18.2 勾股定理的逆定理-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

18.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 湾要点梳理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2.勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数， 已课内基础闯关 课外拓展提高 知识点① 勾股定理的逆定理 5.(2025黄山期未)三角形的三边长为a,b,c, 1.(2025滁州期末)下列线段a,b,c组成的三 且满足(a十b)2=c2十2ab,则这个三角形是 角形中，能构成直角三角形的是 A.a=1,b=2,c=2B.a=2,b=3,c=4 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.a=3,b=4,c=6D.a=1,b=1,c=√2 C.直角三角形 D.锐角三角形 2.若△ABC三边的长满足BC2+AB2=AC2, 6.如图，已知∠A=90°，AC=AB 则 =4,CD=2,BD=6,则∠ACD =90° D 的度数为 3.如下图，DC=4,AC=3,∠C=90°，AB= 13,BD=12.求： 7.观察下列等式 B 第6题图 第1个等式：(22-1)2+42=52； (1)∠ADB的度数. 第2个等式：(32一1)2+62=102； (2)△ABD的面积. 第3个等式：(4一1)2+82=172； 第4个等式：(52一1)2+102=262. (1)请用含n(n为正整数，且n>1)的等式 表示上面的规律，并证明其正确性 (2)现有一个直角边为35的直角三角形，它 的三边长能否为勾股数？若能，利用(1)中 得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说 知识点② 勾股数 明理由. 4.(2025合肥包河区期中)下列各组数是勾股 数的一组是 ( A.2,3,4 B.4,5,6 C.7,8,9 D.9,40,41 变式题判定含字母的式子能否构成勾股数 若a,b,c是一组勾股数，则下列四组数 中，一定是一组勾股数的是 A.a+2,b+2,c+2 B.a-2,b-2,c-2 C.2a,2b,2c D.a2,b2,c2 40 八年级数学HK版 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 课内基础闯关 5.(2025准南八公山区期末)如下图，A,B两 知识点勾股定理的逆定理的应用 村庄相距3km,C为供气站，AC=2.4km, 1.古代数学文化《数书九章》里记载有这样一 BC=1.8km,为了方便供气，现有两种方案 道题，其大意是有一块三角形沙地，三条边 铺设管道. 长分别为5里、12里、13里，则该沙田的面 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A 积为 ( ) 村和B村； A.30平方里 B.50平方里 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为D,先 C.60平方里 D.65平方里 从C铺设管道到点D处，再从点D处分别 2.如图，每个小正方形的边长为1，A,B,C是 向A,B两村铺设管道， 小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( (1)求证：△ABC是直角三角形. A.30 B.45 C.50 D.60 (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道更短？ 请说明理由. 第2题图 第3题图 3.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上 的点A,B,C,D中任取三点，所构成的三角 形恰好是直角三角形的个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴 影部分作为绿地.若规划图设计中∠ADC= 90°，AD=4,CD=3,AB=13,BC=12,则绿 地的面积为 第4题图 变式题图 变式题改变两直角三角形的位置关系 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形 的空地ABCD,如图所示，学校计划在空 地上种植草皮.经测量∠A=90°，AB 9 m,DA=12 m,BC=8 m,CD=17 m, 空地ABCD的面积为 m2. 下册第18章 41△ 巴课外拓展提高 (2)在(1)的条件下，已知点E(3,3),判断 6.一艘轮船以16 n mile,/h的速 △CDE的形状，并说明理由. 度离开港口O(如图)，向北偏 yt B B(x2,y2) 东40°方向航行，另一艘轮船 东 0 H(x2,y1】 同时以12 n mile/h的速度向 第6题图 0x1 X2 x 北偏西某一角度的方向行驶.已知它们离开 港口1.5h后相距30 n mile(BA= 30 n mile),则另一艘轮船航行的方向是北偏 西 ( ) A.40° B.45° C.50° D.559 色综合能力提升 7.图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示 9.如下图，某湿地公园有一块四边形草坪AB 意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测 CD,公园管理处计划修一条从点A到点C AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm, 的小路，经测量，∠ADC=90°，AD=7m, 其中AB与BD之间有一个固定为90°的零 DC=24 m,AB=20 m,CB=15 m. 件连接（∠ABD=90°）.请通过计算说明该 (1)小路AC的长为 m 车是否符合安全标准。 (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在 点B处，小狗从点B开始以1.5m/s的速度 在小路上沿B→C→A的方向奔跑，到点A 时停止奔跑.当小狗在小路CA上奔跑且与 图② 淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 8.(教材变式)利用勾股定理可以得出两点间的 距离公式，如下图，平面直角坐标系内有两点 A(x1,y1),B(x2y2),那么两点间的距离AB =√AH+BH=√(x2-x1)+(y2-y1)， 例如：若点A(2,1),B(3,4),则AB √(3-2)2+(4-1)2=√/10. (1)若点C(-2,3),D(-1,1),则CD 442 八年级数学HK版在Rt△OEF中，OE2=EF2+OF2=(x-2)2+3. .OB=OE...OB2=OE2 即(.x-1)2+2=(x-2)2+32,解得x=4. 故墙的高度为4m. (2)由(1)知，BC=4-1=3(m), .OB=√32+2=√/13(m). 故竹竿的长度为√3m. 11.解：(1)①1.7 ②由题意得BC=15m,∠ACB=90°，AB=17m, .在Rt△ABC中，AC=√17-15=8(m), .'.AD=AC+CD=9.7 m. (2).风筝沿DA方向再上升12m, ∴.AC=8+12=20(m), ,.此时风筝线的长为√AC”+BC=√/202+15=25 (m), .应该再放出线的长度为25-17=8(m). 答：需再放出8m的风筝线. 18.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 1.D2.∠B 3.解：(1)DC=4,AC=3,∠C=90° ∴.AD=√DC2+AC=√4+3=5. ,AB=13,BD=12,52+122=13,即AD2+BD =AB2, ∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90. (2)△ABD的面积=2X5X12=30. 4.D变式题C5.C 6.45°【解析】：∠A=90°，AC=AB=4,∴∠ACB= ∠ABC=45°.在Rt△ABC中，BC=AC+AB 42,.CD2+BC2=22+(42)2=36.又，BD2=62 =36,.CD+BC2=BD,.∠BCD=90°，.∠ACD =45°. 7.解：(1)由题中等式的规律可得(n2一1)2十(2n)2=(n +1)2. 证明：左边=n一2n2+1+4n2=n十2n2+1=(n2+ 1)2=右边. (2)它的三边长能为勾股数， .35=36-1=62-1, 把n=6代入，得(62一1)2+(2×6)2=(62+1)2， 即352+122=372， .它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35,12,37 第2课时勾股定理的逆定理的应用 1.A2.B 3.C【解析】如图，连接AC,AB,AD,BC,CD,BD.设 小正方形的边长为1. 由勾股定理，得AB2=1+22=5,AC2=22+4=20, AD2=12+32=10,BC2=52=25,CD2=12+32=10, 416 八年级数学HK版 BD2=12+22=5. ..AB2+AC2=BC2.AD2+CD =AC2,BD2+AB?=AD. B ∴.△ABC,△ADC,△ABD是直角 时D. 三角形，恰好为直角三角形的有 3个 4.24【解析】.·∠ADC=90°，AD=4,CD=3,.AC2= AD+CD=42+32=25.在△ABC中，AC2+BC2= 25+12=169,AB=13=169,.AC2+BC=AB2, .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∴S绿地= Saw-Sm=7×5X12-2X4X3=24, 1 变式题114【解析】如图，连接D BD.在Rt△ABD中，BD=AB2+ AD2,∴.BD=√92+12=15(m). CD=17m,BC=8m,82+152 172,..BC2+BD*=CD2,..ADBC 为直角三角形，且∠DBC=90°，Sg边形AD=S△BD十 1 1 S△m=2AD·AB+2BD·BC=2X12X9+2X 15×8=114(m2). 5.解：(1)证明：，AC=2.4km,BC=1.8km,AB= 3km,2.42+1.82=9=32, ..AC+BC2=AB*, ∴.△ABC是直角三角形. (2)方案一所修的管道更短， 理由：由(1)知△ABC是直角三角形， .∠ACB=90 又：CD⊥AB, Sae=ZAB·CD=2AC·BC, ÷CD=AC:BC_2,4X1.8=1.44km. AB 3 方案一铺设管道的长度=AC+BC=2.4+1.8=4.2 (km): 方案二铺设管道的长度=CD十AB=1.44十3=4.44 (km). 4.2km<4.44km, 方案一所修的管道更短。 6.C【解析】如图，根据题意，得OA=16 北 ×1.5=24(n mile),OB=12×1.5= 18(n mile). .242+182=900=302, .OA2+OB=AB2,∴.△AOB是直角三角形， ∠AOB=90°，，∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-40 =50°，∴.另一艘轮船航行的方向是北偏西50. 7.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2一AB2, .BD=√92-6=√45(dm). :BC=3dm,CD=6dm,32+62=45, .BC2+CD=BD2, △BCD是直角三角形，且∠BCD=90°， BC⊥CD. 故该车符合安全标准。 8.解：(1)√5 (2)△CDE是直角三角形.理由如下： CE=√(-2-3)2+(3-3)7=5， DE=/(-1-3)2+(1-3)=2/5, ..CD2+DE2=CE2, .△CDE是直角三角形. 9.解：(1)25 (2)如图所示，过点B作BH⊥AC 于点H. 当小狗在小路CA上奔跑，且跑到D 点H的位置时，小狗与淇淇的距 离最近. .AB=20m,CB=15m,AC=25m,202+152=625= 252. ∴.AC2=AB2+BC2, .△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， 则Se=号AB·BC=号AC·BH. ∴BH=AB·BC_20X15 AC 25 12(m) ∴.HC=√BC2-HB2=√15-12=9(m), ∴.HC+BC=9+15=24(m). 24÷1.5=16(s). 故当小狗在小路CA上奔跑且与淇淇的距离最近时， 小狗总共跑了16s. 应用技巧专题巧用勾股 定理求最短路径问题 1.B【解析】如图，过点F作FG⊥AB,交AB的延长线 于点G,连接AF.在Rt△AGF中，AG=AB+BG= AB+CD+EF =12,GF BC+DE =16...AF= √AG+GF=√12+16=20.故A,F两点间的最 短路径是20. G.- 2.D【解析】如图，作点P关于AB的对称AP 点P',连接PC,交AB于点Q',连接 AP',P'Q,PP',则∠CAB=∠P'AB, AP=AP',PQ=P'Q,.PQ+CQ= P'Q+CQ>P'Q'+CQ'=P'C. 当点P',Q,C在同一条直线上，即点Q与点Q'重合 时，PQ+CQ的值最小，最小值为CP'的长.：∠ACB =90°，AC=BC=2,∠CAB=∠P'AB=45°， .∠CAP'=90°.，P为AC的中点，∴Ap'=AP=1, ∴.CP'=√AC2+APF=√2+1F=√5，即PQ+CQ 的最小值为5. 3.C【解析】如图，作点F关于AD的 对称点F',连接EF',作BH⊥AC于 点H.:AB=AC,AD⊥BC,.BD =DC=3,直线AD是等腰三角形 ABC的对称轴，∴点F'在AC上， D ∴.BE十EF=BE十EF'.根据垂线段 最短可知，当点B,E,F'共线，且点F'与点H重合时， BE十EF的值最小，最小值就是线段BH的长.在 RIAACD中，AC=V3+④=5.：2BC·AD= TAC.BH..BH D BDDC).AD AC AC 4.8,.BE+EF的最小值为4.8. 【解析】如图，作点E关于 AD的对称点E',连接CE'交AD 于点P',连接EP',此时EP'+A户 CP'的值最小，作CH⊥AB于点H.,AD平分 ∠BAC,.点E'在AB上.：∠ACB=90°，AC=6,BC =8,AB=√AC+BC=√6+8=10，.S△A= 2ACBC=号AB·CH,AC·BC=ABCH, ∴CH三AC·BC=6,8=2,∴.AH=√AC=c2 AB --(AE-AF-H-H -AE'=2,.P'C+P'E CP'+P'E'=CE'= vCm+-√+2- 5.A 6.3√10【解析】将正方体的正面和 侧面展开如图，过点B作BC⊥EF 于点C,连接AB.在△ACB中， ∠ACB=90°，BC=CE=3cm,.AC=6+3=9(cm).由 勾股定理，得AB=√3+9=3√10(cm).故从点A爬 到点B的最短路程是3√10cm. 7.15【解析】根据题意，圆柱的侧F 面展开图为长方形，如图.AD= 2πr≈2×3×3=18(cm),AF= BC=12 cm,AC=CD=9 cm. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC+BC= V92+12=15(cm). 8.8,√5【解析】将墙面ADEF与地面AB CD展开如图， 过点P作PG⊥BF于点G,连接PB,管 道沿PB铺设长度最短. 在Rt△APG中，AG=6m,AP=10m, .PG=√AP2-AG=8m. 下册参考答案 17