第29期 5.3 实践与探索-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大七年级第27~30期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级 第27~30期(2026年1月)》 5.2.1.2方程的简单变形 第27期2版 基础训练1.C2.B;3.6. 5.1从实际问题到方程 4y=音：(2)x=4:(8)x=号 5 基础训练1.A;2.A;3.1. 4.(1)当x=1时，左边=2x+5=7,右边=10x-3= 第27期3版 7,左边=右边，所以x=1是该方程的解。 (2)当x=0时，左边=0-5×(0-2)=10，右边=6， 题号123456 78 左边≠右边，所以x=0不是方程的解 答案CA B C DCA C 5.(1)设该数为x,则它的相反数为-x 二9.3a+5=4a;10.-3x+17;11.<;12.12. 根据题意.得-之-40%x=分 1 三、13.(1)设这所学校有学生x人，那么女生有52%x人， 男生有(1-52%)x人. (2)设小北同学冲刺的时间为x秒，则以6米/秒的速度跑 根据“女生比男生多80人”，列得方程为52%x-（1- 的时间为(65-x)秒 52%)x=80. 根据题意，得6(65-x)+8x=400. (2)设乙班植树x棵，根据“甲班植树的棵树比乙班多 (3)设支援拔草的有x人，则支援植树的有(20-x)人 20%”,得甲班植树的棵数为(1+20%)x棵， 根据题意，得31+x=2[18+(20-x)]. 根据“乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵”，列得方程 能力提高6.(1)因为2x+1=1,所以x=0.把x=0代 入1-2(x-m)=3,得1-2(0-m)=3,整理，得1+2m= 为x-之1+20%)x=10 3,解得m=1.故填1. (3)设第二层原有x本，根据“第一层书的数量是第二层 (2)解关于x的方程9-3=低+14，得=)5长≠ 的2倍”，得第一层原有书的数量为2x本， 根据“从第一层抽8本到第二层，这时第一层剩下的数量恰 9),当9-k取1，-1,17，-17时，即k取8,10，-8,26时，x的 比第二层的一半多3本”，列得方程为2x-8=之(x+8)+3. 值为整数.所以符合要求的正整数k的值为8,10,26. 5.2解一元一次方程 14.(1)移项，得4x=12, 5.2.1.1等式的性质 系数化为1，得x=3. 基础训练1.D;2.A;3.3y-7;4.1 (2)移项，得2x-5x=6, 5.(1)正确，理由：因为a=-b+2,所以a+b 合并同类项，得-3x=6, =-b+2+b.所以a+b=2. 系数化为1，得x=-2. (3)移项，得3x+2x=32-7, (2)不正确，理由：因为号=，所以6×号 3 合并同类项，得5x=25, y1×6.所以2(x-1)=3(y-1),即2x-2=3y-3.所以 系数化为1，得x=5. 2 15.将x=-3代人4-5a+10x=-a+2x,得4-5a+10 2x=3y不正确. ×(-3)=-a+2×(-3), 能力提高6.2. 解得a=-5.所以a2+12a+36=(-5)2+12×(-5) 7.(1)第一步的依据是：等式的性质1. +36=1. (2)小明第二步的结论不正确，理由：因为根据等式的性 16.(1)由题意，得剪拼后所得的长方形的长为a+a+3= 质2，等式两边都除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式， 2a+3,宽为3， 所以当x=0时，等式的两边都除以x,等式不成立.所以小明第 因此周长为(2a+3+3)×2=4a+12,面积为(2a+3)× 二步的结论不正确。 3=6a+9. 初中数学·华东师大七年级第27~30期 (2)由题意，得(2a+3-4)×(3+4)=6a+9, 所以方程x-1-m2=0的解不可能为x=-4, 解得a=2.所以a的值为2. 所以关于x的方程x-1-m2=0与方程2(x+2)=3x不 附加题1.(1)x=4. 可能为“友好方程”. (2)x=a. 5.2.2.2去分母 (3)将原方程整理，得(x-1)3+x-1=(a+1)3+a+1. 基础训练1.B;2.B;3.D;4.D; 所以x-1=a+1. 5.2022;6.55；7.5. 解得x=a+2. 8.(1)x=-1;(2)x=7; 2.(1)因为7-10=-3， 6y=导：4x=6 所以10与-3是关于7的幸福数， 因为7-(5+x)=2-x, 以.(1)4+=华是“商解方程”星由如下： 所以5+x与2-x是关于7的幸福数 故填-3,2-x 解方程4+白得x:手 (2)a与b是关于7的幸福数，理由：因为a=2x2+3x+4, b=x2-3(x2+x-1), 因为9÷4=专，所以4+=乌是“商解方程 所以a+b=2x2+3x+4+x2-3(x2+x-1)=2x2+3x (2)解方程6+x=m+3,得x=m-3. +4+x2-3x2-3x+3=7. 因为一元一次方程6+x=m+3是“商解方程”， 所以a与b是关于7的幸福数. 所以m-3=解得m= 6 5 (3)因为c=kx+1,d=x+2,且c与d是关于7的幸福数， 所以c+d=7,即kx+1+x+2=7, 第28期3版 整理，得(k+1)x=4, 题号12345678 所以x=k+了 4 答案CDDCABCA 因为k为非负整数，x为正整数， 所以x可能是1,2,4. 二9.-31010：11.4：2.-2 当x=1时，k+1=4,解得k=3; 三、13.(1)x=1;(2)x=1;(3)x=-1. 当x=2时，k+1=2,解得k=1; 14将x=3代人方程3[（号+1）+m:山]=2中，解 4 当x=4时，k+1=1,解得k=0. 所以非负整数k的值为0或1或3. 得m=-8 3 第28期2版 将m=-号代入关系式2n+3ml=0中，解得n=4 5.2.2解-元一次方程 8 4 所以m+n=-分+4=3 5.2.2.1去括号 基础训练1.A;2.D;3.A;4.C; 15.设售出的成人票为x张， 5.2；6.-3；7.23. 依题意有5(1000-x)+8x=6950, 8.(1)x=0;(2)x=5; 解这个方程，得x=650.经检验，符合题意。 所以1000-x=1000-650=350. (3)y=-子；4=0， 答：成人票售出650张，学生票售出350张. 9.(1)方程2x=4x+8的解为x=-4,方程2(x+2)= 16.(1)依题意，把x=9代入，2-1=a+二3，得 2 4 3x的解为x=4, 因为4与-4互为相反数， 9生2-1=a+9解得0=3 所以方程2x=4x+8和2(x+2)=3x为“友好方程”. (2)①方程2(x-)-n=0的解为x=1+受， (2)由①得a=3,则产-1=3+34，解得x=5. 2 附加题1.将2x+3和x-2看成整体， 因为方程2(x+2)=3x的解为x=4, 移项，得52+3)+2(2+3)=子(x-2)+2-2). 所以当1+之=-4，即n=-10时，关于x的方程2(x- 1)-n=0与方程2(x+2)=3x为“友好方程”； 合并同类项，得(2x+3)=(x-2). ②方程x-1-m2=0的解为x=m2+1>0, 去分母，得22(2x+3)=11(x-2), 2 初中数学·华东师大七年级第27~30期 去括号，得44x+66=11x-22 所以两个班一起合作完成此项任务符合题意. 移项、合并同类项，得33x=-88, 五、行程问题 系数化为1，得x=号 基础训练1A:2C:3铝 2.10原方程可变形为：(x-)(兮+5+7+马)=0， 能力提高4.(1)设乙车的速度是xkm/h,则甲车的速度 是2xkm/h, 因为时+5+行+号≠0，所以x-1=0解得x=1 根据题意，得3×2x+(3-2)x=210, （2)整理，得9.5.210 解得x=30,经检验，符合题意. 4 6 8 10 所以2x=2×30=60(km/h). =0 答：甲车的速度是60km/h,乙车的速度是30km/h 所以，23-2+19-2+15-2+：业-2+ (2)设经过yh两车相距30km, 4 6 8 根据题意，得60y+30y=210-30或60y+30y=210+30. 7-2=0,即-，27+27+-2+x:2+-27=0 10 2 4 6 8 10 解得y=2或了=号经检验，符合题意 所拟(-273+日+6+g+0=0 答：经过2h或号h两车相距30km 因为++6+8+00， 1111 第29期3版 所以x-27=0.解得x=27. 一、 题号12345678 第29期2版 答案B D C A BB D C 5.3实践与探索 二、9.810；10.6；11.15；12.4.25或0.5. 一、等积变形问题 三、13.快马20天追上慢马. 基础训练1.A;2.B;3.5. 14.长方体的体积是1000cm3. 4.这个圆柱的高是0.04厘米. 15.设乙水管每分钟注人x立方米水，甲水管每分钟注人 (0.28+x)立方米水， 能力提高51,35号 由题意，得10×[x+(0.28+x)]=9×(0.28+x)+4[x 二、和、差、倍、分问题 +(0.28+x)], 基础训练1.A;2.C;3.30.4;4.110. 解得x=0.28,经检验，符合题意 5.设两个书架借出的书为x本， 所以容积是10×[0.28+(0.28+0.28)]=8.4（立方米）. 由题意，得4+子=260， 答：这个水池的容积是8.4立方米 16.(1)设跳绳的单价是2x元，则排球的单价是7x元， 解得x=40,经检验，符合题意 由题意，得30×2x+20×7x=2000, 所以4k=160,子=10， 解得x=10.经检验，符合题意 所以2x=20(元)，7x=70(元) 答：甲书架有书160本，乙书架有书100本. 答：跳绳的单价是20元，排球的单价是70元. 三、销售问题 (2)第二次采购时，跳绳的单价是(20-a)元，排球的单 基础训练1.D;2.A;3.600. 价是(70-4a）元， 4.每个A款钥匙扣的价格为5元，每个B款钥匙扣的价格 由题意，得32(20-a)+22(70-4a)=2000, 为12元 解得a=15.经检验，符合题意. 四、工程问题 所以a的值是1.5. 基础训练1.B;2.3;3.45. 附加题 能力提高4()前后共需号h 1.(1)方案一：获利为3×8×0.6+(30-3×8)×0.05= (2)答案不惟一，如让两个班一起合作完成此项任务，设 14.7(万元)， 两个班一起合作完成此项任务需要的时间为yh, 方案二：设x吨制成罐头，则(30-x)吨进行加工包装， 根据题意，得六5+名)=1，解得y=号 ，1 根据题意，得亏+0、=8， 5 因为号<4， 解得x=15.经检验，符合题意. 所以获利为15×0.6+(30-15)×0.4=15（万元）. —3 初中数学·华东师大七年级第27~30期 因为15>14.7， 所以方程x-2=3-x与方程y+2=3(y+1)是“差3 所以方案二可使工厂所获利润最多. 方程”. (2)设加工厂到市场的距离为y千米 (2)解方程3y+5=y-1,得y=-3. 根据题意，得5×15y+50×15+450=6×15y+30×15, 因为无论k取任何有理数，关于x的方程3x+如-b=2k 解得y=50.经检验，符合题意. 2 答：加工厂到市场的距离为50千米. -1(a,b为常数)与方程3y+5=y-1是“差1方程”， 2.(1)65,50,位置C上的数的5倍. 所以1x-(-3)1=1. (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x,则位置A上的数 解得x=-2或x=-4. 为x-8,位置B上的数为x-7,位置D上的数为x+7,位置E 当x=-2时，6士如-6=2k-1 上的数为x+8, 因为(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)=5x, 整理，得(a-4)k=2b+4. 所以“Z”字型框架中的五个数的和等于C位上的数的5倍 因为无论k取任何有理数都成立， (3)因为中间的数为c, 所以a-4=0,2b+4=0. 所以最小的数为c-8,最大的数为c+8. 解得a=4,b=-2. 因为最小数与最大数的和为40， 所以a+b=2. 所以c-8+c+8=40,所以c=20. 当x=-4时，二12，+@-b=2k-1. 2 第30期综合测评卷 整理，得(a-4)k=2b+10. 题号123456789101112 因为无论k取任何有理数都成立， 答案D B CBAA A D C A C D 所以a-4=0,2b+10=0. 解得a=4,b=-5. =、13.5-y=2y:14.x=1;15号；16.1或2. 所以a+b=-1. 三1n.(0x=多(2)x=2:(3x=-号 综上所述，a+b的值是2或-1. 22.问题-：30.8. 18.任务一：(1)去分母，等式的性质2. 问题二：①当里程数不大于3千米时，快车的费用不超过： (2)三，移项未变号. (3)正确解法如下： 12+25×3+0×60×04=21.3(元 去分母，得3x-(x+1)=6,去括号，得3x-x-1=6,移项， 而出租车的起步价是14元，此时不满足从甲地到乙地，乘 7 得3x-x=6+1,合并同类项，得2x=7,系数化为1，得x=2 坐出租车比快车节省13.6元 所以甲、乙两地间的里程数一定超过3千米， 任务二：熟记等式的性质，理解并掌握移项中符号的变化，重 设甲、乙两地间的里程数为x千米。 视基础训练（答案不惟一）. 19.(1)七年级(2)班有男生22人、女生23人. 根据题意，得14+24(x-3)+13.6=12+2.5x+希× (2)应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子. 60×0.4. 20Da=1.(2a=子 解得x=12.经检验，符合题意 答：甲、乙两地间的里程数为12千米， (3)方程去分母，得2(2x+1）=3(ax-1)-6. ②设这两位乘客乘车的里程数为m千米， 整理，得(3a-4)x=11. 因为原方程无解，所以3a-4=0. 若m≤8，则0.8(10+28m+0.5×46×60)+5.3=12 解得a=了 4 +2.5m+0.4×40 ×60, 21.(1)方程x-2=3-x与方程y+2=3(y+1)是“差 解得m=5,经检验，符合题意： 3方程”.理由如下： 解方程x-2=3-,得x=习： 若m>8,则0.8(10+28m+0.5×40×60)+5.3=12 解方程y+2=3(y+1),得y=-2 +25m+0,4×0×60-6.5, 解得m=30.经检验，符合题意 因为1x-y1=1各-(-分1=3， 答：这两位乘客乘车的里程数为5千米或30千米4 素养拓展 数理招 题型空间 第28期2版参考答案 关注实际问题中解的合理性 5.2.2解一元一次方程 5.2.2.1去括号 里图■■■■里 ◎山西徐志坚 基础训练1.A;2.D;3.A；4.C; 一元一次方程作为一种数学工具，在分析墙的长方形养鸡场，墙长12米，其他三边用竹篱 5.2;6.-3;7.23. 8.(1)x=0;(2)x=5; 解决众多实际问题中发挥了重要的作用，但有笆围成（靠墙的一边为长），小明认为长比宽多 时也会出现解题结果与实际问题不符的情况，3米为好，你认为他的设计符合实际吗？ (3y=-多；(4=40 因此，我们在用一元一次方程解决实际问题时， 解析：设宽为x米，则长为(x+3)米.根据 9.(1)方程2x=4x+8的解为x=-4,方 不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验题意，得2x+x+3=33.解得x=10.所以宽为 程2(x+2)=3x的解为x=4, 方程的解是否符合问题的实际意义.这类问题10米，长为13米.而实际情况是墙的长度只有 因为4与-4互为相反数，所以方程2x=4x 你遇到过吗？ 12米，所以小明的设计不符合实际 +8和2(x+2)=3x为“友好方程”. 一、受整数条件限制 (2)①方程2(x-1)-n=0的解为x=1 三、受现实意义限制 例1某地区进行年度篮球联赛，每个球队 例3有父子二人，现在父亲的年龄是儿子 号，因为方程2(x+2)=3x的解为=4， 都要比赛22场，比赛规则：胜一场积2分，负一年龄的6倍5年后，父亲的年龄是儿子年龄的 场积1分.小明一直在关注比赛，他认为会有一 所以当1+乃=-4，即n=-10时，关于x 3.5倍，你能求出10年前父亲和儿子的年龄各 2 个球队出现胜场积分等于负场积分的情况.你 的方程2(x-1)-n=0与方程2(x+2)=3x 是多少岁吗？ 认为有这种可能吗？ 为“友好方程”； 解析：设现在儿子的年龄为x岁，则父亲的 解析：假设会有，不妨设这个球队胜了x场， ②方程x-1-m2=0的解为x=m2+1 则负了(22-x)场.根据题意，得22-x=2x.解 年龄是6x岁.根据题意，得6x+5=3.5(x+5). >0, 解得x=5.所以6x=30.所以现在父亲的年龄 所以方程x-1-m2=0的解不可能为x 得：=号因为：表示球队获鞋的场数，所以它是30岁，儿子的年龄是5岁，这是有实际意义 三-4 不能是分数.因此，不可能出现一个球队胜场积的，那么10年前父亲的年龄应为20岁，而儿子 所以关于x的方程x-1-m2=0与方程 2(x+2)=3x不可能为“友好方程” 分等于负场积分的情况所以没有这种可能. 的年龄是没有实际意义的. 5.2.2.2去分母 二、受附加条件限制 综上，在列方程解决实际问题时，求解方程 基础训练1.B:2.B:3.D:4.D: 例2现要用33米的竹篱笆建一个一边靠后必须检验解的合理性，不能贸然作答 5.2022;6.55;7.5. 十“十十十十十十十十十“十十“十十 十“十”十“十”十“十“十十“十“十十“十“十十“十十十“十十“十十 趣味数学 8.(1)x=-1;(2)x=7; (3y=等：(4)=6 7 诗歌中的一元一次方程 9(1)4+=是“商解方程”理由如下： ◎四川姚皓严 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学题 答：红果有6个，紫果有12个，白果有4个 解方程4+=得发=号 目，这些题目叙述生动、活泼，一扫纯数学的枯燥 三、寺内僧多少 乏味之感，令人耳目一新、回味无穷.下面采撷几 例3巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧： 因为9：4=手 例用一元一次方程求解的应用题供同学们赏析. 三百六十四只碗，众僧刚好都用尽；三人共食 一、客人分银 所以4+=9是“商解方程” 碗饭，四人共吃一碗羹；请问先生名算者，算来 例1隔墙听得客分银，不知人数不知银； (2)解方程6+x=m+3,得x=m-3. 寺内几多僧？ 四两一份多四两，半斤一份少半斤；借问各位能 因为一元一次方程6+x=m+3是“商解 解析：题目的意思是：山林中有一座古寺， 算者，多少客人、多少银（古代1斤=16两）？ 但不知道寺中有多少僧人.若3个僧人吃一碗 方程”所以m-3=心二解得m三2引 6 解析：题目的意思是：听见隔壁有客人分银 饭，4个僧人吃一碗羹，刚好用了364只碗.请问 两，但是不知道人数、银两分别有多少，只知道 寺内有多少僧人？ 第28期3版参考答案 每个客人分四两，还多出四两；每个客人分半 斤，还少半斤.请问有多少客人、多少银？ 设寺内有x个僧人，根据题意，得子+4 一、题号12345678 设有x位客人.根据题意，得4x+4=8x- 答案CDD C ABCA 8.解得x=3.经检验，符合题意.所以银两数 364.解得x=624.经检验，符合题意 =9.-3；10.10:1.4:12.-3 3 为：4x+4=16. 答：寺内有624个僧人 答：有3位客人，16两银 四、牧童分杏 三、13.(1)x=1;(2)x=1;(3)x=-1. 二、八戒吃仙果 例4牧童分杏各争竞，不知人数不知杏： 14.将x=3代入方程3[(+1)+ 例2三种仙果红紫白，八戒共吃十一对；三人五个多十枚，四人八枚两个剩.试问几个牧 白果占紫三分之一，紫果正是红二倍；三种仙果童几个杏？ ,少]=2中，解得m=-号 4 各多少？看谁算得快又对！（提示：一对即两个） 解析：题目的意思是：牧童们要分一堆杏， 解析：题目的意思是：有红、紫、白三种仙不知道人数，也不知道有多少个杏.若3人一组， 将m=-号代入关系式2n+3ml=0 果，八戒共吃了11对（即22个），其中白果是紫每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个中，解得n=4. 果的？，紫果是红果的2倍，请问三种仙果各有杏，则多2个杏.请问有多少个牧童，多少个杏？ 多少个？ 设有x个牧童，根据题意，得号×5+10 所以m+n=-号+4=手 15.设售出的成人票为x张， 设紫果有x个，则红果有2个，白果有？个 ×8+2.解得x=24.经检验，符合题意所以 依题意有5(1000-x)+8x=6950 解这个方程，得x=650.经检验，符合题意 园银题意高++子2解得1-2经5+0地 所以1000-x=1000-650=350. 检验，符合题意所以=6，了=4 答：成人票售出650张，学生票售出350张. 答：有24个牧童，50个杏. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2026年1月20日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 29期总第1173期 华东师大 0351-5271248 七年级 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-44 16.(1)依题意，把 =9代入+2-1=a 2 品位方法 +3,得9+2-1=a 本周生讲 4 5.3实践与探索 寻找等量关系有炒招 9-3 4 ,解得a=3 学习目标：1.体会列一元一次方程建立 (2)由(1)得a= 数学模型的思想方法 ◎江西 吴 浩 3,则2-1=3+ 2.能够在实际问题中分清数量关系，找 列一元一次方程解应用题是一个重点问 解：设慢车开出x小时后与快车相遇，则此 出列方程的主要等量关系，进而列出方程并 题，同时也是一个难点问题.同学们感到困难的 时快车开出(x-1)小时. 4,解得x=5 3 解方程 是不知道如何从题目中去寻找等量关系，从而 根据题意，得50x+75(x-1)=275 附加题1.将2x+ 认知重点：会分析问题中的数量关系， 列出正确的方程进行解答.现讲解两种寻找应 解得x=2.8.经检验，符合题意 3和x-2看成整体， 建立方程解决问题，熟练掌握列方程解应用 用题中等量关系的方法， 答：慢车开出2.8小时后与快车相遇 移项，得5(2x+3》 题的一般步骤 一、线段图示法 二、列表演示法 2(2x+3)=3( 4 在用一元一次方程解实 用画线段的方法来表示题中的数量关系， 根据题中的已知条件列出表格进行分析， 2)+2(x-2), 际问题时，若能根据题目的通过观察线段的组成情况，从而找出题中隐含 从而能较为直观地找出题中的等量关系。 合并同类项， 特点，恰当地把某些量看作 的等量关系 例2某农业公司原有葡萄园50亩，荷塘 2(2x+3)= 11 单位“1”，将会起到事半功倍 1 例1甲、乙两站相距275千米，慢车以每112亩，因葡萄热销，为了增加收入，该公司计划 2), 的效果.下面结合例题予以 小时50千米的速度从甲站开往乙站，1小时后， 把部分荷塘改造为葡萄园，使葡萄园面积占荷塘 去分母，得22(2x+ O 分析，供同学们参考 快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站， 面积的80%，求应把多少亩荷塘改造为葡萄园. 3)=11(x-2) 一、工程问题中的单位 那么慢车开出几小时后与快车相遇？ 分析：根据题意，设应把x亩荷塘改造为葡 去括号，得44x+66 的妙 1 分析：设慢车开出x小时后与快车相遇，则 萄园，可列如下表格： =11x-22, 例1 星期天，妈妈做 移顶、合并同类项 饭，小峰和爸爸进行一次家 本题可用线段图示法（如下图）来找等量关系， 原有亩数改造亩数改造后亩数 等量关系 得33x=-88, 轩 庭卫生大扫除.根据这次大 即慢车所行驶的路程+快车所行驶的路程 葡萄园 50 50+x 改造后的葡萄园面积 系数化为1，得x 275千米 荷塘 112 112-x 占荷塘面积的80% 扫除的任务量，若小峰单独 8 完成需4h;若爸爸单独完成 解：设应把x亩荷塘改造为葡萄园. 2.(1)原方程可变 需2h.当天，小峰先单独打 慢车(x-1小明 快车(x-1)小时 根据题意，得50+x=80%(112-x) 听行驶的路 所行歌的路移 形为：(x-1)(3 扫了一段时间后，去参加篮 解得x=22.经检验，符合题意 5 球训练，接着由爸爸单独完 乙两站的距 答：应把22亩荷塘改造为葡萄园 7+g)=0因为 成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次 一共打 1 扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间， 专题辅导 3+5+7+g≠0 分析：本题是一道工程应用问题.工程问题 所以x-1=0.解得x= 中有三个基本量，即总工作量、工作效率和工作 打折销售中的一元一次方程 时间.它们之间的关系是：总工作量=工作效率 (2)整理，得，23 ×工作时间.这个公式可进行变形，得到：工作 2 ◎安徽乔惟丽 x-19+-15 效率二总工作量 总工作量 4 6 工作时间 ,工作时间= 工作效率 有时 在现实生活中，商品销售问题与我们息息 二、求商品的折扣 11+-7 把总工作量看成一个整体，即看作单位“1”，那 相关，这类问题一般可以用一元一次方程解决， 例2某件商品进价10元，标价15元，为了 10 8 10 么工作效率=工作时间 1 本题把这次打扫任务 在此，同学们应该掌握以下三个数量关系： 迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，若每件 1.商品的利润=商品的售价-商品的进价. 获利2元，则该商品应打 折出售 所以23 -2+ 的总工作量看作单位“1”，因而得到：小峰完成 2 2.商品的利润率= 商品的利润 解：设该商品应打x折出售 19-2+-15 的工作量+爸爸完成的工作量=总工作量，据 商品的进价 6 此列方程求解即可 根据题意，得15×10-10=2. x-1-2+x-1 -2 解：设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了 商品的售价-商品的进价 8 10 商品的进价 解得x=8.经检验，符合题意 0,即-27 +-27 (3-x)h根据题意，得+32=1.解得x 3.商品的售价=商品的标价× 故填8， 2 4 2.经检验，符合题意 商品的销售折扣 三、探究商家的盈亏 -27 +x-27 6 8 答：这次小峰打扫了2h. 10 例3为尽快收回资金，某公司以30万元 -21-0. 二、行程问题中的单位“1” 明确和理解了它们之间的关系，便可以顺 的价格卖出一套甲种设备，盈利20%；又以 10 例2快车从甲地到乙地要行10小时，慢 利地解决打折销售中的有关问题，现举例说明 30万元的价格卖出一套乙种设备，亏本20%，那 所以(x-27)(2 车从乙地到甲地要行15小时，两车同时从甲、乙 如下 么该公司卖出这两套设备 两地相向而行，几小时后两车相遇？ A.赚2.5万元 B.亏2.5万元 6+8+101 分析：如果把甲、乙两地间的路程看作单位 一、求商品的标价 C.赚2万元 D.不亏不赚 =0 “1”,由题意可知，两车走完这段路程分别需要 例1 一家商店在销售某种服装（每件的 解：设甲种设备的进价为x万元， 因为2+4 +6 10小时和15小时，故快车每小时走完全程的 标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售 10 根据题意，得30-x=20%x. 日+0≠0， 10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低 解得x=25.经检验，符合题意 慢车每小时走完全程的 5,根据两车行走的路程30元销售11件的销售额相等，则这种服装每件 所以x-27=0.解 设乙种设备的进价为y万元， 得x=27. 和为1，即可列出一元一次方程求解 的标价是」 元 根据题意，得30-y=-20%y. (全文完) 解：设x小时后两车相遇.根据题意，得 解：设这种服装每件的标价是x元， 解得y=37.5.经检验，符合题意 0 根据题意，得10×0.8x=11(x-30) 所以30×2-(25+37.5)=-2.5（万元） 15=1.解得x=6.经检验，符合题意 解得x=110.经检验，符合题意 所以该公司卖出这两套设备亏2.5万元. 答：6小时后两车相遇 故填110. 故选B 素养专练 数理极 4.小刚有中国邮票和外国邮票共165张，中 跟踪训练 国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少55张， 能刀提高 则小刚有中国邮票 张 4.某学校开展社会实践活动，七年级(1)班 d GENZONGXUNLIAN 5.两个书架共有书260本.借出部分书后，甲和(2)班承担了为树苗浇水的任务，已知(1)班 5.3实践与探索 书架借出的本数与剩下的本数比为1：3，乙书架 单独完成需要7.5h,(2)班单独完成需要6h. 一、等积变形问题 借出的本数与剩下的本数比是2：3.已知两个书 (1)先由(1)班工作2h,然后两个班合作，前 架借出的本数一样多，则原来两个书架各有书多 后共需几小时？ 垦四训练 少本？ (2)如果需要在一个上午4h内完成，你将如 1.一个长方形周长为28，若它的长减少2，宽 何安排这次活动？ 增加2，就变成了一个正方形，那么该长方形的面 积为 () A.45 B.48 C.40 D.49 2.用一根24cm长的铁丝围成一个直角三角 形，若使三条边长的比是4：5：3，则这个三角形 三、销售问题 的面积是 ( A.40 cm B.24 cm2 屋础训练 C.30 cm2 D.以上都有可能 五、行程问题 3.有一位工人师傅将底面直径是10cm,高为 1.小明一共有34元钱，买了笔和本子，笔1元 80cm的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40cm 钱一支，本子3元钱一本，本子和笔总数为20，最 的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是 后正好花完钱，则本子买了 () 屋础训练 A.10本B.9本 C.8本 D.7本 cm. 1.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港 4.把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的 2.一件商品按进价提高50%后标价，再按标 返回4港少用3小时，若船速为26千米/时，水速 长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块， 价的八折出售，可获利80元，则其实际售价为 为2千米/时，求A港和B港相距多少千米？设A港 一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱，则 ( 和B港相距x千米，根据题意，可列出的方程是 这个圆柱的高是多少厘米（π取3.14）？ A.480元 B.460元 C.400元 D.200元 3.一批水果用了四天卖完，第一天卖出 A28=24 -3 B=+3 180千克，第二天卖出余下的号，第三，四天共卖 出这批水果的一半，这批水果有 千克 2.微微参加了一场2000米的赛跑，她以 4.3月3日是“世界野生动植物日”，某中学 2.5米/秒的速度跑了一段路程，又以1.5米/秒 能刀提高 组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿 的速度跑完了其余的路程，一共花了20分钟，微 者活动，志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A, 微以2.5米/秒的速度跑了 () 5.如图，有一个盛有水的 B两款精美的钥匙扣进行售卖.已知每个A款钥匙 A.1500米 B.1000米 正方体玻璃容器，从内部量得 扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元.若 C.500米 D.600米 它的棱长为30cm,容器内的水 某外地游客购买5个A款钥匙扣和5个B款钥匙 3.《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七 深为8cm,现把一块长、宽、高 扣共付款85元，求A,B款钥匙扣每个的价格. 日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起.问 分别为15cm,9cm,9cm的长 何日相逢.”翻译成现代文是：假设凫从南海起 方体实心铁块平放进玻璃容器中，容器内的水将 飞，7日到达北海；雁从北海起飞，9日到达南海 升高 cm. 现假定凫与雁同时起飞.问经多少日相逢？通过计 二、和、差、倍、分问题 算，答案是 日. 能刀提高 垦础训练 4.甲、乙两车分别从相距210km的A,B两地 1.我校七年级A班共有44名学生，其中女生 四、工程问题 相向而行. 人数比男生人数的多5，求这个班的男生人数 (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车 垦础训练 速度的2倍，若甲车比乙车提前2h出发，则甲车 设这个班有x名男生，则可列方程为( 1.某段铁路由甲工程队单独铺设需要40天， 出发3h后两车相遇.求甲、乙两车的速度分别是 A.x+ 8x+5=44 由乙工程队单独铺设需要60天.如果由这两个工 多少？ Bg+5=4 程队从两端同时相向施工，总共需要 ( (2)若甲、乙两车保持(1)中的速度，同时出 A.20天B.24天 C.25天 D.30天 发，相向而行，求经过多长时间两车相距30km? 5 C.x+8-5=4 2.整理一批数据，由一人做需要40小时完 成现在计划先由一些人做2小时，再增加3人做 D-5=4 4小时，完成这项工作的子，则先安排 2.父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年 工作 前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲() 3.修筑一条公路，由3个工程队分筑，第一个 A.28岁B.30岁C.32岁D.35岁 3.小明做一道加法的计算题发现结果比正确 工队筑全路的分，第二个工程趴筑剩下的分，第 答案大了273.6，经检验发现原来是其中一个加 三个工程队筑了20千米，刚好把这条公路筑完. 数理报社试题研究中心 数的小数点点错了一位，则这个加数是 则这条公路共长 千米. （参考答案见31期) 数理极 素养•测评 5 优惠了4a元，在总花费不变的情况下，跳绳多买了 同步检测（三 2根，排球多买了2个，求a的值， TONGBUJIANCE 【检测范围5.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） :2倍，将纸片和直尺按如图1所示的两种方式摆放 题号12345 67 8 在桌面上，则根据图中给出的数据可知，直尺的长 度是 cm. 附加题⊙ 答案 I cm (以下试题供各地根据实际情况选用) 1.有两个数，第一个数比第二个数的2倍多1， 1.(8分)某水果加工厂收购了30吨雪梨.经 第二个数比第一个数的3倍少4，问这两个数是多 100米 八红 市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若 少？设第二个数为x,根据题意可列方程 ( 经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制 A.2(3x-4)+1=x 成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元.已知该工 B.3(2x+1)-4=x 图1 图2 厂每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制， c-4=方+1 12.如图2，运动场环形跑道周长为300米，哥 同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限 哥一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度 制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕， D.2(3x-4)+1=3(2x+1)-4 为3米/秒，与此同时小红在哥哥后面100米的地 2.小明同学买书需用48元钱，付款时恰好用 为此水果加工厂研制了两种方案： 方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，若两人第 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销 了1元和5元的纸币共12张，设所用的5元纸币为 次相遇所用的时间为80秒，则小红的速度为 x张，则x的值为 ( 售； 米/秒 A.6 B.8 C.10 D.9 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装 三、耐心解一解（共52分） 3.在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中 并恰好8天完成 13.(10分)扬州雕版印刷技艺历史悠久.元代 某队保持连续不败，共积23分，按此赛规则，胜一场数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该 (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润 得3分，平一场得1分，那么该队共平了 最多？ 书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问 A.7场 B.6场C.5场 D.4场 (2)水果加工厂欲将(1)问中获利最多方案 :题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五 4.已知哥哥比弟弟大10岁，5年前哥哥的年龄 制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已 十里，驽马先行一十二日，问：良马几何日追及 是弟弟的3倍，则弟弟现在的年龄是 知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要 之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走 A.10岁B.15岁C.20岁 D.5岁 收取的费用如下表： 150里，慢马先走12天，问：快马几天追上慢马？ 5.五星电器将一款冰箱按照20%的利润定 运输公司运输单价：元/（吨·千米）每吨装卸费：元 价，在6.18促销活动中按八折出售，结果亏损了 免 母 128元，则这款冰箱的进价是 ( 乙 6 30 A.3840元 B.3200元 C.3072元 D.2560元 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比 6.某城市按以下规定收取每月煤气费：所用煤 甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场 14.(12分)如图3，左边是边长为30cm的正的距离. 气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费：如 方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成右边所示 果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费 的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，求 已知某用户4月份的煤气费平均为每立方米 长方体的体积 0.88元，那么4月份该用户应交煤气费() A.60元 B.66元C.75元D.78元 7.一艘客轮沿江从A港顺流到达B港需要 6h,从B港逆流到A港需8h,该客轮从A港出发开 2.(12分)在日历中有许多奥秘，图1是某月 往B港，3h后，客轮上的一位旅客的帽子不慎掉入 的日历，请仔细观察并思考下列问题： 江中，则帽子漂流到B港要 ( (1)我们用如图2所示的“Z”字型框架任意 A.48hB.32hC.28hD.24h 框住日历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究 8.某仓库有一批货物需要搬运出去，并且还 “Z”字型框架中的五个数的和与位置C上的数的关 匀速接收新运进的同类货物.如果安排1合机器和 15.(14分)甲、乙两管同时打开，10分钟就能 系 10名工人搬运，需要8小时清空仓库（将仓库内原 注满水池.现在先打开甲管，9分钟后再打开乙管， 例如：5+6+13+20+21= ,2+3 有货物和8小时新接收的货物刚好运完)；如果安 再过4分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟 +10+17+18= ； 排2台机器和8名工人搬运，需要6小时清空仓库. 多注入0.28立方米的水，求这个水池的容积 不难发现，其结果都等于 已知一合机器的工作效率相当于5名工人的工作 (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x,请 效率之和.如果只安排机器搬运，需要3小时清空 利用整式的运算对(1)中的规律加以证明； 仓库，则需要安排机器 (3)在某日历中，“Z”字型框架框住的5个位 A.8台B.7合 C.6合 D.5台 置上的数，如果最小数与最大数的和为40，求出中 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 间C位上的数c的值 9.甲、乙、丙三人共存钱1620元，已知甲存的 四五六 钱是丙的3倍，乙存的钱是丙的2倍，则甲存的钱 16.（16分)为充分满足学生快乐运动的需求 有 元 学校计划分两次采购若干跳绳和排球.学校第 10 10.某种羽绒服的进价为800元，出售时的标次采购了30根跳绳和20个排球，共花费了 18 价为1400元，后来由于该羽绒服积压，商店准备 2000元，已知跳绳与排球的单价之比为2：7. 19 20 21 22 23 2425 打折销售，但要保证利润率为5%，则可打 (1)学校第一次采购时，跳绳和排球的单价各 26 27 28 29 30 “Z”字型 折 是多少元？ 图1 图2 11.现有一把无刻度的直尺和四张形状、大小 (2)学校在第二次采购时，恰逢商场活动，与 数理报社试题研究中心 完全相同的长方形纸片，已知纸片的长是宽的第一次采购相比，每根跳绳优惠了α元，每个排球 (参考答案见31期)