第34期 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·沪科八年级(AH)第32~35期 所以方程无实数解， 第32期2版 所以商家每天的获利不能达到3000元. 17.3一元二次方程根的判别式 17.5.2第二课时 基础训练1.C;2.A;3.4;4.四. 基础训练1.D;2.C;3.25%;4.5. 5.(1)证明：因为4=(2k+1)2-4×1×(k-3)=42 能力提高5.(1)依题意，得BC=(32-2x)m,羊的活动 +13>0. 范围的面积为S长方形BCD一S正方形CEG, 所以该方程总有两个实数根。 所以x(32-2x)-12=95, (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得 整理得x2-16.x+48=0, x1=0,x2=-7. 解得x1=12,x2=4, 17.4一元二次方程的根与系数的关系 所以AB的长为12m或4m. 基础训练1.A;2.16;3.20 (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由如下： 4.(1)因为2,3是方程x2+x+q=0的两根， 依题意，得x(32-2x)-1=130, 所以2+3=-=-p,2×3=g, 整理得2x2-32x+131=0, 所以p=-5,9=6. 因为4=(-32)2-4×2×131=-24<0， (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ 所以方程无实数解， 5n-3=0, 所以羊的活动范围的面积不能为130m2. 所以m≠0，n≠0，m≠n,m,n可看作方程2+5x-3= 第32期3版 0的两根， 所以m+n=-5,mn=-3, 一、 题号12345678 所以m+卫=m+2=(m+m2-2mm 答案AA DD DBBC n m mn mn (-5)2-2×(-3】=-31， 二9.-6；10.6；1.k>-}且k≠0：12.6 -3 3 即公+只的值为-引 三、13.根据题意，得4=(2k-1)2-4h(子k+)=1解 n m 得k1=0(舍去)，k2=8.所以k的值是8. 17.5一元二次方程的应用 17.5.1第一课时 14.方程整理，得x2-(m+2)x+2m=0. 基础训练1.B;2.C;3.63:4.19. (1)因为4=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0，所以不论 能力提高5.(1)y=10x+100. m为何值，该方程总有实数根. (2)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=1760, (2)设另一个根为a.由根与系数的关系，得3a=2m,3+ 整理得x2-10x-24=0, a=m+2.解得m=3,a=2.所以方程的另一个根为2. 解得=-2（舍去），x2=12, 15.设每次降价的百分率为x 所以50-12=38（元）， 根据题意，得200(1-x)2=128 所以该商品的销售单价是38元时，商家每天获利 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去) 1760元 答：每次降价的百分率为20%. (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000, 16.(1）根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得m 整理得x2-10x+100=0, ≤1. 因为4=(-10)2-4×1×100=-300<0， 故m的取值范围为m≤1. 初中数学·沪科八年级(AH) 第32~35期 (2)根据题意，得x1+3=-=2,1:,=￡=m, 第33期综合测评卷 因为2x1+2x2+x1x2=0, 题号12345678910 所以2×2+m=0, 答案ADBCDACD CB 解得m=-4. 17.(1)依题意，得四边形ABCD是长方形，四边形ABFE 二、11.3；12.0（答案不惟一，k≥0即可）；13.5； 是正方形， 14.1;15.4或-2. 所以四边形EFHG,四边形CDGH,四边形CWMH均为长方 三、16.x1=-3,x2=1. 形， 17.因为关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个相 所以AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm,DG=MN 等的实数根， 所以△=（-4)2-4a×2=0,解得a=2, =CH =40 cm,EG FH. 因为长方形置物架ABCD是用，总长为4O0cm的木板制作 此时x=二)±6=1，即1==1 2×2 的， 18.(1)）设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 所以EG+FH=400-(6×45+3×40)=10(cm), 根据题意，得2(1+x)+2(1+x)x=288, 所以EG=FH=5cm. 整理，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13(舍去). 故填5. 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑. (2)因为AB=BF=EF=AE=GH=CD=xcm,DG= (2)由题意可知，288×(1+11)=3456（台）. MN CH =40 cm,EG FH, 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台. 所以EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm, 19.(1)解方程x2=2x得x1=0,2=2. 所以EG=FH=(140-3x)cm, 因为x1≤2，所以P(0,2). 所以AD=AE+EG+DG=x+140-3x+40=(180- (2)设方程x2-(k+1)x+k=0的两根为x1和2(x1≤ 2x)cm x2),则P(1,x2) 故填(180-2x). 因为点P在直线y=-x上， (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180- 所以x1+2=0,即k+1=0,解得k=-1 2.x)cm,EG=(140-3x)cm, 20.(1)设每件商品的售价为x元，则每件的利润为(x- 因为长方形ABCD的面积为4000cm2, 40)元，销售量为200-10(x-50)=(700-10x)件， 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000, 依题意，得(x-40)(700-10x)=2250,整理，得x2-110x 整理得x2-90x+2000=0, +3025=0,解得x1=x2=55. 解得1=40，x2=50, 答：每件商品的售价为55元. 当x=40时，EG=140-3×40=20(cm), (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 因为EG的高度不小于18cm, 2500元.理由如下： 所以x=40符合题意 设每件商品的售价为y元，则每件的利润为(y-40)元，销 当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意， 售量为200-10(y-50)=(700-10y)件， 舍去 依题意，得(y-40)(700-10y)=2500,整理，得y2-110y 所以x的值为40. +3050=0. 附加题(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2. 因为4=(-110)2-4×1×3050=-100<0，所以方 (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由如下： 程无实数根， 设AP=xcm,则PB=(6-x)cm,BQ=2xcm, 所以涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 根据题意，得}×2x(6-)=10 2500元. 21.(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” 整理，得2-6x+10=0. (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0,所以x=m或x= 因为4=(-6)2-4×1×10=-4<0， -1.因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 所以方程没有实数根， 程”，所以m=-1+1或m=-1-1,所以m=0或-2. 所以△PBQ的面积不能等于10cm. (3)由题可得4=b2-4a×1=b2-4a≥0，所以解方程 (3)号e后，P0的长度等于6cm 得x=二b±公二40因为关于x的方程ar2+b加+1=0(a, 2a -2 初中数学·沪科八年级(AH) 第32~35期 b是常数，a>0)是“差1方程”，所以二6+√公-4a 所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. 2a (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12. -b-F-40=1,所以=d2+4a.因为t=10a-B,所 2a 所以Snm=Sa版+Sa=乃4C,BC+7AC,AD 以t=6a-a2=-(a-3)2+9≤9，所以t的最大值为9. =7x12x9+分x12x5=84 第34期2版 6.(1)因为AB+BC2=202+152=625,AC2=252= 18.1勾股定理 625,所以AB+BC2=AC. 18.1.1认识勾股定理 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°. 基础训练1.B;2.18;3.1. (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 4.(1)16+x2. CD=AD=x米，BD=(20-x)米 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD=BD+BC,即x2= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC=BC2 (20-x)2+152. 又因为AB=5,AC2=16+x2,所以52+16+x2=(3+ x)2 解得x-125 8 解得x=白 答：这架无人机向下飞行的距离(AD的长)为2米 Q 能力提高5.55或55. 第34期3版 18.1.2勾股定理的验证 基础训练1.D;2.4. 题号12345678 3.连接BF,图略。 答案A CCABDA D 因为AC=b,所以S正方形AE=. 二、9.9；10.3cm;11.12；12.8,10. 由题易得，△BAF为等腰直角三角形. 三、13.因为m,n为整数，且m>n>1,a=m2-n2,b= 所以5ar=Sar+5ar=72+之(b-a)(a+ 2mn,c=m2+n2,所以a,b,c均为正整数.因为(m2-n2)2+ (2mn)2=m-2m2n2+n+4m2n=m+2m2n2+n,(m2+ n2)2=m4+2m2n2+n.所以a2+2=c2.所以a,b,c为勾股 又因为S正方形ACDE=S回边形ABF, 数. 所以8=2+8-2 14.(1)由勾股定理，得c2=a2+=92+402=412,所 以c=41. 所以20+28=2 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4k(k>0). 由勾股定理，得c2=a2+6=(3k)2+(4k)2=252= 所以a2+62=c2. (5k)2. 18.1.3勾股定理的应用 又因为c=10,所以5k=10, 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 解得k=2. 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=1.5米，由勾股定理，得 所以a=6,b=8. AC2=AB2+BC2=6.25. 15.△ABC为直角三角形.理由如下： 所以AC=2.5米. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC=AC=2.5米，由勾股定 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD+CD2=42+22=20. 理，得CD2=EC2-DE=0.49. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=12+22= 所以CD=0.7米. 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC2+CB2=20+5 所以BD=CD+BC=2.2米 =25=AB2.所以△ABC为直角三角形. 答：小巷的宽度为2.2米. 16.连接AB,过点C作CD⊥AB于点D,图略. 18.2勾股定理的逆定理 由题意可得，BC=30km,AC=40km,∠ACB=90° 基础训练1.C；2.D；3.60;4.2. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC. 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 所以AB=50km. AC2=AB2-BC2=144. 因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC2=169=DC2. 因为saAB=4C;BC=4B;CD,所以40X30-0GD, 2 2 21 一3 初中数学·沪科八年级(AH) 第32~35期 解得CD=24km, 所以该车符合安全标准。 因为24>23，所以这艘轮船沿着直线AB返航至港口B,没 18.补充过程如下：所以S四边形BDE=S△ABc+S△EF+ 有触礁的危险 S张E元=分ab+2b+6(b-a）=公，S随版=Sar+ 1 17.因为点W是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FN= 之FG=3cm因为AB=9cm,AM=3cm,所以BM=AB-AM S△DE= 2+26+a)(6-a)=2+2-2,所以 =6cm.当展开图如图1所示时，因为BF=5cm,所以BW= 公=+28-2所以公+公=2 BF+FN=8cm由勾股定理，得MW2=BM2+BW2=100.所 19.(1)如图3所示，点P即为所求 以MW=10cm (2)如图3，过点B作BE垂直于AC于 H 点E.由题意，得A1C=AC=2cm,BE= 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 E A,E=A1C+CE=24cm.在Rt△ABE中， 图3 由勾股定理，得A1B=AE2+BE=676, M B P 所以A1B=26cm,即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm 图1 图2 当展开图如图2所示时，过点N作NP⊥BC于点P,则BP 20.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC2+BC =162+122=400,AB2=202=400, =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. 由勾股定理，得M2=PM+PN2=106.因为100<106，所以 所以AC+BC2=AB2. 它需要爬行的最短路程是10cm. 所以△ABC是直角三角形 附加题(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直 (2)连接BE,图略. 角三角形的面积，即最后化简为c2+ab; 因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD,AE=BE. 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 由(I)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab.根据面积相等，直 设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x. 接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+b2=c2 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE+CB2=BE2,即x2+ (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x- 12=(16-x)2,解得x=2 7 4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2=C +AH,即x2=62+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 所以SaE=Sae-SCE=之AC·BC-2CE·BC= 答：原路CA长6.5千米. 75 第35期综合测评卷 所以5w=宁m-空 题号1 2345678910 21.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 答案CBAACDBA CC 因为AM=2,MN=3,NB=4, 所以AM2+MW2=22+32=13≠NB2, 二、11.6；12.4（答案不惟一）；13.北偏西60°； 所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角三角形， 14.4.1米；15.2s或2 所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点”. 三、16.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° (2)①因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，MW为以 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=172- AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN=2.4, 82=225,所以BD=15. 所以MW2=AM2+NB=0.7+2.42=2.52, 所以CD=BC-BD=21-15=6. 所以MN=2.5.所以AB=AM+BW+MN=5.6. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD+CD2=82+6 ②设BW=x,则MW=AB-AM-BW=12-4-x=8-x. =100,所以AC=10. 因为点M,V是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM, 17.在△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理，得BD2=AD MW,NB为边的三角形的直角边，且AM=4, -AB2=902-602=4500, 所以当BW为直角三角形的斜边时，BN2=MW2+A, 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500. 即x2=(8-x)2+42,解得x=5,此时BN=5; 所以BC+CD2=BD 当BN为直角三角形的直角边时，M2=AMP+BN2, 所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. 即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. 所以BC⊥CD, 综上所述，BW的长为3或5. 4素养·拓展 数理极 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 在学习了勾股定理后， 专题辅导 在有关直角三角形 报纸发行质量反馈电话 我们经常会遇到求最短路 的折叠问题中，除了注意 0351-5271248 径的问题，现针对该类问题 折叠前、后图形能够相互 选取三例分析如下，供同学 可股定理助解最短路径间题 重合外，还要注意勾股定 第33期综合测评卷 们参考. ⊙河南孟雅婷 理的运用，恰当运用勾股 参考答案 一、圆柱体中的最短路径 三、长方体中的最短路径 定理可以帮助我们快速 -、1.A;2.D; 例1如图1，圆柱体玻璃容器高12cm,底 例3如图5，已知长方体 面周长为24cm,在容器外侧距下底1cm的点A的三条棱AB,BC,BD的长分别 准确地解决问题. 例1如图1， 出 3.B;4.C 5.D;6.A: 处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外侧距上底 为4,5,2，蚂蚁从点A出发沿长 2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁吃到蜂蜜所 方体的表面爬行到点M的最短 Rt△ABC中，AB=9,BC 爬行的最短距离为 路程是 =6,∠B=90°，将 无 7.C;8.D 9.C:10B. cm. 图5 二、11.3； 解析：要求长方体表面两 △ABC折叠，使点A与 点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方 12.0(答案不惟 BC的中点D重合，折痕 体展开，然后利用“两点之间，线段最短”解答， ,k≥0即可)； 为MN,则线段BN的长 注意将长方体展开后蚂蚁的爬行路线有3种，分 13.5; 为 别求出，选取最短的路程即可. 14.1; 图 ①如图6，将长方体展开，前面与上面所在 15.4或-2. 解析：如图2，将圆柱体玻璃容器的侧面展的平面形成长方形ABMN.由题意，得AB=4, 三、16.x1 开，EC为底面周长的一半，过点A作AF⊥CD于BD=2,DM=BC=5.所以BM=BD+DM= -3,x2=1. 点F,此时AB的长度即为蚂蚁吃到蜂蜜所爬行7.在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM= 17.a=2,x1= 的最短距离.由题意，得AF=EC=12cm,CF AB2+BM2=√/42+72=65 x2=1. =AE=1cm,BD=2cm,CD=12cm.所以BF =CD-BD-CF=9cm.在Rt△ABF中，由勾 B C.4 D.5 18.(1)每轮传 播中平均一台电脑 股定理，得AB=√AF2+BF=√122+92= 解析：设BN=x.由折叠的性质，得DN= 会感染11台电脑。 /225=15(cm). 4N=9-x. (2)三轮传播 故填15. 因为D是BC的中点，BC=6, 后，被感染的电脑共 二、正方体中的最短路径 所以BD=3. 图6 有3456台. 例2如图3是一个棱长为1的正方体纸 ②如图7，将长方体展开，前面与右面所在 在Rt△NBD中，由勾股定理，得x2+32= 19.(1)P(0,2). 盒若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶的平面形成长方形ACME.由题意，得AB=4, (9-x)2.解得x=4. (2)k=-1. 点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程BC=5,CM=BD=2.所以AC=AB+BC= 所以线段BW的长为4.故选C. 20.(1)每件商 9.在Rt△ACM中，由勾股定理，得AM= 例2如图2，在 品的售价为55元. A.3 B.2 C.5 D.3 √AC2+C1M=√92+22=√/85 Rt△ABC中，∠B=90°， (2)涨价后商 ③如图8，将长方体展开 AB=3,BC=4,将△ABC 场销售这批商品平 左面与上面所在的平面形成长 4 折叠，使点B恰好落在边 均每周盈利不可以 方形AFMD.由题意，得AF=BC AC上且与点B′重合，AE 图 达到2500元理由 =5,MN AB =4,NF BD 为折痕，则EB= 略. 图3 图4 2.所以MF=MN+NF=6.在 2 21.(1)①不是 解析：如图4，将正方体的侧面展开，线段Rt△AFM中，由勾股定理，得AM 解析：根据折叠，得EB′=EB,AB′=AB= 图 AB的长即为妈蚁需要爬行的最短路程由题意， =√AF2+MF=√52+6=√61！ 3,∠AB'E=∠B=90°.所以∠CB'E=180°- “差1方程”；②是 ∠AB'E=90°.设EB=EB'=x,则EC=BC “差1方程”. 得BC=1,AC=2.在Rt△ABC中，由勾股定理， 因为61<5<85，所以蚂蚁从点A (2)m=0或 得AB=√BC2+AC=√？+22=5.所以需出发沿长方体的表面爬行到点M的最短路程是 EB =4-x. 因为∠B=90°，AB=3,BC=4, -2. 要爬行的最短路程是5. √i 所以AC2=AB2+BC2=25.所以AC=5. (3)由题可得△ 故选C 故填√61 所以B'C=AC-AB'=2. =b2-4a×1=62- 在Rt△B'EC中，由勾股定理，得x2+22= 4a≥0，所以解方程 第32期2版参考答案 (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理 17.3一元二次方程根的判别式 由略 (4-x)2.解得x=1.5.故填1.5. 得 基础训练1.C；2.A;3.4;4.四 -b±/b2-4a 第32期3版参考答案 例3如图3，在三角形 5.(1)略 纸片ABC中，AC=10,AB= (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+ 一、题号12345678 为关于x的方程a 6,∠ABC=90°，在BC上取 7x=0,解得x1=0,x2=-7. 答案AA DDDBB C +bx+1=0(a,b是 17.4一元二次方程的根与系数的关系 一点E,以AE为折痕折叠， 常数，a>0)是“差 基础训练1.A;2.16;3.20. 二9.-6；10.6；1.k>-4且k≠0： 使AC的一部分与AB重合， 1方程”，所以 点C与AB延长线上的点D 3 4.(1)p=-5,9=6. 12.6. -b+b2-4a (2)只+片的值为-} 三、13.k的值是8. 重合，则DE的长为 2a 14.(1)略. A.8 B.7 C.6 D.5 17.5一元二次方程的应用 -b-/02-4a (2)m=3,所以方程的另一个根为2. 17.5.1第一课时 解析：在Rt△ABC中，AC=10,AB=6, 2a 15.每次降价的百分率为20% 基础训练1.B;2.C;3.63;4.19 16.(1)m的取值范围为m≤1. ∠ABC=90°，所以BC2=AC2-AB2=64. 1,所以62=a2+4a. 能力提高5.(1)y=10x+100. (2)m=-4. 所以BC=8.由折叠的性质，得AD=AC 因为t=10a-b2,所 (2)该商品的销售单价是38元时，商家每 17.(1)5.(2)(180-2x).(3)x的值为40. =10,DE=EC. 以t=6a-a2= 天获利1760元 附加题(1)2s或4s后，△PBQ的面积等 所以BD=AD-AB=4.设DE=x,则EC -(a-3)2+9≤9， (3)商家每天的获利不能达到3000元 于8cm2. =x.所以BE=BC-EC=8-x. 所以t的最大值为 17.5.2第二课时 (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由略. 在Rt△BDE中，由勾股定理，得x2=42+ 9. 基础训练1.D;2.C;3.25%;4.5 能力提高5.(1)AB的长为12m或4m (3)号后，PQ的长度等于6cm (8-x)2.解得x=5.所以DE的长为5.故选D. 数评橘 2026年2月18日·星期三 初中数学 第34期总第1178期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 名师点睛 判别直角三角形有方法 本周庄饼 20.1勾股定理 ⊙安徽许子赫 20.2勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+2= D.三内角的度数之比为3：4：5 学习目标：探索勾股定理及其逆定理，并 c2,那么这个三角形是直角三角形.由此我们可 解析：根据三角形内角和定理和勾股定理 能运用它们解决一些简单的实际问题 以判别直角三角形.判别直角三角形的基本思路的逆定理可判别三角形是否为直角三角形. 认知重点：1.理解并掌握勾股定理及其逆 是：①确定最长边c;②分别计算c2和a2+b2的 A.根据三角形内角和定理可求得各角分别 定理 值：③若a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形；为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形： 2.掌握勾股定理及其逆定理在实际问题 若a2+2≠c2,则△ABC不是直角三角形.B.设三边长的平方分别为x,2x,3x(x≠0)，因 中的应用，如求距离、判断三角形形状等问题： 方法一、已知具体线段长度判别直角三角形为x+2x=3x,符合勾股定理的逆定理，所以此 学会将实际问题中的几何图形转化为直角三 例1下列各组数中，以它们为边的三角形三角形是直角三角形；C.设三边长分别为9x 不是直角三角形的是 ( )40x,41x(x≠0)，因为(9x)2+(40x)2= 角形，利用勾股定理及其逆定理求解 A.1.5,2,3 B.7,24.25 (41x)2,符合勾股定理的逆定理，所以此三角形 形的顶点上，则∠BAC的度数是 ( C.6.8,10 D.3,4,5 是直角三角形；D.根据三角形内角和定理可求 A.30° B.36° C.459 D.60° 解析：要判断所给的一组线段能否组成直得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是 角三角形，只要看两条较短线段长的平方和是直角三角形.故选D. 否等于最长线段的平方即可 方法三、已知三角形三边长满足的关系式 A.1.52+22=6.25≠32，不能构成直角三判别直角三角形 角形，故本选项符合题意；B.7+242=625= 例3若三角形的三边长a,b,c满足1c2 252,能构成直角三角形，故本选项不符合题意； a2-b21+(a-b)2=0,则此三角形的形状是 图1 图2 C.62+82=100=102,能构成直角三角形，故本 解析：连接BC,先分别算出△BAC三边长 选项不符合题意；D.32+42=25=52,能构成直 解析：根据绝对值和平方的非负性以及勾度的平方，再运用勾股定理的逆定理得出 角三角形，故本选项不符合题意故选A. 股定理的逆定理即可解答 △BAC是等腰直角三角形，进而得出∠BAC的 方法二、已知三角形的对应比判别直角三 因为1c2-a2-b21+(a-b)2=0,所以c2度数. 角形 -a2-b2=0,且a-b=0.所以c2=a2+b2, 如图2，连接BC.因为每个小正方形的边长 例2满足下列条件的三角形中，不是直角且a=6.所以此三角形是等腰直角三角形.故都是1，所以AB2=12+32=10,CB2=12+32 三角形的是 ()填等腰直角三角形. =10,AC2=22+42=20.因为10+10=20，所 A.三内角的度数之比为1：2：3 方法四、已知网格信息判别直角三角形 以AB2+CB2=AC2.又因为AB2=CB,所以 B.三边长的平方之比为1：2：3 例4如图1，在4×4的正方形网格中，每△BAC是等腰直角三角形.所以∠BAC=45°， C.三边长之比为9：40：41 个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方 故选C 在实际问题中，有一些题目并不具备可利 题型空间 用勾股定理的模型，要想顺利地解答题目，首先 需根据实际问题构造直角三角形，现举例分析 直角三角形铺路 如下，供同学们参考 为股定理解题 例1《九章算术》是中国 传统数学的重要著作之一，奠 ◎江西张浩然 定了中国传统数学的基本框 例2如图2是高空 所以∠AF0=∠OGC=90. 架.如图1是其中记载的一道 秋千的示意图，小明从起 因为∠A0C=∠A0F+∠C0G=90° “折竹”问题：“今有竹高一丈， 图1 始位置点A处绕着点0经 ∠AOF+∠OAF=90°，所以∠C0G=∠OAF. 末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：过最低点B,最终荡到最高 ,∠AF0=∠OGC, 一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处 点C处.若∠A0C=90°， 图2 在△AOF和△OCG中，因为∠OAF=∠COG,所 折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离点A与点B的高度差AD=1米，水平距离BD= A0=0C, 地面多高？答：折断处离地面尺高。 4米，则点C与点B的高度差CE为 米 以△MOF≌△OCG(AAS). 分析：本题考查了勾股定理的应用，解题的 分析：过点A作AF⊥OB于点F,过点C作 所以OG=AF=BD=4米 关键是根据实际问题抽象出数学图形.竹子折CG⊥OB于点G.根据“AAS”可判定△AOF兰 设OA=x米，则0F=(x-1)米， 断后刚好构造出一个直角三角形，利用勾股定△OCG,再根据全等三角形的性质可得OG= 在Rt△AF0中，由勾股定理，得AF2+OF 理即可求解。 4米.在Rt△AF0中，根据勾股定理可求得A0,=O42,即42+(x-1)2=x2. 解：设折断处离地面x尺高 最后根据线段的数量关系即可求出，点C与点B 解得x=8.5. 根据题意，得x2+32=(10-x)2, 的高度差CE. 所以OB=OA=8.5米. 解得x=4.55 解：如图2，过点A作AF⊥OB于点F,过点 所以CE=GB=OB-0G=4.5米. 故填4.55. C作CG⊥OB于点G. 故填4.5. 2 素养专练 数理叔 3.学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股 求小巷的宽度 跟踪训练 定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定 理的方法：如图2-①，点B是正方形ACDE边CD GENZONGXUNLIAN 上一 点，连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别 18.1勾股定理 为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图 图5 18.1.1认识勾股定理 2-②所示，该同学用两图的面积不变证明了勾 股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程。 屋础训练 1.如图1，在由边长为1个单位长度的小正方 形组成的网格中，点A,B都是格点（即网格线的交 点)，则线段AB的长为 18.2勾股定理的逆定理 A.2 B.5 C.6 D.7 屋础训练 1.下列各组数中，是勾股数的是 A.1,1,2 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.9,15,17 2.一个零件的形状如 图2 图1所示，按规定这个零 2.如图2，所有涂色四边形都是正方形，所有 三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C的面积 件中的∠A和∠BDC都应 分别为3,9,6，则正方形D的面积为 为直角，将量得的这个零 图 3.如图3，已知AC= 件各边尺寸标注在图1 18.1.3勾股定理的应用 BC,则数轴上点B所表示的 中，由此可知 数是 屋础训练 A.∠A符合要求 4.如图4，在△ABC中， B.∠BDC符合要求 1.安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形 ∠BAC=90°，AD⊥BC,垂 C.∠A和LBDC都符合要求 图3 较为复杂如图1，在A村与B村之间有一座大山， 足为D.已知BD=3,AB=5.设CD长为x D.∠A和∠BDC都不符合要求 原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C= (1)根据勾股定理，得AC2= 3.在△ABC中，AB=8cm,BC=15cm,AC (用含 90)绕过村庄间的大山，打通A,B间的隧道后， x的代数式表示，结果需化简)： =17cm,则△ABC的面积等于 _cm2. 就可直接从A村到B村.若AC=9km,BC= (2)求x的值， 4.若一个三角形的三边长分别是m+1,m+ 12km,则打通隧道后从A村到B村比原来减少的 2,m+3,则当m= 时，它是直角三角形. 路程为 ) 5.已知：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB= A.4 km B.5 km C.6 km D.7 km 90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13. (1)求∠CAD的度数； (2)求四边形ABCD的面积 图1 图2 2.如图2，有两棵树，一棵高6m,另一棵高 2m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞 能刀提高 到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行() A.8 m B.4/5 m C.10 m D.14m 5.若一直角三角形的两边长分别为10和5， 3.如图3，有一个由传感器控制的灯A,要装 则第三边长为 在门上方的墙上，且离地高4.5m,任何东西只要 6.如图3，一架无人机旋停在空中点A处，点 与该灯相距5m及5m以内，灯就会自动发光，则 18.1.2勾股定理的验证 A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地 一名身高1.5m的学生(CD)在灯刚好发光时离 墙的距离CE为」 面上点C(点B,C处于同一水平面上)之间的距离 垦础训练 4C=25米，且BC=15米 1.我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算 (1)求∠ABC的度数： 经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾 (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行 股定理的方法下面四幅图中，不能用面积证明勾 至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上， 股定理的是 连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的 图3 图4 长) 图 4.如图4所示的圆柱形玻璃杯高为10cm,底 面周长为16cm,在杯内离杯底4cm的点C处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的点A处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm. 2.由四个全等的直角三角形 5.如图5，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯 拼成如图1所示的“赵爽弦图”. 子AC斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面 图中正方形ABCD的面积是10 2米，即AB=2米，梯子底端距右墙底端1.5米， AH=3,则正方形EFGH的面积 即BC=1.5米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠 数理报社试题研究中心 是 在左墙时，顶端距离地面2.4米，即DE=2.4米， (参考答案见36期) 数理极 素养·测评 5 15.(10分)如图10，CD是△ABC的高，已知 同步检测 AD=4,BD=1,CD=2,试判断△ABC的形状，并 说明理由· TONGBUJIANCE 【检测范围：18.1~18.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 图10 题号12 345 6 8 9.若Rt△ABC的三边长为a,b,c,斜边长c= 答案 3,则a2+= 10.如图6，在△ABC中，已知AB=AC= 1.如图1，若正方形A的面积为 5cm,BC=8cm,则BC边上的高为 9,正方形B的面积为4，则正方形C 16.(10分)如图11，某一个小岛的周围有环 的面积为 ( 岛暗礁，暗礁分布在以小岛C为圆心，半径r为 C A.13 B.5 23km的圆形区域内.小岛C位于轮船A正西方向 C.36 D.97 40km处，港口B位于小岛C正北方向30km处.如 客1 7777777777777 2.在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 果轮船沿着直线AB返航至港口B,那么它是否有 洗手台面 所对的边，若∠A+∠C=90°，则下面等式成立的 图6 图7 触礁的危险？请通过计算说明理由. 是 11.如图7，是某款自动感应水龙头的示意图， 港口B A.2+b2=c3 B.a2-b2=c2 在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D C.a2+c2=b2 D.a2-c2=2b2 所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感 )应装置.已知出水口D到点C的距离CD为15cm, 小岛C 轮船A 3.下列各组数是勾股数的是 ( A.2,3,4 B.3,4,6 出水口D到点E的距离为17cm,且CD⊥AB,则红 图11 C.6,8,10 D.4,6,7 外线感应装置距离洗手台面的高度BE为 4.如图2是由四个全等的直角三角形拼接而 cm. 成，其中AE=5,BE=13,则EF2的值是() 12.被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦 A.128 B.64 C.32 D.144 图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图8-①： 17.(12分)如图12是放在地面上的一个长方 所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中直角体盒子，其中AB=9cm,BC=6cm,BF=5cm, 三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为点M在棱AB上，且AM=3cm,点N是FG的中点， c.现将这四个直角三角形无缝隙无重叠地拼接成：一只蚂蚁要沿着长方体盒子的两个外表面从点M 如图8-②所示图形ABCDEFGH,若该图形的周爬行到点N,它需要爬行的最短路程是多少（盒子 长为48,0H=6,则b= 底面蚂蚁无法到达)？ 图2 图3 5.如图3，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周 长是12m,高5m,要从A点环绕油罐建梯子，正好 到达A的正上方的B点，则梯子最短需要() A.12mB.13mC.17m D.20m 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 图8 a,b,c,下列条件中不能判断△ABC是直角三角形 三、耐心解一解（共52分） 的是 ( ) 附加题⊙ 13.(8分)若m,n为整数，且m>n>1,a= A.∠A+∠B=∠C (以下试题供各地根据实际情况选用) B.b2+c2=a2 m2-n2,b=2mn,c=m2+n2.试说明：a,b,c为勾 股数 著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角 C.a:b:c=5:12:13 形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b, D.∠A:∠B:∠C=5:12:13 斜边长都为c),由此推导出直角三角形的三边关 7.如图4，长方形纸片ABCD中，AB=3cm, 系：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长 AD=9cm,将此长方形纸片折叠，使点D与点B重 为c,则a2+b2=c2. 合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的 面积为 () A.6 cm2 B.8 cm2 C.10 cm2 D.12 cm2 图1 图2 图3 14.(12分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A, (1)现有4个全等的直角三角形（阴影部分）， ∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. 直角边长分别为a,b,斜边长为c,将它们拼合为如 (1)若a=9,b=40,求c; 图2所示的形状请你利用图2推导上面的关系式 (2)若a:b=3:4,c=10,求a,b的值. (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有 图图4 图5 村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC, 8.如图5，正方形ABCD的边长为a,其面积标 由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村 记为S,以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该 为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(点 等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方 A,H,B在一条直线上)，并新修一条路CH,且CH 形，其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去，若 ⊥AB.测得CH=6千米，HB=4千米，求原路CA S,=2s,则n的值为 ( 长多少千米？ 数理报社试题研究中心 A.2024B.2025 C.2026D.2027 (参考答案见36期)