第29期 15.3 可化为一元一次方程的分式方程 15.4 零指数幂与负整数指数幂-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 (上接第3版) 数眼看世乳 报纸发行质量反馈电话 分式方程走进实际生活 0351-5271248 附加题⊙ 上接4版参考答案) (以下试题供各地根据实际情况选用) 1.(8分)阅读下列材料： ©青海王琪莹 (2)x本+x- 列分式方程解决实际问题是中考的常考比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子 px-p+qx +q x+1 x x2x3的解为x= =x+1)(x-) 题，这种考题背景千变万化，下面举例说明两种的数量与360元购买实心球的数量相同. (p+q)x-p+g 1 1 1 1 x“-=-3-4的解为x=2: 常见问题 (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ x2-1 1-3x 一、工程问题 (2)如果本次购买的总费用为510元，且购 x2-1 -1元-2-4t-5的解为x=3: 例1为了解决雨季时城市内涝的难题，我买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳 所 市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在 子和实心球的数量各是多少？ P+q=-3，解得 改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的 L-p+g=1. 解：(1)设绳子的单价是x元 (1)请直接写出方程1， ∫p=-2, x-4x-5 x-7 施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度 可以比原计划提前10天完成任务. 根据题意，得84.360 lg=-1. xx+23 附加题1.(1)因 8的解为 (1)求实际施工时，每天改造管网的长度； 解得x=7. 为古=3，=4， ab (2)观察上述方程与解的特征，写出一个 (2)施工进行20天后，为了减少对交通的 经检验，x=7是原分式方程的解，且符合 解为x=-5的分式方程： 影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保 题意 c+a=5,所以 ca b 总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至 (3)观察上述方程与解的特征，写出能反 所以x+23=30 =3+=4，日 少还要增加多少米？ 映上述方程 般规律的方程，并直接写出这个 答：绳子的单价是7元，实心球的单价是30元 1 解：(1)设原计划晦天改造管网x米. c =5. 方程的解 (2)设购买实心球的数量是m个. 根据题意，得3600 3600 (1+209%)元=10. 根据题意，得7×3m+30m=510. 所以2(+ 1 a 解得x=60. 解得m=10. 经检验，x=60是原分式方程的解，且符合 所以3m=30, )=3+4+5=2 1 题意 答：购买绳子30条，实心球10个. 所以片+古 a 所以(1+20%)x=72 温馨提示：列分式方程解决实际问题的一 =6 般步骤： (2)ab+bc+ca 2.（12分)新定义：如果两个实数a,b使得 答：实际施工时，每天改造管网的长度是 abc 72米. (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量之间 1 关于x的分式方程头+1=6的解是x=。十6 1 ++ (2)设以后每天改造管网还要增加m米. 的关系； a b =6. 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b] 根据题意，得(40-20)(72+m)≥3600- (2)找：找出题目中的等量关系； (3)因为+ 1 72×20. (3)设：根据题意设出未知数； 称为关于x的分式方程”+1=b的一个“关联 解得m≥36. (4)列：列出分式方程； =6,+=3， 1 数对” 答：以后每天改造管网至少还要增加36米。 (5)解：解这个分式方程： 1 b *c =4, 例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方 二、销售问题 (6)验：检验，既要检验所得的解是否是原 例2为了加强学生的体育锻炼，某班计划分式方程的解，又要检验解是否符合题意； 5,所以片=2 程兰+1=6的解是x=2+列=-号成 1 1 购买部分绳子和实心球.已知每条绳子的价格 （门)答：写出答案++ c =3 立，所以数对[2，-5]就是关于x的分式方程 第28期2版参考答案 二、9.1；10.1；11.2025.5；12.16. 所以a= 15.2.2分式的加减 1 2- 号+1=6的一个“关状数对” 15.2.2.1同分母分式相加减 三、13.(1)a+b;(2)36；(3)5-x 基础训练1.A;2.D;3.B; (1)判断下列数对是否为关于x的分式方 2.(1)C是D的“差 4.(1)x-1,(2)±5. 14根捉题他，得所括部分为：古士山 x2-1 常分式”.证明如下： 程兰+1=6的关秋数对”，若是，请在括号内 s22②士 2山业」 x (x+1)2 3x 因为C-D= 打V”若不是，打“×”。 6原式=会 -x+山+ x+1 x+1 x+1 ①[-1，-1] ②[3，-5] (2)因为-x-1=0,所以2=x+1.所以 x+1 >0,所以C是D的“差 ;③[1,2] 当。=3,6=-2，c=-1时，原武式=号 (2)若数对[n2-3,-n2]是关于x的分式 15.2.2.2异分母分式相加减 t2 常分式”，C关于D的 1 “差常值”为3. 基础训练1.B;2.C;3.B;4.16 15.1)2A-B=a+- (2)由题意，得E 方程+1=6的“关联数对”，求n的值。 5.1205,(2) :6台 a a+b F=（x+1)(x-a 心+2b+B-ab=+ab+E X+2 (3)若数对[m-k,k](m>k>1)是关于 能力提高6.B. a(a+b) a'ab x(x-b) x+2 x的分式方程是+1=b的“关联数对”，请用含 15.2.2.3分式的混合运算 基础训练1心：2。 （2)若4=8岩=2 a+b x-ax+x-a-x+bx x+2 m的代数式表示k 等式两边同时乘以2a(a+b),得a2+2ab+b2= (b-a+1)x-a 3.)a+1:2)4号 4ab =2 x+2 化简，得a2-2ab+62=0,即(a-b)2=0. 所以(b-a+1)x 4.原式=x-1.根据分式有意义的条件，得x-1≠ 所以a=b. a=2x+4. 0,x-2≠0.所以x≠1，x≠2.当x=3时，原式=2. 16.()令x=0,得a-号=2 所以b-a+1=2, 能力提高5.B. -a=4. 第28期3版参考答案 令x=-2,得-a-b=-6. 解得a=-4,b=-3 数理报社试题研究中心 题号12345678 宁2年骨 所以a+b=-7. -a-b=-6. (全文完) (参考答案见31期) 答案C B C CABA A (下转1,4版中缝) 数理括 2026年1月21日·星期三 初中数学 第29期总第1173期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-206 名师点晴 详解分式方程 恋周进o 15.3可化为一元一次方程的分式方程 15.4零指数幂与负整数指数幂 ©四川陈少龙 学习目标：1掌握分式方程的定义，会解 分式方程. 解分式方程的基本思路就是把分式方程转 3 例2分式方 2 的解 2.会根据实际情况列出分式方程并求解， 化为整式方程 Ex-2 x+2 x2-4 3.掌握零指数幂与负整数指数幂的意义 其一般步骤为： 是 和性质，学会用科学记数法表示绝对值小于1 (1)去分母.在分式方程的左、右两边都乘 A.x=2 B.x=-2 的数 最简公分母，把分式方程转化为整式方程。 C.无解 D.x=3 科学记数法在数学领 (2)解整式方程 3 2 解析x2x+2=2二4两边乘(xA 域占据着重要地位，它的魅 点 (3)检验.把整式方程的解代入最简公分 力不仅在于其简洁性，更在 母，使最简公分母不等于0的解就是原方程的 2)(x-2),得3(x+2)-2(x-2)=8. 于其广泛的应用性.让我们 解；若最简公分母等于0，则原方程无解 解得x=-2. 通过具体的例子来进一步 温馨提示：(1)去分母时，在分式方程两边 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0. ☆ 所以原分式方程无解 感受一些绝对值较小的数南 都乘以最简公分母，注意不要漏乘不含分母的 项.(2)解分式方程不要忘记检验 故选C. 的科学记数法的魅力吧！ 小编献策：最简公分母有两个作用：一是为 例1 分式方程号=1的解为了去分哈#分式方程把为然式分程：二是为子 绝对值小于1的数 清 检验求出的未知数的值是否使分母为0 可记成±a×10-"的形 式，其中1≤a<10,n 解析：七+1 检验最常用的方法有两种： =1两边乘(2x-1),得x+1 2x-1 (1)把解得的值代入最简公分母，使最简公 是正整数，n等于原数 =2x-1. 分母为0的值不是原分式方程的解；否则，即为原 中第一个不等于0的数 解得x=2. 分式方程的解 字前面的0的个数（包 检验：当x=2时，2x-1≠0. (2)将解得的值分别代入原分式方程的左 括小数点前面的一个 所以原分式方程的解为x=2. 边和右边，若左边等于右边，此解即为原分式方 零)，这种记数方法也 故填x=2. 程的解；否则，就不是原分式方程的解 是科学记数法 专题辅导 例1宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日 AA 红，此花无日不春风。一尖已剥胭脂笔，四破犹包 含参数分式方程 四模型 翡翠茸.”描绘了月季花的季节特征与月季花开 放时的形态和色泽.月季被誉为“花中皇后”，也 ◎江西季海军 是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值.某品 我们在解分式方程时，经常会遇到含有参 模型三、已知分式方程无解，求参数的值 种的月季花粉直径约为0.0000352米，数据 数的分式方程，现针对这类题型归纳总结如下， 0.0000352用科学记数法表示为 () 供同学们参考学习. 例3若关于x的方程子=2x+无解，则 A.3.52×10-5 B.0.352×10-5 m的值为 C.3.52×10-6 模型一、已知分式方程的解，求参数的值 D.35.2×10-6 解析： 例1已知x=2是分式方程2+a =2x两边乘(2x+1).得+ 2 分析：本题考查用科学记数法表示较小的 数，一般形式为±a×10m,其中1≤a<10,n为 2的解，则a的值为 () 2=m整理，得(4-m)x=-2.因为2 正整数.n的值等于将原数写成科学记数法±a× A.1 B.2 C.3 D.4 2x41无解，所以4-m=0或x=-分解得m m 10”时，小数点移动的位数. 解析：把x=2代入2+0 解：0.0000352=3.52×105」 元+=2，得1+a=4或m=0.故填0或4 故选A. 模型四、已知分式方程解的范围，求参数的 =2.解得a=1.故选A. 例2一个数用科学记数法表示为5.01× 取值范围 模型二、已知分式方程有解，求参数的值 102,则这个数是 2 例4若关于x的分式方程一2+x+2 1 A.5.01 B.0.501 式置之2程天士，的取围用 C.0.0501 D.0.00501 +1有解，则 （)x2-4 分析：本题考查写出用科学记数法表示的 A.a=1 B.a=2 原数.将用科学记数法±a×10”表示的数，“还 C.a≠1且a≠-2D.a≠1且a≠2 2 +2m两边乘(x+ 解析-2++2=4 原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移 4 动n位所得到的数.把一个数表示成科学记数法 解析：，2=2+1两边策(x-2),得2(x-2),得x+2+3-42m解得= 的形式和把用科学记数法表示的数还原，是两 :+2整理，得{。1)：-2因为原分式方m+1因为，+子22学的解大十1，个豆延的过程，这电可以作为整安用升学记数 程有解，所以a-1≠0，x= 。2≠2.解得a≠所以m+1≠2，m+1≠-2，m+1>1.解得m 法表示一个数是否正确的方法 ≠1，m≠-3，m>0.所以m>0且m≠1.故填 解：5.01×10-2=0.0501. 1且a≠2.故选D. m>0且m≠1. 故选C. 2 素养专练 A 数理招 15.3.2分式方程的应用 15.4零指数幂与负整数指数幂 跟踪训练 垦础训练 15.4.1零指数幂与负整数指数幂 GEnzoNGXUNLIAN 1. 容器内盛有150g的盐水，其中含盐10g 垦础训练 15.3可化为一元一次方程的分式方程 通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度 1.计算(-3)3的结果是 15.3.1分式方程的定义及解法 提高到原来的3倍.小丽根据这一情景中的数量关 10 10 系列出方程为3×150=150-x则未知数x表示 A-27B7 C.-27 D.-27 垦础训练 2.若(x-3)°=1，则x满足的条件是() 的是 ( 1.下列各式中，是分式方程的是 + A.x>3 B.x<3 A.加入的水量 B.减少的水量 C.x≠3 D.x=3 C.加入的盐量 D.减少的盐量 X 3.用小数表示7.6×106为 C.+r 1 2.在课外活动跳绳时，相同时间内小明跳 49=0 4.比较大小：4 x 100次，小亮跳120次.已知小亮每分钟比小明多 + （)(填“>“<” 2分式方程=子3的解是 跳30次，则小亮每分钟跳 ( 或“=”). ( A.150次 B.180次 5.计算： A=3Bx=2C=含 D.x= 3 C.120次 D.130次 3.新能源车的技术越来越成熟，而且更加环 (1)1-71-(1-π)°+(3)； 3下面是解方程，'2+3=产的过程，下 保节能.小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比 2-x 两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃 列判断正确的是 油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已 解：方程两边乘(x-2),得1+3(x-2)= 知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为 -(1-x) 第一步 9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为 (2)(a3)2(ab2）-3; 整理，得1+3x-6=x-1. 第二步 0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续 解得x=2.所以原方程的解为x=2.第三步 航里程是 km. A.第一步开始出错 4.某项目工程正在施工中，已知斗容1.0立方 B.第二步开始出错 米的装载机比斗容0.5立方米的装载机每小时多 C.第三步开始出错 装车180立方米，斗容1.0立方米的装载机装车 (3)(2x3y2)2÷(2y)3 D.嘉淇解方程的过程正确 1760立方米所用时间是斗容0.5立方米的装载机 4.若关于的方程兰=3x年5无解，则m的值 装车2080立方米所用时间的一半，求这两种装载 机每小时各装车多少立方米。 为 5若关于x的分式方程，=3-的解 15.4.2科学记数法 为正整数，则整数m的值为 垦础训练 6.解方程： (1)2 1.在科研人员的不懈努力下，我国成功制造 4 0x=x+-1: 出了“超薄钢”，打破了日德垄断.据悉，该材料的 厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学 记数法表示为 A.1.5×10-5 B.1.5×104 5.2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的 C.15×104 D.0.15×10-6 开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界 2.目前常见的光学显微镜可以观测到最小的 (2)号-3x622 贡献了“中国智慧”.已知某公司拥有甲、乙两个数物体直径约为200纳米，已知1纳米=109米.用 据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek,使其数据科学记数法表示2O0纳米为米. 迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心 3.一个正方体盲盒的棱长为0.4m(以下各题 迁移100TB数据比乙数据中心迁移30TB数据所 的结果均用科学记数法表示) 需时间少5小时. (1)这个盲盒的体积是多少？ (1)分别求甲、乙两个数据中心每小时迁移多 (2)若有一个小立方块的棱长为1×103m, 少TB数据； 则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？ (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成 项紧急任务，共用8小时至少完成56TB的数据 8)4=1 迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问： 不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少 小时？ 数理报社试题研究中心 (参考答案见31期) 数理极 素养·测评 3 14.(10分)为传承我国传统节日文化，端午节 同步检测 前夕，某校组织了包粽子活动.已知八(3)班甲组 同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150 TONGBUJIANCE 个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时 【检测范围：15.3~15.4】 间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 粽子 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 题号12345678 9.计算：(-5)°+()1= 答案 1在3，片3-2 3 10.用换元法解方程，。， 3，-1=2,设y 乙中，是分式方程的个数是 一则原方程可以化为关于y的整式方程为 ( A.1B.2C.3 D.4 2.小米su7汽车采用0.0000000048米制程技 1.若关于x的方程，4++x- 术打造的全新旗舰车规级芯片一高通8295芯片，其 AI算力、GPU性能、3D渲染性能大幅提升.数据 3的辋t分试行 相的解大2。 X-1,B 0.0000000048用科学记数法表示为 () 则a的值为 15.(I4分)已知A=+x -4÷-8x+16 A.0.48×10-9 B.4.8×10-9 12.某市需要紧急生产一批民生物资，现有 = x2-2m C.4.8×10-0 D.48×10-10 甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲 1-x 3要把分式方程2’4=士化为整式方程， 3 厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元指挥中心 (1)化简分式A; 的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施 (2)若关于x的分式方程A+B=1的解是非 方程两边应同乘 工方案： 负数，求m的取值范围. A.2x-4 B.x 方案一：甲厂单独完成这项任务刚好如期完 C.2(x-2) D.2x(x-2) :成； 4若关于：的方程=，2的解是=6，则 方案二：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用 5天； a的值为 () 方案三：若甲、乙两厂合做4天后，余下的工程 A.2 B.3C.4 D.5 由乙厂单独做也刚好如期完成 5.记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈， 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工 各直钱八百九十六文，■.”其大意为：“现在有绫方案 布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，绫布和罗布分 三、耐心解一解（共52分） 别出售均能收入896文，■.”设绫布有x尺，则可 13.(12分)解方程： 16.(16分)橘子洲头是长沙的标志性景点之 袋方程为120-“-0根据比情境，题中 (1)20=20 一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆 x-5 洲.该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人 “■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的 物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆.该 是 店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又 A.每尺绫布比每尺罗布贵120文 花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第 B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文 二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购 C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 进的数量是第一次的2倍. D.绫布的总价比罗布总价便宜120文 (1)求该商店两次购进这款书签各多少个； 6若分式方程，2=1-丹的解为正数。 2232=1: 3 (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售 则m的取值范围为 () 价销售，在销售了第二次购进数量的号后，由于天 A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签 C.m<3 D.m<3且m≠-2 打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的 7.甲、乙、丙三个数依次相差1，且依次增大 书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次 若乙的倒数与丙的倒数之和等于甲的倒数的2倍， 销售时每个书签的售价至少为多少元？ 则甲、乙、丙三个数分别是 ( A.1,2,3 B.61116 5’5’5 8)g4222. 3 c÷号 8 5 D.-6,-5,-4 8.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号 mina,b}表示a,b中较小的值，如min2,4=2, 找照议个础，方根m2}2 1 的解为 ( A.x=0 B.x=0或x=2 C.无解 D.x=2 (下转第4版)初中数学·华东师大八年级第27~31期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级 第27~31期(2026年1月) 第27期2版 第27期3版 15.1分式及其基本性质 题号12345678 15.1.1分式 答案BAA CDBCA 基础训练1.C;2.B;3.x≠1. 4.(1)m≠0；(2)x为全体实数； 二9≠19：105或 (3)2a≠b;(4)x≠3且x≠2. 12.1或2. 5.()修这段路实际用的天数00它是分式 三、13.(1)最简公分母是a62 1500 (2当x=135时，原武=2×135+30=5 1 b 、2 2 6=a不，扇 a263 答：当x=135时，实际修完这段路用了5天 (2)最简公分母是x(x+y)(x-y). 15.1.2分式的基本性质 1 Y 基础训练1.C;2.C;3.B;4.A. -7=x(x+y)(x-刀=- 5.(1)2m;(2)9-29 1 x-Y a +2b 2+yx(x+y)(x-y=2 6.(1)最简公分母为10a2b2c. 14.(1)6xy;(2)a+5; 3a-3a·2a2-6a3 5b2c=10a262c=10a262c )算：a6 7c -7c·bc7bc2 10a6=10a8c=10dbe 15甲工程队修90m所用的时间为，”：天，乙工程认修 (2)最简公分母为2x(x+1)(x-1). xX2(x-1) x3-x2 60m所用的时间为，600 2+2x2x(x+1)(x-1)）=2x-2x （a-2)无 ”a2"0+。-o-8:- 900 600 900 1 2(x+1) 2x+2 2(a+2) 2-x=2x(x+1)x-1=2-2 3a-6 15.2.1分式的乘除 2a+4 15.2.1.1分式的乘除 答：甲工程队修900m所用的时间是乙工程队修600m所 基础训练1.B;2.C: 3.+2y+2 用时间的2，兰格。 x-Y 16.a+b 4.(1)a+a 15b (2) 6(3)-1. a+(a-b)证明如下： a23+b3 (a+b)(a2-ab+b) 5.(1)③. a2+(a-b)=[a+(a-b)][a2-a(a-b)+(a-b) (2)原式=m-4.2-m (a+b)(a2-ab+62) m2-4m+42 [a+(a-b)](a2-ab+b2) =(m+2)(m-2).2-m a+b (m-2)2 2 a+(a-b) =-m+2 附加题1.因为abc=1,所以1 ab+b+1=ab +b+abe 2 ac 15.2.1.2分式的乘方 a+l+ae'le +c+1=a(be+e+1)=abe+ae+a=I+ac+a 基础训练1.C；2.-3. 2.因为2x+y≠1，所以2x+y-1≠0.所以 3.1)(2)0:(3)- ·丹 2x2-x-y-x+y 初中数学·华东师大八年级第27~31期 (x+)(2x+y-1=+Y因为2+xy-2y2=0,所以(x+ (x-y)(2x+y-1)x-y 16(1)令x=0,得a-合=2： 2y)(x-y）=0.根据分式有意义的条件，得x-y≠0.所以x+ 令x=-2,得-a-b=-6. 2y=0所以=-2水所以原式=二多=分 所以台-2，得 lb=3. 第28期2版 1-a-b=-6. 15.2.2分式的加减 15.2.2.1同分母分式相加减 2+=号-+2 x2-1 基础训练1.A;2.D;3.B; 兴 4.(1)x-1,(2)±5. 522 所以P+g=-3·解得=-2， L-p+g=1. lg=-1. 6.原式=a+￡ 附加题1.(1)因为9+=3,6+9=4，+4=5，所以 ab be ca a-b 日+ + 1 当a=3,6=-2e=-1时，原式=号 -=4,1+=5 a c 15.2.2.2异分母分式相加减 所以2（合+片+之）=3+4+5e2 a 基础训练1.B;2.C；3.B;4.16. 5w2,2合：(3)2+台 所以片+古+=6 a-b (2)b+bc+c0=1+1+⊥=6. 能力提高6B. abc a b 15.2.2.3分式的混合运算 因为+片+=6日 11 11 ,a+=3，方+ =4. 基础训练1.C:2.1 "a-4 +=5所以日=2=1，=3 3.(1)a+1:(2)+2 x+3 所以a=宁b=1e=子 4.原式=x-1.根据分式有意义的条件，得x-1≠0，x- 2.(1)C是D的“差常分式”.证明如下： 2≠0.所以x≠1，x≠2.当x=3时，原式=2. 能力提高5.B. 因为C-0=品号=3>0，所以c是 x+1 第28期3版 D的“差常分式”，C关于D的“差常值”为3. 题号12345678 (2)由题意，得E-F=（x+1)(x-_(x-6= x+2 答案CBCCABAA x+2 2-a心+x-a-2+c=6-a+1)x-0=2 二、9.1；10.1；11.2025.5；12.16. x+2 x+2 三13.(10a+b:(2)36:(3)5-x 1 所以(b-a+1)x-a=2x+4. 所以b-a+1=2,-a=4. 14.(1)根据题意，得所捂部分为：x+1 .x2-x+1 解得a=-4,b=-3.所以a+b=-7. 第29期2版 422山少 一十 (x+1)2 x+1 15.3可化为一元一次方程的分式方程 +-1 x2 15.3.1分式方程的定义及解法 +i=+面 基础训练1.B;2.D;3.C;4.0或12；5.-1. (2)因为x2-x-1=0,所以x2=x+1. 6.()x=1;(2)x=号；(3)无解 所以 15.3.2分式方程的应用 s124-8-6心t08业： 基础训练1.B;2.B;3.600. a(a+b) 4.设斗容1.0立方米的装载机每小时装车x立方米，则斗 a2 ab+b2 容0.5立方米的装载机每小时装车(x-180)立方米. a2 +ab 若4A斯岩华6 根据题意，得2×170=200解得x=40 经检验，x=440是原分式方程的解，且符合题意 等式两边同时乘以2a(a+b),得a2+2ab+b2=4ab. 所以x-180=260. 化简，得a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0. 答：斗容1.0立方米的装载机每小时装车440立方米，斗容 所以a=b. 0.5立方米的装载机每小时装车260立方米， 2 初中数学·华东师大八年级第27~31期 5.(1)设乙数据中心每小时迁移xTB数据，则甲数据中心这款书签2x个 每小时迁移5xTB数据. 根据题意，得000-1600=1.解得x=200. 根据题意，得30-10=5.解得x=2. 2x x 5x 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意.所以2x 经检验，x=2是原分式方程的解，且符合题意 =400. 所以5x=10. 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款 答：甲数据中心每小时迁移10TB数据，乙数据中心每小 书签400个 时迁移2TB数据。 (2)设第一次销售时每个书签的售价为m元， (2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8-y) 小时. 根据题意，得20m+40×号m+40x1-号m×0.5 根据题意，得10y+2(8-y)≥56. ≥1880+1000+1600.解得m≥8. 解得y≥5. 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元 答：甲数据中心至少需要工作5小时. 附加题1.(1)x=6. 15.4零指数幂与负整数指数幂 (2)1 1 15.4.1零指数幂与负整数指数幂 74644+ (3)答案不惟一，如1 1 基础训练1.C；2.C;3.0.0000076;4.< 知x-n+2x-n+1=x-n, 30927:85 x-几-2这个方程的解为x=n 1 15.4.2科学记数法 2.(1)①×；②√；③×. 基础训练1.A;2.2×107. 3.(1)0.43=6.4×10-2(m3), (2)因为数对[n2-3,-n2]是关于x的分式方程a+1= 所以这个盲盒的体积是6.4×102m3; 6的“关联数对，所以心，3+1=-心的解为x=一3元 1 (2)6.4×102÷(1×103)3=6.4×10(个)， 所以需要6.4×10？个这样的小立方块才能将盲盒装满. 第29期3版 n2+1 题号 12345678 (3)因为数对[m-k,k]是关于x的分式方程a+1=b的 “关联数对，所以“1=k的解为=0一1=六所 1 x 1 二9.310.3y-2y-1=0:1山.3；12.方案三 以m(m-)+1=k所以k=m2+1 三、13.(1)x=11；(2)x=0；(3)无解 m+1 14.设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均 第30期综合测评卷 每小时包(x+20)个粽子. 根银题京，得9。-2四解得x=m 题号12345678910112 x 答案DBBDBAABD BCB 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意 所以x+20=100. 二13牙；147：15.m；162或6或8 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每 小时包80个粽子 三、17.(1)abc2；(2). x+2 15.(1)A=-4 18.(1)x=3;（2)无解. x-1 19.设该工程队原计划每天完成x米，则在完成600米的施 （2)A+B=二4+二2m=2m4红=1.根据分式有 x-1 1-x x-1 工任务后每天完成1.5x米. 意义的条件，得x≠1，x≠-1，x≠4,2m4红=1两边同乘(x 根据题意，得300-600_3000-60=4.解得x= x-1 1.5x 200. -1),得2m-4x=x-1.解得x=1+2m.因为A+B=1的 5 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意. 解是非负数，所以x≥0，即+2m≥0且+2m≠1,1+2m≠ 答：该工程队原计划每天完成200米. 5 5 5 4解得m≥-子且m≠2m≠号所以m的取值范围是m≥ 20(1)因为日+子=1，所以2a+b=k所以，治= a atb b+2a-0=a+b= 子且m≠2，m≠号 a+b 0*6s1. .11 16.(1)设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进 (2)因为了=m,所以y=m所以x-y= 一3 初中数学·华东师大八年级第27~31期 -mxy.所以2-3y-2y=2(x-y）-3y=-2my-3y 5.(1)点A,B,C,D的坐标依次为：A(3,2),B(-3,4), x+xy-y x-y xy -mxy xy C(-4,-3),D(3,-3); =-2m-3)y=-2m-3=7 (-m+1)xy m+=3解得m=16. (2)图略，得到的封闭图形是一个直角三角形. 16.2.2函数的图象 21.(1)当m=3时，该方程的解为x=-4. (2)方程两边同乘(x+1)(x-2),得2x+2+mx=3x- 基础训练1.D;2.C；3.-1<x<1或x>2; 6.整理，得(m-1)x=-8.由分式方程无解，得m-1=0或(x 4.25. +1)(x-2)=0.解得m=1,x=-1或x=2.当x=-1时， 5.图略.当x=1时，y=2x+1=3<√10.所以点(1， m-1=8,解得m=9;当x=2时，2(m-1)=-8,解得m= √0)在该函数图象的上方. -3.综上所述，m的值是1或9或-3. 6.(1)由图象可知，A点表示小王开始收割前微信零钱有 22.(1)设95号汽油的单价为x元/升. 2000元. 由题意，得0+10=0解得x=8 x (2)由图象可知，收割20亩后，微信零钱为3600元.所以 收割机收割一亩小麦：(3600-2000)÷20=80（元）. 经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意. (3)a=2000+50×80=6000. 答：95号汽油的单价为8元/升 275号 (4)全天收割小麦共收入：2840+4000=6840（元）. 第31期3版 (3)金额.理由如下： 题号12345678 甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的 答案BAACACCB 汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且x≠y.两 人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油a升，乙每次总 二、9.(-2,3)；10.8；11.y=1.8x+32;12.(224,0) 是加汽油b元。 三、13.(1)学校、汽车站的坐标分别为(1,3)，(2，-1)： 所以甲两次加浦的平均单价为：2“：生（元/升： (2)他路上经过的地方有：商店、公园、汽车站、水果店、学 校、娱乐城、邮局 乙两次加油的平均单价为：力+6=2y(元/升). 14.(1)将x=1,y=4代人y=2x+b,得2+b=4.解得 b b=2. 因为-=“”- (2)图略. 2(x+y) 2(x+y)x≠y,且 15.(1)因为点P在AB上运动，所以0≤x≤4.根据题意， t>0,y>0,所以(x-y)2>0,2(x+)>0.所以x-少 > 2(x+y) 得y=4×8-分×8=-4标+320≤≤4 0.所以产十Y-2丝>0，即甲两次加油的平均单价比乙两次加 (2)当阴影部分的面积等于20，即y=-4x+32=20.解 2 x+y 得x=3.所以PB=3. 油的平均单价高，故建议按相同金额加油更合算. 16.(1)当x=-3时，y=-2×(-3)+1=7; 第31期2版 16.1变量与函数 当=2时y=分x2-子=宁 2 ①变量与函数 (2)A. 基础训练1.C;2.单价 (3)①当x<1时，-2x+1=1,解得x=0,符合题意； 3.(1)常量是6；变量是n,t. (2)常量是40：变量是s,t ②当发≥1时，宁是=1，解得x=5,符合题意。 3 4.(1)190: 综上所述，输人的x值为0或5. (2)水池的容积是常量；抽水时间、抽出水的体积、水池中 附加题1.(1)根据题意，得2-m=-1.解得m=3.所 水的体积是变量. 以M(-1,1).所以MN=1-(-4)=5. ②变量与函数 (2)根据题意，得-(2m-5)-（2-m)=4.解得m= 基础训练1.B;2.D;3.y=24x+3. -1.所以2-m=3,2m-5=-7.所以点M的坐标为(3，-7). 4.(1)y是x的函数.理由如下： 存在两个变量：买地砖需要的钱数y和小路的宽度x,对于 2.(1)1:点B表示乙行骏弩h时，甲，乙两人相遇；点C表 每一个x的值，y都有惟一确定的值与之相对应，符合函数的定 示乙行驶5h时，甲、乙两人相距35km. 义，所以y是x的函数. (2)设甲的速度为akm/h,乙的速度为bkm/h. (2)当x=3时，两条小路的面积和为：32×3+20×3-3 8, 5 =147(平方米).地砖的费用为：60×147=8820（元）. 36s 3, 根据题意，得 解得a40, 16.2函数的图象 5-号a-)=35 【b=25. 16.2.1平面直角坐标系 基础训练1.A;2.B;3.D;4.y 答：甲的速度为40km/h,乙的速度为25km/h. 4