,y,定义新运算：x*y lx +3y =4 lx+名=4 -y=13, 34=4,则- =ax+by,x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.已知 -65 -y x ”3-2 2.解下列两个二元一次方程组： 3*2=-1,2☒1=4. ①8x+6y=27；②5=31-1，较为简便的方 (1)求a,b的值； 12.已知关于x,y的二元一次方程组 17x-6y=48,17s+6t=8, (2)若x*y+x⑧y=10,求x的值； 法是 ( x+y=7,有正整数解，其中k为整数，则尽-1 3x-y=0 (3)若关于x,y的方程组*y=8+m,的 A.①②均用代入法 lx☒y=5m 的值为 B.①②均用加减法 解也满足方程x-y=6,求m的值. 三、耐心解一解（共52分） C.①用代入法，②用加减法 13.(10分)解方程组： D.①用加减法，②用代人法 3.由方程组-3=m可得出x与)的关系 (1)3x+2y=14, lx=y+3; ly m-5 是 () A.x-y =2 B.x-y =8 C.x-y=-2 D.x-y=-8 4.小亮妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲 种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种 2x+5y=1, 水果比甲种水果多买了2千克，小亮妈妈两种水果 (2) 各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果 3x+1,5y=9. 2 附加题⊙ x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（) (以下试题供各地根据实际情况选用) A.4+6y=28,B.6x+4y=28, lx=y+2 lx =y+2 1.(8分)小明和小红解同一个方程组时，小红 C.4x+6y=28, D.6x+4y=28, 不慎将一滴墨水滴在了题目上，使得方程组的系 lx=y-2 lx =y-2 数看不清了，显示如下：Ax+y=2,同桌的小 5.若单项式2ab2与-ab”是同类项，则方程 l◆x-7y=8, 14.(12分)下面是小聪同学写的一道解二元 明说：“我正确的求出这个方程组的解为 组=my,的解为 ( 一次方程组的解答过程，请认真阅读后完成相应 Inx +y mn 的任务. :=3,”而小红说：“我求出的解是=，2 y=-2, ly=2, 32 x=9 A. x=9 n-e 于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第 B. lr=8 2 二个方程中x的系数所致，请根据他们的对话，把 ly= 解：①×2，得2x-2y=-10.③ (第一步) 原方程组还原出来. ②-③，得2x-3y-(2x-2y)=-1. 2.(12分)我们规定，关于x,y的二元一次方 (第二步) C. D. 程ax+by=c,若满足a+b=c,则称这个方程为 解得y=-1. 将y=-1代入①，得x=-6 (第三步)“最佳”方程例如：方程3x+4y=7,其中a三3， （第四步)6=4，c=7,满足a+b=c,则方程3x+4y=7是 6.若关于x,y的二元一次方程x+2y=1,2x 所以原方程组的解为x=-6, (第五步)“最佳”方程。把两个“最佳”方程合在一起叫做 y=7,x-y=4有公共解，则k的值为（ ly=-1. “最佳”方程组. A.1 B.2 C.3 D.4 任务一：这种解二元一次方程组的方法叫做 根据上述规定，回答下列问题： 7.若方程组3x+2y=m+3,的解互为相反 法，其中第一步的依据是 (1)判断方程3x+5y=8 “最佳”方 2x-y=2m-1 任务二：第 步开始出现错误； 程（填“是”或“不是”）； 数，则m的值是 任务三：请写出正确的解答过程 (2)若关于x,y的二元一次方程x+(2k- A.-7B.10 C.-10D.-12 1)y=8是“最佳”方程，求k的值； &.已知关于x,y的方程组{x+r=3,的解 Lcx dy =4 (3)若化=P是关于x,的“最佳”方程组 为=：5，且a(3m+n）+b(m+3m）=3,则 ly=1, lc(3m+n)+d(m+3n)=4, jnx+(m-3)y=2-m,的解，求2p+9的值. lmx+(n+1)y=2m+3 (m+n)226的值为 ( 数理报社试题研究中心 A.1B.-1C.0 D.2026 (参考答案见下期)初中数学·华东师大七年级第31~35期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级 第31~35期(2026年2月) 第31期2版 所以原方程组的解为=，4， ly=1. 6.1二元一次方程组和它的解 基础训练1.D;2.B:3.4;4.0. 15.(1)由题意，得x+2y=10, l2x-y=5. 5.(1)购买甲种票x张，乙种票y张. 解得=4，即这个相同的解是x=4, 根据达在，得4”5m Ly=3, ly=3. (2)设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h. ②)由题意，海二是方程组十：6的解， ly =3 根紫题应利 所以4a+3动=L解得0=，2， L4b+3a=6. Lb=3. (3)设大马有x匹，小马有y匹. 所以4a2+62=4×(-2)2+32=25. x+y=100, 根据题意，得 3x+子=10. 16山自超盛和阳公4解82 (2)由题意，得ax+by+ax-by=10.所以2ax=10, 6.(1)表格从左到右依次填：0,2,4,6,8； 因为a=1,所以x=5. (2)表格从左到右依次填：3,2,1,0，-1： )二元-次方登，：的解为2 )将代人方我粗园，得 Lx-y=-1 6.2二元一次方程组的解法（解法） -2=8+m解得=4+3， x +2y 5m. ly m-2. 6.2.1代入消元法 因为x-y=6,所以4+3m-m+2=6.解得m=0. 基础训练1.D;2.B;3.丙：4.16. 50.e6 附加题1.设原方程组为r+y=2,① lcx-7y=8.② 6.2.2加减消元法 把r=3,代入②，得3c+14=8.解得c=-2. ly=-21 基础训练1.D;2.1;3.1. 把222代人①.{222 ly =-2ly =2 解得8： 5w叱2 12b-2a--8. 所以深方餐组为色57,2公 解8 2.(1)是； (2)因为a=1,b=-3,所以2026a-b=2026×1- (2)因为二元一次方程kx+(2k-1)y=8是“最佳”方 程，所以k+2h-1=8.解得k=3. (-3)=2029. (3)因为方程组+(m-3水y=2-m,是“最佳“方程组， 第31期3版 lmx+(n+1)y=2m+3 题号12345678 、所以n+m-3=2-m,解得{W3 lm+n+1=2m+3. 答案C D B CAA C A 所以原方程组为3x-2y=1, 三9-1：103：1山.-号；123或15 Lx+4y=5. 因为x=P,是该方程组的解， 「x=1, ly =g 三13.(1)=4，(2) 1 ly=1: 1y=-5 所以3p-29=1解得p=1 lp+4q=5. lq=1. 14.任务一：加减消元，等式的基本性质2； 所以2印+g=3. 任务二：三； 任务三：①×2，得2x-2y=-10.③ 第32期2版 ②-③，得2x-3y-(2x-2y）=-1.解得y=1. 6.2二元一次方程组的解法（应用） 将y=1代入①，得x=-4. 基础训练1.A;2.C；3.B;4.2,4;5.30;6.1400. 初中数学·华东师大七年级第31~35期 7.设A种空调售出x台，B种空调售出y台. 工人单独工作一天，商铺应支付y元工资 限据题意，得0o5:022007-04y=10m 根糕题应，得网g得二 解得厂x=160, 答：甲工人单独工作一天，商铺应支付400元工资，乙工人 ly=180. 单独工作一天，商铺应支付550元工资. 答：A种空调售出160台，B种空调售出180台. (2)设甲工人每天完成的工作量为m,乙工人每天完成的 ·6.3三元一次方程组及其解法 工作量为n. 基础训练1.C;2.200:3.-10 1 根据题意，得6m+6m=L解得 m=18' 5 4m+7n=1. 1 「x= [a =2. 8； In=9 b=-3 (2){y=3, 所以单独请甲工人完成需要18天，商铺支付的维修费用 =1; 3 为：400×18=7200（元）：单独请乙工人完成需要9天，商铺支 z=-4 付的维修费用为：550×9=4950（元）. 6.4实践与探索 因为7200>4950， 基础训练1.A;2.A;3.15,10;4.525cm2 所以单独请乙工人完成，商铺支付的维修费用较少， 5.设小明在上坡路上用了x分钟，在下坡路上用了y分钟. 附加题1.设甲每小时行驶x千米，乙每小时行驶y千米. 根据装意，得6十2动1n解得二 30. .30 根据题意，得 60+60=4, 解得x3, 答：小明在上坡路上用了11分钟，在下坡路上用了5分钟. l4、40 =34- ly=5. y). 6.设出租车的起步价是x元，超过3km的部分每千米收费 y元 相遇前：(4-1)÷(3+5)=号（小时）： 限经蓝金代十侣》时 ly=1.5 相遇后：(4+1)÷(3+5)=冬（小时）. 答：出租车的起步价是5元 能力提高7.(1)设购进一台小风扇需要x元，购进一台 答：在他们出发后号小时或氵小时两人相距1千米。 大风扇需要y元. 2.(1)1650. 根据题意，得20x+0=110解得=15， (2)①设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元 115x+20y=1825. Ly=80 答：购进一台小风扇需要15元，购进一台大风扇需要80元 根跟题意得十01州￥得0 Ly=50. (2)设购进小风扇a台，大风扇b台. 答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元. 根据题意，得15a+80b=900.整理，得a=60-6 0 ②每箱打折牛奶的价格为：30×0.6=18（元），每箱打折 咖啡的价格为：50×0.6=30（元），即每箱打折咖啡的价格与 因为ab均为正整数所以8或。或8 每箱牛奶的原价相同. Lb=39 设采购牛奶与咖啡共α箱，采购原价咖啡b箱，则采购打折 所以有3种购买方案，最多可以购买44台小风扇. 牛奶·箱，采购打折咖啡与原价牛奶共（子-）箱。 第32期3版 题号1234567 8 根据题意，得18×a+30(子a-b)+506=120, 答案CCC D C B C B 整理，得6=60-品 =[32i4010:181:1卫3 因为a均为正格数所心[G:皮[：0， 三、13.设商场购进“滨滨”x个，“妮妮”y个. 又因为a>b,所以a=40,b=6. 限据题童彩代55m解： 答：此次按原价采购的咖啡有6箱。 Ly=400. 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个. 第33期综合测评卷 14.设换了清酒x斗，醑酒y斗。 -、题号123456789101112 15 [x= 根据题意，得：+y=5, 7 答案D DC C AB CB DD C D 解得{ 110x+3y=30. =9 二13.y=1-5x;14.5;15.81,54; 16.0或-1或-2. 答：换了清酒9斗，爵酒9斗。 三17.(1)=5，(2)=3， lb=3: ly=-1. 15.设学校合唱队原来有x名女生，y名男生， 根装题盒利利及 1区由题意儿；2欢好四 ly=6. 19.设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，修建每个B种 所以5+6=11（名）. 光伏车棚需投资y万元。 答：学校合唱队原来共有11名学生 16.(1)设甲工人单独工作一天，商铺应支付x元工资，乙 限浆宽意，得十邮得二2 l5x+3y-21. 初中数学·华东师大七年级第31~35期 答：修建每个A种光伏车棚需投资3万元，修建每个B种光 (5)5n-9≥-1；(6)2(4+a-3)>20. 伏车棚需投资2万元 7.1.2不等式的解集 20.因为(2x-4)2+1y-=0所以2x-4=0,y-2 基础训练1.D; 2.答案不惟-，如2*≥0：3.2， =0.解得￥=2，y=7将 1代人方程组 1y=2 4.由题意，得3m+2m≤-10.所以m≤-2.数轴表示略. 7.2不等式的基本性质 +4=子得 「2m+2=3 n, 基础训练1.A;2.B; 解得m=20,所以2m 3.(1)<,(2)≥；4.a<0;5.> 3x+ny=m,6+2m=m. 1 Ln=28. 6.因为4>1，所以M-p=4-20+1=0,1>0,p 3 3 1 n + 4mm=152. N=2a+1-0+2=a1>0. 3 3 3 21.(1)由题意，得 所以M>P,P>N.所以M>P>N ∫260x+(560-260)y=351, 7.3解一元一次不等式（解法） 1260x+(600-260)y+(760-600)×0.9=521. 基础训练1.B;2.D: 解得x=0.6, 1y=0.65. 3x<-7;412:5a<-2 (2)小海家申请“一户多人口”政策后，7月的电费为：0.6 ×360+(560-360)×0.65=346(元)； 6数轴表示略(0x≥5：(2<号 8月的电费为：0.6×360+(700-360)×0.65+(760- (3)x≥-1；(4)x<1. 700)×0.9=491(元). 能力提高7.因为关于x的不等式(a-2)x”+2-1<5是 (351+521)-(346+491)=35(元). 元一次不等式，所以a+2=1.解得a=-1. 答：小海家2025年7,8月份共可节省35元电费. 当a=-1时，不等式9ax+3a-4b<0可化为-9x-3- 22.(1)设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共 能坐学生b人. 4h<0.解得x>-3-46 9 银据恶点，得在8W1m解得8二0 又因为该不等式的解集为x>号所以3，也=专 9 所以50÷2=25（辆），50÷5=10（辆）. 答：两座车租用了25辆，五座车租用了10辆 解得6。一子 (2)设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用小巴车(24-x 第34期3版 -y)辆. 根据题意，得2x+5y+7(24-x-y)=100. 题号12345678 整理，得5x+2y=68. 答案D CBBDB C A 因为x,y为非负整数，且x+y<24, 二、9.-3；10.>；11.-5；12.0或-1. 所以=8：或=10或=12， ly=14ly=91y=4. 三，13.16r-2<0:(2)7+7≤0： 所以对应的24-x-y的值依次为2,5,8. 所以符合要求的租车方案有3种： (3)-3 t-2x>x+10. 方案1：租两座车8辆，五座车14辆，小巴车2辆： 方案2：租两座车10辆，五座车9辆，小巴车5辆： 14.数轴表示略.(1)x≤2：(2)x>3;(3)x≥13 方案3：租两座车12辆，五座车4辆，小巴车8辆. 15.解不等式2x-1>5,得x>3. (3)方案1的租金为：2×8×18+5×14×8+2×49= 解不等式5x+1≤-4，得x≤-1. 946(元)； 因为有理数a是不等式2x-1>5的最小整数解，有理数 方案2的租金为：2×10×18+5×9×8+5×49= b是不等式5x+1≤-4的最大负整数解， 965(元)； 所以a=4,b=-1. 方案3的租金为：2×12×18+5×4×8+8×49= 所以不等式ax-9<b可化为4x-9<-1. 984(元). 解得x<2. 因为946<965<984，所以租金最低的租车方案是方案 1,最低租金为946元 16.解方程组-y=3。得x=2a+L l2x +y 6a, 【y=2a-2. 第34期2版 因为x+y<3,所以2a+1+2a-2<3.解得a<1. 解不等式3b-4>2b-3,得b>1.所以a<. 7.1认识不等式 附加题1.()由题意，得a+6=0,。解得=4， 7.1.1不等式 a-2b-6=0. b=-1. 基础训练1.C;2.D;3.30-6x<15. (2)将a=4,b=-1代入不等式3a-(x-2)<-4b(x 4.2,6,5.1是不等式2x-1>1的解；-9，-5是不等式x +13<12的解. -2),得12-(-2)<4(x-2.解得>号 5.(1)x-6>12;(2)2y-5<0; 所以该不等式的最小整数解为5. (3)3m+4≥0：(42a+≤4： 2.(1)有； (2)解不等式x+2>a,得x>-2+a. 3 初中数学·华东师大七年级第31~35期 解不等式x-2≤1-2x,得x≤1. 14.设需要租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8-x)辆. 由题意，得-2+a<1.解得a<3. 根据题意，得45x+30(8-x)≥300. (3)解不等式-3x≤-3m,得x≥m. 解得x≥4. 解不等式2x-1<x+1,得x<2. 答：一次将全部师生送到指定地点至少需要租用甲种客车 因为关于x的不等式-3x≤-3m与2x-1<x+1“没有 4辆. 整数交集”，所以m>2. 15.由题意，得9-4+4<4，① 13x-24+4≥7.② 第35期2版 7.3解一元一次不等式（应用）》 解不等式①.得x>是 基础训练1.B;2.B；3.22;4.7. 解不等式②，得x≥9. 5.设这批计算机有x台. 所以x的取值范围是x≥9. 根据题意，得5500×60+5000(x-60)>550000. 16.(1)设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为 解得x>104. 少元 答：这批计算机最少有105台. 根据题意，得40(x-60)+85(y-45)=2075, 6.设B设备购进x套，则A设备购进2x套 60(x-60)+100(y-45)=2700. 根据题意，得(1.5×0.8-0.8)×2x+(2×0.95-1.2)x 解得r80, ≥6，解得x三43子 Ly=60. 答：A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元 因为x为整数，所以x的最小值为44， (2)设第三周购进A水果礼盒m盒，B水果礼盒n盒. 答：B设备至少购进44套. 根据题意，得60m+45n=9000. 7.(1)设甲种稻花香大米每千克的采购价为x元，乙种稻 花香大米每千克的采购价为y元. 整理，得n=200-号m 限据题意，料化说·解降行8 根据题意，得(80×0.9-60)m+40%×45n≥3000. Ly=16. 答：甲种稻花香大米每千克的采购价为20元，乙种稻花香 整理，得12m+18m≥300，即12m+18(200-号m）≥ 大米每千克的采购价为16元. 3000. (2)设超市采购甲种稻花香大米m千克. 解得m≤50. 根据题意，得20m+16(1000-m)≤18000. 因为m,n均为正整数，所以m最大可取值为48. 解得m≤500. 答：第三周最多购进A水果礼盒48盒 答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克. 1-3m 附加题1由题意，得2x-3+1=0,解得 x= 7 能力提高8.D. 7.4解一元一次不等式组 13x-y+m=0. 3-2m 7 基础训练1.B;2.C;3.x<4;4.a>2. 5.数轴表示略. 1-3m>0, 7 (1)1<x≤3；(2)-2<x≤3； 因为0<x<y,所以 3)-2<子：(4)-}≤<-1 1-3m<3-2m 7 71 能力提高6.51或59. 解得-2<m<3 解不等式知：2<“行得-254 2.(1)设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需 51 4x-m≤4-x, 要y元 因为不等式组恰有2个整数解，即为-1,0， 跟题应，科红女0解得{上设 ly=65. 所以0≤m+4<1.解得-4≤m<1. 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要 5 所以整数m的值为-4，-3，-2，-1,0. 65元. (2)设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔(200-m)个. 根据题意，得65m+30(200-m)≤10200. 解方程组{mx+y=4,得 =4 m+3 3x-y=0, 解得m≤120. Γm+31 答：最多可购进乙型头盔120个. 因为方程组的解也为整数， (3)能实现利润不少于6190元的目标.理由如下： 所以符合条件的整数m的值为-4，-2，-1. 根据题意，得(58-30)(200-m)+(98-65)m≥6190. 解得m≥118. 第35期3版 又因为m≤120， 题号12345678 所以118≤m≤120. 因为m为整数，所以m可取值为118,119,120，对应的200 答案CDC A B AB C -m的值分别为82,81,80. 二、9.-3<x≤2；10.m<3;11.6;12.8,10. 所以该商场有3种采购方案： 三、13.数轴表示略.(1)-1≤x<5; 方案1：采购甲型头盔82个，乙型头盔118个； (2)-1<≤4：(3)号≤≤8 方案2：采购甲型头盔81个，乙型头盔119个； 方案3：采购甲型头盔80个，乙型头盔120个