第34期 8.3 完全平方公式与平方差公式-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

初中数学·沪科七年级(AH)第31~35期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期(2026年2月) 第31期综合测评卷 解方程7-3m=0,得x=6m-7。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为关于x的方程+？-3m=0是关于x的不等式组 2 答案B A D B A C B B x +2m z m, 2 的“关联方程”， 二、11.3x+2<8:12.1:13.45: x-m≤2m+1 14.1:15.a≤0或a≥4. 三、16.数轴表示略.(1)x<2;(2)x≤4； 所以6m-7>0, l6m-7≤3m+1. 解得子<m≤号 (8)≤子 所以m的取值范围是乙 4 6 <m<3 由；2≤m,得x≤3m+2曲-12>3-2，得> 21.(1)根据题意，得0-b=2, 解得厂a=12, l3b-2a=6. lb=10. 5.因为不等式组无解，所以3m+2≤5.解得m≤1. 18.(1)2x+y=1+2m,① (2)设购买m台A型设备，则购买(10-m)台B型设备。 根据题意，得12m+10(10-m)≤105. lx+2y=2-m.② ①+②，得3x+3y=3+m.所以x+y=3+m 解得m≤多 3 因为m为自然数，所以m可取值为0,1,2，对应的10-m的 因为x+y>0,所以3十m>0.解得m>-3. 3 值分别为10,9,8. 所以共有3种购买方案： (2)因为(2m+1)x-2m<1,所以(2m+1)x<2m+1. 方案1：购买10台B型设备； 因为(2m+1)x-2m<1的解集为x>1, 方案2：购买1台A型设备，9台B型设备： 所以2m+1<0解得m<-分 方案3：购买2台A型设备，8台B型设备。 (3)根据题意，得240m+200(10-m)≥2040， 又因为m>-3,所以-3<m<-分 解得m≥1. 所以整数m的值为-2，-1. 因为a≤子所以1≤m≤号 19.(1)设每本宣传册A种彩页有x张，则B种彩页有(10 -x)张 因为m为自然数，所以m可取值为1,2. 根据题意，得3x+2(10-x)=24. 当m=1时，所需费用为：12×1+10×9=102（万元）； 解得x=4.所以10-x=6. 当m=2时，所需费用为：12×2+10×8=104（万元） 答：每本宣传册A种彩页有4张，B种彩页有6张 因为102<104，所以最省钱的方案为：购买1台A型设备， (2)设能发给y位顾客. 9台B型设备。 根据题意，得(0.5×4+0.3×6)y+24≤594. 第32期2版 解得y≤150. 8.1幂的运算 答：最多能发给150位顾客. 20.(1)①③： 8.1.1同底数幂的乘法 基础训练1.B;2.C;3.12; x 2m (2)解不等式组 2 >m, 得0<≤3m+1. 4.9.6×102;5.16. -m≤2m+1, 6.(1)-y2;(2)(-a)7;(3)y;(4)am3 因为不等式组有4个整数解，即为1,2,3,4， 能力提高7.(1)因为x*y=3×3,所以2*5=32× 所以4≤3m+1<5.解得1≤m<3 4 35=37=2187. (2)因为1*(4x-3)=81,所以3×34-3=3-2=34 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 所以4x-2=4.解得x= 21 三，13.(1)；(2)子；(3)6a (3)x*(y+z)=(x+y)*z.理由如下： 14.R=2×667×10"x9×10=1L334×10(m. 因为x*(y+z)=3*×3*:=3*y+:,(x+y)*z=3*y× (3×10)2 3=3+y,所以x*（y+z）=(x+y）*z 答：该恒星的施瓦氏半径为1.334×104m 8.1.2.1幂的乘方 15.(1)因为23×3+3=36-2，所以(2×3)3=(62)2 基础训练1.D;2.C: =6-4.所以6*3=62-4.所以x+3=2x-4.解得x=7. 3.(1)m,(2)-x3,(3)x0,(4)64:4.2. (2)因为10=3,109=5，所以10=分，10=5 5.(1)x4;(2)-xm. 能力提高6.(1)由题意，得a+3b+2z=3,所以3“×27 所以109=10产÷10=10产÷(010)=号÷5=方 ×9=3”×36×32=30+3h+2=33=27. 16.小张同学的解答不完整，完整解答过程如下： (2)因为22=3，所以(21)2-2r=22-2“=4× 因为a°=1(a≠0)，所以x+1=0且1xl-4≠0，所以 (22*)3-(22)2=4×33-32=108-9=99. x=-1; 8.1.2.2积的乘方 因为1“=1，所以当1x1-4=1时，解得x=±5； 基础训练1.C;2.B; 因为(-1)2=1，所以当1x1-4=-1时，解得x=±3， 3.(19,225a%,3)-y.(464×10;415 此时(1x1-4)1=(-1)4或(-1)2，其结果都为1. 综上所述，x的值可以为-1，±3，±5. 5.()原式=（号）×(-子)×(-子)=[号 4 17.(1)因为8×16m×32m=2÷8=27÷23, 所以(23)m×(24)"×(2)=224, (-子)]×(-子)=-1×(-子)=子 所以23m×2加×2m=224,所以23m4m+5m=224,所以22m ②原武=×（”x("×(-8）=-25×（货 =224,所以12m=24.解得m=2. (2)因为a=39=(33)33=273,b=46=(42)3=163, "=-25 c=53.又因为27>16>5，所以273>163>53，即a>b >c. 8.1.3.1同底数幂的除法 附加题(1)3，-3； 基础训练1.C;2.(1),(2)-,(3)-27 (2)因为(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c,所以由新定 3.(1)105,(2)-53；4.25. 义可得：5=3,5=8,5=24，因为3×8=24，所以5“×5 =5,所以a+b=c. 50-8,(2)-23)-22 (3)(8,125)+(4,答)=(2,5)+(2，号).设(2,5)=a, 能力提高6.(1)因为2m=3,2”=5,所以2m=(2m)3 =33=27,22”=(2")2=52=25.所以2加-2m=23m÷2= (2,)=6,c=a+6=(2,5)+(2,号)，所以c=(2,5×) 27 25 =(2.8).因为2=8，所以c=3所以(8,125)+(4，)=3. (2)因为10=20,10=5，所以10=10÷10=20 第33期2版 ÷5=100=102.所以a-6=2.所以25°÷5=(5)°÷5 8.2整式乘法 =52a÷526=52a-2h=54=625. 8.2.1单项式与单项式相乘 8.1.3.2科学记数法 基础训练1.B;2.B: 基础训练1.C;2.A. 3.-4,15;4.22a2. 3.(1)0.43=6.4×102(m3), 5.(1)2x3y;(2)-18xy;(3)3xy;(4)3a36. 所以这个盲盒的体积是6.4×102m3; 能力提高6.yang8888. (2)6.4×10-2÷(1×103)3=6.4×107(个)， 8.2.2单项式与多项式相乘 所以需要6.4×10？个这样的小立方块才能将盲盒装满. 基础训练1.D;2.A;3.1;4.72m2n+45mn2. 5.(1）-6ab-3b;(2）-2x3y2+4xy+2xy2; 第32期3版 (3）-2xy4+6x3y5-x2y 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2)=x2-2x+1 题号 1 2 3 5 6 8 +3x2=4x2-2x+1; 答案BCDD (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x 二9.(a-6；10.8:11025:12.3或7 +6x3-3x2. 能力提高7.原式=-a3b+3a2b+2ab2=-(ab2)3+ 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 3(ab2)2+2ab2. 192①. 因为ab2=-1,所以原式=1+3-2=2. 因为32=192，所以(32')=192，即32y=192*②. 8.2.3多项式与多项式相乘 ①②的两边分别相乘，得6y×32”=192×192. 基础训练1.C;2.B；3.A;4.-6；5.22+7x-4. 所以(6×32)y=192+y. 6.(1)2x2+9xy-5y2;(2)4a3+6a2b-8ab2-15b3. 所以192y=192y.所以xy=x+y. 7.a2+7a+10;a2+3a-10:a2-3a-10;a2-7a+10. 所以(-6)00)2=（-6)-)×(-6)2= (1)x2+(p+q）x+pg; (-6)y-()1×36=(-6)×36=-216. (2)①x2-13x-230；②x2-45x+500; (3)因为x2-8x-3=0,所以x2-8x=3. 第34期2版 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-7)(x-3)(x 8.3完全平方公式与平方差公式 -5)=(x2-8x+7)(x2-8x+15). 8.3.1完全平方公式 把x2-8x=3代人，得原式=(3+7)×(3+15)=180. 基础训练1.A;2.D;3.C;4.19；5.±1 6.(1)16a2-24ab+96;(2)-x: 第33期3版 (3)5x2-42x+16;(4)9980.01. 题号1234 5 678 7.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 (0y=4[(x+02-(x-y)]=4×(25-9)=4 二、9.15a2-6ab;10.-12mn；11.-7;12.- 3 (2)+=2[(x+)2+(x-y)P]=7×(25+9) 13.(1）-24xy;(2)12x2y+8x2y2-4xy: =17: (3)7x2+29x-6. (3)x4+y=(x2+y2)2-2x2y2=(x2+y2)2-2(xy)2= 14.小明的发现是正确的，理由如下： 172-2×42=289-32=257. 原式=3x3+2x2-3x3-8x2+62-8=-8.因为计算结 能力提高8.a2-2. 果与x的取值无关，所以小明的发现是正确的 8.3.2平方差公式 15.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a+1)=24ab 基础训练1.B；2.A;3.6;4.0. -36a+2b-4, 5.(1)9a-1;(2)98-4a;(3)-y产+8头 16 即安装健身器材的区域面积为(24ab-36a+2b-4)平方 米； 6.(1)1;(2)399三 9 (2)当a=9,b=15时，24ab-36a+2b-4=24×9×15 8.3.3运用乘法公式进行计算 -36×9+2×15-4=2942, 即安装健身器材的区域面积为2942平方米 基础训练1.B;2.B;3.a2-2ab+b2. 4.(1)x3-15x2+75x-125: 16(1)B是A的“好多项式”.理由如下： (2)m2+4mn+4n2-6pm-12pn+9p2; 由题意，得C=A×B=(x-2)(x+3)=x2-2x+3x- (3)4x2-9y2+6yz-2. 6=x2+x-6,所以L(C)=3. 能力提高5.因为(5a+10b+7)(5a+10b-7)=(5a+ 因为L(A)=2,以L(A)<L(C)=L(A)+1. 10b)2-49=176,所以(5a+10b)2=225. 所以B是A的“好多项式”. 因为a>0,b>0,所以5a+10b=15,即a+2b=3. (2)C=A×B=(x-3)(x2-ax+9)=x3-(a+3)2 +3(a+3)x-27. 第34期3版 因为B是A的“极好多项式”，所以L(A)=L(C)=2. 所以x-(a+3)x2+3(a+3)x-27只有两项. 题号 1 2 3 4 6 8 所以a+3=0.解得a=-3. 答案 D 17.(1)4×5×100+25: 二、9.4x2-25y2；10.4；11.6;12.4或16. (2)(a5)2=100a(a+1)+25.理由如下： 三、13.(1)x2+4y+4y2; 因为(a5)2=(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25, (2)y2-3xy; 100a(a+1)+25=100a2+100a+25, (3)a2-462+4bc-c2. 所以(a5)2=100a(a+1)+25. 14.(1)x=1;(2)x<10.5. (3)根据题意，得(a5)2-100a2=525,即100a2+100a+ 15135992；(2)10609 25-100a2=525.解得a=5. 附加题因为6=192，所以(6)”=192'，即6”= 16原式=2×[(1-分(1+宁)1+)1+)0 —3 初中数学·沪科七年级(AH) 第31~35期 ++ =(x+2z)2-(3y)2=(x+2z+3y)(x+2z-3y).因为x+2z =3y,所以x+2z-3y=0.原式=6y·0=0,其值是定值. =2×[1-)1+1+1+岁]+是 8.4.2公式法(3) 基础训练1.A;2.B;3.(x+y)(m+n)；4.0. =2×[1-2)1+71+]+0 5.(1)(m-3)(m-4);(2)b(b-1)(a+c). =2×[1-)1+2]+0 1 第35期3版 1、 1 1 =2×(1-2)+25=2-2西+25=2 题号 1 2345678 17.(1)因为a-b=1,a2+62=17,(a-b)2=a2+62- 答案B 2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8. 二、9.(m-6)2;10.4;11.(x-3)(x+1)(x2-2x+ (2)根据题意，得 2)；12.-3. sa分=d-2×2b(a-b)=d+-ad 三、13.(1)(x+9)(x-3)；(2)(x-1)(x+4)(x-4)； (3)(2a-b)2. 因为a+b=7,所以(a+b)2=7,即a2+2ab+b2=49. 14.(1)10000;(2)147. 因为ab=9,所以a2+b2+2×9=49,即a2+b2=31. 15.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a+b)或2a2+ 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. 3ab+b2;表示因式分解的等式为：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+ (3)令2027-x=m,x-2026=n,则m+n=2027- b). x+x-2026=1, (2)图略.2a2+5ab+2b=(2a+b)(a+2b).所以这个 因为(2027-x)(x-2026)=-6,所以mn=-6. 长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b.所以此长方形的周长 所以(2027-x)2+(x-2026)2=m2+n2=(m+n) 为：2(2a+b+a+2b)=6a+66. -2mn=12-2×(-6)=13. 16.(1)①25x2+10x-y2+1=(25x2+10x+1)-y2= 附加题(1)①4；②4. (5x+1)2-y2=(5x+1+y)(5x+1-y). (2)设AC=x,BC=y ②x2-4y2+2x+4y=(x2-4y2)+(2x+4y)=(x+ 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2=64. 2y)(x-2y)+2(x+2y)=(x+2y)(x-2y+2) 因为S+S2=44,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2xy= (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=(a2-4ab 44+2xy=64,解得y=10.所以S2角形m=2y=5, 1 +462)+(b2-6b+9)+(c2-10c+25)=(a-2b)2+(b- 3)2+(c-5)2=0,所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0.解得 第35期2版 a=6,b=3,c=5.所以三角形ABC的周长为：6+3+5=14. 17.(1)提公因式法； 8.4因式分解 (2)(1+x)2026; 8.4.1因式分解的概念与提公因式法 基础训练1.C；2.C；3.3(a-7); (6)原式=子×4×(5+5+5+…+5) 4.x2+6x+8=(x+4)(x+2);5.-5. 1 6.(1)a(a+b+2);(2)4xy2(xy+2xz-3z); =4×(4×5+4×52+4×53+…+4×52m) (3)3(x-y)2(9x-4y). =x(1+4+4x5+4×52+4x5+…+ 能力提高7.答案不惟一，略. 4×52m5-5) 8.4.2公式法(1) 基础训练1.D;2.A; =1+4)26-5 4 3.(am+5)(am-5);4.9或-7. 52026-5 5.(1)(x+2y)(x-2y);(2)-(x-2y)2; 4 (3)(x+多；(4)(4+9y)(2x+3y)2-3) 附加题(1)是. (2)由题意，得P=(2+y)2-(x2)2=(x2+y+x2)(x2 8.4.2公式法(2) +y-x2)=y(2x2+y)=2x2y+y2. 基础训练1.D;2.2m(m+3)2;3.64. (3)N=4x2-9y2+8x-18y+k=(4x2+8.x+4)-(9y 4.(1)-4a(x-y)2;(2)3(x+y)(x-y): +18y+9)+k+5=(2x+2)2-(3y+3)2+k+5. (3)a(x+2)2(x-2)2. 因为N是“明礼崇德数”，所以k+5=0.所以k=-5. 能力提高5.x2-9y2+42+4xz=(x2+4z2+4xz)-9y 44 素养·拓展 数理招 专题辅导 乘法公式的题型多 题 完全平方公式变形记 种多样、精彩万分，下面 让我们一起参观乘法公 式的题型展吧！ 法 间 一、纠错型 ©陕西王文也 例1小红在计算 在解题时，可以对完全平方公式进行灵活 解：因为a+b=7,a2+b2=25, a(1+a)-(a-1)2时， 刘 解答过程如下： 变形，使它的应用更加广泛.下面举例加以说 所以b=(a+b2-(a+6】=12 英 a(1+a)-(a-1 题 明，供同学们参考. -a+ad2(2-1）…第一步 变式4：ab=[(a2+b)-(a-b)2] =a+d2-d2-1 …第二步 变式1：a2+b2=(a+b)2-2ab. -1. …第三步 十十+十十+十十十+十十+十++十十 展 例1已知a+b=2,ab=1,求a2+的值 小红的解答从第 例4已知a2+b2=8,a-b=3,求ab的 步开始出错，请写出正确的解答过程。 解：因为a+b=2,ab=1, 值 解：一 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=2. 解：因为a2+b2=8,a-b=3, 原式=a+a2-(a2-2a+1)=a+a2 x十+十+++十十十十十十十十 1变式2：a2+b2=(a-b)2+2ab. 所以a=+)-a-0]= a2+2a-1=3a-1. 2 二、求值型 例2若关于x的多项式x2-ax+36=(x 例2若x-y=5,xy=2,则x2+y2= 变式5：ab=[(a+b)2-(a-b) +b)2,则a+b的值是 解：因为(x+b)2=x2+2bx+b2=x2-ax +36,所以2b=-a,b2=36. 解：因为x-y=5,xy=2, 例5设M=2x+y,N=2x-y,P=xy 所以a=12,b=-6或a=-12,b=6. 所以x2+y2=(x-y)2+2xy=52+2×2若M=4,N=2,则P= 所以a+b=6或-6. =29. 解：因为M=2x+y=4,N=2x-y=2, 故填6或-6. 三、实际应用型 故填29 所以2g=[(2+2-(2x-]=3 例3重庆某植物园中现有A,B两个园 区，已知A园区为长方形，长为(4x+2y)米，宽 变式3：a6=[(a+6)2-(2+) 所以P=xy=2 为(3x-5y)米；B园区为正方形，边长为(x+ 3y)米. 例3已知a+b=7,a2+b2=25,求ab的值 故旗号 (1)请用代数式表示A,B两园区的面积之 和并化简； 十十十十+十十十十十十十+十十十十十十十+十十+十十十十十十十十十十十十十+十十十 (2)为增加植物园收益，现对园区进行改 第33期2版参考答案 a2-7a+10. 造，对于A园区，若宽增加(x+5y)米，长减少 8.2整式乘法 (1)x2+(p+q)x+p9 (4x-2y)米，则A园区面积将变为3200平方 米；对于B园区，若边长减少6y米，则B园区面 8.2.1单项式与单项式相乘 (2)①x2-13x-230;②x2-45x+500: 基础训练1.B;2.B: (3)因为x2-8x-3=0,所以x2-8x=3. 积将会是4，B两园区改造完成后总面积的子， 3.-4,15;4.22a2. 求B园区改造前的面积 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x 5.(1)2x3y;(2)-18xy;(3)3xy;-7)(x-3)(x-5)=(x2-8x+7)(x2-8x+ 解：(1)由题意，得(4x+2y)(3x-5y)+ (x+3y) (4)3a3b6. 15) =12x2-14xy-10y2+x2+6xy+9y2 能力提高6.yang8888 把x2-8x=3代人，得原式=(3+7)×(3 =13x2-8xy-y2, 8.2.2单项式与多项式相乘 即A,B两园区的面积之和为(13x2-8xy- +15)=180. y2)平方米. 基础训练1.D;2.A;3.1; 第33期3版参考答案 (2)改造后A园区的宽为：3x-5y+x+5) 4.72m2n+45mn2. 题号1234567 =4x(米)，长为：4x+2y-(4x-2y)= 5.(1)-6ab-3b2: 4y(米)，所以4x·4y=3200,即xy=200.改造 答案DAC C A B C A (2)-2x3y2+4xy4+2xy2: 后B园区的边长为：x+3y-6y=(x-3y)米， 二、9.15a2-6ab；10.-12m8n; 因此面积为(x-3y)2平方米. (3)-2x4y4+6x3y-x2y6 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2) 1.-7:2-3 由题意，得(：-3)2=号引320+(x =x2-2x+1+3x2=4x2-2x+1; 3y)2 (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)· 13.(1)-24xy;(2)12x3y+8x2y2-4xy; 解得(x-3y)2=6400 (-3x2)=-12x4+6x3-3x2 (3)7x2+29x-6. 即改造后B园区的面积为6400平方米， 所以改造前B园区的面积为：(x+3y)2= 能力提高7.原式=-a3b+3a2b+2ab 14.小明的发现是正确的.理由如下： (x-3y)2+12xy=6400+2400=8800(平 =-(ab2)3+3(ab2)2+2ab2 原式=3x3+2x2-3x3-8x2+6x2-8= 方米) 因为ab2=-1,所以原式=1+3-2=2. -8.因为计算结果与x的取值无关，所以小明 四、新定义型 例4对于任意有理数a,b,现用“☆”定 8.2.3多项式与多项式相乘 的发现是正确的. 义一种运算：a☆b=a2-b2,根据这个定义，式 基础训练1.C;2.B;3.A; 15.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a 子(x+y)☆y可化简为 4.-6;5.2x2+7x-4. +1)=24ab-36a+2b-4, A.xy +y B.xy-y 6.(1)2x2+9xy-5y2; 即安装健身器材的区域面积为(24ab-36a C.x2+2xy D.x 解：(x+y)☆y=(x+y)2-y2=x2+2xy (2)4a3+6a2b-8ab2-15b3. +2b-4)平方米； +y2-y2=x2+2xy 7.a2+7a+10;a2+3a-10;a2-3a-10; (下转1,4版中缝)t 故选C. 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 益评极 2026年2月24日·星期二 第 34期总第1178期 沪科 0351-5271248 七年级(AH 上接4版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) (2)当a=9,b 15时，24ab-36a+2b 入门向导 括号是数学中不容忽视的一个角色，运用 4=24×9×15-36× 乘法公式简化计算，当算式与公式的形式不吻 9+2×15-4=2942 乘法公式全攻略 合时，若能准确地添加括号，可使一些计算简便 即安装健身器材的 快捷，这就是添括号的魅力.下面列举几例供同 区域面积为2942平方 ◎湖南曹俊竹 学们参考 米 乘法公式是整式运算中十分重要的公式，为S,+S,+S,+S,=ab+a2+b2+ab,故(a+ 一、巧添括号用完全平方公式 16.(1)B是A的 好多项式”.理由如 更是今后学习其他知识的基础，它的应用也十)2=a2+2ab+b.同理可得(a-b)2=a 例1运用乘法公式计算：(a-2b-3c)2 下 分广泛.为了更好地熟悉并掌握乘法公式，就让2b+b?. 分析：若利用完全平方公式简化计算，需添 由题意，得C=A× 我们共同踏上乘法公式的全攻略之旅，尽情感 图2中阴影部分的面积 加括号，从而把算式变为(a+b)2或(a-b)2的 =(x-2)(x+3) ② 受乘法公式的风彩 为(a+b)(a-b),若把小长 s 形式.添加括号时，同学们可将任意两项放入括 -2x+3x-6=x2+ 6,所以(C)=3. 攻略一、乘法公式的结构特征 方形②移到①的位置，此时 S2① 号中，共有3种方法，此处是将后两项放在括号 因为L(A)=2,所 1.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;阴影部分的面积又可以看成 前是负号的括号里，需注意改变各项符号， 以L(A)<L(C) (a-b)2=a2-2ab+b2.公式的左边是两数和边长为a的大正方形的面积 图2 解：原式=[a-(2b+3c)]2 L(A)+1. (或差)的平方，右边是一个二次三项式，其中第 减去边长为b的小正方形的面积，即S1+S2=S =a2-2a(2b+3c）+(2b+3c)2 所以B是A的“好 、三项是公式左边括号中二项式每一项的平 +S,=a2-b,故(a+b)(a-b)=a2-b, =a2-4ab-6ac+4b2+12bc+9c2 多项式”. (2)C=A×B=(x 方，中间一项是左边括号中二项式两项乘积的2 攻略三、乘法公式中字母的广泛意义 请同学们尝试另外两种方法 3)(x2-ax+9）=x3 倍.可形象地叙述为：首平方、尾平方，首尾乘积 在乘法公式中，字母a,b都具有广泛的意 品味方法。 -(a+3)x2+3(a+3)x 的2倍在中央 义，它们既可以分别表示具体的数，也可以表示 -27. 因为B是A的“极 2.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-2. 一个单项式或一个多项式，如(5n+2m)(2m 巧添括号 好多顶式”，所以L(A) 公式的左边是两个二项式，在这两个二项式中，5m)=(2m+5n)(2m-5m)=4m2-25n2,这里 =L(C)=2. 有一项完全相同，另一项互为相反数；公式的右的2m相当于公式中的a,5n相当于公式中的b. 三炒解题 所以x2-(a+3)x ◎福建张亚妮 边是左边乘式中两项的平方差（相同项的平方 攻略四、运用乘法公式的注意事项 +3(a+3)x-27只有 二、巧添括号用平方差公式 两项 减去相反项的平方) 计算时，要先观察题目的结构特征是否符 例2 运用乘法公式计算：(x+2y-)(x-2y 所以a+3=0.解 攻略二、乘法公式的几何意 合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式 得a=-3. 的条件的形式，再利用公式进行计算（详见本版 分析：若利用乘法公式计算，需要把算式变 17.(1)4×5×100 图1中大正方形的面积可 《慧眼识公式》)；若不能变为符合公式条件的形 +25: 形为(a+b)(a-b)的形式，为此需要添加括 (2)(a5)2 以表示为(a+b)2,也可以表示 式，则应运用整式的乘法法则进行计算 号，观察可知，第一个因式中的x,-z分别与第 100a(a+1)+25.理由 二个因式中的x,一z的符号相同，而第一个因式 如下： 疑难解析 中的2y与第二个因式中的-2y的符号相反.因 因为(a5)2=(10a 此，只需把x与一：放在一起就可借助平方差公 +5)(10a+5)=100a 眼识公式 式简化计算 +100a+25,100a(a+ 1)+25=100a2+100c ◎安徽陈卫国 解：原式=[(x-z)+2y][(x-z)-2y] +25. 学习了乘法公式后，在进行多项式的乘法运 分析：两个多项式中，含字母x的项的系数 =(x-z)2-(2y)2 所以(a5)2 = 算时，先不要急着去括号，我们要用一双“慧眼”， 和常数项都互为相反数.若变换第二个多项式 =x2-2xz+z2-4y2 100a(a+1)+25. 精准识别乘法公式在不同情境下的呈现形式 中各项的符号，使x-2变为-(2-x),则可以 例3运用乘法公式计算：(3-a+2b+ (3)根据题意，得 一、位置变形 利用完全平方公式求解 c)(3+a-2b+c). (a5)2-100a2=525,即 例1运用乘法公式计算(4+x)(x-4)的 解：原式=-(2-x)2=-(4-4x+x2) 分析：观察可知，式子中均含有3+c,若将 100a2+100a+25-100a 第一个因式中的-a+2b添上括号变为-(a =525.解得a=5. 结果是 -4+4x-x2. 因为6 2b),则与第二个因式中的a-2b互为相反数， 附加题 分析：两个多项式中，含字母x的项完全相 故选D. =192,所以(6)y= 可以运用平方差公式快速求解 同，常数项互为相反数.根据加法交换律将完全 三、折分变形 192',即6y=192'①. 例4计算：(-2027)2+2026×(-2028) 解：原式 因为32'=192，所 相同的项移到前面，互为相反数的项移到后面， =[(3+c)-(a-2b)][(3+c)+(a 以(32)*=192，即 即可利用平方差公式计算 2b)7 32y=192*②. 解：原式=(x+4)(x-4)=x2-16. 分析：此题直接计算比较复杂，观察式子可 ①②的两边分别 故填x2-16. =(3+c)2-(a-2b)2 以发现，将2026写成2027-1,2028写成2027 相乘，得6”×32 =9+6c+c2-(a2-4ab+4b2) 192'×192 例2计算：(x-y)(x2+y2)(x+y)(x+y). +1,则可以运用平方差公式快速计算 =c2 -a2-4b2+6c+4ab+9. 所以(6×32)”= 分析：观察本题的特点，可利用乘法交换 解：原式=2027-(2027-1)×(2027+1) 192+y 律，把因式(x+y)放到最前面，再连续运用平方 =20272-20272+1 所以192 本周住讲 差公式求解 =1. 192y.所以y=x+y 所以(-6)-)(-1)+ 解：原式=(x+y)(x-y)(x2+y2)(x+y) 故填1. 8.3完全平方公式与平方差公式 （-6)-10y-1) =(x2-y2)(x2+y2)(x+y2) 四、指数变形 学习目标：1.了解完全平方公式和平方差 -6)2=(-6)y-(+y =(x4-y)(x4+y4) 例5计算：(3a+2)2(3a-2)2 ×36=(-6)×36= 公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算 =x8-y8 分析：本题若直接运用完全平方公式展开 216. (全文完) 和推理 二、符号变形 再相乘，计算相当繁琐，我们不妨先逆用积的乘 2.掌握完全平方公式的多种变形 例3计算(2-x)(x-2)的结果为()方法则，再运用乘法公式，便可巧妙求解 3.能运用乘法公式进行一些数的简便运 A.4-x B.x2-4 解：原式=[(3a+2)(3a-2)]2 C.-4-4x-x D.-4+4x-x =(9a2-4)2=81a4-72a2+16. 2 素养专练 A 数理极 8.3.2平方差公式 8.3.3运用乘法公式进行计算 跟踪训练 垦础训练 屋础训练 GENZONGXUNLIAN 1.计算：(2a+b)(2a-b)= 1.计算(x-y+1)(x+y+1)时，可将原式变 8.3完全平方公式与平方差公式 A.4a2+b2 B.4a2-b2 形为 ( ) 8.3.1完全平方公式 C.2a2-b2 D.2a2+b2 A.[(x-y)+1][(x+y）+1] 2.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边 B.[(x+1)-y][(x+1)+y] 屋础训练 长为b的小正方形，将阴影部分拼成右边的长方 C.[(x-y)+1][(x-y)-1] 1.计算(-x+2)2的结果是 )形，根据图形中阴影部分的面积可写出正确的等 D.[x-(y+1)][x+(y+1)] A.x2-4x+4 B.-x2-4x+4 式是 2.若(a4+b4+1)(a+b-1)=35,则a+ b4= C.x2+4x+4 D.-x2+4x+4 () 2.我们在学习许多代数公式时，可以用几何 A.3 B.6 图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式(a C.±3 D.±6 -b)2=a2-2ab+b2的是 3.把整式(a2-2ab+2+5)(-a2+2ab-2 A.(a+b)(a-b)=a2-2 +5)写成(5+m)(5-m)的形式，则m= B.a(a-b)=a2-ab C.(a-b)2=a2-b2 4.运用乘法公式计算： ! y B D.(a-b)2=a2-2ab+b2 (1)(x-5)3; 3.小明在计算一个二项式的平方时，得到的 3.已知a2-b2=12,a+b=2,则a-b= 正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污 染了，这一项应是 ) 4.已知a2+a=2,则代数式(a+2)(a-2)+ A.3y2B.6y2 C.9y2 D.±9y2 a(a+2)的值为 4.若x-y=5,xy=6,则x2-3xy+y2的值 5.计算： 为 (1)(3a+1)(3a-1); 5.已知a2+2=5,ab=2,则a-b= 6.利用乘法公式计算： (2)(m+2n-3p)2; (1)(-4a+3b)2; (2)(2a-3b)(-2a-3b); (2)(2x+1)2-(4x+1)(x+1); (3)(2x-3y+z)(2x+3y-z) (3)(-3x+5)2+(2x+3)(-2x-3); (3)+)0g-多)(--是) (4)99.92. 6.简便运算： 能刀提高 (1)1232-122×124; 5.已知a>0,b>0,(5a+10b+7)(5a+10b -7)=176,求a+2b的值. 7.已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,求下列各 式的值： (1)xy;(2)x2+y2;(3)x+y4 (2)20号x19 能刀提高 8.已知4”+4-”=a,则16”+16”的值为 :! ! 数理报社试题研究中心 (用字母a表示) (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(8分)李明同学在计算3×(4+1)(42+ 同步达标检测题（六） 1)(44+1)时，把3写成4-1，发现可以连续运用 平方差公式计算： 3×(4+1)(42+1)(44+1) ◆ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 【检测范围：8.3】 =(4-1)(4+1)(42+1)(44+1) =(42-1)(42+1)(44+1) 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 11.如图3，以长方形ABCD的 =(44-1)(44+1) 题号12345678 四条边为边向外作四个正方形， =48-1. 设计出“中”字图案，若四个正方 答案 :形的周长之和为40，面积之和为 请你借鉴李明同学的经验，计算：(1+2)(1 1.计算(3x-1)2的结果是 )26,则长方形ABCD的面积为 图3 A.6x2-6x+1 B.9x2-6x+1 +是1+1+)+品 C.9x2-6x-1 D.9x2+6x-1 12.若x2+2(m-3)x+1是一个整式的平方， 2.多项式A÷B的计算结果是2x-3,若B=x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n"的值 2x+3,则多项式A是 )为 A.4x2+9 B.9-4x2 三、耐心解一解（共52分） C.-4x D.4x2-9 13.(12分)计算： 3.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式 (1)(-x-2y)2; 计算的是 ( A.(2a-3b)(-2a+3b) B.(-3a+4b)(-4b-3a) 17.(14分)在数学中，通常可以运用一些公式 C.(a+1)(-a-1) 来解决问题.比如，运用两数和的完全平方公式（α D.(a2-b)(a+b2) (2)(3x+y)(y-3x)-x(3y-9x); +b)2=a2+2ab+b2,能够在三个代数式a+b,ab, 4.如图1，正方形中阴影部分 α2+b2中，当已知其中任意两个代数式的值时，求 的面积为 出第三个代数式的值 A.(a-b)2 例如：已知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值 B.a2-62 解：将a+b=3两边同时平方，得(a+b)2= C.(a+b)2 32,即a2+2ab+b2=9. D.a2+b2 图1 (3)(a-2b+c)(a+2b-c). 因为ab=2, 5.下列运算正确的是 ( 等量代换，得a2+b2+2×2=9, A.(x+3y）(x-3y)=x2-3y2 所以a2+b2=5. B.(-m-}2=m2+m+ 1 请根据以上信息，解答下列问题. (1)已知a-b=1,a2+b2=17,求ab的值； C.(2a-b)(-2a-b)=4a2-b2 (2)如图4，已知两个正方形的边长分别为4， D.(a+b)2=a2+b2 14.(8分)(1)解方程：(x+3)(x-3)+28=b,若a+b=7,ab=9,求图中阴影部分的面积： 6.如图2，将边长为a的正方形纸片，剪去一个(x+9)(x+1); (3)若(2027-x)(x-2026)=-6,求(2027 边长为b的小正方形纸片，再沿着图2-①中的虚 x)2+(x-2026)2的值. 线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2- ②所示的平行四边形，这两个图能解释的数学公 式是 (1 (2)解不等式：4(3+x)(x-3)<(2x-1)2 a-b +5. 图2 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 附加题⊙ C.(a+b)2=a2+2ab+b2 (以下试题供各地根据实际情况选用) D.b=子(a+b2-(a-)] (1)①若x+y=6,x2+y2=28,则y= 7.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平 15.（10分)用乘法公式计算： ②若2a+b=6,ab=4,则(2a-b)2= 方差，则称这个正整数为“好数”.下列正整数中能 159号x605: 1 称为“好数”的是 (2)如图，C是线段AB上的一点，以AC,BC为 A.205B.250C.502D.520 边向两边作正方形，设AB=8,两正方形的面积和 8.已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7,ab= S,+S2=44,求三角形AFC的面积. 3,则(a+b)2= ( A.4B.10 C.16 D.20 (2)1032. 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.计算：(2x-5y)(2x+5y)= 10.已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3) 数理报社试题研究中心 +(2a-1)2的值是 （参考答案见下期)